kursovaja_rab_2.01

Оглавление
Порядок выполнения работы .................... Error! Bookmark not defined.
Постановка задачи. ...................................................................................... 3
Методика решения ....................................................................................... 4
*Теории деформаций ................................................................................... 4
*Теория напряжений ................................................................................... 7
*Связь между деформациями и напряжениями ...................................... 8
Круговая диаграмма Мора. .................................................................... 10
Расчет напряженного состояния .............. Error! Bookmark not defined.
Расчет деформированного состояния. ..... Error! Bookmark not defined.
Список литературы. ................................................................................... 20
1
Порядок выполнения работы.
1. Ввести систему координат и построить кубический элемент, образованный
координатными площадками
2. Показать компоненты напряжений на гранях этого элемента
3. Записать тензор напряжений
4. Построить полную круговую диаграмму для заданного напряжённого
состояния
5. Нанести на диаграмму напряжений три точки, координаты которых равны
напряжениям на координатных площадках
6. Построить на отдельном рисунке кубический элемент, образованный
главными площадками, показать его ориентацию по отношению к
координатным осям.
7. Нанести на диаграмму напряжений точку с координатами Pnn, Pnt,
указанными в варианте. Показать сечение кубика, образованного главными
площадками, напряжения в котором равны координатам этой точки.
8. Построить поверхность напряжений.
9. Определить
направления,
характеризующиеся
экстремальными
значениями нормального напряжения
10.Определить
направления,
характеризующиеся
экстремальными
значениями скалывающего напряжения
11.Записать тензор деформаций.
12.Изобразить компоненты деформации графически на кубическом элементе,
образованном координатными площадками
13.Определить деформации на площадке с заданной в условии нормалью n.
14.Изобразить
деформации
графически
на
кубическом
элементе,
образованном координатными площадками
15.Построить поверхность деформаций.
16.Определить упругие параметры горной породы во всех используемых
системах
обозначений
(коэффициенты
Ламэ,
модуль
Юнга
и
коэффициенты Пуассона, модуль всестороннего сжатия и модуль сдвига,
скорости волн)
2
Постановка задачи
Исходные данные:
Для исследования напряжённо-деформированного состояния тела зададимся:
1)Площадкой с заданной нормалью𝜈с l=0,5961 , m=−0,6161 , n= 0,5134.
𝜈 = {0,5961; −0,6161; 0,5134}
2)Напряжениями на площадке с заданной нормалью
кг
кг
кг
𝑃1 = 1700 2 𝑃2 = 1750 2 𝑃3 = 1250 2
м
м
м
3)Плотностью и скоростями продольных и поперечных волн свойственных
граниту:
м
м
кг
𝑣𝑝 = 5500 𝑣𝑠 = 3000 𝜌 = 2600 3
с
с
м
4) Направляющими косинусами главных напряжений
x
y
z
x`
0,3344
0,6934
0,6383
y`
-0,8859
0
0,4641
z`
0,3218
-0,7207
0,6143
3
Методика решения.
Теории деформаций.
Теория деформаций изучает кинематику упругих процессов в идеально упругой
однородной среде. В ней исследуются упругие деформации, которые возникают
в среде при распространении в ней сейсмической волны.
Деформации бесконечно малых отрезков:
 Растяжение, сжатие (удлинения)
 Поворот
 Поворот + удлинения
Вектор относительного смещения в проекциях на оси координат:
𝛥𝑢𝑥 =
𝛥𝑢𝑦 =
𝛥𝑢𝑧 =
𝑢𝑥
𝑢𝑥
𝑢𝑥
𝑑𝑥 +
𝑑𝑦 +
𝑑𝑧
𝑥
𝑦
𝑧
𝑢𝑦
𝑥
𝑑𝑥 +
𝑢𝑦
𝑦
𝑑𝑦 +
𝑢𝑦
𝑧
𝑑𝑧
𝑢𝑧
𝑢𝑧
𝑢𝑧
𝑑𝑥 +
𝑑𝑦 +
𝑑𝑧
𝑥
𝑦
𝑧
Компоненты малой деформации:
 Относительные удлинения:
Относительные удлинения – одноименные производные компонент вектора
относительного смещения вдоль координатных осей OX, OY, OZ.
𝑒𝑥𝑥 =
𝛥𝑢𝑥
=
𝑑𝑥
𝑢𝑥
𝑥
𝑒𝑦𝑦 =
𝛥𝑢𝑦
=
𝑑𝑦
𝑢𝑦
𝑒𝑧𝑧 =
𝛥𝑢𝑧
=
𝑑𝑧
𝑢𝑧
𝑧
4
𝑦
 Сдвиговые деформации:
1
1
𝑢𝑦
2
2
𝑥
𝑒𝑥𝑦 = (𝛼 + 𝛽) = (
1
𝑢𝑧
2
𝑦
1
𝑢𝑧
2
𝑥
𝑒𝑦𝑧 = (
𝑒𝑧𝑥 = (
+
+
𝑢𝑦
𝑧
𝑢𝑥
𝑧
+
𝑢𝑥
𝑦
) - сдвиг в плоскости XOY
) - сдвиг в плоскости YOZ
) - сдвиг в плоскости ZOX
 Вращательная деформация:
1
1
𝜔𝑧 = (𝛼 − 𝛽) = (
2
2
1
𝜔𝑦 = (
2
1
𝜔𝑥 = (
2
𝑢𝑥
𝑧
𝑢𝑧
𝑦
−
−
𝑢𝑧
𝑥
𝑥
−
𝑢𝑥
𝑦
) –вращение XOY относительно Z
)–вращение YOZ относительно X
𝑢𝑦
𝑧
𝑢𝑦
)–вращение ZOX относительно Y
 Разложение малой деформации на удлинения, сдвиги и вращения:
𝛥𝑢𝑥 = 𝑒𝑥𝑥 𝑑𝑥 + 𝑒𝑥𝑦 𝑑𝑦 + 𝑒𝑥𝑧 𝑑𝑧 + 𝜔𝑦 𝑑𝑧 − 𝜔𝑧 𝑑𝑦
𝛥𝑢𝑦 = 𝑒𝑦𝑥 𝑑𝑥 + 𝑒𝑦𝑦 𝑑𝑦 + 𝑒𝑦𝑧 𝑑𝑧 + 𝜔𝑧 𝑑𝑥 − 𝜔𝑥 𝑑𝑧
𝛥𝑢𝑧 = 𝑒𝑧𝑥 𝑑𝑥 + 𝑒𝑧𝑦 𝑑𝑦 + 𝑒𝑧𝑧 𝑑𝑧 + 𝜔𝑥 𝑑𝑦 − 𝜔𝑦 𝑑𝑥
𝑢𝑥 = 𝑒𝑥𝑥 𝑥 + 𝑒𝑥𝑦 𝑦 + 𝑒𝑥𝑧 𝑧 + 𝜔𝑦 𝑧 − 𝜔𝑧 𝑦
𝑢𝑦 = 𝑒𝑦𝑥 𝑥 + 𝑒𝑦𝑦 𝑦 + 𝑒𝑦𝑧 𝑧 + 𝜔𝑧 𝑥 − 𝜔𝑥 𝑧
𝑢𝑧 = 𝑒𝑧𝑥 𝑥 + 𝑒𝑧𝑦 𝑦 + 𝑒𝑧𝑧 𝑧 + 𝜔𝑥 𝑦 − 𝜔𝑦 𝑥
Тензор чистой деформации
P(primary)
5
матрица поворота
S(secondary)
Преобразование компонент тензора чистой деформации к новой системе
координат:
 Формула преобразований для удлинений:
𝑒𝑖𝑗 = 𝑒𝑥𝑥 𝑙𝑖2 + 𝑒𝑦𝑦 𝑚𝑖2 + 𝑒𝑧𝑧 𝑛𝑖2 + 2𝑒𝑥𝑦 𝑙𝑖 𝑚𝑖 + 2𝑒𝑦𝑧 𝑚𝑖 𝑛𝑖 + 2𝑒𝑧𝑥 𝑙𝑖 𝑛𝑖
𝑒𝑥′𝑥′ = 𝑒𝑖𝑗 , где i=j=1
𝑒𝑦′𝑦′ = 𝑒𝑖𝑗 ,где i=j=2
𝑒𝑧′𝑧′ = 𝑒𝑖𝑗 , где i=j=3
 Формула преобразований для сдвигов:
𝑒𝑖𝑗 = 𝑒𝑥𝑥 𝑙𝑖 𝑙𝑗 + 𝑒𝑦𝑦 𝑚𝑖 𝑚𝑗 + 𝑒𝑧𝑧 𝑛𝑖 𝑛𝑗 + 𝑒𝑥𝑦 (𝑙𝑖 𝑚𝑗 + 𝑙𝑗 𝑚𝑖 ) + 𝑒𝑦𝑧 (𝑚𝑖 𝑛𝑗 + 𝑚𝑗 𝑛𝑖 )
+ 𝑒𝑧𝑥 (𝑛𝑖 𝑙𝑗 + 𝑛𝑗 𝑙𝑖 )
𝑒𝑥′𝑦′ = 𝑒𝑖𝑗 , где i=1,j=2
𝑒𝑦′𝑧′ = 𝑒𝑖𝑗 ,гдеi=2,j=3
𝑒𝑧′𝑥′ = 𝑒𝑖𝑗 , гдеi=3,j=1
Уравнение поверхности деформаций:
𝑘 2 = 𝑒𝑥𝑥 𝑥 2 + 𝑒𝑦𝑦 𝑦 2 + 𝑒𝑧𝑧 𝑧 2 + 2𝑒𝑥𝑦 𝑥𝑦 + 2𝑒𝑥𝑧 𝑥𝑧 + 2𝑒𝑦𝑧 𝑧𝑦
Уравнение поверхности деформаций в главных удлинениях:
𝑘𝑝 2 = 𝑒1 𝑥𝑝 2 + 𝑒2 𝑦𝑝 2 + 𝑒3 𝑧𝑝 2
Где 𝑥𝑝 , 𝑦𝑝 , 𝑧𝑝 -главные оси (principal)
𝑒1 = 𝑒𝑥𝑝𝑥𝑝
𝑒2= 𝑒𝑦𝑝𝑦𝑝
𝑒3 = 𝑒𝑧𝑝𝑧𝑝
6
Теория напряжений.
Теория напряжений описывает динамику упругих процессов и исследует те
силы, которые возникают в упругой среде в ответ на внешнее силовое
воздействие на нее.
Напряжение – внутреннее давление среды, возникающее как реакция на внешнее
воздействие.
⃗
⃗⃗⃗
𝑃𝜈 = 𝑃𝜈𝑥 𝑖 + 𝑃𝜈𝑦 𝑗 + 𝑃𝜈𝑧 𝑘
Компоненты напряжений на площадке с заданной нормалью в проекциях на оси
координат:
𝑃𝜈𝑥 = 𝑃𝑥𝑥 𝑙 + 𝑃𝑦𝑥 𝑚 + 𝑃𝑧𝑥 𝑛
𝑃𝜈𝑦 = 𝑃𝑥𝑦 𝑙 + 𝑃𝑦𝑦 𝑚 + 𝑃𝑧𝑦 𝑛
𝑃𝜈𝑧 = 𝑃𝑥𝑧 𝑙 + 𝑃𝑦𝑧 𝑚 + 𝑃𝑧𝑧 𝑛
В главной системе координат:
𝑃𝜈𝑥 = 𝑃1 𝑙
{𝑃𝜈𝑦 = 𝑃2 𝑚
𝑃𝜈𝑧 = 𝑃3 𝑛
Где P1, P2, P3 – главные компоненты напряжений, l, m, n – направляющие
косинусы нормали.
Нормальное напряжение на площадке с заданной нормалью:
𝑃𝜈𝜈 = 𝑃𝜈𝑥 𝑙 + 𝑃𝜈𝑦 𝑚 + 𝑃𝑣𝑧 𝑛
Полное напряжение на площадке с заданной нормалью:
2 + 𝑃 2 + 𝑃 2 = √𝑃 2 + 𝑃 2
𝑃𝜈 = √𝑃𝜈𝑥
𝜈𝑦
𝜈𝑧
𝑣𝑣
𝜈𝜏
Касательное напряжение на площадке с заданной нормалью:
2
𝑃𝜈𝜏 = √𝑃𝜈2 − 𝑃𝜈𝜈
Тензор напряжения на любой площадке с нормалью ν однозначно определяется 3
⃗⃗⃗𝑥 ,𝑃
⃗⃗⃗𝑦 ,𝑃
⃗⃗⃗𝑧 или 9
векторами напряжения (тензорами на координатных площадках)𝑃
скалярами - компонентами тензора напряжения
𝑃𝑥𝑥 , 𝑃𝑦𝑦 , 𝑃𝑧𝑧 , 𝑃𝑥𝑧 , 𝑃𝑧𝑥 , 𝑃𝑥𝑦 , 𝑃𝑦𝑥 , 𝑃𝑦𝑧 , 𝑃𝑧𝑦
7
Pxx
T   Pxy
 Pxz

Pyx
Pyy
Pyz
Pzx 

Pzy 
Pzz 
В матричной форме можно записать:
𝑃𝑥𝑥
𝑃𝜈𝑥
(𝑃𝜈𝑦 ) = (𝑃𝑥𝑦
𝑃𝜈𝑧
𝑃𝑥𝑧
𝑃𝑦𝑥
𝑃𝑦𝑦
𝑃𝑦𝑧
𝑃𝑧𝑥
𝑙
𝑃𝑧𝑦 ) . (𝑚)
𝑃𝑧𝑧
𝑛
Преобразование компонент тензора напряжения к новым осям координат:
 Для нормальной компоненты:
𝑃𝑖𝑗 = 𝑃𝑥𝑥 𝑙𝑖2 + 𝑃𝑦𝑦 𝑚𝑖2 + 𝑃𝑧𝑧 𝑛𝑖2 + 2𝑃𝑥𝑦 𝑙𝑖 𝑚𝑖 + 2𝑃𝑦𝑧 𝑚𝑖 𝑛𝑖 + 2𝑃𝑥𝑦 𝑙𝑖 𝑚𝑖
𝑃𝑥′𝑥′ = 𝑃𝑖𝑗 , где i=j=1
𝑃𝑦′𝑦′ = 𝑃𝑖𝑗 ,где i=j=2
𝑃𝑧′𝑧′ = 𝑃𝑖𝑗 , где i=j=3
 Для касательной компоненты:
𝑃𝑖𝑗 = 𝑃𝑥𝑥 𝑙𝑖 𝑙𝑗 + 𝑃𝑦𝑦 𝑚𝑖 𝑚𝑗 + 𝑃𝑧𝑧 𝑛𝑖 𝑛𝑗 + 𝑃𝑥𝑦 (𝑙𝑖 𝑚𝑗 + 𝑚𝑗 𝑙𝑗 ) + 𝑃𝑦𝑧 (𝑚𝑖 𝑛𝑗 + 𝑚𝑗 𝑛𝑖 )
+ 𝑃𝑧𝑥 (𝑙𝑖 𝑛𝑗 + 𝑛𝑖 𝑙𝑗 )
𝑃𝑥′𝑦′ = 𝑃𝑖𝑗 , где i=1, j=2
𝑃𝑦′𝑧′ = 𝑃𝑖𝑗 , где i=2, j=3
𝑃𝑧′𝑥′ = 𝑃𝑖𝑗 , где i=3, j=1
Уравнение поверхности напряжения:
𝑘 2 = 𝑃𝑥𝑥 𝑥 2 + 𝑃𝑦𝑦 𝑦 2 + 𝑃𝑧𝑧 𝑧 2 + 2𝑃𝑥𝑦 𝑥𝑦 + 2𝑃𝑥𝑧 𝑥𝑧 + 2𝑃𝑦𝑧 𝑧𝑦
В главной системе координат уравнение примет вид:
𝑘 2 = 𝑃1 𝑥 2 + 𝑃2 𝑦 2 + 𝑃3 𝑧 2
8
Связь между деформациями и напряжениями.
Закон Гука устанавливает связь между деформированным и напряженным
состоянием тела, следующим образом:
 В главной системе координат:
1+𝜎
𝜎
𝑃1 − 𝑆
𝐸
𝐸
1+𝜎
𝜎
𝑒2 =
𝑃2 − 𝑆
𝐸
𝐸
1+𝜎
𝜎
𝑒2 =
𝑃2 − 𝑆
𝐸
𝐸
𝑒1 =
где Е – модуль Юнга, σ – коэффициент Пуассона, 𝑆 = 𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3
 В произвольной системе координат:
𝑃𝑥𝑥 = 𝜆𝜃 + 2𝜇𝑒𝑥𝑥
𝑃𝑦𝑦 = 𝜆𝜃 + 2𝜇𝑒𝑦𝑦
𝑃𝑧𝑧 = 𝜆𝜃 + 2𝜇𝑒𝑧𝑧
𝑃𝑥𝑦 = 2𝜇𝑒𝑥𝑦
𝑃𝑦𝑧 = 2𝜇𝑒𝑦𝑧
𝑃𝑥𝑧 = 2𝜇𝑒𝑥𝑧
где λ,μ – коэффициенты Ламэ, 𝜃 = 𝑒𝑥𝑥 + 𝑒𝑥𝑦 + 𝑒𝑧𝑧
Связи между различными параметрами упругой среды:
λ, μ
λ
λ
μ
μ
σ, E
σ
𝜆
2 ∗ (𝜇 + 𝜆)
σ
E
𝜇 ∗ (3 ∗ 𝜆 + 2 ∗ 𝜇)
𝜆+𝜇
E
vp
vs
K, μ
𝜎∗𝐸
(1 + 𝜎) ∗ (1 − 2 ∗ 𝜎)
𝐸
2 ∗ (1 + 𝜎)
vp, vs
3∗𝑘−2∗𝜇
3
3∗𝑘−2∗λ
3
3∗𝑘−2∗𝜇
6∗𝑘+2∗𝜇
𝜌 ∗ (𝑣𝑝2 − 2 ∗ 𝑣𝑠2 )
9∗𝜇∗𝑘
3∗𝑘+𝜇
𝜌 ∗ 𝑣𝑠2 (3 ∗ 𝑣𝑝2 − 4 ∗ 𝑣𝑠2 )
2 ∗ (𝑣𝑝2 − 𝑣𝑠2 )
vp
𝜆+2∗𝜇
√
𝜌
𝐸 ∗ (1 − 𝜎)
√
𝜌 ∗ (1 + 𝜎) ∗ (1 − 2 ∗ 𝜎)
𝑘 + 4⁄3 ∗ 𝜇
√
𝜌
𝜇
√
𝜌
𝐸
√
2 ∗ 𝜌 ∗ (1 + 𝜎)
𝜇
√
𝜌
9
𝜌 ∗ 𝑣𝑠2
𝑣𝑝2 − 2 ∗ 𝑣𝑠2
2 ∗ (𝑣𝑝2 − 𝑣𝑠2 )
vs
Модуль всестороннего сжатия: 𝑘 =
Модуль сдвига: 𝐺 =
3∗𝜆+2∗𝜇
3
𝐸
2(1+𝜎)
Круговая диаграмма Мора.
Круг Мора — это круговая диаграмма, дающая наглядное представление о
напряжениях в различных сечениях, проходящих через данную точку. Строится
в прямоугольных координатах, по оси абсцисс откладываются нормальные
напряжения, по оси ординат тангенциальные.
Рассмотрим объемное напряженное состояние:
 напряжения в любой площадке при известных главных напряжениях 𝑃1 ,
𝑃2 , 𝑃3 :
𝑃𝜈𝜈 (𝑙𝑖 , 𝑚𝑖 , 𝑛𝑖 ) = 𝑃1 𝑙𝑖2 + 𝑃2 𝑚𝑖2 + 𝑃3 𝑛𝑖2
𝑃𝜈𝜏 (𝑙𝑖 , 𝑚𝑖 , 𝑛𝑖 ) = √𝑃12 𝑙𝑖2 + 𝑃22 𝑚𝑖2 + 𝑃32 𝑛𝑖2 − 𝑃𝜈𝜈 (𝑙𝑖 , 𝑚𝑖 , 𝑛𝑖 )
Где 𝑙𝑖 , 𝑚𝑖 , 𝑛𝑖 - направляющие косинусы нормали к произвольной площадке.
 Круговая диаграмма для объемного напряженного состояния:
 Pντ
13 =max
12
23
0

Pνv
P33
P2
2
1
P1
Точки, являющиеся вершинами кругов, соответствуют диагональным
площадкам, наклоненным под 45о к главным напряжениям. Главные касательные
напряжения:
𝑃13 =
𝑃1 − 𝑃3
2
𝑃12 =
𝑃1 − 𝑃2
2
𝑃23 =
𝑃2 − 𝑃3
2
10
Плоское напряженное состояние — частный случай объемного и тоже может
быть представлено тремя кругами Мора, при этом одно из главных напряжений
должно быть равно 0. Для касательных напряжений так же, как и при плоском
напряженном состоянии, действует закон парности: составляющие касательных
напряжений по взаимно перпендикулярным площадкам, перпендикулярные к
линии пересечения этих площадок, равны по величине и обратны по
направлению.
Расчет напряженного состояния.
По формулам для перехода к новой системе координат, при известных главных
напряжениях, найдем компоненты тензора напряжений:
x
y
z
x`
0,3344
0,6934
0,6383
y`
-0,8859
0
0,4641
z`
0,3218
-0,7207
0,6143
𝑃𝑥 ′ 𝑥 ′ = 𝑃1 𝑙1 2 + 𝑃2 𝑚1 2 + 𝑃3 𝑛1 2 =
= 1700 ∙ 0,33442 + 1750 ∙ 0,69342 + 1250 ∙ 0,63832 = 1540,79
𝑃𝑦 ′ 𝑦 ′ = 𝑃1 𝑙2 2 + 𝑃2 𝑚2 2 + 𝑃3 𝑛2 2 =
= 1700 ∙ (−0,8859)2 + 1250 ∙ 0,46412 = 1603,42
кг
м2
𝑃𝑧 ′ 𝑧 ′ = 𝑃1 𝑙3 2 + 𝑃2 𝑚3 2 + 𝑃3 𝑛3 2 =
= 1700 ∙ (0,3218)2 + 1750 ∙ (−0,7207)2 + 1250 ∙ 0,61432
кг
= 1556,71 2
м
𝑃𝑥 ′ 𝑦 ′ = 𝑃1 𝑙1 𝑙2 + 𝑃2 𝑚1 𝑚2 + 𝑃3 𝑛1 𝑛2 =
= 1700 ∙ 0,3344 ∙ (−0,8859) + 1250 ∙ 0,6383 ∙ 0,4641
кг
= −133,32 2
м
11
кг
м2
𝑃𝑥 ′ 𝑧 ′ = 𝑃1 𝑙1 𝑙3 + 𝑃2 𝑚1 𝑚3 + 𝑃3 𝑛1 𝑛3 =
= 1700 ∙ 0,3344 ∙ (0,3218) + 1750 ∙ 0,6934 ∙ (−0,7207) + 1250 ∙
кг
∙ 0,6383 ∙ 0,6143 = −201,46 2
м
𝑃𝑦 ′ 𝑧 ′ = 𝑃1 𝑙2 𝑙3 + 𝑃2 𝑚2 𝑚3 + 𝑃3 𝑛2 𝑛3 =
= 1700 ∙ (−0,8859) ∙ 0,3218 + 1250 ∙ 0,4641 ∙ 0,6143
кг
= −128,27 2
м
 Тензор напряжений:
1540,79
[𝑇𝜎 ] = [−133,32
−201,46
−133,32
1603,42
−128,27
−201,46
−128,27 ]
1556,71
 Полная круговая диаграмма напряженного состояния:
12
 Кубический элемент, образованный координатными площадками:
 Кубический элемент, образованный главными площадками:
13
Поверхность напряжений :
𝑘 2 = 𝑃1 𝑥 2 + 𝑃2 𝑦 2 + 𝑃3 𝑧 2
4,7452 ∙ 1020 = 1700 ∙ 𝑥 2 + 1750 ∙ 𝑦 2 + 1250 ∙ 𝑧 2
 коэффициенты Ламэ:
λ = 𝜌(𝑣𝑝2 − 2𝑣𝑠2 ) = 2600 ∙ (55002 − 2 ∙ 30002 ) = 3,185 ∙ 1010
μ = 𝜌𝑣𝑠2 = 2600 ∙ 30002 = 2,34 ∙ 1010
 модуль всестороннего сжатия:
k=
3 λ+2 μ
3
=
(3∙3,185+2∙2,34)∙1010
3
= 4,745 ∙ 1010
 Главные касательные напряжения:
𝑃13 =
𝑃1 −𝑃3
𝑃12 =
𝑃23 =
2
=
𝑃1 −𝑃2
2
𝑃2 −𝑃3
2
=
=
1700−1250
2
1700−1750
2
1750−1250
2
14
=225
кг
м2
= -25
кг
м2
= 250
кг
м2
 Напряжения на площадке с нормалью:
𝜈 = {0,5961; −0,6161; 0,5134}
Компоненты:
1540,79
[𝑇𝜎 ] = [−133,32
−201,46
−133,32
1603,42
−128,27
−201,46
−128,27 ]
1556,71
𝑃𝜈𝑥 = 𝑃𝑥𝑥 ∙ 𝑙 + 𝑃𝑦𝑥 ∙ 𝑚 + 𝑃𝑧𝑥 ∙ 𝑛 = 1540,79 ∙ 0,5961 − 133,32 ∙ (−0,6161) − 201,46 ∙ 0,5134 = 897,08
𝑃𝜈𝑦 = 𝑃𝑥𝑦 ∙ 𝑙 + 𝑃𝑦𝑦 ∙ 𝑚 + 𝑃𝑧𝑦 ∙ 𝑛 = −133,32 ∙ 0,5961 + 1603,42 ∙ (−0,6161) − 128,27 ∙ 0,5134 = −1133,19
𝑃𝜈𝑧 = 𝑃𝑥𝑧 ∙ 𝑙 + 𝑃𝑦𝑧 ∙ 𝑚 + 𝑃𝑧𝑧 ∙ 𝑛 = −201,46 ∙ 0,5961 + 128,27 ∙ 0,6161 + 1556,71 ∙ 0,5134 = 758,15
{
кг
𝑃𝜈𝑥 = 897,08 2
м
кг
𝑃𝜈𝑦 = −1133,19 2
↔
м
кг
{ 𝑃𝜈𝑧 = 758,15 м2
Нормальное напряжение :
Pνν = Pνx l + Pνy m + Pνz n = 897,08 ∙ 0,5961 − 1133,19 ∙ (−0,6161) + 758,15 ∙ 0,5134 =
кг
=1622,14 м2
Полное напряжение:
1632,07
2 + P 2 + P 2 = √897,082 + 1133,192 + 758,152 =
Pν = √Pνx
νy
νz
кг
м2
Касательное напряжение :
кг
Pντ = √Pν2 − Pνν2 = √1632,072 − 1622,142 = 181,02 2
м
15
Сечение кубического элемента среды площадкой с нормалью𝜈:
z
𝑃𝜈𝜈
𝑃𝜈𝜏
y
x
Расчет деформированного состояния.
 Определим по известным скоростям продольных и поперечных волн
модуль Юнга и коэффициент Пуассона:
𝐸=
𝜇(3𝜆 + 2𝜇)
𝜆+𝜇
𝜎=
2,34 ∙ 1010 ∙ (3 ∙ 3,185 ∙ 1010 + 2 ∙ 2,34 ∙ 1010 )
=
= 6,02 ∙ 1010 Па
3,185 ∙ 1010 + 2,34 ∙ 1010
𝑣𝑝2 −2𝑣𝑠2
2(𝑣𝑝2 −𝑣𝑠2 )
=
55002 −2∙ 30002
2∙(55002 −30002 )
= 0,28
 Тогда главные удлинения, по закону Гука для главной системы координат,
равны:
𝑒1 =
1+𝜎
𝜎
1 + 0,28
0,28
𝑃1 − (𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3 ) =
∙ 1700 −
∙ (1700 + 1750 + 1250)
10
𝐸
𝐸
6,02 ∙ 10
6,02 ∙ 1010
= 1,42 ∙ 10−8
16
𝑒2 =
1+𝜎
𝑒3 =
𝐸
𝜎
1+0,28
0,28
𝑃2 − 𝐸 (𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3 ) = 6,02∙1010 ∙ 1750 − 6,02∙1010 ∙ (1700 + 1750 + 1250) =1,53∙ 10−8
1+𝜎
𝜎
1 + 0,28
0,28
𝑃3 − (𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3 ) =
∙ 1750 −
∙ (1700 + 1750 + 1250)
10
𝐸
𝐸
6,02 ∙ 10
6,02 ∙ 1010
= 0,47 ∙ 10−8
 По
формулам
для
преобразования
системы
координат,
получим
следующий тензор деформаций:
x
y
z
x`
0,3344
0,6934
0,6383
y`
-0,8859
0
0,4641
z`
0,3218
-0,7207
0,6143
𝑒𝑥′𝑥′ = 𝑒1 𝑙1 2 + 𝑒2 𝑚1 2 + 𝑒3 𝑛1 2 =
= (1,42 ∙ 0,33442 + 1,53 ∙ 0,69342 + 0,47 ∙ 0,63832 ) ∙ 10−8
= 1,08 ∙ 10−8
𝑒𝑦′𝑦′ = 𝑒1 𝑙2 2 + 𝑒2 𝑚2 2 + 𝑒3 𝑛2 2 = (1,42 ∙ (−0,8859)2 + 0,47 ∙ 0,46412 ) ∙ 10−8
= 1,21 ∙ 10−8
𝑒𝑧′𝑧′ = 𝑒1 𝑙3 2 + 𝑒2 𝑚3 2 + 𝑒3 𝑛3 2 =
= (1,42 ∙ 0,32182 + 1,53 ∙ (−0,7207)2 + 0,47 ∙ 0,61432 ) ∙ 10−8
= 1,12 ∙ 10−8
𝑒𝑥′𝑦′ = 𝑒1 𝑙1 𝑙2 + 𝑒2 𝑚1 𝑚2 + 𝑒3 𝑛1 𝑛2 =
= (1,42 ∙ 0,3344 ∙ (−0,8859) + 0,47 ∙ 0,6383 ∙ 0,4641) ∙ 10−8
= −0,28 ∙ 10−8
𝑒𝑥′𝑧′ = 𝑒1 𝑙1 𝑙3 + 𝑒2 𝑚1 𝑚3 + 𝑒3 𝑛1 𝑛3 =
= (1,42 ∙ 0,3344 ∙ 0,3218 + 1,53 ∙ 0,6934 ∙ (−0,7207) + 0,47 ∙ 0,6383
∙ 0,6143) ∙ 10−8 = −0,42 ∙ 10−8
𝑒𝑦′𝑧′ = 𝑒1 𝑙2 𝑙3 + 𝑒2 𝑚2 𝑚3 + 𝑒3 𝑛2 𝑛3
= (1,42 ∙ (−0,8859) ∙ 0,3218 + 0,47 ∙ 0,6143 ∙ 0,4641)10−8
= −0,27 ∙ 10−8
1,08 ∙ 10−8
[𝑇𝜎 ] = [−0,28 ∙ 10−8
−0,42 ∙ 10−8
−0,28 ∙ 10−8
1,21 ∙ 10−8
−0,27 ∙ 10−8
17
−0,42 ∙ 10−8
−0,27 ∙ 10−8 ]
1,12 ∙ 10−8
 Поверхность деформаций в главной системе координат
𝑒1 ∗ 𝑥 2 + 𝑒2 ∗ 𝑦 2 + 𝑒3 ∗ 𝑧 2 = 𝑘 2
4,7452 ∙ 1020 = 1,42 ∙ 10−8 ∙ 𝑥 2 + 1,53 ∙ 10−8 ∙ 𝑦 2 + 0,47 ∙ 10−8 ∙ 𝑧 2
 Для площадки с нормалью ν по формуле для удлинения в произвольном
направлении:
𝑒𝜈𝜈 = 𝑒𝜈𝑥 𝑙 + 𝑒𝜈𝑦 𝑚 + 𝑒𝜈𝑧 𝑛 = 𝑒1 𝑙 2 + 𝑒2 𝑚2 + 𝑒3 𝑛2 =
= (1,42 ∙ 0,59612 + 1,53 ∙ 0,61612 + 0,47 ∙ 0, 51342 ) ∙ 10−8
= 1,21 ∙ 10−8
Сдвиги между направлением нормали и координатными осями:
𝑒𝜈𝑥 = 𝑒1 𝑙 = 1,42 ∙ 0,5961 ∙ 10−8 = 0,84 ∙ 10−8
𝑒𝜈𝑦 = 𝑒2 𝑚 = −3,07 ∙ 0,6161 ∙ 10−8 = −0,98 ∙ 10−8
𝑒𝜈𝑧 = 𝑒3 𝑛 = 0,94 ∙ 0,5134 ∙ 10−8 = 0,24 ∙ 10−8
 Упругие параметры горной породы:
 модуль Юнга: 𝐸 = 6,02 ∙ 1010 Па
18
 коэффициент Пуассона: 𝜎 = 0,28
Н
Н
 коэффициенты Ламэ:𝜆 = 3,185 ∙ 1010 2 ; 𝜇 = 2,34 ∙ 1010 2
м
м
 модуль всестороннего сжатия:𝑘 = 4,745 ∙ 1010 Па
 модуль сдвига: 𝐺 =
𝐸
2(1+𝜎)
=
6,02∙1010
2(1+0,28)
19
= 2,35 ∙ 1010 Па
Список литературы.
(1) Добрынин В. М., Вендельштейн Б.Ю., Кожевников Д.А. Петрафизика
(Физика горных пород): Учеб.для вузов. 2-ое изд.
(2) Основы Теории Упругости част 1:»Теория напряжений» Д.К.Веретимус
(3) Конспект лекций по части 2 курса "Геофизические
методы(сейсморазведка)". Основы теории напряжений.
Л.А.Сердобольский.
(4) Конспект лекций по части 1 курса "Геофизические
методы(сейсморазведка)". Основы теории деформаций.
Л.А.Сердобольский
(5) Веретимус Д.K. Основы теории упругости: часть-2.Теория деформаций,
Связь между напряженным и деформированным состоянием:
методическое пособие.
(6) Нигма. URL: http://www.nigma.ru.
(7) Mohrs Circle. URLhttp://www.novanumeric.com
20
21
22