  

Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона – Лейбница.
 х

1
1.Вычислите:
2
 4 х  4 dx
3
 х
2
2. Вычислите:
2
 6 х  9 dx
1
2
3. Вычислите:
 4 x  3dx
1

3
4. Вычислите:  sin 2 xdx
0
4
5. Вычислите:

x dx
1
5
 dx
6. Вычислить интеграл:
3

7. Вычислить интеграл:
cos 2 x  1
0 cos 2 x dx
8. Вычислите интеграл:
 x
0
3
 3x dx
1

9. Вычислите интеграл6  sin 5 xdx
0
0
10. Вычислите интеграл:

х  1dx
1
26
11. Вычислите интеграл:

3
х  1dx
7
 1

12. Вычислите интеграл:   2  1dx

1 x
3

13. Вычислите интеграл:
 cos 2 x  sin 3x dx
0
2
14. Вычислите интеграл:
 1  x  dx
2
0

15. Вычислите интеграл:  cos 2 xdx
0
5
x
dx
5
0
17. Найдите площадь фигуры, ограниченной кривой у = -х2 + 5х и осью абсцисс.
16. Вычислите интеграл:

18. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х 2 – 5х + 4, у = -3х + 4.
19.Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямыми х + у = 4, у = 3х и осью Оу.
20. Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямыми у = 4 – х, у = 3х и осью Ох.
21. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = -х3, у = х2, х = 1.
22. При каких значениях а площадь фигуры, ограниченной линиями у = х 2, у = 0, х = а, равна 9?
23. При каких значениях а площадь фигуры, ограниченной линиями у = х 3, у = 0, х = а, a>0, равна
4?
24. При каких значениях а площадь фигуры, ограниченной линиями у = х 3, у = 0, х = а, а>0,
равна64?
25. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х2 -4х + 9, касательной к
графику этой функции в точке с абсциссой х0 = 3 и осью ординат.
26. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х(3 – х) и осью абсцисс.
27. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х(4 – х) и осью абсцисс.
28. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = 9х – х2 и касательной к этому
графику в его точке с абсциссой 1 и осью ординат.
x
29. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у  sin , y  0, x   .
2
2
30. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = 4х – х , у = 5, х = 0 , х = 3.
1
31. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у  , х  1, х  е, у  0 .
х
32. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = х – х2, у = х2 – х.
4
33. Площадь фигуры, ограниченной линиями у  2 ; у   х  1; х  1 равна:
х
9
34. Площадь фигуры, ограниченной линиями у  2 ; у   х  2; х  2 равна:
х
35. Площадь фигуры, ограниченной линиями у  2  х , у   х 2 равна:
а
36. При каких значениях параметра а значение интеграла
 4  2 х dx не превосходит 3?
0
а
37. При каких значениях параметра а значение интеграла
 1  2 х dx максимально?
0
38. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2х, у = 0, х = 1, х = 3.
39. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х 2 – х и осью абсцисс.
40. Найдите объём фигуры, полученной вращением криволинейной трапеции, ограниченной
линиями у = х2, х = 0 и х = 1, у = 0 вокруг оси абсцисс.
41. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = 2х – х2 и осью абсцисс.
42. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2 и х = у2.
43. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 6х, у = 0, х = 1 и х = 2.
44. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у  х , у  6  х, у  0
1
45. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у  х 3 ; у  2 х
4
46. Найдите площадь фигуры, ограниченной кривыми у = 1 – х2 и у = 0.
47. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 6х –х2 и у = 0.
48. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2х, у = 0, х = 1 . х = 3.
49. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х 2 – х и осью абсцисс.
50.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х 2, у = 0, х = 2.
51. Вычислите площадь фигуры, ограниченную линиями у = 4 –х2, у = 0.
52. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х3, у = 8, х = 1.
53. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = -х2 + 3, у = 2.
54. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х 3, х = 1, х = 3, у = 0.
55. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х 2 -5х + 3, у = 3 – х.
56. Вычислите площадь фигуры, расположенной правее оси ординат и ограниченной линиями
y = sinx, y = cosx, x = 0..
57. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х 2 +2х + 4, х = -2, х = 1, у = 2.
58. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y  x , y  1, x  4.
59. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = -х2 + х + 2 и прямой у = 0.
60. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функции f(x) = (x-1)2 и у = 3 – х.
 3х
2
61. Вычислите интеграл
1
2

 2 х  6 dx
62. Вычислите площадь фигуры, которая ограничена графиком функции у = -0,5х2 + 2х и осью
абсцисс.
63. Найдите объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной
1
1
линиями у  2 ; х  ; у  х .
2
х
3
4
64 Вычислите:




 6 sin  4  x   cos 4  x dx

4

3


 


65. Вычислите:   cos 2  x    sin 2  x   dx
3
3 



6
66. По заданной площади криволинейной трапеции найдите значение параметра а, если
 sin x 

а
3 cos x dx  2;0  a 

2
0

 cos x 

2
67. Вычислите:

3 sin x dx
3
3
68. Вычислите интеграл  dx
1
2
69. Вычислите интеграл
 x dx
2
0
 /3
70. Вычислите интеграл
dx
cos 2 x

0
1
71. Вычислите интеграл
 2  3x dx
5
1/ 3
 x

2
72. Вычислите интеграл
2
 x dx
1
 1  2 x  x dx
2
73. Вычислите интеграл
2
1
1
74. Вычислите интеграл
 4 x  3
4
dx
0,5

75. Вычислите :

8
 2 sin 2 xdx

4
3
76. Вычислите интеграл  dx
1
 x
2
77. Вычислите интеграл
2
 6 x  9 dx
1
3
78. Вычислите интеграл
 x dx
3
1
2
79. Вычислите интеграл
dx
x
4
1
1
80. Вычислите интеграл
 4 x
2
3

 6 x dx

4
81. Вычислите интеграл  sin 2 xdx
0
8
82. Вычислите интеграл
x
3
x dx
0
3
2
83. Вычислите интеграл
 2 x  1 dx
3
1
2
1  8x 3
1 1  2 x dx
2
84. Вычислите интеграл
1
85. Вычислите интеграл

0
4 x  13 dx
3
2а
 4 хdx  12
86. При каких а верно равенство
а
a
87. При каких а верно равенство  cos xdx  1
0
a
88.При каких а верно неравенство
 2 xdx  3
0
a
89. При каких а верно неравенство  sin xdx  0
0
6
90. Решите уравнение
x
 f xdx  f x, если f x   2  1
0
91. Найдите объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции,
ограниченной линиями у  х  2 , х  0, х  2, у  0
92. Найдите объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции,
ограниченной линиями у  х  1, х  0, х  1, у  0
93. Найдите объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции,
ограниченной линиями у = 1 – х2, у = 0.
94. Найдите объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции,
ограниченной линиями у = х3, х = 1, х = 2 , у = 0.
95. Найдите объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции,
ограниченной линиями у = х2, х = 1, х = 2, у = 0.
96. Найдите объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции,
ограниченной линиями у = 2х + 1, х = 0,.х = 2 , у = 0.
97. Вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями у  2  х ; у  х 2
98. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у  х  4 , отрезком  1;2 оси
Ох и прямой х = -1.
а
99. При каких a>0 справедливо

  x
а
2
3
 3x  dx  0
2
100. Найти объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями у 
 
sinx; х  0;  , вокруг оси Ох
 2
2

х иy=