"Шар и сфера".

Тела вращения:
Сфера и Шар
Математический диктант
1. Напишите формулу площади боковой
поверхности цилиндра
2. Напишите 2 формулы площади боковой
поверхности конуса.
3. Напишите формулу площади полной поверхности
конуса
4. Напишите формулу площади боковой
поверхности усеченного конуса.
5. Осевое сечение конуса-правильный треугольник
со стороной 10см. Найдите площадь полной
повехности конуса.
6. Высота и радиус основания конуса равны 2см.
Через две образующие, угол между которыми
равен 30°, проведена секущая плоскость.
Найдите площадь сечения.
Сферой называется поверхность, состоящая
из всех точек пространства, расположенных
на данном расстоянии от данной точки.
Эта точка называется центром шара.
А данное расстояние радиусом шара.
Отрезок, соединяющий две точки сферы и
проходящий через ее центр, называется
диаметром.
Тело,ограниченное сферой, называется
шаром.
О
Уравнение сферы
МС  ( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2  ( z  z0 ) 2
МС  R
МС 2  R 2
( х  х0 )  ( у  у0 )  ( z  z0 )  R
2
2
R-радиус сферы
С(х0; у0; z0)-центр сферы
2
2
Составьте уравнение сферы радиуса R с
центром О, если:
О(2; 5; 3), R=2
(х-2)2+(у-5)2+(z-3)2=4
О(-2;-6; 7), R=1
(х+2)2+(у+6)2+(z-7)2=1
О(0; 0; 1), R=
5
х2+у2+(z-1)2=5
 ÀÂ ?
ÎÌ
А
В
М
О
Укажите координаты центра и радиус сферы:
(х-4)2+(у-8)2+(z-1)2=4
х2+у2+(z+9)2=1
(х+52)2+(у+8)2+z2=3
Взаимное расположение сферы и плоскости
М(х;у;z)
х2 +у2+(z-d)2=R2
z=0
х2 +у2 =R2 –d2
М
1 случай d<R
х2 +у2 =R2 –d2
R2 –d2>0
Если расстояние от центра сферы до
плоскости меньше радиуса сферы, то
сечение сферы плоскостью есть
окружность.
Сечение шара плоскостью
Сечение шара плоскостью,
проходящей через центр
шара называется большим
кругом.
А сечение сферы - большой
окружностью.
O
2 случай d=R
х2 +у2 =R2 –d2
R2 –d2=0
х2 +у2 =0
Если расстояние от центра сферы до
плоскости равно радиусу сферы, то сфера и
плоскость имеют только одну общую точку.
3 случай d>R
х2 +у2 =R2 –d2
R2 –d2<0
Если расстояние от центра сферы до
плоскости больше радиуса сферы, то сфера и
плоскость не имеют общих точек.
Расстояние от центра шара радиуса 7см
до секущей плоскости равно 3см.
Найдите площадь сечения.
S-?
о1
о
7см
А
Секущая плоскость проходит через конец
диаметра сферы, равного 8см так, что угол
между диаметром и плоскостью равен 30°.
Найдите длину окружности, получившейся в
сечении.
С-?
о1
В
о
8см
30°
А
Площадь сечения сферы, проходящего
через ее центр, равна 36м2.Найдите
площадь сферы.
о
S-?
Касательная плоскость к шару
Плоскость, имеющая со сферой только
одну общую точку, называется
касательной плоскостью к сфере, а их
общая точка называется точкой
касания плоскости и сферы.
Теорема. Радиус сферы, проведенный
в точку касания сферы и плоскости,
перпендикулярен к касательной
плоскости.
Теорема. Если радиус сферы
перпендикулярен к плоскости,
проходящей через его конец,
лежащей на сфере, то эта плоскость
является касательной к сфере.
А
О
Площадь сферы
Многогранник называется
описанным около сферы, если
сфера касается всех его
граней.
За площадь сферы примем
предел последовательности
площадей описанных около
сферы многогранников при
стремлении к нулю
наибольшего размера каждой
грани
S  4R
2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Математический диктант
Найдите координаты центра и радиус сферы,
заданной уравнением: (х-2)2+(у+3)2+z2=25
Напишите уравнение сферы радиуса R=7 с
центром А(2;0;-1)
Докажите, что данное уравнение является
уравнением сферы: х2+у2+z2+2х-2у=2.
Расстояние от центра шара радиуса 10см до
секущей плоскости равно 4см. Найдите
площадь сечения.
Секущая плоскость проходит через конец
диаметра сферы, равного 6см так, что угол
между диаметром и плоскостью равен 60°.
Найдите длину окружности, получившейся в
сечении.
Площадь сечения сферы, проходящего через
ее центр, равна 36м2.Найдите площадь
сферы.
Вписанные и описанные многогранники
Многогранник
называется
вписанным в шар,
если все его
вершины лежат на
поверхности шара.
Многогранник
называется
описанным около
шара, если все его
грани касаются
поверхности шара.
О
О
Шар, вписанный в цилиндр, конус
Шар, описанный около цилиндра, конуса
К задаче №630
O1
А1
B1
C1
А
O
C
B
К задаче №630
К
В
С
О
N
r
А
L
Д
Теорема: Касательная плоскость имеет с шаром только одну
общую точку- точку касания.
Дано: Шар с центром в точке О; а- плоскость, касательная к шару;
А- точка касания.
Доказать: точка касания плоскости с шаром единственная.
Доказательство.
Возьмем произвольную точку Х плоскости а, отличную то А. Так как
ОА- перпендикуляр, а ОХ- наклонная, то
ОХ>ОА = R
Следовательно, точка Х не принадлежит шару. Теорема доказана.
a
Х
А
О
Оглавление
Объем шара
Введем декартовы координаты, приняв центр
шара за начало координат. Плоскость ху
пересекает поверхность шара радиуса R по
окружности, которая задается уравнением
y
X2+Y2=R2
0
=>Полуокружность над осью х, задается
уравнением
-R
y  f ( x)   R 2  x 2 ,  R  x  R
R
Поэтому объем шара определяется по
формуле вычисления объема тел вращения:
R
3
R
x
4 3
V    ( R  x )dx   ( R x  )   R
3 _R 3
R
2
2
Объем шара равен:
2
4 3
V  R
3
Оглавление
x
Объем шарового сегмента
Шаровым сегментом называется часть шара ,
отсекаемая от него плоскостью.
O
Для вычисления объема шарового сектора
применяется формула вычисления объема
тел вращения :
x3
R3
( R  H )3
3
3
2
V    ( R  x )dx   ( R x  )    (( R 
)  (R  R H 
)) 
3
3
3
RH
RH
R
R
2
2
2
R3
( R  H )3
R3
R3
H3
3
2
2
2
2
  (R 
R R H 
)   (
R H 
 R H  RH 
)
3
3
3
3
3
3R  H
 H 2 (
)
3
3
Где R – радиус шара, а H – высота соответствующего шарового
сегмента.
Оглавление
Объем шарового сектора
Шаровым сектором называется тело, которое
получается из шарового сегмента и конуса
Если шаровой сегмент меньше полушара, то
шаровой сегмент дополняется конусом, у
которого вершина в центре шара , а основание
является основание сегмента. Если же сегмент
больше полушара то указанный конус из него
удаляется.
Для вычисления объема шарового сектора
применяется формула:
2 2
V  R H
3
O
Где R – радиус шара, а H – высота
соответствующего шарового сектора.
Оглавление
Задача
Чему равно отношение площади поверхности куба и вписанного в него
шара?
Решение:
1) Покажем диаметральное сечение шара.
O
Сторона куба равна двум радиусам шара
(a=2R) =>
Sш  4R 2
Sк  6a 2  6  4 R 2
2) Найдем отношение
Sк 6  4 R 2 6


2
Sш

4R
Отношение площади поверхности
куба к площади поверхности
6
вписанного в него шара равно

R
О
Оглавление