Тема: «Координаты и векторы»

Тема: «Координаты и векторы»
Произвольная точка А в пространстве характеризуется тремя числами: абсциссой xA, ординатой yA, аппликатой zA, что записывается так:
А( xA; yA; zA) – координаты точки.
Краткий
справочный материал по теме
А
М
А( xA; yA; zA) ,
В
В( xA; yA; zA)
Длину отрезка АВ находим по формуле:
Примеры решения
типовых заданий
Найдите длину отрезка AB и координаты середины Найдите длину отрезка CD
отрезка AB, если А (3;-4;0) ; В (-1;2;4).
и координаты его середины,
Решение:
если С (-2;1;5) , D (4;0;6) .
2
АВ = √(−1 − 3)2 + (2 − (−4)) + (4 − 0)2 =
АВ=√(𝒙𝒃− 𝒙𝒂) 𝟐 + (𝒚𝒃 − 𝒚𝒂) 𝟐 + (𝒛𝒃 − 𝒛𝒂 )𝟐
= √(−4)2 + 62 + 42 = √ 16 + 36 + 16 =
= √68 – длина отрезка АВ.
Точка M – середина отрезка АВ.
Координаты середины отрезка находим по формуле :
M(
M(
Задания для
самостоятельной
работы
3+(−1)
2
;
−4+2
2
;
0+4
)
2
M ( 1;-1;2 ) – координаты середины отрезка АВ.
𝒙𝒂 +𝒙𝒃 𝒚𝒂 +𝒚𝒃 𝒛𝒂 +𝒛𝒃
;
;
)
𝟐
𝟐
𝟐
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ или
Вектор – направленный отрезок. Обозначают: АВ
𝑎
А
а⃗
В
А – начало вектора, В – конец вектора
Длиной вектора называют длину соответствующего
ему отрезка.
⃗⃗⃗⃗⃗ | =| АВ|
Записывают так: |АВ
Вектор называется нулевым, если его начало совпадает
с концом
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
АА , ⃗⃗⃗⃗⃗0 – нулевые векторы
⃗⃗⃗⃗⃗ , если А (5;-6;3), В (-2;0;7).
Координаты вектора:
Найдите координаты вектора АВ
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Решение: АВ ( -2-5 ; 0-(-6) ; 7-3 )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
АВ ( 𝑥𝑏− 𝑥𝑎 ; 𝑦𝑏 − 𝑦𝑎 ; 𝑧𝑏 − 𝑧𝑎 )
⃗⃗⃗⃗⃗
АВ ( -7 ; 6 ; 4 ) – координаты вектора ⃗⃗⃗⃗⃗
АВ
⃗⃗⃗𝑎 ( 𝑎1 ; 𝑎2 ; 𝑎3 )
Найдите координаты вектора
⃗⃗⃗⃗⃗ , если А (3;8;-1); В (-4;0;2)
АВ
Краткий
справочный материал по теме
Длина вектора:
| ⃗⃗⃗⃗⃗
АВ | = √(𝑥𝑏− 𝑥𝑎) 2 + (𝑦𝑏 − 𝑦𝑎) 2 + (𝑧𝑏 − 𝑧𝑎 )2
|⃗⃗⃗⃗
𝑎|=
√ 𝑎12
+
𝑎22
+
𝑎32
Угол между векторами
а⃗
0
α
A
⃗𝑏
В
α – угол между а
⃗⃗⃗ и 𝑏⃗
Скалярное произведение векторов:
а⃗ ∙ 𝑏⃗ = | а⃗ | ∙ | ⃗⃗⃗
𝑏 | ∙ cos α
а⃗ ∙ 𝑏⃗ = а1 𝑏1 + а2 𝑏2 + а3 𝑏3
cos 𝛼 =
⃗ ∙ 𝑏⃗
а
|а
⃗ | ∙ |𝑏⃗|
Примеры решения
типовых заданий
Задания для
самостоятельной
работы
1.Найдите длину вектора ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
АВ, если А (5;-6;3), В (-2;0;7).
⃗⃗⃗⃗⃗ |= √(−2 − 5)2 + (0 − (−6))2 + (7 − 3)2 = =
Решение: |АВ
√(−7)2 + 62 + 42 = √49 + 36 + 16 = √101 – длина вектора
⃗⃗⃗⃗⃗
АВ
2. Найдите длину вектора ⃗⃗а ( 1;-3;2 ).
Решение: | а⃗⃗⃗ | = √12 + (−3)2 + 22 = √1 + 9 + 4 = √15
⃗⃗⃗⃗⃗ ,
1.Найдите длину вектора АВ
если А (3;8;-1); В (-4;0;2).
1.Если α = 00 => векторы а⃗⃗ и ⃗⃗⃗𝑏 − соноправленные
0
а⃗
𝑏⃗
В
А
⃗
2.Если α = 90° => ⃗⃗а ⊥ 𝑏 – векторы перпендикулярные
B
𝑏⃗
а⃗
0
A
1.Найдите скалярное произведение векторов, если
а⃗ ( 2; 8; -4 ), ⃗⃗⃗⃗𝑏 ( 0; 1; -3 ).
Решение: а⃗ ∙ 𝑏⃗ = 2∙0+8∙1+(-4)∙(-3) = 0+8+12 = 20
1. Покажите угол между
векторами, определите его
градусную меру
2. Найдите скалярное произведение векторов, если угол
между ними равен 90°.
⃗⃗⃗ ∙
Решение: Т.к. α = 90°, cos 90° = 0 => а⃗ ∙ 𝑏⃗ = |а⃗ | ∙ |𝑏|
⃗
cos 90° = |а⃗ | ∙ |𝑏| ∙ 0 = 0
2. Докажите, что вектора
взаимно перпендикулярны:
а⃗ (10; −6; 8) ; ⃗⃗⃗⃗𝑏 (2;6;2).
2.Найдите
а⃗⃗ (4;-3;7).
а⃗
длину
О
вектора
𝑏⃗
1.
Найдите
скалярное
произведение векторов, если
а⃗ (3; 5; 1); ⃗⃗⃗⃗
𝑏 (-2;4;6).
3.Найдите cos А, если дан
3.Докажите, что векторы взаимно перпендикулярны, треугольник АВС, заданный
координатами своих вершин:
если а⃗ (−4; −8; −14), ⃗⃗⃗⃗𝑏(2; −6; −4)
А(-6;4;-2), В(0;-2;8),С(8;-6;2).
Решение: ⃗⃗а ⋅ 𝑏⃗ = −4 ⋅ 2 + 8 ⋅ (−6) + (−14) ⋅ (−4) = 0
Т.к. ⃗⃗а ∙ 𝑏⃗ = 0 => cos α = 0 => α = 90° => а⃗⃗ ⊥ 𝑏⃗
Подробнее информацию по данной теме можно найти в следующей литературе:
1. Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа . 10-11 кл. – М. 2009 г. ;
2. Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 10-11 кл. – М., 2010 г.