ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ

Известия Гомельского государственного университета
имени Ф. Скорины, №6(39), 1, 2006
УДК 531.51:531.18:530.12
Гравитационное взаимодействие в электродинамике
А. Н. СЕРДЮКОВ
Хорошо известна тривиальная особенность принципа наименьшего действия, заключающаяся в том, что уравнения движения не изменяются при умножении функции Лагранжа
всех физических систем на одинаковую положительную постоянную [1,2]. Таким образом, в
физике реализуется симметрия уравнений движения относительно своеобразного глобального калибровочного преобразования – масштабного преобразования функции Лагранжа
~
(1)
L  L  LU 2
при постоянном U ≠ 0. Следуя принципу локальной калибровочной инвариантности, от подобного глобального преобразования можно перейти к локальному, сделав U зависящим от четырехмерных координат x. Такой переход означает введение калибровочного скалярного поля
U(x). Универсальность взаимодействия этого поля со всеми видами материи, обеспечиваемая
его мультипликативным подключением к функции Лагранжа любой физической системы, дает
основание рассматривать U(x) как потенциальную функцию гравитационного поля. При этом
важно отметить, что сама эта функция, наследуя присущую лагранжиану неоднозначность,
оказывается определенной с точностью до постоянного множителя. Тем не менее, данное обстоятельство не должно отражаться на теоретических результатах для величин, имеющих реальный физический смысл. Это значит, что преобразование полевой функции
U x   U x   Ω U x 
(2)
с произвольной константой Ω следует рассматривать в качестве калибровочного преобразования, так что поля U(x) и U'(x) в физическом отношении следует рассматривать как тождественные.
Такой подход однозначным образом приводит к новой полевой модели скалярного
гравитационного поля, которая реализуется в рамках СТО [3]. Эта модель позволяет описать
гравитационное взаимодействие в электродинамике. Развитие теории двух связанных полей
– гравитационного и электромагнитного, будем осуществлять с использованием вариационного принципа. В качестве «правил отбора», отсеивающих неприемлемые варианты теоретических моделей, примем принципы специальной теории относительности и калибровочной
инвариантности. Разумеется, при этом следует иметь в виду, что включение взаимодействия
между полями может привести к необходимости модификации калибровочных преобразований потенциалов, установленных для свободных полей.
Руководствуясь принципом простоты, постулируем следующий лагранжиан для системы связанных гравитационного и электромагнитного полей и взаимодействующих с ними
массивных электрически заряжённых частиц:
c4
 U 2  1   A   A 2U 2  μc 2 1  v 2 / c 2U 2  1 A j .
Λ
(3)
2G
16
c
Здесь
μr, t    ma 1  v a2 / c 2  r  ra t 
a
представляет плотность массы частиц; четырехмерный вектор плотности тока  j    j , icρ 
образован плотностью электрического заряда ρr, t    ea r  ra  и плотностью тока j 
a
v движущихся частиц; четырехмерный вектор-потенциал электромагнитного поля
A   A, i  составляют трехмерные потенциалы – векторный A и скалярный  .
Гравитационное взаимодействие в электродинамике
141
Чтобы калибровочное преобразование гравитационного поля не изменяло уравнений
движения частиц и полевых уравнений, очевидно электродинамический потенциал должен
подвергаться калибровочному преобразованию
(4)
A x   A x   Ω 2  A x 
одновременно с калибровочным преобразованием (2) гравитационного потенциала U.
Построим уравнение движения заряженной частицы, взаимодействующей с двумя полями – электромагнитным и гравитационным. Интегрируя два последних члена лагранжиана
(3) по трехмерному пространству, находим функцию Лагранжа
e
L  mc2 1  v 2 /c 2 U 2  vA  e
(5)
c
для частицы с массой m и зарядом e. Из уравнения Эйлера – Лагранжа
d L L

dt v r
после элементарных преобразований имеем
d  mU 2 v 
e

  mU 2 1  v 2 / c 2 g  eE  v  B .
(6)


2
2
dt  1  v / c 
c
Здесь напряженность поля тяготения g выражается через логарифмический градиент потенциала U:
(7)
g  2c 2ln U ,
а компоненты E и B тензора электромагнитного поля
B    iBE 0iE  .
(8)


обычным образом представляются через электродинамический потенциал
B    A   A .
(9)
Уравнение (6) явно содержит гравитационный потенциал U, что создает неудобства
при отыскании решений этого уравнения для r(t). Однако калибровочная инвариантность
теории позволяет упростить данное уравнение, исключив из него U:

d
mv
e
m
1
1 


  eD  v  H 
(10)
 g  2 v  v  g  vη 


2
2
2
2
dt  1  v / c 
c
c
c 
1 v / c 
где

(10)
D  U 2E, H  U 2B , η  2c ln U .
t
Введя второй тензор электромагнитного поля
H     iHD  0i D  ,
(11)


соотношениям (10) можно придать четырехмерную форму
(12)
H   U 2 B ,
Силовые характеристики гравитационного поля в (10) g и η образуют 4-вектор
g   2c2  ln U  g, iη.
Соотношение (9) обеспечивает тождественное выполнение первой пары уравнений
Максвелла
 B    B   B  0 .
(13)


Соотношения (9.1.18), (9.1.19), как известно, определяют A и  через E и B неоднозначно. Калибровочное преобразование электродинамического потенциала
A  A  A    f ,
(14)
осуществляемое с помощью некоторой произвольной скалярной функции координат и времени
142
А. Н. Сердюков
f, не меняет значений наблюдаемых E и B. Разумеется, при этом и уравнения Максвелла остаются калибровочно-инвариантными, не изменяясь при таком преобразовании потенциалов.
Используя вариационный принцип, построим далее уравнения электромагнитного поля, возмущенного полем тяготения. Соответствующее уравнение Эйлера – Лагранжа, получающееся при варьировании потенциала A,
Λ
 Λ
(15)


   A  A
и будет искомым электродинамическим полевым уравнением. Таким образом, с учетом (12)
окончательно находим:
4
  H   
j .
(16)
c
Уравнения (16) и (13) составляет систему уравнений Максвелла для электромагнитного поля,
взаимодействующего с полем тяготения.
Как видим, пространство, заполненное особой материальной средой – гравитационным полем, в электродинамическом отношении аналогично среде, электромагнитные свойства которой описываются соотношениями (9.3.4), (9.3.5). Эти соотношения имеют форму
обычных материальных уравнений неоднородной и нестационарной изотропной среды
D  E, B  H
(17)
со скалярными параметрами диэлектрической и магнитной проницаемостей ε(r, t) и μ(r, t),
которые выражаются через гравитационный потенциал U:
  U 2 ,
(18)
 U2 .
Построим теперь уравнения гравитационного поля, включив в источник гравитации
наряду с весомой материей также электромагнитное поле. Из соотношения (5), определяющего потенциал U через напряженность gμ, следует линейное однородное уравнение
  g   g   0 .
(19)
Таким модифицированным скалярным уравнением будет уравнение Эйлера  Лагранжа (4.3.7)
Λ
Λ
,
(20)


( U ) U
если в качестве лагранжиана  принять выражение (3).

2G 
1
2
2
2 
H 
(21)
U  0 .
  2  μ 1  v /c 
2
c 
16 c


От калибровочно-инвариантного уравнения (21) можно перейти к уравнению для
напряжённости, исключив гравитационный потенциал:
1
G
2
  g   2 g 2  2 H 
 4 G μ 1  v 2 /c 2 .
(22)
2c
4c
Совместно с тензорным уравнением (3.1.5)
  g    g   0
(23)
уравнение (22) составляет систему ковариантных уравнений гравитационного поля, порождаемого электромагнитным полем Hμν и движущейся весомой материей с массой, распределённой в пространстве с плотностью μ.
Суммируя результаты, представим в трехмерных обозначениях полную систему связанных уравнений для полей и частиц:
уравнения электромагнитного поля
1
1 H 1
D  2 gD  
 ηH ,
c
c  t c2
1
H  2 gH  0 ,
c
Гравитационное взаимодействие в электродинамике
143
1 D 4

 ea v a r  ra  ,
ct c a
D  4  ea  r  ra  ;
H 
a
уравнения гравитационного поля
g  0 ,
1 g
 η ,
c t
1 η
1
g 
 2 g 2  η2 
c  t 2c




G
D 2  H 2  4 G  m a 1  v a2 /c 2  r  ra  ;
2 c2
a
уравнение движения заряженных массивных частиц в электромагнитном и гравитационном
полях
e
d ma v a
 ea D  a v a  H 
dt 1  v a2 /c 2
c


1
1


g  2 v a  v a  g  v a η .

2
2
c
c

1  v a /c 
ma
Abstract. On the base of minimal action principle the gage-invariant equations of coupled electromagnetic and scalar gravitation fields are constructed.
Литература
1. Гельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапиро З. Я. Представления группы вращений и
группы Лоренца, их применения. – М.: Физматгиз, 1958. – С. 294.
2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. – М.: Наука, 1965. – С. 12 – 13, 16 – 17.
3. Сердюков А. Н. Калибровочная теория скалярного гравитационного поля. – Гомель: ГГУ им. Ф. Скорины, 2005. – 257 с.
Гомельский государственный
университет имени Ф. Скорины
Поступило 11.09.06