Материалы для подготовки к дифференцированному зачету по

ГБПОУ СО «Артинский агропромышленный техникум»
Материалы для подготовки к
дифференцированному
зачету по теме
«Производная»
(второй курс)
Преподаватель Половникова Н.Н
2016 год
На дифференцированный зачет выносятся основные теоретические
вопросы, задачи , практическая работа.
Каждый билет состоит из 5 заданий:
1. Теоретический вопрос
2. Базовая задача.
3.Практическая работа.
4. Задача практического содержания
5.Презентация «Применение производной».
Критерии оценивания.
Каждое задание оценивается в 5 – бальной системе, затем выводится
итоговая оценка.
На зачете можно пользоваться справочным материалом.
Образец билета
1. Производные основных элементарных функций
2. На рисунке изображен график функции
, определенной на
интервале
. Найдите количество точек экстремума функции
.
3. Практическая работа.
Построить фигуру, ограниченную линиями у=х2 + 2, х = 1 х =-2, у = 0 ,
найти площадь фигуры.
4.Из всех прямоугольников с периметром 12 см найдите и нарисуйте
прямоугольник наибольшей площади.
5. Презентация «Применение производной»
Справочный материал
Произво́дная (функции в точке) — основное понятие , характеризующее скорость
изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения
функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.
Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием
Если — постоянное число и
— некоторые дифференцируемые
функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:






…(g ≠ 0)
Основные формулы дифференцирования:
1. f ( x)  c (c  const ) .
f ( x)  0.
2. f ( x)  x p ( p  R) .
3. f ( x)  x .
1
.
x
5. f ( x)  e x .
4. f ( x) 
6. f ( x)  ln x .
7. f ( x)  sin x .
8. f ( x)  cos x .
9. f ( x)  tgx.
10. f ( x)  ctgx.
f ( x)  p  x p 1 .
f ( x) 
1
.
2 x
1
f ( x)   2 .
x
x
f ( x)  e .
1
f ( x)  .
x
f ( x)  cos x.
f ( x)   sin x.
1
.
cos 2 x
1
f ( x)   2 .
sin x
f ( x) 
Уравнение касательной
Y = f(x0) +f′(x0)∙(x – x0)
Возрастание и убывание функции. Экстремумы
1) Найти производную функции
.
2) Решить уравнение
.
3) Отметить корни на числовой прямой, определить знак производной на каждом
интервале. Обозначить возрастание, убывание.Найти экстремумы. Записать ответ.
Определить наибольшее и наименьшее значение функции
Алгоритм решения задачи
1) Найти производную функции
2) Решить уравнение
.
.
3) Выбрать корни, которые принадлежат промежутку
3) Вычислить значения функции в этих точках и на границах интервала.
4) Выбрать из полученных значений наибольшее (наименьшее) и записать ответ.
Исследование функции и построение графиков
Исследование функции целесообразно проводить по следующей схеме:
1. Найти область определения D(f) функции.
2. Установить четность или нечетность функции, ее периодичность.
3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
4. f'(x) = 0;
5. В тех интервалах, где f'(x) > 0, функция возрастает, а где f'(x) < 0, – убывает.
Найти точки экстремума.
6.Найти дополнительные точки
7. Построить график функции.
Интеграл.
Нахождение производных и нахождение неопределенных интегралов
(дифференцирование и интегрирование) – это два взаимно обратных действия
Решить интеграл – это значит найти определенную функцию
некоторыми правилами, приемами и таблицей.
F(x)- называется первообразной.
Любой неопределенный интеграл имеет вид:
– значок интеграла.
, пользуясь
– подынтегральная функция
– значок дифференциала. При записи интеграла
и в ходе решения важно не терять данный значок. Заметный недочет будет.
– подынтегральное выражение
– первообразная функция.
– множество первообразных функций, в любом неопределенном интеграле к
ответу приплюсовывается константа
.
Таблица основных неопределенных интегралов.
Основные методы интегрирования
u, v, w - это функции от x; c - постоянная.
Решить определенный интеграл – это значит, найти число с помощью формулы
Ньютона-Лейбница:
Этапы решения определенного интеграла:
1) Находим первообразную функцию
(неопределенный интеграл),
константа в определенном интеграле не добавляется. Обозначение является
чисто техническим, и вертикальная палочка не несет никакого математического
смысла.
2) Подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию:
.
3) Подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию:
.
4) Рассчитываем разность
, то есть, находим число.
Определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует
площадь некоторой фигуры
Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная осью
,прямыми
,
и графиком непрерывной на отрезке
функции
которая не меняет знак на этом промежутке. Пусть данная фигура расположена не
ниже оси абсцисс:
Тогда площадь криволинейной трапеции численно равна определенному
интегралу
..
,
Задания для зачета.
Первые вопросы билетов.
1. Производные основных элементарных функций
2. Производная суммы, разности, произведения, частного.
3. Физический смысл производной.
4. Геометрический смысл производной.
5. Уравнение касательной
6. Возрастание и убывание функций.
7. Экстремумы функций.
8. Наибольшее и наименьшее значение функций.
9. Применение производной к построению графиков функций.
10.Первообразная.
11. Формула Ньютона-Лейбница.
12.Определенный интеграл.
13.Применение интеграла в физике.
14. Применение интеграла в геометрии.
15.Нахождение площади криволинейной трапеции
Задания для зачета.
Вторые вопросы билетов.
1 Прямая
параллельна касательной к графику функции
Найдите абсциссу точки касания.
2 Прямая
функции
.
является касательной к графику
. Найдите абсциссу точки касания.
3 На рисунке изображен график функции
, определенной на
интервале
. Определите количество целых точек, в которых производная
функции положительна.
4 На рисунке изображен график функции
, определенной на
интервале
. Определите количество целых точек, в которых производная
функции
отрицательна.
5 На рисунке изображен график функции
, определенной на
интервале
. Найдите количество точек, в которых касательная к графику
функции параллельна прямой
или совпадает с ней.
6 На рисунке изображен график функции
, определенной на
интервале
. Найдите сумму точек экстремума функции
.
7 На рисунке изображен график
— производной функции
,
определенной на интервале
. Найдите количество точек экстремума
функции
, принадлежащих отрезку
.
8 На рисунке изображен график
определенной на интервале
касательная к графику функции
совпадает с ней.
— производной функции
,
. Найдите количество точек, в которых
параллельна прямой
или
9 На рисунке изображены график функции
и касательная к нему в точке
с абсциссой . Найдите значение производной функции
в точке .
10 На рисунке изображены график функции
и касательная к нему в точке
с абсциссой . Найдите значение производной функции
в точке .
Задания для зачета.
Третьи вопросы билетов.
1. Практическая работа.
Провести исследование функции у=х3-3х и построить график
Исследование функции целесообразно проводить по следующей схеме:
1. Найти область определения D(f) функции.
2. Установить четность или нечетность функции, ее периодичность.
3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
4. f'(x) = 0;
5. В тех интервалах, где f'(x) > 0, функция возрастает, а где f'(x) < 0, – убывает.
Найти точки экстремума.
6.Найти дополнительные точки
7. Построить график функции.
2. Практическая работа.
Построить фигуру, ограниченную линиями у=х2 + 2, х = 1 х =-2, у = 0 ,
найти площадь фигуры.
Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная осью
,прямыми
,
и графиком непрерывной на отрезке
функции
которая не меняет знак на этом промежутке. Пусть данная фигура расположена не
ниже оси абсцисс:
Тогда площадь криволинейной трапеции численно равна определенному
интегралу
..
,
Задания для зачета.
Четвертые вопросы билетов.
1 Найдите наименьшее значение функции
на отрезке
2 Найдите наименьшее значение функции
отрезке
.
на
3 Найдите наибольшее значение функции
4 Найдите наименьшее значение функции
.
на отрезке
на отрезке
5 Найдите наибольшее значение функции
на отрезке
6 Найдите точку максимума функции
7 Найдите точку минимума функции
.
8 Найдите точку максимума функции
9 Найдите точку минимума функции
10 Найдите наибольшее значение функции
.
на отрезке
.
Задания для зачета.
Пятые вопросы билетов.
Презентация «Применение производной»
Примерный план ответа:
 Определение производной, основные формулы;
 Значение слова;
 Применение производной в данной отрасли.
 Примеры решения практических задач в данной отрасли
 Выводы
Информационные источники
Основные источники.
1. Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., 2000.
2. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 10 (11) кл. – М., 2000.
3. Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый
уровень). 10 кл. – М., 2005.
4. Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый
уровень). 11 кл. – М., 2005.
5. Башмаков М.И. Математика (базовый уровень). 10—11 кл. – М., 2005.
6. Луканкин Г.Л., Луканкин А.Г. Математика. Ч. 1: учебное пособие для
учреждений начального профессионального образования. – М., 2004.
7. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа, под ред.
Г.М.Яковлева. – М.,1987.
8. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. – М., 2003.
Дополнительные источники.
1. Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федерова Н.Е. и др. под ред. Жижченко А.Б.
Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный
уровни). 10 кл. – М., 2005.
Интернет ресурсы.
1. http://festival.1september.ru
2. http://www.fepo.ru
3. www.mathematics.ru