Задачи по гидростатике

Задачи по гидростатике
Давление в точке
p  p0   gh
Для несжимаемой жидкости давление в точке равно:
Где p0 - давление на поверхности жидкости; ρgh – давление столба жидкости высотой
h.
Различают абсолютное и избыточное давления. Абсолютное давление изменяется от нуля и
может быть сколь угодно большим. Избыточное или манометрическое давление показывает
превышение давление над атмосферным давлением
Поскольку давление может быть и меньше атмосферного, то недостаток давления до
атмосферного называют вакуумом или вакуумметрическим давлением.
0
1
1
0
Вакуум
Абсолютное давление
2
3
1
4
3
2
Избыточное давление
5
6 ата
4
5 ати
Задача 1
В U-образный сосуд налиты ртуть и вода. Линия раздела жидкостей расположена
ниже свободной поверхности ртути на hрт=8 см. Определить разность уровней h- в
обеих частях сосуда.
Дано
p1  p2
hрт=8 см
1 2
3
рт=13600 кг/м
hрт ρ___________________
h=?
hв  hрт
p2  p0   рт ghрт
ρв=1000кг/м3
hв
 рт
в
p1  p0  в ghв
p0  в ghв  p0   рт ghрт
Сократив на р0 и решая относительно hв, получим:
Искомая разность уровней равна
h  hрт
 рт
13600
 hрт  8
 8  100,8 см
в
1000
h  hв  hрт
Задача 2
Найти абсолютное и избыточное давление на свободной поверхности жидкости в
закрытом сосуде с бензином, если уровень жидкости в открытом пьезометре выше
уровня жидкости в резервуаре на h=2 м, а атмосферное давление pa=100 кПа.
Дано
pa
p0
h
В точках, лежащих на одной горизонтальной
плоскости, давление одинаково, откуда:
h=2 м
ρ=750 кг/м3
р
а=100
кПа
—————
р0=?
Абсолютное давление
p0  pa   gh  100000  750  9,81 2 
114700 Па
Избыточное давление
p0   gh  750  9,81 2  14700 Па
Задача 3
Определить разность давлений в резервуарах А и В, заполненных водой, если показание
дифференциального водортутного манометра h равно 100 мм
вода
A
B
a
р1  рА  в g  а  h 
hрт=100 мм=0,1 м
р2  рB  в gа   рт gh
ρв=1000 кг/м3
h
1
Дано
2
ртуть
ρрт=13600 кг/м3
___________________
р1  р2
Δр=?
рА  в g  а  h   рВ  в gа   рт gh
р А  рВ   рт gh  в gh  hg   рт  в 
р А  рВ  hg   рт  в   0,1 9,8113600  1000   12360 Па
Задача 4
К резервуару, заполненному газом давлением р0, присоединена трубка, опущенная в
сосуд с ртутью. Определить давление в резервуаре, если ртуть поднялась в трубке на
высоту h= 23 см.
pа  p0   рт gh
Дано
р0
h=23 см
ρрт=13600 кг/м3
рa
h
р
а=98,1
p0  pа   рт gh
кПа
—————
р0=?
р0  98100  13600  9,8  0, 23  67400 Па
Задачи на дом
Определить абсолютное и избыточное давление на дно сосуда, если глубина воды в
нем h=4 м, абсолютное давление на поверхности воды p0 =175 кПа, а атмосферное
давление рa=98,1 кПа.
К резервуару, заполненному газом давлением р0 (рис.1), присоединена трубка,
опущенная в сосуд с ртутью. Определить высоту h на которую ртуть поднялась в
трубке, если давление в резервуаре р0=32 кПа, а атмосферное давление равно рa=98,1
кПа.
pм
Пружинный манометр подключен к
р0
h1
рa
h
h
pд
Рис. 1
Рис. 2
сосуду глубина воды в котором h=1,5 м
(рис. 2). Центр манометра находится
выше уровня воды на высоте h1=0,75
м. Определить избыточное давление на
дно сосуда, если манометр показывает
рм=160 кПа.
Сила давления на плоские
поверхности
р0
F   p0   ghc  S
А
h
hd hc
F
ll
c
ld
с
А’
d
В

 g sin  I c
ld  lc 
 p0   glc sin   S
dS
с
d
S
h  l sin  ; hc  lc sin  ; hd  ld sin 
Для вертикальной стенки
Для открытых сосудов, р0=0
F   ghc S
Ic
ld  lc 
lc S
Ic
hd  hc 
hc S
Задача 5
Прямоугольный вертикальный щит шириной b = 4.0 м находится в пазах. Вес щита G =
4.9 кН, коэффициент трения щита в пазах f = 0.5. Определить усилие Т, необходимое для
подъема щита, если уровни воды составляют: Н = 3 м, h = 1 м.
F  F1  F2
Дано
b = 4,0 м
G = 4,9 кН
f = 0,5
H=3м
h=1м
————
Т=?
F   ghc S
h
hc 2  ; S 2  bh
2
2
bH
F1
F1   ghc1S1   g
F2
22
bh
F2   ghc 2 S2   g
2
b
b
2
2
F  g H  h
T  G  f  F  G  f  g  H 2  h2 
2
2
4 2 2
T  4900  0,5 1000  9,81   3  1   83380 Н
2


H
hc1  ; S1  bH
2
Задача 6
Круглое отверстие в вертикальной стенке резервуара, диаметром d = 40 см, перекрыто
плоским клапаном. Найти величину и точку приложения силы, прижимающей клапан
к стенке, если центр отверстия расположен ниже свободной поверхности воды на Н=
0.8 м.
Дано
d=40 см
Н=0,8 м
________
F=?, hd=?
F   ghc S
Ic
hd  hc 
hd
hc S 2
d
F
hc  H ; S  
4
d4
Ic 
64
2
d
0, 42
F   gH 
 1000  9,81 0,8  3,14 
 986 H
44
4
2
2
hd  H 
4 d
d
0, 4

H


0,8

 0.813 м
2
64H  d
16H
16  0,8
Задача 7
Определить натяжение троса T, удерживающего щит шириной b = 2 м при глубине
воды Н= 1.8 м, если угол наклона щита  = 60о . Весом щита пренебречь, точка
приложения троса расположена на высоте h =0,7 м выше поверхности воды
F   ghc S
h
ld
F
O
2 1,8
ld 
 1,386 м
3  0,866
hc 
H
bH
; S
2
sin 
bH 2
2 1,82
F  g
 1000  9,81
 36700 Н
2sin 
2  0,866
hc
H
bH 3
Ic
lc 

; Ic 
ld  lc 
3
sin

2sin

12sin

lc S
H
bH 3 2sin 2 
2H
ld 


3
2
2sin  12sin  bH
3sin 
T  H  h
 H

 F
 ld 
sin 
 sin 

 1,8
 0,866
 H
 sin 
T  F
 ld 
 36700  
 1,386 
 8804 Н
 sin 
 H h
 0,866
 1,8  0, 7
Сила давления на
криволинейные поверхности
F  Fг2  Fв2
Fг   ghc Sв
Fв   gW
Fв
H
H
Fв
Задача 8
Определить силу давления воды на 1 п м ширины вальцевого затвора
диаметром D = 1,5 м
F  Fг2  Fв2
Fг
Дано
b=1 м
D=1,5 м
_______
F=?
Fг   ghc Sв
bH 2
Fг   g
2
Fв
bH 2
11,52
Fг   g
 1000  9,81
 11040 H
2
2
 D2
3,14 1,52
Fв   gW   gb
 1000  9,811
 8662 Н
42
8
H
hc  ; S  bH
2
F  11040  8662,5  14033Н
2
2
  arctg (0, 785)  38,10
Fв 8662
tg 

 0, 785
Fг 11040
Задача 9
Определить силу давления воды на затвор, перекрывающий отверстие в канале
высотой a = 2 м, между двумя смежными камерами, если глубины воды h1 = 5 м, h2
= 2,5 м, ширина затвора b = 4 м, его относ d = 1 м
Дано
h1=5 м
h2= 2,5 м
a=2м
h1
d=1 м
h2
a
d
ρg(h1-h2)
b=4м
F=?
a

Fг1   g  h1   ba
2

a

Fг 2   g  h2   ba
2

Fг  Fг1  Fг2   gba  h1  h2   1000  9,81 4  2 5  2,5  196200 н
Fв   gW   gd  h1  h2  b  1000  9,8115  2,5 4  98100 н
F  Fг2  Fв2  1962002  981002  219400 н
Fв 98100
tg 

 0,5;   arctg  0,5   26,5
Fн 196200
Задача 10
Определить сколько бревен диаметром d = 20 см и длиной l = 10 м необходимо для
перевозки машины массой М = 7000 кг
F
Дано
d = 20 см l
=10 м
М
= 7000 кг ρд =
650 кг/м3 ρв
=1000кг/м3
n=?
Gм
Gп
F  Gм  Gп
Gм  gM
G1   д g
d2
l
4
d2
F1  в g
l
4
F  nF1; Gп  nG1
Gм
n

F1  G1
9,81 7000

 63, 69  64 шт
d2
3,14  0, 2210
g
l  в  д  9,81
1000  650 
4
4
gM
Задачи на дом
1. Прямоугольный щит шириной b = 5 м закреплен шарнирно
в точке О. (рис.1) Определить усилие T, необходимое для
подъема щита, если h = 4.0 м, Н = 1.9м, угол наклона щита к
горизонту - 600.
2. Найти величину и точку приложения силы гидростатического
давления на вертикальный щит шириной b=3,5 м, если вода с
одной стороны Н=2,4 м, с другой стороны h= 0,8м
3. Определить силу давления воды на криволинейную часть
резервуара, представляющую собой четверть кругового
цилиндра, радиусом R=1,4 м, протяженностью b= 3 м, если
глубина воды Н=5,0 м.
4. Прямоугольный понтон размером L*B*H = 5.5*2.5*2.2 м и
массой М =4200 кг находится в воде. Определить
грузоподъемность понтона при осадке h= 1.8 м.
Уравнение Бернулли
Для невязкой жидкости
Для вязкой жидкости
Пьезометрическая линия
Напорная линия
p v2
z

 const
 g 2g
p v2
z

 hc  const
 g 2g
p
z
g
p v2
z

 g 2g
Линия полного гидродинамического
напора
p v2
z

 hc
 g 2g
Задача 11
Построить для заданной схемы пьезометрическую и напорную линии для невязкой
жидкости
d1  d 2
v12
2g
H
p1
g
d1
Напорная линия
v1  v2
v22
2g
р2=0
d2
Пьезометрическая линия
v12 v22

2g 2g
Задача 12
Построить для заданной схемы пьезометрическую и напорную линии для невязкой
жидкости
d1  d 2
v12
2g
v22
2g
p1
g
d1
H
v1  v2
v12 v22

2g 2g
d2
Напорная линия
Пьезометрическая линия
p2
g
Задача 13
Построить для заданной схемы пьезометрическую и напорную линии для вязкой
жидкости
d1  d 2
hвх
v12
2g
p1
g
H
d1
hl1
hвн.с
hl2
v22
2g
d2
Пьезометрическая линия
Напорная линия
Линия полного гидродинамического напора
v1  v2
v12 v22

2g 2g
l v2
 v2
hl  
; I
d 2g
d 2g
I1  I 2
Задача 14
Построить для заданной схемы пьезометрическую и напорную линии для вязкой
жидкости
v12
2g
v22
2g
p1
g
d1
hвх h
l1
hвн.с
H
p2
g
d2
Пьезометрическая линия
Напорная линия
Линия полного гидродинамического напора
hl2
v12
2g
d1  d 2
v1  v2
v12 v22

2g 2g
l v2
 v2
hl  
; I
d 2g
d 2g
I1  I 2
Задание на дом
Придумать схемы движения жидкости (не менее 2-х участков) с истечением в
атмосферу и под уровень, и построить для них пьезометрические и напорные линии
для невязкой и вязкой жидкостей.