Материальная точка

Кинематика движения
материальной точки и
абсолютно твердого тела
Движение материальной
точки
Материальная точка – физическая
модель объекта
Модель – абстрактная система, являющаяся
упрощенной копией реальной системы.
Материальная точка – тело, размерами
которого можно пренебречь в условиях
данной задачи.
Движение тел происходит в пространстве и
времени.
Следовательно, для описания движения
материальной точки надо знать, в каких
местах пространства эта точка находится в
различные моменты времени.
Положение материальной точки
определяется по отношению к какомулибо другому произвольно выбранному
телу.
Тело отсчета – условное неподвижное тело,
относительно которого определяется
положение движущегося тела.
Тело отсчета – реальный объект.
С телом отсчета связывают
систему координат – это абстракция
(декартова с.к., сферическая с.к.).
Приборы, служащие для определения
положения движущегося тела – линейка
и т.п.
Прибор, служащий для определения
времени – часы – любой периодический
процесс.
Если есть несколько тел и,
соответственно, несколько часов, то
необходимы приборы для
синхронизации часов.
Тело отсчета, связанная с ним система
координат, линейка, часы и приборы
для синхронизации часов составляют
пространственно-временную систему
отсчета.
Гелиоцентрическая СО – тело отсчета
Солнце.
Геоцентрическая СО – тела отсчета
Земля.
Положение материальной точки в
системе отсчета
Наиболее часто используется декартова
система отсчета.
y
j
x – ось абцисс
(абцисса),
y – ордината,
z – аппликата.
y
0
x
k
i
z
z
x
Положение материальной точки
характеризуется тремя координатами (x,y,z)
или радиус-вектором




r  xi  yj  zk ,

i,
y

j,
 единичные вектора
(орты).

 
i  j  k  1.
j
r x y z .
2
y
0
x
k
i
z
z

k
x
2
2
При движении материальной точки её
координата
с
течением
времени
изменяется.
Движение материальной точки
определяется скалярными уравнениями
x  xt ;
y  y t ;
z  z t ,
 
или векторным уравнением r  r t .
Эти уравнения называются
кинематическими уравнениями
движения материальной точки.
Траектория точки. Длина пути.
Вектор перемещения (перемещение).
y
r1
0
Принцип независимости движения
Число независимых
S
координат, полностью
определяющих положение
Δr
точки в пространстве,
r2
называется число
степеней свободы.
x

r t - радиус вектор.

Траектория – кривая, которую описывает
радиус вектор материальной точки при её движении.
В зависимости от формы траектории движение разделяется на
- прямолинейное, - криволинейное.
Расстояние,
отсчитанное
вдоль
траектории, (длина участка траектории)
называется
длиной
пути
S.
S t - скалярная функция.
Направленный отрезок прямой
(вектор), соединяющий
S
y
r
начальную и конечную точки
Δr
траектории называется
r
вектором перемещения
0
x (перемещением).

1
2
  
r  r2  r1;

r  S .
При прямолинейном движении

r  S
Если движение происходит в течение
бесконечно малого времени Δt → 0, то
по модулю путь равен перемещению

dS  dr .
Если материальная точка участвует в
нескольких перемещениях,
то результирующее перемещение равно
векторной сумме перемещений,
совершаемых материальной точкой в каждом
из движений в отдельности:


r   ri .
y
Δ r1



r  r1  r2
Δr
Δ r2
x
Скорость движения материальной точки.
Понятие о кривизне
Для характеристики движения материальной точки
вводится понятие скорости – векторная величина.
S1
Δ r1
v ср1
Δ r2
v ср2
Материальная точка
движется по
криволинейной
траектории.
За время Δt1 точка
проходит путь S1 и
получает приращение
Δr1 ,
За время Δt2 – Δr2 .
Вектор средней скорости – отношение
перемещения к промежутку времени

r1

vср1 
;
t1

vср 2

r2

;
t 2


 r
vср  v 
;
t


v  r .
Вектор средней скорости характеризует
изменение положения радиус-вектора.

t  0 
v стремится к
Если
предельному значению.
Мгновенная скорость материальной точки
– векторная величина, равная первой
производной радиус-вектора
движущейся точки повремени.

r dr

v  lim

t  0 t
dt
t  0


dr  dS , следовательно,
модуль мгновенной скорости равен
первой производной пути по времени:
dS

v v .
dt
В математике производной функции
y  f x 
в точке x0 называется предел отношения
изменения функции Δy в этой точке к
вызвавшему его изменению аргумента Δx
при произвольном стремлении Δx к нулю
dy
y
 y  x   y  x   lim
.
x  0 x
dx
Физический смысл производной:
это среднее значение изменения функции на
таком интервале, на котором среднее
значение функции не меняется.
Мгновенная скорость

 dr dx  dy  dz 
v
 i 
j  k.
dt dt
dt
dt
dx
dy
dz
 vx ;
 vy ;
 v z – проекции
dt
dt
dt вектора скорости

2
2
2
v  vx  v y  vz .
на оси координат.
Неравномерное движение
y
Средняя скорость неравномерного
S – скалярная
движения
v 
величина.
t
S
r1

S  r
Δr
r2
0
x

 v  v
Средняя скорость больше модуля
вектора средней скорости.

Вычисление пройденного пути.
Понятие об интеграле
v
ti  0.
2
1
vi – мгновенная
скорость.
S i  vi ti .
0
n
t1
Δ ti
t2
t
(1)
n
S   S i   vi  ti .
i 1
( 2)
i 1
n
t2
vt dt   vt dt.

t  0
S  lim
i 1
t1
(3)
2
1
v
0
t1
Δ ti
t2
t
Физический смысл интеграла –
бесконечно большая сумма бесконечно
малых слагаемых.
Геометрический смысл интеграла –
площадь под кривой, ограниченная двумя
перпендикулярами и осью абсцисс.
Средняя скорость прохождения пути
vср
S
 .
t
(4)
Средняя скорость неравномерного
движения – средняя скорость такого
равномерного движения, при котором
материальная точка за то же время
проходит тот же путь.
Ускорение
1
y
 

v  v2  v1.
v1
(1)
2
v2
Δv
Мгновенное ускорение
v2



v dv 

a  lim

 vt   v t .
t  0 t
dt


2
 dv d  dr  d r
a
    2 . (3)
dt dt  dt  dt
x
( 2)
Модуль среднего ускорения:
a
2
d S
dt
2
.
( 4)
Ускорение движения материальной точки это
первая производная от вектора скорости по
времени или вторая производная от радиусвектора по времени.
ax , a y , az




a  ax i  a y j  az k ,
– проекции вектора ускорения на координатные оси
dvx d 2 x
ax 
 2;
dt
dt
dv y d 2 y
ay 
 2 ;
dt
dt
dvz d 2 z
az 
 2.
dt
dt

a  a x2  a y2  a z2 .
Понятие о кривизне
v1
ΔS
1
v1
2
Δφ
Δφ
v2
Δφ - угол между
касательными в
точках, отстоящих друг
от друга на расстоянии
ΔS.
Кривизна
 d
C  lim

.
S  0 S
dS
Кривизна траектории характеризует
скорость поворота касательной при
движении или степень искривленности
кривой.
Радиус кривизны траектории в данной
точке есть величина обратная кривизне
1
R .
C
Радиус кривизны траектории в данной
точке есть радиус окружности, которая
сливается на бесконечно малом участке
в данном месте с кривой.
Нормальное и тангенсальное ускорения
при криволинейном движении
Δ vτ
Разложим вектор Δv на
две составляющие.
v1
Δ vn
v2
Δv
v2
  
v  v2  v1;



v  v  vn .
dv d R  d
dR
a


R 

dt
dt
dt
dt
2
v
 R  v  R   R  R   2 R  
R .
R

a
an
Нормальное и тангенсальное
ускорение

aτ
v
an
a
 dv 

a
 an  a .
(1)
dt

an нормальное ускорение
характеризует изменение
скорости по направлению.

Вектор an направлен в
данной точке
перпендикулярно
скорости к центру
кривизны траектории
(центростремительное
ускорение).

a –
тангенсальное ускорение характеризует
aτ
изменение скорости по
величине и направлено
вдоль скорости (или в обратную сторону).
dv
a  . (3)
dt
v
an
a

2
2
a  an  a .
(4)
Любое криволинейное движение можно
представить
как
суперпозицию
поступательного
и
вращательного
движений.
Основная задача механики
Состоит в нахождении закона движения –
кинематического уравнения.
Закон движения – зависимость
положения тела от времени в
выбранной системе отсчета.
 
r  r t .
x  xt ,
y  y t ,
z  z t .
(1)
(2)
Понятие об абсолютно твердым телом (АТТ).
Поступательное и вращательное движение
Абсолютно твердое тело – это модель,
тело расстояние между любыми двумя
точками которого в процессе движения
не меняется.
Поступательное движение – движение,
2
1
2
1
при котором любая
прямая проведенная
внутри тела,
перемещается
параллельно самой
себе.
При поступательном движении все точки тела за одно и
тоже время совершают одинаковые перемещения и в
один и тот же момент времени имеют одинаковые
скорости и ускорения.
Абсолютно твердое тело
• Поступательное движение АТТ можно
рассматривать, как движение
материальной точки.
Кинематические уравнения.
1. Равномерное
движение
материальной

точки
вдоль оси x.
a 0
xt   x0  v0 t ,
x0 – начальная координата.
Кинематические уравнения.
2. Равнопеременное движение.
2
at
x  x0  v0t 
,
2
v  v0  at.
Вращательное движение АТТ относительно
неподвижной оси – движение, при котором все
точки тела движутся по окружностям, центры
которых лежат на прямой, называемой осью
вращения.
Δφ
R
1
R
2
При вращательном движении
точек тел, находящихся на
разном расстоянии от оси
вращения, они за одно и то
же время совершают разные
перемещения и в один и тот
же момент времени имеют
разные v и a.
В то же время радиус-вектор, соединяющий
точки тела с осью вращения, за одно и то же
время поворачивается на один и тот же угол Δφ.
Δφ
R
1
R
2
• Угол поворота служит для
определения положения
тела и закон движения –
кинематическое уравнение
имеет вид
   t .
Вектор элементарного угла поворота.
Вектор угловой скорости и углового
перемещения.
Связь линейных и угловых характеристик
движения
R
dφ
ω

d
v
• Положение
материальной точки,
совершающей
вращательное движение,
определяется
 углом
поворота d .
– векторная величина (псевдовектор, аксиальный
вектор).

Модуль
равен углу поворота.
d
Направление определяется правилом правого
винта.
Угловая скорость
– векторная величина, равная первой
производной угла поворота по времени

 d


рад
  

,
(1 )
  d ,
.
dt
сек
Линейная скорость точки
S
R

v  lim
 lim
 R lim
 R.
t  0 t
t  0 t
t  0 t
В векторном виде
 
  
v  , R .
(2)
В векторном виде
 
  
v  , R .
(2)
Векторное произведение по
модулю равно
 
 

v    R sin  , R.
α
ω
R
v
Направление вектора v
совпадает с направлением
поступательного движения
правого винта при его
вращении от вектора ω к
R.
Угловое ускорение – векторная величина,
равная первой производной
угловой
скорости


2
 d d 
по времени

dt


dt
2
.
(3)

При ускоренном движении   ;
при замедленном движении


  .
ε
aτ
an
ω
d
0
dt
ω
ε
an
v
1
2
aτ
d
0
dt
v
ω
2
ω
1
Кинематическое уравнение
равномерного вращения   0
   0  t .
Частота вращения:
Период: T 
2

.
N
n ;
t
1
n .
T
Кинематическое уравнение
равнопеременного вращения
  0  t 
t
  const
2
2
.
Длина пути, пройденного точкой по дуге
радиуса R:
S    R;
Sокр  2R.
Скалярное и векторное произведение
векторов
● Скалярное произведение:
 
С  A  B cos ,
 
  A, B.
Пример: работа, совершаемая силой
A  FS cos .
● Векторное произведение:
  

 
C  A, B ,
C  A  B sin  .
 
C
B
α
A
Направление вектора С
определяется по правилу
правого винта:
1. С перпендикулярен
плоскости векторов А, В.
2. Направление вектора С
совпадает с направление
поступательного
движения правого винта
при его вращении от А к
В.
Другое правило: если наблюдать с конца вектора С, то кратчайший
поворот от А до совмещения с В – против часовой стрелки.