Решение матричной игры

Решение матричной игры
Игроки B1 B2 B3 a = min(Ai)
A1
2 -3 2
-3
A2
4 6 -5
-5
A3
-4 5 2
-4
A4
2 3 -1
-1
b = max(Bi) 4 6 2
Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a =
max(ai) = -1, которая указывает на максимальную чистую стратегию A4.
Верхняя цена игры b = min(bj) = 2.
Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ≠ b, тогда цена
игры находится в пределах -1 <= y <= 2. Находим решение игры в смешанных
стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику
свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно
решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом
(смешивать чистые стратегии)
В матрице присутствуют отрицательные элементы. Для упрощения расчетов
добавим к элементам матрицы (5). Такая замена не изменит решения игры,
изменится только ее цена (по теореме фон Неймана).
7 2 7
9 11 0
1 10 7
7 8 4
Математические модели пары двойственных задач линейного
программирования можно записать так:
найти минимум функции F(x) при ограничениях:
7x1+9x2+x3+7x4 ≥ 1
2x1+11x2+10x3+8x4 ≥ 1
7x1+7x3+4x4 ≥ 1
F(x) = x1+x2+x3+x4 = min
найти максимум функции Ф(y) при ограничениях:
7y1+2y2+7y3 ≤ 1
9y1+11y2 ≤ 1
y1+10y2+7y3 ≤ 1
7y1+8y2+4y3 ≤ 1
Ф(y) = y1+y2+y3 = max
Решаем эти системы симплексным методом
Оптимальный план можно записать так: x1 = 1/19; x3 = 3/38; x2 = 3/76; F(X) = 1•1/19 +
1•3/38 + 1•3/76 = 13/76
Оптимальный план двойственной задачи равен:y1 = 11/152; y2 = 0; y3 = 5/152; y4 = 5/76;
; Z(Y) = 13/76
Цена игры: g = 1 : 13/76 = 76/13
p1=11/26
p2=0/13
p3=5/26
p4=5/13
q1=4/13
q2=3/13
q3=6/13
Поскольку ранее к элементам матрицы было прибавлено число (5), то вычтем
это число из цены игры.
Цена игры: 11/13
Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с
использованием симплексной таблицы.
Определим минимальное значение целевой функции F(X) = x1 + x2 + x3 + x4 при
следующих условиях-ограничений.
7x1 + 9x2 + x3 + 7x4≥1
2x1 + 11x2 + 10x3 + 8x4≥1
7x1 + 7x3 + 4x4≥1
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к
системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к
канонической форме).
В 1-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x5 со знаком минус.
В 2-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x6 со знаком минус.
В 3-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x7 со знаком
минус.
7x1 + 9x2 + 1x3 + 7x4-1x5 + 0x6 + 0x7 = 1
2x1 + 11x2 + 10x3 + 8x4 + 0x5-1x6 + 0x7 = 1
7x1 + 0x2 + 7x3 + 4x4 + 0x5 + 0x6-1x7 = 1
Умножим все строки на (-1) и будем искать первоначальный опорный план.
-7x1-9x2-1x3-7x4 + 1x5 + 0x6 + 0x7 = -1
-2x1-11x2-10x3-8x4 + 0x5 + 1x6 + 0x7 = -1
-7x1 + 0x2-7x3-4x4 + 0x5 + 0x6 + 1x7 = -1
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:
-7 -9 -1 -7 1 0 0
-2 -11 -10 -8 0 1 0
-7 0 -7 -4 0 0 1
Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно
уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.
Решим систему уравнений относительно базисных переменных:
x5, x6, x7,
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
X1 = (0,0,0,0,-1,-1,-1)
Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.
Базис
x5
x6
x7
F(X0)
B
-1
-1
-1
0
x1
-7
-2
-7
1
x2
-9
-11
0
1
x3
-1
-10
-7
1
x4
-7
-8
-4
1
x5
1
0
0
0
x6
0
1
0
0
x7
0
0
1
0
1. Проверка критерия оптимальности.
План 0 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем
ведущие строку и столбец.
2. Определение новой свободной переменной.
Среди отрицательных значений базисных переменных выбираем наибольший
по модулю.
Ведущей будет 1-ая строка, а переменную x5 следует вывести из базиса.
3. Определение новой базисной переменной.
Минимальное значение θ соответствует 1-му столбцу, т.е. переменную
x1 необходимо ввести в базис.
На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент
(РЭ), равный (-7).
Базис
x5
x6
x7
F(X0)
θ
B
x1
x2
x3
x4
-1
-9
-1
-7
-7
-1
-2
-11
-10
-8
-1
-7
0
-7
-4
0
1
1
1
1
0 1 : (-7) = -1/7 1 : (-9) = -1/9 1 : (-1) = -1 1 : (-7) = -1/7
x5
1
0
0
0
-
x6
0
1
0
0
-
x7
0
0
1
0
-
4. Пересчет симплекс-таблицы.
Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.
Базис
x1
x6
x7
F(X0)
B
1
/7
-5
/7
0
-1
/7
x1
1
0
0
0
x2 x3 x4 x5
12/7 1/7 1 -1/7
-83/7 -95/7 -6 -2/7
9 -6 3 -1
-2
/7 6/7 0 1/7
x6
0
1
0
0
x7
0
0
1
0
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
B
x1
x2
x3
x4
-1 : -7
-7 : -7
-9 : -7
-1 : -7
-7 : -7
-1-(-1 • - -2-(-7 • - -11-(-9 • - -10-(-1 • - -8-(-7 • 2):-7
2):-7
2):-7
2):-7
2):-7
-1-(-1 • - -7-(-7 • - 0-(-9 • - -7-(-1 • - -4-(-7 • 7):-7
7):-7
7):-7
7):-7
7):-7
0-(-1 •
1-(-7 • 1-(-9 • 1):- 1-(-1 • 1):- 1-(-7 •
1):-7
1):-7
7
7
1):-7
x5
1 : -7
0-(1 • 2):-7
0-(1 • 7):-7
0-(1 •
1):-7
x6
0 : -7
1-(0 • 2):-7
0-(0 • 7):-7
0-(0 •
1):-7
x7
0 : -7
0-(0 • 2):-7
1-(0 • 7):-7
0-(0 •
1):-7
1. Проверка критерия оптимальности.
План 1 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем
ведущие строку и столбец.
2. Определение новой свободной переменной.
Среди отрицательных значений базисных переменных выбираем наибольший
по модулю.
Ведущей будет 2-ая строка, а переменную x6 следует вывести из базиса.
3. Определение новой базисной переменной.
Минимальное значение θ соответствует 5-му столбцу, т.е. переменную
x5 необходимо ввести в базис.
На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент
(РЭ), равный (-2/7).
Базис
x1
x6
x7
F(X0)
θ
B
1
/7
-5
/7
0
-1
/7
0
x1
x2
x3
x4
x5
1
-1
1
12/7
/7
1
/7
0
-83/7
-95/7
-6
0
9
-6
3
-1
-2
6
0
/7
/7
0
- -2/7 : (-83/7) = 2/59 6/7 : (-95/7) = -3/34 0 : (-6) = 0 1/7 : (-2/7) = -1/2
x6
0
1
0
0
-
x7
0
0
1
0
-
4. Пересчет симплекс-таблицы.
Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.
Базис
x1
x5
x7
F(X1)
B
1
/2
21/2
21/2
-1
/2
x1
1
0
0
0
x2
51/2
291/2
381/2
-41/2
x3
5
34
28
-4
x4
4
21
24
-3
x5 x6 x7
0 -1/2 0
1 -31/2 0
0 -31/2 1
0 1/2 0
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
B
x1
x2
x3
1
/7-(-5/7 • - 1-(0 • - 12/7-(-83/7 • - 1/7-(-95/7 • 1
1
1
/7):-2/7 1/7):-2/7
/7):-2/7
/7):-2/7
-5
/7 : -2/7 0 : -2/7 -83/7 : -2/7
-95/7 : -2/7
0-(-5/7 • - 0-(0 • - 9-(-83/7 • - -6-(-95/7 • 1):-2/7
1):-2/7
1):-2/7
1):-2/7
-1
6
/7-(0-(0
/7-(-2
/
-(7
5
1
1
5
/7 • /7): • /7):
9 /7 • 1/7):3
1
-2
8
/
•
/
):
/
7
7
7
2
2
2
/7
/7
/7
x4
x5
x6
x7
1-(-6 • - -1/7-(-2/7 • - 0-(1 • - 0-(0 • 1
1
1
/7):-2/7
/7):-2/7
/7):-2/7 1/7):-2/7
-6 : -2/7 -2/7 : -2/7 1 : -2/7 0 : -2/7
3-(-6 • - -1-(-2/7 • - 0-(1 • - 1-(0 • 1):-2/7
1):-2/7
1):-2/7 1):-2/7
0-(1
0-(0
1
0-(-6
/7-(1
• /7): • 1/7):• 1/7):-2/7 2/7 • 1/7):-2/7 2
2
/7
/7
В базисном столбце все элементы положительные.
Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Итерация №0.
1. Проверка критерия оптимальности.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся
отрицательные коэффициенты.
2. Определение новой базисной переменной.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как
это наибольший коэффициент по модулю.
3. Определение новой свободной переменной.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai2
и из них выберем наименьшее:
min (1/2 : 51/2 , 21/2 : 291/2 , 21/2 : 381/2 ) = 5/77
Следовательно, 3-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (381/2) и находится на пересечении ведущего
столбца и ведущей строки.
Базис
x1
x5
x7
F(X1)
B
1
/2
21/2
21/2
-1
/2
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
1 51/2 5 4 0 -1/2 0
0 291/2 34 21 1 -31/2 0
0
28 24 0 -31/2 1
0
-4 -3 0 1/2 0
min
1
/11
5
/59
0
4. Пересчет симплекс-таблицы.
Формируем следующую часть симплексной таблицы.
Вместо переменной x7 в план 1 войдет переменная x2.
Строка, соответствующая переменной x2 в плане 1, получена в результате
деления всех элементов строки x7 плана 0 на разрешающий элемент РЭ=381/2
На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1.
В остальных клетках столбца x2 плана 1 записываем нули.
Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x2 и столбец x2.
Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки,
определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в
вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ
СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (381/2), А и В элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
B
x1
x2
51/21
/2-(21/2 • 1-(0 •
(381/2 •
51/2):381/2 51/2):381/2 1
5 /2):381/2
21/2291/20-(0
•
1
(21/2 •
1
1 (38 /2 •
29
/
):38
2
291/2):381
291/2):381
/2
/2
/2
1
2 /2 :
381/2 :
1
0 : 38 /2
381/2
381/2
x3
x4
5-(28 •
4-(24 •
1
1
5 /2):38 /2 5 /2):381/2
1
34-(28 • 21-(24 •
291/2):381 291/2):381
/2
/2
28 : 381/2 24 : 381/2
x5
x6
x7
-1
/2-(0-(0 •
0-(1 •
31/2 •
1
1
1
5 /2):38 /2 1
5 / ):381/2
5 /2):381/2 2
-31/2-(1-(0 •
0-(1 •
31/2 •
1
1
29 /2):38
291/2):381
291/2):381
/2
/2
/2
-31/2 :
1
0 : 38 /2
1 : 381/2
381/2
1
/2-(21/2 •
-41/2/2-(-31/2 •
0-(0 • -4-(28
•
-3-(24
•
0-(0
•
0-(1 • (381/2 • - 1
1
1
1
1
1
1
1
1
4 / ):38 /2 1
4 / ):38 /2 4 /2):38 /2 4 /2):38 /2 1
4 / ):381/2
41/2):381/2 2
4 /2):381/2 2
4 /2):381/2 2
-1
Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис B
1
x1
/7
x5 45/77
x2 5/77
F(X1) -16/77
x1
1
0
0
0
x2 x3
x4
4
0 1
/7
0 126/11 247/77
1 8/11 48/77
0 -8/11 -15/77
x5
0
1
0
0
x6 x7
0 -1/7
-9
/11 -59/77
-1
/11 2/77
1
/11 9/77
Итерация №1.
1. Проверка критерия оптимальности.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся
отрицательные коэффициенты.
2. Определение новой базисной переменной.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x3, так как
это наибольший коэффициент по модулю.
3. Определение новой свободной переменной.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai3
и из них выберем наименьшее:
min (1/7 : 1 , 45/77 : 126/11 , 5/77 : 8/11 ) = 15/322
Следовательно, 2-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (126/11) и находится на пересечении ведущего
столбца и ведущей строки.
Базис B
1
x1
/7
45
x5
/77
5
x2
/77
-16
F(X2) /77
x1
1
0
0
0
x2 x 3 x4
0 1 4/7
0
247/77
1 8/11 48/77
-15
0
/77
x5
0
1
0
0
x6 x7
0 -1/7
-9
/11 -59/77
-1
/11 2/77
1
/11 9/77
min
1
/7
5
/56
0
4. Пересчет симплекс-таблицы.
Формируем следующую часть симплексной таблицы.
Вместо переменной x5 в план 2 войдет переменная x3.
Строка, соответствующая переменной x3 в плане 2, получена в результате
деления всех элементов строки x5 плана 1 на разрешающий элемент РЭ=126/11
На месте разрешающего элемента в плане 2 получаем 1.
В остальных клетках столбца x3 плана 2 записываем нули.
Таким образом, в новом плане 2 заполнены строка x3 и столбец x3.
Все остальные элементы нового плана 2, включая элементы индексной строки,
определяются по правилу прямоугольника.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
B
x1
x2
x3
1-(0 • 0-(0 •
1
/7-(45/77 •
1-(126/11 •
6
6
1):12
/
1):12
/
1
1
1):126/11
1):126/11
1
1
x4
x5
x6
0-(1 •
4
/7-(247/77 •
0-(-9/11 •
6
1):12
/
1
1):126/11
1):126/11
1
x7
/7-(-59/77 •
1):126/11
-1
45
-9
-59
/77 :
0:
0:
126/11 :
247/77 :
1:
/11 :
/77 :
6
6
6
6
6
6
6
12 /11
12 /11 12 /11
12 /11
12 /11
12 /11
12 /11
126/11
5
8
48
-1
2
/770-(0
1-(0
/11/770-(1
/11-(/77-((45/77 • 8/11) • 8/11):1 • 8/11):1 (126/11 • 8/11 (247/77 • 8/11) • 8/11):1 9/11 •8/11): 59/77 • 8/11):
:126/11
26/11
26/11
):126/11
:126/11
26/11
126/11
126/11
1
/ -(-16
-8
-15
9
/770-(0 • - 0-(0 • /11/770-(1 • - 9 11 /77-(/
•
11
59
(45/77 • - 8/11):12 8/11):12 (126/11 • (247/77 • - 8/11):12 8
/77 • 6
/
):12
/
11
1
8
6
8
6
8
/11):126/11 6/11
/11
/11):126/11 8/11):126/11
/11
/11):126/11
1
Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис
x1
x3
x2
F(X2)
B
31
/322
15
/322
5
/161
-4
/23
x1
1
0
0
0
x2
0
0
1
0
x3
0
1
0
0
x4
x5
117
/322 -11/138
67
/322 11/138
76
/161 -4/69
-1
/23 4/69
x6 x7
3
/46 -79/966
-3
/46 -59/966
-1
/23 34/483
1
/23 5/69
Итерация №2.
1. Проверка критерия оптимальности.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся
отрицательные коэффициенты.
2. Определение новой базисной переменной.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x4, так как
это наибольший коэффициент по модулю.
3. Определение новой свободной переменной.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai4
и из них выберем наименьшее:
min (31/322 : 117/322 , 15/322 : 67/322 , 5/161 : 76/161 ) = 5/76
Следовательно, 3-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (76/161) и находится на пересечении ведущего
столбца и ведущей строки.
Базис B x1 x2 x3
x1 31/322 1 0 0
x4
x5 x6
117
/322 -11/138 3/46
x7 min
-79
/966 31/117
x3 15/322 0 0 1
x2 5/161 0 1 0
F(X3) -4/23 0 0 0
67
/322
11
/138 -3/46
-4
/69 -1/23
4
/69 1/23
-59
/966
34
/483
5
/69
15
/67
0
4. Пересчет симплекс-таблицы.
Формируем следующую часть симплексной таблицы.
Вместо переменной x2 в план 3 войдет переменная x4.
Строка, соответствующая переменной x4 в плане 3, получена в результате
деления всех элементов строки x2 плана 2 на разрешающий элемент РЭ=76/161
На месте разрешающего элемента в плане 3 получаем 1.
В остальных клетках столбца x4 плана 3 записываем нули.
Таким образом, в новом плане 3 заполнены строка x4 и столбец x4.
Все остальные элементы нового плана 3, включая элементы индексной строки,
определяются по правилу прямоугольника.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
B
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
31
117
-11
3
-79
/3221-(0
0-(1
0-(0
/322/138-(/46-(/9665
117
117
117
117
76
117
4
117
1
117
34
( /161 • /32 • /322) • /322) • /322) ( /161 • /3 /69 • /322 /23 • /322 ( /483 •117/3
76
76
76
:76/161 :76/161 :76/161
):76/161
):76/161
2): /161
22): /161
22): /161
15
67
11
-3
-59
/3220-(0
0-(1
1-(0
/322/138-(/46-(/9665
67
67
67
67
76
67
4
67
1
67
34
( /161 • /322 • /322): • /322): • /322): ( /161 • /32 /69 • /322) /23 • /322) ( /483 •67/32
76
76
76
76
76
):76/161
/161
/161
/161
:76/161
:76/161
2): /161
2): /161
5
/161 : 76/161 0 : 76/161 1 : 76/161 0 : 76/161
/230-(0 • - 0-(1 • - 0-(0 • 1
( /161 •
/23):76/1 1/23):76/1 1/23):76/1
1
/23):76/161
61
61
61
-4
5
76
/161 : 76/161
-1
/23( /161 • 1
/23):76/161
76
4
-
/69 : 76/161 1/23 : 76/161
4
1
/69-(/23-(4
1
/69 •
/23 • 1
/23):76/161 1/23):76/161
34
/483 : 76/161
5
/69( /483 • 1
/23):76/161
34
Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис
x1
x3
x4
F(X3)
B
11
/152
5
/152
5
/76
-13
/76
x1 x2
1 -117/152
0 -67/152
0 29/76
0 7/76
x3
0
1
0
0
x4
0
0
1
0
x5 x6
x7
-2
/57 15/152 -31/228
2
/19 -7/152 -7/76
-7
/57 -7/76 17/114
1
/19 3/76 3/38
1. Проверка критерия оптимальности.
Среди значений индексной строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица
определяет оптимальный план задачи.
Окончательный вариант симплекс-таблицы:
Базис
x1
x3
x4
F(X4)
B
11
/152
5
/152
5
/76
-13
/76
x1 x2
1 -117/152
0 -67/152
0 29/76
0 7/76
x3
0
1
0
0
x4
0
0
1
0
x5 x6
x7
-2
/57 15/152 -31/228
2
/19 -7/152 -7/76
-7
/57 -7/76 17/114
1
/19 3/76 3/38
Оптимальный план можно записать так:
x1 = 11/152
x3 = 5/152
x4 = 5/76
F(X) = 1•11/152 + 1•5/152 + 1•5/76 = 13/76
Анализ оптимального плана.
Значение 0 в столбце x1 означает, что использование x1 - выгодно.
Значение 7/76> 0 в столбце x2 означает, что использование x2 - не выгодно.
Значение 0 в столбце x3 означает, что использование x3 - выгодно.
Значение 0 в столбце x4 означает, что использование x4 - выгодно.
Значение 1/19 в столбце x5 означает, что теневая цена (двойственная оценка)
равна 1/19.
Значение 3/76 в столбце x6 означает, что теневая цена (двойственная оценка)
равна 3/76.
Значение 3/38 в столбце x7 означает, что теневая цена (двойственная оценка)
равна 3/38.
Ответы на вопросы преподавателя:
1. По какому методу пересчитываются симплекс-таблицы?
Используется правило прямоугольника (метод жордановских преобразований).
2. Обязательно ли каждый раз выбирать максимальное значение из
индексной строки?
Можно не выбирать, но это может привести к зацикливанию алгоритма.
3. В индексной строке в n-ом столбце нулевое значение. Что это означает?
Нулевые значения должны соответствовать переменным, вошедшим в базис.
Если в индексной строке симплексной таблицы оптимального плана находится
нуль, принадлежащий свободной переменной, не вошедшей в базис, а в
столбце, содержащем этот нуль, имеется хотя бы один положительный элемент,
то задача имеет множество оптимальных планов.
Свободную переменную, соответствующую указанному столбцу, можно внести
в базис, выполнив соответствующие этапы алгоритма. В результате будет
получен второй оптимальный план с другим набором базисных переменных.
Составим двойственную задачу к прямой задаче.
7y1 + 2y2 + 7y3≤1
9y1 + 11y2≤1
y1 + 10y2 + 7y3≤1
7y1 + 8y2 + 4y3≤1
y1 + y2 + y3 → max
y1 ≥ 0
y2 ≥ 0
y3 ≥ 0
Решение двойственной задачи дает оптимальную систему оценок ресурсов.
Используя последнюю итерацию прямой задачи найдем, оптимальный план
двойственной задачи.
Из теоремы двойственности следует, что Y = C*A-1.
Составим матрицу A из компонентов векторов, входящих в оптимальный базис.
71 7
A = (A1, A3, A4) = 2 10 8
77 4
Определив обратную матрицу D = А-1 через алгебраические дополнения,
получим:
2/57 -15/152 31/228
-1
D = A = -2/19 7/152
7/57 7/76
7/76
-17/114
Как видно из последнего плана симплексной таблицы, обратная матрица A1
расположена в столбцах дополнительных переменных.
Тогда Y = C*A-1 =
2/57 -15/152 31/228
(1, 1, 1) x -2/19 7/152
7/57 7/76
7/76
= (1/19;3/76;3/38)
-17/114
Оптимальный план двойственной задачи равен:
y1 = 1/19
y2 = 3/76
y3 = 3/38
Z(Y) = 1*1/19+1*3/76+1*3/38 = 13/76
Критерий оптимальности полученного решения. Если существуют такие
допустимые решения X и Y прямой и двойственной задач, для которых
выполняется равенство целевых функций F(x) = Z(y), то эти решения X и Y
являются оптимальными решениями прямой и двойственной задач
соответственно.
Определение дефицитных и недефицитных (избыточных) ресурсов. Вторая
теорема двойственности.
Подставим оптимальный план прямой задачи в систему ограниченной
математической модели:
7*11/152 + 9*0 + 1*5/152 + 7*5/76 = 1 = 1
2*11/152 + 11*0 + 10*5/152 + 8*5/76 = 1 = 1
7*11/152 + 0*0 + 7*5/152 + 4*5/76 = 1 = 1
1-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что
1-ый ресурс полностью используется в оптимальном плане, является
дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от
нуля (y1>0).
2-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что
2-ый ресурс полностью используется в оптимальном плане, является
дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от
нуля (y2>0).
3-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что
3-ый ресурс полностью используется в оптимальном плане, является
дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от
нуля (y3>0).
Таким образом, отличную от нуля двойственные оценки имеют лишь те виды
ресурсов, которые полностью используются в оптимальном плане. Поэтому
двойственные оценки определяют дефицитность ресурсов.
Обоснование эффективности оптимального плана.
При подстановке оптимальных двойственных оценок в систему ограничений
двойственной задачи получим:
7*1/19 + 2*3/76 + 7*3/38 = 1 = 1
9*1/19 + 11*3/76 + 0*3/38 = 69/76 < 1
1*1/19 + 10*3/76 + 7*3/38 = 1 = 1
7*1/19 + 8*3/76 + 4*3/38 = 1 = 1
Анализ устойчивости оптимального плана.
Проведем анализ устойчивости оптимального плана и оценим степень влияния
изменения ресурсов на значение целевой функции.
Чувствительность решения к изменению коэффициентов целевой функции.
Так как любые изменения коэффициентов целевой функции оказывают влияние
на оптимальность полученного ранее решения, то наша цель - найти такие
диапазоны изменения коэффициентов в целевой функции (рассматривая каждый
из коэффициентов отдельно), при которых оптимальные значения переменных
остаются неизменными.
Пусть каждое значение параметра целевой функции изменится на ∆ сi. Найдем
интервалы, при которых будет экономически выгодно использование ресурсов.
Допустимые диапазоны изменения коэффициентов в целевой функции
определятся из соотношений:
1-ый параметр целевой функции может изменяться в пределах:
∆c-1 = min [yk/d1k] для d1k>0.
∆c+1 = |max[yk/d1k]| для d1k<0.
где в знаменателе коэффициенты столбцов свободных переменных в
оптимальном плане (коэффициенты структурных сдвигов, элементы обратной
матрицы к базису оптимального плана).
Таким образом, 1-параметр может быть уменьшен на 18/31 или увеличен на 2/5
Интервал изменения равен:
(c1 - ∆c1-; c1 + ∆c1+)
[1-18/31; 1+2/5] = [13/31;7/5]
Если значение c1 будет лежать в данном интервале, то оптимальный план не
изменится.
3-ый параметр целевой функции может изменяться в пределах:
∆c-3 = min [yk/d3k] для d3k>0.
∆c+3 = |max[yk/d3k]| для d3k<0.
Таким образом, 3-параметр может быть уменьшен на 6/7 или увеличен на 1/2
Интервал изменения равен:
(c3 - ∆c3-; c3 + ∆c3+)
[1-6/7; 1+1/2] = [1/7;3/2]
Если значение c3 будет лежать в данном интервале, то оптимальный план не
изменится.
4-ый параметр целевой функции может изменяться в пределах:
∆c-4 = min [yk/d4k] для d4k>0.
∆c+4 = |max[yk/d4k]| для d4k<0.
Таким образом, 4-параметр может быть уменьшен на 3/7 или увеличен на 9/17
Интервал изменения равен:
(c4 - ∆c4-; c4 + ∆c4+)
[1-3/7; 1+9/17] = [4/7;26/17]
Если значение c4 будет лежать в данном интервале, то оптимальный план не
изменится.
Чувствительность решения к изменению запасов сырья.
Из теоремы об оценках известно, что колебание величины bi приводит к
увеличению или уменьшению f(X).
Оно определяется величиной yi в случае, когда при изменении величин
bi значения переменных уi в оптимальном плане соответствующей двойственной
задачи остаются неизменными.
Поэтому необходимо найти такие интервалы изменения каждого из свободных
членов системы ограничений исходной ЗЛП, в которых оптимальный план
двойственной задачи не менялся бы.
Найдем интервалы устойчивости ресурсов.
1-ый запас может изменяться в пределах:
∆b-1 = min[xk/dk1] для dk1>0.
∆b+1 = |max[xk/dk1]| для dk1<0.
Таким образом, 1-ый запас может быть уменьшен на 15/28 или увеличен на 5/16
Интервал изменения равен:
(b1 - ∆b-1; b1 + ∆b+1)
[1-15/28; 1+5/16] = [13/28;21/16]
2-ый запас может изменяться в пределах:
∆b-2 = min[xk/dk2] для dk2>0.
∆b+2 = |max[xk/dk2]| для dk2<0.
Таким образом, 2-ый запас может быть уменьшен на 5/7 или увеличен на 11/15
Интервал изменения равен:
(b2 - ∆b-2; b2 + ∆b+2)
[1-5/7; 1+11/15] = [2/7;26/15]
3-ый запас может изменяться в пределах:
∆b-3 = min[xk/dk3] для dk3>0.
∆b+3 = |max[xk/dk3]| для dk3<0.
Таким образом, 3-ый запас может быть уменьшен на 5/14 или увеличен на 15/34
Интервал изменения равен:
(b3 - ∆b-3; b3 + ∆b+3)
[1-5/14; 1+15/34] = [9/14;49/34]
1-ое ограничение двойственной задачи выполняется как равенство. Это
означает, что 1-ый ресурс экономически выгодно использовать, а его
использование предусмотрено оптимальным планом прямой задачи (x1>0).
2-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 2-го вида
использовать экономически не выгодно. И действительно в оптимальном плане
прямой задачи x2 = 0.
Поскольку теневая (альтернативная) цена меньше рыночной цены этого
продукта, то производство данного продукта выгодно.
При этом разница между ценами (69/76 - 1 = -7/76) показывает величину изменения
целевой функции F(x) при введении дополнительной единицы xi.
3-ое ограничение двойственной задачи выполняется как равенство. Это
означает, что 3-ый ресурс экономически выгодно использовать, а его
использование предусмотрено оптимальным планом прямой задачи (x3>0).
4-ое ограничение двойственной задачи выполняется как равенство. Это
означает, что 4-ый ресурс экономически выгодно использовать, а его
использование предусмотрено оптимальным планом прямой задачи (x4>0).
Влияние запасов ресурсов на оптимальное решение прямой задачи.
Величина двойственной оценки показывает, на сколько уменьшается значение
целевой функции F(x) при уменьшении дефицитного ресурса на единицу.
-1 2 3
A = 2 1 -4
2 31
BT = (1,1,1)
Главный определитель: