SMat.Met.u.F(AufgabenFern)2013

Контрольные задания и список литературы по дисциплине «Специальные математические
методы и функции»
Тема № 1
1. Оцените аддитивную, мультипликативную и тотальную сложность вычисления значения
полинома 𝑝(3), где 𝑝(𝑥) = 3𝑥 3 + 4𝑥 2 + 4𝑥 + 1:
– при непосредственном вычислении;
– при помощи схемы (алгоритма) Горнера.
2. Оцените аддитивную, мультипликативную и тотальную сложность вычисления значения
полинома 𝑝(3), где 𝑝(𝑥) = 2𝑥 4 + 5𝑥 3 + 4𝑥 2 + 4𝑥 + 1:
– при непосредственном вычислении;
– при помощи схемы (алгоритма) Горнера.
Тема № 2.
1. Вычислите множество значений дискретного многочлена Чебышева 𝑇𝑘 (𝑛) =
2
√ cos
𝑁
(2𝑛+1)𝑘𝜋
2𝑁
, для 𝑁 = 4, 𝑘 = 1, 𝑛 = 0, … , 𝑁 − 1.
2. Вычислите множество значений дискретного многочлена Чебышева 𝑇𝑘 (𝑛) =
2
(2𝑛+1)𝑘𝜋
𝑁
2𝑁
√ cos
, для 𝑁 = 8, 𝑘 = 2, 𝑛 = 0, … , 𝑁 − 1.
Тема № 3.
2 3
1 2 0
1.а. Вычислить матричное произведение 𝐴𝐵, если 𝐴 = [
], 𝐵 = [
].
4 0
5 ‒1 0
2
1.б. Вычислите кронекеровское (прямое) произведение матриц 𝐴⊗𝐵, если 𝐴 = [
4
1 2 0
[
].
5 ‒1 0
1.в. Вычислить значение матрицы 𝑈 = 𝑅 ∨ 𝑆.
1 1 0
1 0 1
U = [1 1 0 ] ∨ [0 1 1 ] =
1 0 0
1 1 0
1.г. Вычислить значение матрицы 𝐼 = 𝑅 ∧ 𝑆.
1 1 0
1 0 1
𝐼 = [1 1 0] ∧ [0 1 1] =
1 0 0
1 1 0
1.д. Вычислить булево произведение матриц R ⨀ S.
1 1 0 0
1 1 0
[
] ⨀ [0 0 1 0 ] =
0 0 1
1 1 0 0
3
], 𝐵 =
0
Тема № 4.
1. Показать, что группа 𝐺 = < {0,1, 2, 3, 4, 5}; +; 0> содержит подгруппы порядков: 1, 2, 3 и 6.
2. Задана мультипликативная группа < {1, ‒ 1, 𝑗, ‒ 𝑗}; •; 1>. Каков порядок 𝑗? Каков порядок
‒1? Какой элемент может быть использован в качестве порождающего элемента 𝛼?
3. Задано множество целых чисел 𝐺 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Найти функцию Эйлера 𝜙(7).
4. Задана мультипликативная абелева группа 𝐺 = <{1, 2, 3, 4}5 ;•;1>.
Построить возможные циклические группы. Определить число примитивных элементов
группы.
5. Множество 𝐸 всех четных чисел является подмножеством целых чисел 𝑍 = {0, ±1, ±2, …}.
Показать, что < 𝐸; ± > ‒ подгруппа группы < Z; ± >.
Тема № 5.
1. Построить поле порядка 𝐺𝐹( 23 ) , используя неприводимый над полем 𝐺𝐹(2) полином
𝑝(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑥 2 + 1. Записать элементы поля 𝐺𝐹( 23 ) через степенное, векторное и
многочленное представление.
2. Привести четыре формы представления элементов поля Галуа 𝐺𝐹(22 ). Поле образовано
многочленами над полем 𝐺𝐹(2) по модулю неприводимого многочлена 𝑝(𝑥) = (1+ 𝑥 + 𝑥 2 ).
3. Привести четыре формы представления элементов поля Галуа 𝐺𝐹(24 ). Поле образовано
многочленами над полем 𝐺𝐹(2) по модулю неприводимого многочлена 𝑝(𝑥) = (1+ 𝑥 3 + 𝑥 4 ).
Тема № 6
1. Составить таблицы умножения и сложения (таблицы Кэли) элементов поля Галуа 𝐺𝐹(24 ).
Поле порождается неприводимым над полем 𝐺𝐹(2), полиномом 𝑝(𝑥) = (𝑥 4 + 𝑥 + 1).
2. Составить таблицы деления и сложения (таблицы Кэли) элементов поля Галуа 𝐺𝐹(24 ).
Поле порождается, неприводимым над полем 𝐺𝐹(2), полиномом 𝑝(𝑥) = (𝑥 4 + 𝑥 3 + 1).
3. Составить таблицы деления и вычитания (таблицы Кэли) элементов поля Галуа 𝐺𝐹(23 ).
Тема № 7
1. Найти расстояния Хэмминга векторов:
𝑑𝑖𝑠𝑡(1, 0, 0, 1, 1, 1, 0; 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0) = ,
𝑑𝑖𝑠𝑡(1, 2, 2, 1, 1, 1; 2, 1, 1, 0, 1, 0) = .
Тема №8
1. Построить порождающую 𝐺 и проверочную 𝐻 матрицу линейного группового кода с
проверкой на четность с параметрами [𝑛; 𝑛 ‒1; 2], 𝑘 = 3.
2. Построить порождающую 𝐺 и проверочную 𝐻 матрицы линейного группового кода с
повторением с параметрами [𝑛; 1; 𝑛], 𝑛 = 5.
3. Построить порождающую 𝐺 и проверочную 𝐻 матрицы линейного группового кода
Хэмминга с параметрами [7; 4; 3].
4. Построить порождающую 𝐺 и проверочную 𝐻 матрицы линейного группового
расширенного кода Хэмминга с параметрами [8; 4; 4].
5. Задана проверочная матрица 𝐻 линейного группового кода.
1 1 0 1 0 0
𝐻 = [0 1 1 0 1 0].
1 0 1 0 0 1
Построить порождающую матрицу 𝐺 этого кода.
Тема № 9
1. Используйте таблицу смежных классов кода (Тема №8, п.1) для контроля над ошибками
(обнаружения или исправления ошибок), если получены слова: 𝑦1 = 0101, 𝑦2 = 1011.
2. Используйте таблицу смежных классов кода (Тема №8, п.2) для контроля над ошибками
(обнаружения или исправления ошибок), если получены слова: 𝑦1 = 11111, 𝑦2 = 01011.
3. Используйте таблицу смежных классов кода (Тема №8, п.3) для контроля над ошибками
(обнаружения или исправления ошибок), если получены слова: 𝑦1 = 1111100, 𝑦2 =
0101101.
Тема № 10.
1. Используйте метод синдромного декодирования линейного группового кода (Тема №8,
п.1) для контроля над ошибками, если получены слова: 𝑦1 = 0101, 𝑦2 = 1011.
2. Используйте метод синдромного декодирования линейного группового кода (Тема №8,
п.4) для контроля над ошибками, если получены слова: 𝑦1 = 01011100, 𝑦2 = 10110011.
3. 1. Используйте метод синдромного декодирования линейного группового кода (Тема №8,
п.5) для контроля над ошибками, если получены слова: 𝑦1 = 010110, 𝑦2 = 101110.
Тема № 11
1. Источник имеет следующие символы алфавита с их частотами появления:
символ а
б
с
д
е
я
частота 8
6
3
4
5
2
Постройте кодовое дерево Хаффмана. Запишите код Хаффмана.
2. Источник имеет следующие символы алфавита с их частотами появления:
символ а
щ
н
х
з
к
и
частота 8
2
12
1
4
7
6
Постройте кодовое дерево Хаффмана. Запишите код Хаффмана.
3. Источник имеет следующие символы алфавита с их частотами появления:
символ а
н
т
я
е
в
к
р
частота 7
12
3
2
9
4
5
8
Постройте кодовое дерево Хаффмана. Запишите код Хаффмана
т
1
Тема № 12
1. Записать матричное соотношение расчета апериодической (линейной) дискретной
функции взаимной корреляции последовательностей 𝑥(𝑛) = {1, 2, 2, 1, 1, 1} и ℎ(𝑛) = {2, 1, 1}.
Вычислить коэффициенты корреляции, построить график корреляционной функции.
2. Записать матричное соотношение расчета апериодической (линейной) дискретной
функции взаимной корреляции последовательностей 𝑥(𝑛) = {2, 2, 2, 1, 1} и ℎ(𝑛) = {2, 1}.
Вычислить коэффициенты корреляции, построить график корреляционной функции.
3. Записать матричное соотношение расчета апериодической (линейной) дискретной
функции взаимной корреляции последовательностей 𝑥(𝑛) = {3, 2, 2, 1} и ℎ(𝑛) = {2, 1, 3}.
Вычислить коэффициенты корреляции, построить график корреляционной функции.
Тема № 13.
1. Записать матричное соотношение расчета периодической (циклической) дискретной
функции взаимной корреляции последовательностей
𝑥(𝑛) = {1, 2, 2, 1, 1, 1} и ℎ(𝑛) =
{2, 1, 1, 0, 1, 0}. Вычислить коэффициенты корреляции, построить график корреляционной
функции.
2. Записать матричное соотношение расчета периодической (циклической) дискретной
функции взаимной корреляции последовательностей
𝑥(𝑛) = {2, 2, 2, 1, 1} и ℎ(𝑛) =
{1, 1, 2, 2, 2}. Вычислить коэффициенты корреляции, построить график корреляционной
функции.
3. Записать матричное соотношение расчета периодической (циклической) дискретной
функции автокорреляции последовательности 𝑥(𝑛) = {3, 2, 2, 1}. Вычислить коэффициенты
корреляции, построить график корреляционной функции.
4. 10. Записать матричное соотношение расчета периодической (циклической) дискретной
функции автокорреляции последовательности 𝑥(𝑛) = {−1 − 1 − 111 − 11}. Вычислить
коэффициенты корреляции, построить график корреляционной функции.
Тема № 14. Алгоритм «разделяй и властвуй». Вычисление полинома в точках с помощью
алгоритма «разделяй и властвуй». Привести пример.
Литература
1. Андерсон Дж. А. Дискретная математика и комбинаторика.: Пер. с англ.‒ М.: Вильямс,
2004.
2. Теория прикладного кодирования: Учеб. пособие. В 2т./ В.К. Конопелько, А.И. Митюхин и
др.; Под ред. проф. В.К. Конопелько.‒ Мн.: БГУИР, 2004.
3. Митюхин, А. И., Пачинин В.И. Элементы алгебраических структур теории кодирования:
учеб. пособие / А. И. Митюхин, Пачинин В. И. ‒ Минск : БГУИР, 2012.
4. Лидл Р., Нидеррайдер Г. Конечные поля: В 2т. ‒ М.: Мир, 1988.
5. Хаггарти Р. Дискретная математика для программистов. Москва: Техносфера, 2005.
6. Лосев В.В. Микропроцессорные устройства обработки информации. Алгоритмы цифровой
обработки: Учеб. пособие. ‒ Мн.: Вышэйшая школа, 1990.
7. Луенбергер Д. Дж. Информатика.‒ Москва: Техносфера, 2008.
8. Вернер М. Основы кодирования. Учебник для вузов. Москва. : Техносфера, 2004.
10. Овсянников В.А. Методы формирования и цифровой обработки сигналов. Учебное
пособие для студентов специальности «Радиосвязь, радиовещание и телевидение» в 2-ух
частях. ‒Мн.: БГУИР 2010.
11. Ахмед Н., Рао К.Р. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов. –
М.: Связь, 1980.
12. Морелос-Сарагоса Р. Искусство помехоустойчивого кодирования. Методы алгоритмы,
применение. Учебное пособие. – М.: Техносфера, 2005.
13. Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоэн Н.Дж. Теория кодов, исправляющих ошибки. – М.: Связь,
1979.
14. Касами Т., Токура Н., Ивадари Ё., Инагаки Я. Теория кодирования Пер. с яп.- М.: Мир,
1978.
15. Муттер В.М. Основы помехоустойчивой телепередачи информации. Л.: Энергоатомиздат.
Ленингр. отд‒ние, 1990.
16. Блейхут Р. Теория и практика кодов, контролирующих ошибки: Пер. с англ.М.: Мир,
1986.
17. Кларк Дж., Кейн Дж. Кодирование с исправлением ошибок в системах цифровой связи:
Пер. с англ.-М.: Радио и связь, 1987.
18 Макклеллан Дж.К., Рейдер Ч.М. Применение теории чисел в цифровой обработке
сигналов. - М.: Радио и связь, 1983.
19. Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов.‒ М.: Техносфера, 2006.
20. Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений. ‒ М.: Техносфера, 2005.6. 22.