Муниципальное учреждение образования «Информационно-методический центр» Муниципальный конкурс методических разработок учителей

Муниципальное учреждение образования
«Информационно-методический центр»
Муниципальный конкурс методических разработок учителей
Математического и естественного цикла «Педагогическая находка»
Тема работы:
«Сфера и шар. Уравнение сферы»
Учитель математики
МОУ СОШ №4
Урекина А.Ю.
Оленегорск, 2013
Тема урока: Сфера и шар. Уравнение сферы.
Тип урока: Урок изучения нового материала.
Цели урока:
- образовательные: ввести понятия сферы и шара; вывести уравнение сферы; закрепить
полученные знания с помощью решения задач.
- развивающие: воспитание систематичности; развитие воображения, сознательности, активности,
сознательной дисциплины.
- воспитательные: развитие мыслительной деятельности учащихся; развитие познавательного
интереса; пространственного представления; самостоятельного мышления.
Разработка составлена для двух уроков.
Оборудование урока:
1. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С.Б. и др., Геометрия, 10 – 11: учебник для
общеобразовательных учреждений. – М., 2005;
2. Оформление доски. Записи на доске появляются в ходе урока;
3. Презентация к уроку.
Оформление доски:
Сфера и шар.
Д/з п.58 - 61,
№ 576 (а,б), № 578,
№ 592.
Ход урока
Учитель
1. Организационный момент
Здравствуйте, ребята!
2. Актуализация знаний
На прошлых уроках мы изучали тела
вращения. Какие?
Прежде, чем пойдём дальше, давайте
вспомним определение окружности и круга
из планиметрии.
Ученики
Конус, цилиндр, усечённый конус.
Окружность – геометрическое место точек
плоскости, равноудалённых от одной её
точки (центра).
Круг – часть плоскости, лежащая внутри
окружности.
Со сферой и шаром.
Хорошо! Молодцы! Ребята, а как вы
думаете, с какими телами вращения эти
фигуры связаны?
Таким образом, тема нашего урока «Сфера
и шар». (Слайд 1).
Цели (Слайд 2): сегодня на уроке мы
введём понятие сферы и шара; выведем
уравнение сферы и решим задачи на эту Ребята говорят различные варианты.
тему.
В справочниках записывают под диктовку
учителя.
А сейчас давайте вместе попробуем
сформулировать определение сферы и
шара.
Сфера
3. Изучение
материала.
нового
Открываем справочники и записываем
тему: «Сфера и шар».
Делим тетрадный лист на 2 колонки:
1колонка – Сфера, 2 колонка – Шар.
Открываем учебник на стр.129, читаем
определение и записываем.
Шар
I.Определение.
Сфера – поверхность,
состоящая из всех
точек пространства,
расположенных на
данном расстоянии
от данной точки.
Шар – тело,
ограниченное
сферой.
II. Изображение.
А теперь давайте познакомимся с
изображением сферы и шара. (Слайд 6).
Посмотрите, у меня в руках макет сферы.
O –центр сферы;
R – радиус сферы;
d – диаметр сферы, d=2R.
III. Сечение сферы и шара плоскостью.
Всякое сечение
Всякое сечение
сечение
сферы есть
шара есть
круг.
Как вы думаете, какая фигура будет в окружность.
проходящая
через
центр
сечении сферы (шара)? Посмотрите на Плоскость,
сферы(шара) называется диаметральной
модель сферы.
плоскостью.
Слайд 7.
Сечение сферы
Сечение круга
диаметральной
диаметральной
плоскостью
плоскостью
является большой
является
большим
окружностью.
кругом.
а) 𝑂𝑀 ⊥ 𝐴𝐵, 𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 = 𝑅
𝑂𝑀 - середина
треугольника 𝐴𝑂𝐵 → и
Решаем №573 устно.( Слайд 9).
высота, т.е. 𝑂𝑀 ⊥ 𝐴𝐵.
Точки А и В лежат на сфере с центром О б) треугольник 𝑂𝐴𝐵 - равнобедренный и 𝑂𝑀
АВ, а точка М лежит на отрезке АВ. - высота → и медиана, т.е.𝑀 - середина 𝐴𝐵.
Докажите, что
а) если М – середина отрезка АВ, то OM ⊥
AB
б) если OM ⊥AB, то М – середина отрезка
АВ.
Чертят рисунок и записывают вывод в
справочнике.
В справочнике нарисуйте
запишите вывод:
рисунок
и
Уравнение сферы.
𝑅 2 = (𝑥 − 𝑥0 )2 + (𝑦 − 𝑦0 )2
В справочнике чертят рисунок:
𝑂𝑂1 ⊥ 𝐴𝐵
Центр
круга
есть
основание
перпендикуляра, опущенного из центра
сферы (шара) на секущую плоскость.
Далее запишите в справочнике заголовок:
«Уравнение сферы».
Для начала давайте вспомним уравнение
окружности (𝑂(𝑥; 𝑦), 𝑅).
Хорошо! Молодцы!
Пусть задана прямоугольная система
координат 𝑂𝑥𝑦𝑧 и дана некоторая
поверхность 𝐹, например сфера. Уравнение
с тремя переменными 𝑥, 𝑦, 𝑧 называется
уравнением поверхности 𝐹, если этому
уравнению удовлетворяют координаты
любой точки поверхности 𝐹 и не
удовлетворяют координаты никакой точки,
не лежащей на этой поверхности.
(Слайд10).
Выведем уравнение сферы. Запишите
вывод ниже рисунка.
Выведем уравнение сферы радиуса 𝑅 с
центром 𝐶(𝑥0 ; 𝑦0 ; 𝑧0 ).
Расстояние
от
произвольной
точки
𝑀(𝑥; 𝑦; 𝑧) до точки 𝐶 вычисляется по
формуле
𝑀𝐶 =
2
2
2
√(𝑥 − 𝑥0 ) + (𝑦 − 𝑦0 ) + (𝑧 − 𝑧0 )
Если точка 𝑀 лежит на данной сфере, то
𝑀𝐶 = 𝑅, или 𝑀𝐶 2 = 𝑅 2, т.е. координаты
точки 𝑀 удовлетворяют уравнению (1):
(𝑥 − 𝑥0 )2 + (𝑦 − 𝑦0 )2 + (𝑧 − 𝑧0 )2 = 𝑅 2
Если же точка 𝑀(𝑥; 𝑦; 𝑧) не лежит на данной
сфере, то 𝑀𝐶 2 ≠ 𝑅 2, т.е.координаты точки
𝑀 не удовлетворяют уравнению (1).
Следовательно, в прямоугольной системе
координат уравнение сферы радиуса 𝑹 с
центром 𝑪(𝒙𝟎 ; 𝒚𝟎 ; 𝒛𝟎 ) имеет вид
(𝒙 − 𝒙𝟎 )𝟐 + (𝒚 − 𝒚𝟎 )𝟐 + (𝒛 − 𝒛𝟎 )𝟐 = 𝑹𝟐 ,
где (𝒙; 𝒚; 𝒛) - координаты точки на
поверхности
сферы,
(𝒙𝟎 ; 𝒚𝟎 ; 𝒛𝟎 )
координаты центра сферы, 𝑹 - радиус
сферы.
4. Физкультминутка. Слайд11.
Посмотрите на слайд. Дано 9 уравнений
сферы, нужно вычислить координаты
центра и радиус сферы.
Это задание является физкультминуткой. Я Ученики по очереди выходят к доске и
называю вам координату центра и радиуса. записывают уравнения.
Если вы считаете мой ответ правильным, то
дружно встаёте, если нет, то сидите на
месте.
Теперь задание наоборот. Я закрываю
уравнения сферы, и вы должны по
координате центра и радиусу написать
уравнение сферы на доске.
Молодцы!
5. Закрепление.
Открываем рабочие тетради, записываем
число и тему урока: Сфера и шар.
Уравнение сферы.
Решаем № 577(а, б).
а)(𝒙 − 𝒙𝟎 )𝟐 + (𝒚 − 𝒚𝟎 )𝟐 + (𝒛 − 𝒛𝟎 )𝟐 =
𝑹𝟐 ; (𝟓 − (−𝟐))𝟐 + (𝟎 − 𝟐)𝟐 + (−𝟏 − 𝟎)𝟐 =
𝑹𝟐 ; 𝟒𝟗 + 𝟒 + 𝟏 = 𝑹𝟐 ; 𝑹 = √𝟓𝟒.
(𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 2)2 + 𝑧 2 = √54 - искомое
уравнение.
Напишите уравнение сферы с центром А,
проходящей через точку 𝑁, если: а)
𝐴(−2; 2; 0), 𝑁(5; 0; −1);
б)
𝐴(−2; 2; 0), 𝑁(0; 0; 0).
Решение. Сначала запишем уравнение
сферы.
Чтобы нам написать уравнение сферы,
нужно найти радиус. Для этого подставим
координаты в уравнение.
В справочнике записываем условие задачи
и решаем там же: Отрезок. Соединяющий
центр шара с точкой А касательной к
плоскости равен 17 см, радиус шара 8 см.
Найти расстояние от точки А до центра
шара и от точки А до ближайшей к ней
точки шара.
б)
(𝒙 − 𝒙𝟎 )𝟐 + (𝒚 − 𝒚𝟎 )𝟐 + (𝒛 − 𝒛𝟎 )𝟐 =
𝑹𝟐 ; (𝟎 − (−𝟐))𝟐 + (𝟎 − 𝟐)𝟐 + (𝟎 − 𝟎)𝟐 =
𝑹𝟐 ; 𝟒 + 𝟒 + 𝟎 = 𝑹𝟐 ; 𝑹 = 𝟐√𝟐.
(𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 2)2 + 𝑧 2 = 2√2 - искомое
уравнение.
Записывают условие, рисунок. Что дано, что
найти.
Дано: шар (О;𝑅), 𝑂𝑁 = 17 см, 𝐴𝑂 = 8см.
Найти 𝑂𝐾, 𝐴𝑇, 𝐴𝐾.
Решение.
∆𝐴𝑂𝐵 – прямоугольный.
1) 𝑂𝑁 = 𝑂𝐾 = 𝑅 = 8 см
2) По теореме Пифагора:
𝑂𝐴2 = 𝐴𝐾 2 + 𝑂𝐾 2
𝐴𝐾 2 = 289 − 64
Ребята! Рисунок можно сделать плоским,
𝐴𝐾 2 = 225
это поможет вам быстрее решить задачу.
𝐴𝐾 = 15см
3) 𝐴𝑇 = 𝑂𝐴 − 𝑂𝑇
𝑂𝑇 = 𝑅 = 8см
𝐴𝑇
=
17
− 8 = 9 см.
6. Подведение итогов. Домашнее
Ответ:
8
см, 15 см, 9 см.
задание.
Открываем
дневники,
записываем
домашнее задание: п. 58 - 61, № 576(а,
б), № 578, № 592.
Спасибо за урок! До свидания!