Свойства логарифмической функции

Логарифмическая функция
Логарифмической функцией называется функция вида y=logax, где а –
постоянная, а>0, а≠1.
Свойства логарифмической функции
1. Областью определения D логарифмической функции является
множество всех положительных чисел R+ - интервал (0; +∞).
2. Множеством (областью) значений логарифмической функции является
множество R всех действительных чисел.
Доказательство: По определению логарифма любого действительного у
справедливо равенство loga(ay)=y, т.е. функция y=logax принимает значение у0
в точке х0=ау0.
3. Логарифмическая функция не имеет ни наименьшего, ни наибольшего
значений.
4. График функции пересекается с осью абсцисс Ох в точке (1; 0) и не
пересекается с осью ординат Оу.
5. Значение аргумента х=1 является нулем логарифмической функции.
6. При а>0 логарифмическая функция принимает отрицательные
значения на интервале (0; 1) и принимает положительные значения на
интервале (1; +∞).
При 0<a<1 логарифмическая функция принимает отрицательные
значения на интервале (1; +∞) и принимает положительные значения на
интервале (0; 1).
7. Логарифмическая функция не является ни четной, ни нечетной.
8. При a>0 логарифмическая функция возрастает на всей области
определения.
Доказательство: Пусть х1 и х2 – произвольные положительные числа и
х2>х1. Докажем, что logax2>logax1. Допустим, что logax2≤logax1. Так как
показательная функция у=ах при а>1 возрастает, то alogax2≤alogax1. Но
alogax2=x2, alogax1=x1 (по определению логарифма), следовательно х2≤х1.
Получили противоречие. Значит, при х2>х1 logax2>logax1, т.е. функция
возрастающая.
При 0<a<1 логарифмическая функция убывает на всей области
определения.
10. Логарифмическая функция не является периодической.
График логарифмической функции
a>1
0<a<1
Логарифмическая функция является взаимно обратной к показательной
функции с тем же основанием.
Для
любого
хR
ax=logaax=xlogaa=x.
Для
любого
х(0;
+∞):
logax=alogax=x.
Примеры решения задач
Пример 1. Найти область определения функции у=log 8 (4 − 5𝑥).
Решение. Область определения логарифмической функции – множество
R+. Поэтому заданная функция определена только для тех х, при которых
4 – 5х>0, т.е при x<0,8.
Следовательно, областью определения заданной функции является
интервал ( - ∞; 0,8).
Ответ: ( - ∞; 0,8)
Пример 2. Найти область определения функции у=log 2 (𝑥 2 − 3𝑥 − 4).
Решение. Функция определена для всех х, при которых х2 – 3х – 4>0.
Решая это квадратное неравенство, получаем, что D – объединение интервалов
( - ∞; - 1)(4; +∞).
Ответ: ( - ∞; - 1)(4; +∞)
Найдите область определения функции:
1
4
1) 𝑦 = √5 + log 5 (1 − )
𝑥
4) 𝑦 = √6 − 𝑥 +
1
log2 (𝑥−1)
4
7) 𝑦 = √3𝑥 + 1 + log 2 (3 − 𝑥)
10) 𝑦 = √(𝑥 2 − 3𝑥 + 2) lg(3 − 𝑥)
2) 𝑦 = lg
𝑥 2 −10𝑥+25
2𝑥−8
3) 𝑦 = lg
𝑥 2 −4𝑥+4
3−𝑥
5) 𝑦 = √log 0,2 (𝑥 − 1)
6) 𝑦 = √log 0,3 𝑥 − 2
8) 𝑦 = log 𝑥−2 (4𝑥 − 3)
9) 𝑦 = √log 0,2 𝑥 − 3
Пример 3. Сравнить числа log 3 5 и log 3 7.
Решение. Логарифмическая функция с основанием большим 1 возрастает
на всей числовой прямой. Так как 7>5, то log 3 7 > log 3 5.
Ответ: log 3 7 > log 3 5
Пример 4. Сравнить числа log 3 10 и log 4 12.
Решение. 10>9=32, и поэтому log 3 10>2. С другой стороны, 12<16=42,
следовательно, log 4 12<2. Отсюда log 3 10>log 4 12.
Ответ: log 3 10>log 4 12
Пример
5.
Найдите
√1 − log 8 (𝑥 2 − 4𝑥 + 3).
область
определения
функции
𝑦=
Решение. Поскольку логарифмическая функция определена только для
положительных чисел, а квадратный корень – для неотрицательных чисел,
𝑥 2 − 4𝑥 + 3 > 0,
задача сводится к решению системы неравенств {
.
1 − log 8 (𝑥 2 − 4𝑥 + 3) ≥ 0
Левую часть первого неравенства разложим на множители, а во втором
(𝑥 − 3)(𝑥 − 1) > 0,
заменим 1 на log 8 8. Получим систему {
.
log 8 (𝑥 2 − 4𝑥 + 3) ≤ log 8 8
Так как основание логарифма больше 1, то функция 𝑦 = log 8 𝑥 является
(𝑥 − 3)(𝑥 − 1) > 0,
(𝑥 − 3)(𝑥 − 1) > 0,
возрастающей: { 2
{
.
(𝑥 − 5)(𝑥 + 1) ≤ 0
𝑥 − 4𝑥 + 3 ≤ 8
Решим систему методом интервалов:
Ответ: [ - 1; 1)(3; 5]
Пример 6. Найти точки пересечения графика функции 𝑦 = lg(√𝑥 + 3 +
√3𝑥 − 2 − 6) с осями координат.
Решение. Число х=0 не входит в область определения функции,
следовательно, график функции не пересекает ось ординат.
Если у=0, то lg(√𝑥 + 3 + √3𝑥 − 2 − 6) = 0; √𝑥 + 3 + √3𝑥 − 2 − 6 = 1;
√𝑥 + 3 + √3𝑥 − 2 = 7.
𝑥 ≥ −3,
2
𝑥 + 3 ≥ 0,
2 𝑥 ≥ .
Область определения этого уравнения {
{
3
𝑥≥
3𝑥 − 2 ≥ 0
3
Перепишем уравнение √𝑥 + 3 + √3𝑥 − 2 = 7 в виде 7 − √𝑥 + 3 =
√3𝑥 − 2 и возведем обе части в квадрат. С учетом того, что 7 − √𝑥 + 3 ≥ 0,
2
получим область определения уравнения ≤ 𝑥 ≤ 46.
3
Уравнение примет вид:3𝑥 − 2 = 49 + 𝑥 + 3 − 14√𝑥 + 3. Преобразуем
полученное уравнение: 14√𝑥 + 3 = 54 − 2𝑥; 7√𝑥 + 3 = 27 − 𝑥. Снова возведем
2
обе части уравнения в квадрат с учетом того, что 27 - х0; ≤ 𝑥 ≤ 27.:
3
49(х+3)=729 – 54х+х  49х+147=729 - 54х+х .
2
2
Отсюда х2 – 103х+582=0; корни этого уравнения х=6; х=97. Последний
2
корень не попадает в область ≤ 𝑥 ≤ 27, следовательно, корень уравнения х=6.
3
Тогда точка пересечения графика с осью Ох имеет координаты (6; 0).
Ответ: (6; 0)
Пример 7. Определить знак числа log 7 35.
Решение. Поскольку основание логарифма больше 1 (а=7) и значение,
стоящее под знаком логарифма, больше 1 (b=35), то из свойств
логарифмической функции log 7 35 > 0.
Ответ: log 7 35 > 0
Пример 8. Сравнить числа log11 110 и log13 180.
Решение. Используем тот факт, что логарифмические функции с
основанием 11 и 13 монотонно возрастают. Поэтому log11 110 < log11 121=2;
log13 180 > log13 169 = 2. Тогда log11 110< log13 180.
Ответ: log11 110< log13 180
Пример 9. Установить, между какими последовательными целыми
числами находится число log 7 256.
Решение. Поскольку логарифмическая функция с основанием 7
монотонно возрастает, то log 7 49< log 7 256< log 7 343; 2< log 7 256<3.
Ответ: 2< log 7 256<3
Пример 10. Найти функцию, обратную функции 𝑦 = 3𝑥−2 − 2.
Решение. Найдем функцию, обратную данной: 𝑥 = 3𝑦−2 − 2, 3𝑦−2 = 𝑥 +
2, log 3 3𝑦−2 = log 3 (𝑥 + 2), (𝑦 − 2)log 3 3 = log 3 (𝑥 + 2), 𝑦 − 2 = log 3 (𝑥 + 2),
𝑦 = log 3 (𝑥 + 2) + 2.
Ответ: 𝑦 = log 3 (𝑥 + 2) + 2
Упражнения
1. Найдите область определения функции:
1) log 1 𝑥
5
6) log 5 |𝑥|
2) log 6 𝑥 2
3) lgx
7) log 2 (𝑥 − 1)
8) log1,4 |𝑥 − 2| 9) log 6 𝑥 2
4) log 5 (−2𝑥)
5) lg(6 – x)
10) lg(𝑥 + 6)
2. Найдите область определения функции:
1) lg(2𝑥 2 − 9𝑥 + 4)
2) log 4 ( 2 − 2𝑥 2 + 3𝑥)
3) log 2
2−3𝑥
2𝑥+5
4
1
𝑥
4
4) log 3 ( − )
5) log 5
7) log 2 ( 4𝑥 2 + 20𝑥 + 25)
8) lg
3
6𝑥−5
6) lg(|x+1| - 1)
4𝑥+1
9) lg(1 – sinx)
𝑥+2
|𝑥−2|
10) log 8 ( 9𝑥 2 − 6𝑥 + 1)
3. Среди точек укажите те, которые принадлежат графику:
1
1
1) 𝑦 = log 4 𝑥: A(8; 3), B( ; 1)
2) 𝑦 = log 5 𝑥: A( - 5; 1), B( ; 1)
4
5
1
1
3) 𝑦 = log 2 𝑥: A(16; 4), B( ; 3)
4) 𝑦 = log 2 𝑥: A(8; 4), B( ; - 3)
8
8
1
1
5) 𝑦 = log 4 𝑥: A(16; 2), B( ; - 3)
6) 𝑦 = log 3 𝑥: A(9; 2), B( ; - 3)
7) 𝑦 = log 2 𝑥: A(32; 4), B(32; 5)
8) 𝑦 = log 4 𝑥: A(0; 1), B(1; 0)
64
9
1
1
9) 𝑦 = log 5 𝑥: A(5; - 1), B( ; - 2)
10) 𝑦 = log 3 𝑥: A(8; 2), B( ; - 2)
25
9
4. Сравните числа:
1) log 3 15 и log 3 20
2) lg√5 и lg3,5
3) log 1 1 и log 1
2
4) log 1 10 и log 1 10
2
3
7) lg20,3 и lg0,32
2
2
9
5) log 4 7 и log 5 7
6) log 4 0,5 и log 4 0,4
8) log 0,2 1,7 и log 0,2 1,8
9) lg√0,7 и lg
8
13
10) log 1 10 и log 1 10
2
3
5. Определите возрастающей или убывающей является функция:
1) 𝑦 = log 8 𝑥
5) 𝑦 =
1
log5 𝑥
9) 𝑦 = log 0,7 𝑥
2) 𝑦 = log 𝑐𝑡𝑔300
6) 𝑦 =
𝑥
4
1
log1 𝑥
3) 𝑦 = log √3 𝑥
4) 𝑦 = log 3 (3 − 𝑥)
7) 𝑦 = log 1 𝑥
8) 𝑦 = log 𝑠𝑖𝑛𝜋 2𝑥
4
3
6
10) 𝑦 = log 1 (8 − 𝑥)
2
6. Найдите область значений функции:
1) y=2lg3x
2) y=lnx – ln(x+1)
3) y=log 2 (𝑥 2 + 2𝑥 − 1) 4) y=ln sinx
5) y=3lg2x
6) y=log 2 (𝑥 2 + 𝑥 + 1)
7) y=log 2 √9 − 𝑥 2
9) y=ln(ex+1)
10) y=log 2 √4 − 𝑥 2
8) y=ln cosx
7. График функции задан формулой 𝑦 = log а 𝑥. Укажите для нее:
а) значение а;
б) область определения и область значений;
в) промежутки возрастания (убывания);
г) координаты точки пересечения графика с осью Ох;
д) промежутки положительных (отрицательных) значений;
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
8. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на интервале:
1
1
1
𝑥
𝑒
1
1) y=lnx, x[ ; e]
2) y= +lnx, x[ ; e2]
3) y=log 5 𝑥, x[ ; 1]
4) y=3lgx+2, x[1; 100]
5) y=log 1 𝑥, x[1; 4]
6) y=log 1 𝑥, x[ ; 4]
𝑒
4
1
8) y=log 9 𝑥, x[ ; 9]
𝑒
1
2
1
7) y=x – lnx, x[ ; e]
5
9
2
9) y=2lgx+3, x[1; 10]
1
10) y=2x2 – lnx, x[ ; 1]
𝑒
9. Изобразите схематично график функции:
1) 𝑦 = log 2 ( 𝑥 − 2)
2) 𝑦 = log 1 𝑥 + 3
4) 𝑦 = log 1 ( 1 − 𝑥)
5) 𝑦 = 1 + log 3 ( 𝑥 − 2)
6) 𝑦 = log 2 ( 𝑥 + 2)
8) 𝑦 = log 1 ( 𝑥 − 3)
9) 𝑦 = log 2 𝑥 − 2
2
7) 𝑦 = log 2 (2 − 𝑥)
3) 𝑦 = log 2 𝑥 + 2
2
2
10) 𝑦 = log 1 ( 𝑥 + 3)
2
10. Изобразите схематично график функции:
1) 𝑦 = log 2 |𝑥|
2) 𝑦 = |log 2 |𝑥||
3) 𝑦 = |log 2 𝑥 |
4) 𝑦 = −|log 0,5 |𝑥||
5) 𝑦 = |log 2 (𝑥 + 1) |
6) 𝑦 = log 2 (|𝑥| − 2)
7) 𝑦 = log 0,5 |𝑥|
8) 𝑦 = |log 0,5 (𝑥 − 2) |
9) 𝑦 = log 0,5 (|𝑥| − 1)
10) 𝑦 = |log 0,5 𝑥 |
Дополнительные задания
1. Определите число корней уравнений, используя графики функций:
1
1) 1 – x=log 3 𝑥
2) x2+2=log 2 𝑥
3) ( )𝑥 =log 3 𝑥
5) log 2 |𝑥|= - 0,5|x|
6) log 0,2 |𝑥|=x2
7) ( )𝑥 =log 2 𝑥
3
1
2
4) log 2 |𝑥|=x2
8) x2 - 4=log 4 𝑥
9) 2x=log 0,5 𝑥
10) log 0,5 𝑥=2x - 2
2. Изобразите схематично график функции:
1) 𝑦 = −1 − log 4 𝑥
2) 𝑦 = log 3 (𝑥 + 2) − 1
3) 𝑦 = log 𝑥 1
4) y=lgtgx+lgctgx
5) 𝑦 = log 2 (𝑥 2 − 4) − log 2 (𝑥 − 2)
6) 𝑦 = 5log5 𝑥
7) y=lg(sin2x)+lg(cos2x)
8) 𝑦 = log 2 (𝑥 2 + 2𝑥 + 1) − log 2 (𝑥 + 1)
9) 𝑦 = 10log𝑥 10
1
10) 𝑦 = log 𝑥 𝑥
3. Сравните числа:
1) log 3 7 и log 7 26
2) log135 675 и log 45 75
3) 3log25 5 и 2log27 3
4) log 5 2 и log 2 12
5) 3√log3 3 и 5√log3 5
6) log18 36 и log 24 72
7) log18 36 и log 24 72
8) 11log9 3 и 6log4 2
9) log 2 5 и log 5 7
10) log 4 26 и log 6 17
4. Определите знак числа:
1) log 3 2
6) log 1
1
53
1
2) lg12
3) log 1
7) log 0,2 2
8) log 1 6
35
5. Определите, между
заключается логарифм:
1) log 2 3
2) log 1 6
6) log 5 0,75
7) log 0,5 25
3
5
какими
4) log 2 0,3
5) lg0,6
9) log √3 √2
10) log 5 0,5
последовательными
целыми
числами
3) log 3 7
4) log 2 10
5) lg50
8) log 2 0,3
9) lg0,03
10) lg245
6. Найдите функцию, обратную данной. Укажите область определения и
область значений обратной функции:
1)
2)
3)
4) 𝑦 = 0,5𝑥−3 + 1
5) 𝑦 = 𝑒 𝑥−1 + 2
6)
7) 𝑦 = log 0,2 𝑥 − 2
8) 𝑦 = log 2 𝑥 + 3
9) 𝑦 = lg(𝑥 + 1) − 3
10) 𝑦 = 2𝑥+1 − 3
Вариант 1
1. Какой из графиков является графиком функции у=log2x?
1
2
3
2. Какой из графиков является графиком функции у= - log2(x-1)?
1
2
3. Найдите по графику значение а.
4. Найдите по графику значение
функции, если значение аргумента
х=2.
5. Найдите по графику значение
аргумента, если значение функции
у= - 1.
6.
Определите
по
графику,
возрастающей
или
убывающей
является данная функция.
7. Укажите интервал, на котором
функция принимает положительные
значения.
8. Постройте график функции у=log2(x - 2).
9. Постройте график функции у= - log3(4x).
10. Для предложенного графика запишите функцию.
3
Вариант 2
1. Какой из графиков является графиком функции у=log0,5x?
1
2
3
2. Какой из графиков является графиком функции у=log2(x+2)?
1
2
3. Найдите по графику значение а.
4. Найдите по графику значение
функции, если значение аргумента
х=4.
5. Найдите по графику значение
аргумента, если значение функции
у=2.
6.
Определите
по
графику,
возрастающей
или
убывающей
является данная функция.
7. Укажите интервал, на котором
функция принимает отрицательные
значения.
8. Постройте график функции у=log4(x+2).
9. Постройте график функции у= - log2(2x).
10. Для предложенного графика запишите функцию.
3