Задание. Урна содержит М=8 занумерованных шаров с

Задание.
Урна содержит М=8 занумерованных шаров с номерами от 1 до М= 8. Шары извлекаются по
одному без возвращения. Рассматриваются следующие события:
А – номера шаров в порядке поступления образуют последовательность 1, 2, ..., М=8;
В – хотя бы один раз совпадает номер шара и порядковый номер извлечения;
С – нет ни одного совпадения номера шара и порядкового номера извлечения.
Определить вероятности событий А, В, С. Найти предельные значения вероятностей
при
.
Теория*
Урна содержит M занумерованных шаров с номерами от 1 до M. Шары извлекаются по одному без
возвращения. Рассматриваются следующие события:
A – номера шаров в порядке поступления образуют последовательность 1, 2, …, M;
B – хотя бы один раз совпадает номер шара и порядковый номер извлечения;
C – нет ни одного совпадения номера шара и порядкового номера извлечения.
Определить вероятности событии A, B, C. Найти предельные значения вероятностей при .
M=3
Хотябы подскажите как к ней подобраться
Корзина содержит n занумерованных шаров с номерами от 1 до n. Шары извлекаются по одному
без возвращения. Рассматриваются следующие события:
B – хотя бы один раз совпадает номер шара и порядковый номер извлечения;
C – нет ни одного совпадения номера шара и порядкового номера извлечения.
Определить вероятности событии B, C. Найти предельные значения вероятностей при n->00.
Уже не первый раз встречаю такую задачу, так что решил наконец-то попробовать разобраться с
ней.
Введем события:
А1 – при первом извлечении вынут шар № 1
А2 – при втором извлечении вынут шар № 2
.
.
Аn – в последнем извлечении вынут шар № n.
Ясно, что
В=А1+А2+…+Аn,
а С – событие, противоположное В :
С=(неА1)*(неА2)*…*(неАn).
Сначала думал, что проще найти вероятность события С (формула вероятности произведения
произвольного числа событий много проще формулы вероятности суммы произвольного числа
событий), но натолкнулся на трудности, которые не смог преодолеть (там возникает формула
полной вероятности для вычисления УСЛОВНОЙ вероятности).
Так что будем вычислять вероятность события В.
Для этого отыскал формулу вероятности суммы произвольного числа событий (она доказывается
по индукции):
Р(А1+А2+…+Аn)=[(сумма по всем событиям Аi) P(Ai)] - [(сумма по всем различающимся
неупорядоченным парам событий Ai и Aj)] P(Ai*Aj)] + [(сумма по всем различающимся
неупорядоченным тройкам событий Ai , Aj, Ak)] P(Ai*Aj*Ak)] - …. + [(-1)^(n+1) *P(A1*A2*…*An)] .
Посчитаем вероятности событий, входящих в правую часть этой формулы. Все их будем считать
по классическому определению:
Р=(число благоприятствующих исходов эксперимента)/(общее число исходов эксперимента).
Результат каждого эксперимента по извлечению шаров будем выражать перестановкой из чисел
{1, 2, …, n}, причем на 1-м месте будет стоять номер шара, извлеченного первым, и т.д. . Тогда
очевидно, что общее число исходов такого эксперимента равно числу перестановок, т.е. n! . Далее
будем обозначать С(n,k) – число сочетаний из из n по k.
Ясно, что в первой квадратной скобке сумма состоит из C(n,1) = n одинаковых слагаемых, так как
для всех событий Ai число благоприятных исходов равно числу перестановок из (n-1) элемента
(т.е. = (n-1)!), так как одно i-е место в перестановке фиксировано (= i), а остальные (n-1) мест могут
заниматься произвольно. Поэтому Р(Аi)=(n-1)!/n! .
Во вторых квадратных скобках слагаемых, очевидно, C(n,2) штук и опять они все одинаковы: число
благоприятных исходов для события Ai*Aj равно (n-2)!, так как два места ( i-е и j-е) в перестановке
фиксированы (= i и j соответственно), а остальные (n-2) мест могут заниматься произвольно.
Поэтому Р(Аi*Aj)=(n-2)!/n! .
В третьих квадратных скобках слагаемых, очевидно, C(n,3) штук и опять они все одинаковы: число
благоприятных исходов для события Ai*Aj*Ak равно (n-3)!, так как три места ( i-е , j-е и k-e) в
перестановке фиксированы (= i , j и k соответственно), а остальные (n-3) мест могут заниматься
произвольно. Поэтому Р(Аi*Aj*Ak)=(n-3)!/n! .
В последнем слагаемом число благоприятных исходов для события A1*A2*…*An равно 1 (это
единственная перестановка 1, 2, …, n ), а потому P(A1*A2*…*An)=1/n!.
Подставляя, получим :
Р(А1+А2+…+Аn)= C(n,1)* (n-1)!/n! - C(n,2)* (n-2)!/n! + C(n,3)* (n-3)!/n! - … + (-1)^(n+1)* 1/n!.
После подстановки в это выражение формул для числа сочетаний многое сокращается и
окончательно получается:
Р(В)=1/1! – 1/2! + 1/3! - … +(-1)^(n+1)* 1/n! .
Далее, Р(С)=1-Р(В),т.е. :
Р(С)=1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + … +(-1)^n* 1/n! .
Эти формулы – правильные. Я проверил их для n=1,2,3,4. Но, возможно, есть и более простой их
вывод.
Учитывая известное разложение для функции е^x , получим , что при предельные вероятности (n>00):
Р(С) = 1/е, Р(В) = 1 – 1/е.