2.6._Гравитационное_взаимодействие

2. ЧАСТИЦЫ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 2.6. Гравитационное взаимодействие
1
2.6. Гравитационное взаимодействие
2.6.1. Гравитационное взаимодействие. Уравнения Эйнштейна. Уравнения
Фридмана
Гравитационное
взаимодействие
–
тип
фундаментального
взаимодействия, который характеризуется участием гравитационного поля в
процессах
взаимодействия
элементарных частиц. Гравитационное
взаимодействие – самое слабое из четырех взаимодействий. Гравитационное
взаимодействие универсально: в нем участвуют все элементарные частицы.
Если это взаимодействие слабое и тела движутся с нерелятивистким
скоростями, то тяготение описывается теорией Ньютона. В нерелятивисткой
классической физике сила взаимодействия двух точечных масс определяется
формулой
F = G m1 m2 /r2 ,
где m1, m2 – массы частиц, G =6,67∙10-8 см3/г·сек2 – гравитационная
постоянная Ньютона. Отношение гравитационной силы к электромагнитной
силе равно 10-36, до расстояний равных комптоновской длине волны протона.
Гравитационный заряд g=+(Gm)1/2.
В случае быстропеременных полей и быстрых движений тел тяготение
описывается общей теорией относительности (ОТО) Эйнштейна.
Источником гравитационного поля является четырехмерный тензор энергии
– импульса, у которого для покоящейся частицы отлична от нуля только одна
компонента, являющаяся массой частицы.
Важнейшее свойство гравитационного поля: оно определяет геометрию
пространства–времени, в котором движется материя. Основные идеи теории
Эйнштейна:
1. В поле тяготения все тела движутся по геодезическим линиям в
искривленном пространстве–времени.
2. Искривление пространства–времени определяется не только массой
вещества, но и всеми видами энергии физических полей, присутствующими в
системе.
3. Изменения гравитационного поля распространяются в вакууме со
скоростью света. Сравнение свойств гравитационного и других
взаимодействий см. в табл.2.6
В конечных областях искривленного пространства–времени квадрат
пространственно–временного интервала записывается в криволинейных
координатах в общем виде:
ds 2  g  dx  dx  ,
1
2
3
(2.107)
где μ, ν = 0, 1, 2, 3; x , x , x , – произвольные пространственные координаты,
x 0  ct – временная координата (по одинаковым верхним и нижним
индексам производится суммирование).
2. ЧАСТИЦЫ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 2.6. Гравитационное взаимодействие
2
g  – метрический тензор, его компоненты определяют метрику
пространства–времени.
Основная задача теории тяготения – определение гравитационного поля,
что соответствует в теории Эйнштейна нахождению геометрии
искривленного пространства–времени. Эта задача сводится к нахождению
компонент метрического тензора g  , для этого решаются уравнения ОТО
Эйнштейна:
1
8G
R  g R  4 T  g  ,
2
c
(2.108)
здесь R – тензор Риччи, T – тензор энергии-импульса материи.
R  R g  – скалярная кривизна пространства.
Последнее слагаемое – это член с космологической постоянной  описывает
силы гравитационного отталкивания вакуума  >0, дополнительные к
обычным гравитационным силам притяжения. Формально космологический
член в уравнении (2.107) эквивалентен дополнительному члену в тензоре
энергии-импульса. Этот член дает следующее значение для плотности
энергии   и давления p :
    p  c 4  / 8G .
(2.109)
В
начальной
стадии
космологического
расширения
плотность
2
74
вакуумоподобного состояния могла быть огромной p    / c  10 г/см3,
что соответствует   1047 см–2. В дальнейшем энергия вакуумоподобного
состояния перешла в энергию обычных частиц и космологический член стал
очень малым или даже равным нулю.
Уравнения (2.107) нелинейны: они не удовлетворяют принципу
суперпозиции: нельзя задать T и вычислить g  . Уравнения поля тяготения
содержат в себе и уравнения движения масс в поле тяготения. Это означает,
что в теории Эйнштейна материя создает искривление пространства-времени,
а искривление влияет на движение материи, создающей это искривление.
Нестационарная метрика четырехмерного однородного и изотропного
пространства–времени с 6-параметрической группой симметрии как решение
уравнений общей теории относительности была впервые найдена А.А.
Фридманом в 1922–1924 гг. Квадрат четырехмерного интервала (метрика
Фридмана-Робертсона-Уокера)
ds 2  c 2 dt 2  dl 2 ,
где квадрат элемента длины
dx  dy

t 
1 k  x  y
2
dl  a
2
2
2
2
2
 dz 2 
 z 2  41
,
(2.110)
2. ЧАСТИЦЫ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 2.6. Гравитационное взаимодействие
3
С – скорость света, x , y , z – безразмерные пространственные координаты., t
– собственное время, показываемое покоящимися часами в каждой точке
пространства, k  1, 0, 1, – кривизна пространства. При k  0
пространство с нулевой кривизной (плоское эвклидово), k  1 –
пространство с отрицательной кривизной, k  1 пространство с
положительной кривизной.
В сферических координатах метрика Фридмана-Робертсона-Уокера
имеет вид
 dr 2

ds  c dt  a  t  
 r 2  d 2  sin 2  d 2  ,
2
1  kr

2
2
2
2
(2.111)
a  t  – масштабный фактор, описывает изменение с течением времени
расстояний между точками с фиксированными пространственными
координатами r , ,  и не зависит от них. Он определяется уравнениями
Фридмана :
2
G 2
 da 
2
   a  k ,
3
 dt 
d 2a
G


  3 p  a ,
dt 2
6
(2.112)
(здесь G – гравитационная постоянная, p – давление в космологической
среде,  – плотность космологической среды) и уравнением состояния
физической среды
p  p .
(2.113)
По Э.Б. Глинеру в ранней Вселенной плотность вакуумоподобной (т.е.
лоренц-инвариантной) фазы среды и давление в ней связаны уравнением
состояния
p  c 2  .
(2.114)
Глинер Э.Б.: «Идея вакуумоподобного состояния, в сочетании с постулатом о
переходе физической среды в это состояние с ростом плотности, является до
сих пор единственной альтернативой заключению о незбежности
сингулярностей в ОТО, в противном случае вытекающем из картины
гравитационного коллапса». При гравитационном коллапсе при
p   тяготение становится
приближении давления к условию
отталкиванием, т.е. возникает расхождение геодезических линий. Когда
коллапсирующее тело переходит в вакуумоподобное состояние,
гравитационное отталкивание останавливает гравитационный коллапс.
Теория Эйнштейна для гравитационного поля – это неквантовая теория, как и
теория Максвелла для электромагнитного поля.
2. ЧАСТИЦЫ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 2.6. Гравитационное взаимодействие
4
2.6.2. Квантовая теория гравитации (КТГ). Гравитон
Квантовая теория гравитации (КТГ) – квантовополевая теория
гравитационного взаимодействия. Квантовая теория гравитации основана на
квантовании гравитационного поля, которое описывается общей теорией
относительности Эйнштейна. В случае слабого гравитационного поля
метрический тензор искривленного пространства-времени равен обычному
метрическому тензору плоского псевдоэвклидового пространства-времени
плюс безмассовое поперечное тензорное поле, соответствующее
гравитационным волнам.
g     h ,
(2.115)
  diag 1,1,1,1 – метрический тензор
где μ, ν = 0, 1, 2, 3;
пространства времени Минковского, h  1 . В первом приближении ОТО
сводится к релятивистской теории свободного безмассового поперечного
тензорного поля h – гравитационных волн – в плоском пространствевремени. В квантовой теории величины g  и h становятся операторами.
Стандартная процедура квантования показывает, что гравитационые волны
можно рассматривать как поток квантов - гравитонов.
Гравитон – квант гравитационного поля, безмассовая нейтральная
частица с нулевой массой покоя и спином 2 (в единицах h). Спиральность
гравитона, т.е. проекция спина гравитона на направление импульса
гравитона, равна +2, –2. Гравитоны подчиняются статистике Бозе и могут
неограниченно накапливаться в одном квантовом состоянии, образуя бозеконденсат, который представляет собой классическую гравитационную
волну (см. табл. 2.6).
Гравитоны могут рассеиваться друг на друге: g + g → g + g. Сечение
рассеяния гравитона на гравитоне: ~ L2 (E/mc2)2 ~ 10-67 см2. Теоретически
вводятся: характерная масса Планка mП= (hc/G)1/2 = 10–5 г. Энергия покоя
массы Планка mПc2 = 1,2·1019 ГэВ. Длина волны Комптона для массы Планка
L = hmп = 10–33 см («квант пространства»). Планковское время tп = L/c = 10–
43
сек («квант времени»).
Другим возможным процессом является двухгравитонное рождение
пары частица-античастица негравитационного поля, например: g + g → (e-) +
(e+).
Таким
образом,
на
квантовом
уровне
обнаруживается
взаимопревращаемость всех видов материи, включая гравитационное поле.
Гравитация универсально взаимодействует с любой формой энергии, в том
числе с вакуумной энергией, которая проявляется в уравнениях Эйнштейна в
виде космологической постоянной (ламбда-член).
Экспериментально гравитоны не наблюдались. Имеются отдельные
косвенные
наблюдения
гравитационных
волн
на
работающих
экспериментальных установках.
В настоящее время (2010 г.) предполагается существование новой
формы материи в виде «темной энергии», обладающей антигравитацией
2. ЧАСТИЦЫ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 2.6. Гравитационное взаимодействие
5
(отталкиванием), т.е. отрицательным гравитационным зарядом (не следует
путать антигравитацию с античастицами, например, позитроном).
Если «выключить» гравитационное взаимодействие, то исчезнет
крупномасштабная «пенная» структура Вселенной, а также галактики,
звезды, планеты. Частицы и тела перейдут в состояние невесомости, атомы,
молекулы и тела сохранятся.
Свойства четырех взаимодействий приведены в табл. 2.6, а
характеристики квантов полей – в табл. 2.7
Свойства взаимодействий
Взаимодействие Радиус
действия,
см
Сильное
10-13
Электромаг
нитное
Слабое
2·10-16
Гравитационное

Таблица 2.6
Время
действия,
сек
10-23
10-20
10-16
>10-12
Сечение,
мбарн =
10-27 см 2
10
10-3
Константа
взаимодействия
10
10-2
10-11
10-40
Характеристики квантов физических полей
Название
Символ
Спин
Электр. Масса
заряд
покоя
0
0
Спираль
Ность
Глюоны
(кванты
сильного
поля)
g1
g2
g3
g4
g5
g6
g7
g8
1
1
1
1
1
1
1
1
Фотон
γ
1
0
0
+-1
Кванты
слабого
поля:
W +бозон
W -бозон
W+
1
+1е
80,4
МэВ
W–
1
– 1е
Z0
g
1
2
0
0
80,4
МэВ
91 МэВ
0
Z0 бозон
Гравитон
10-5
10-12
Таблица 2.7
Цветовой
Заряд
кз
кс
зк
зс
ск
сз
(1/2)(кк-зз)
(1/6)(кк+зз2сс)
Не
обнаружен
Примечание. Условный цветовой заряд кварков: к – красный, с – синий, з –
зеленый.