Отчет по лабораторной работе №2

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Факультет Технической Кибернетики
Кафедра Измерительных Информационных Технологий
Системы и сети связи
Отчет по лабораторной работе №2
«Спектры простых сигналов»
Студент: Верхотуров А.
Группа: 3085/2
Преподаватель: Богач Н.В.
г. Санкт-Петербург
2013
Цель работы
Получить представление о тестовых сигналах во временной и частотной областях.
Реализовать операцию свертки сигналов.
Постановка задачи
В командном окне MATLAB и в среде Simulink промоделировать следующие
тестовые сигналы:
полигармонический сигнал
y  sin  x   sin  3x 
y  sin  x   cos  x 
y  sin  x   3sin  3x   5sin 5x 
треугольный сигнал
меандр
треугольный сигнал путем свертки двух меандров.
Получить их спектры.
Теоретическое обоснование
При реализации операции свертки одна из функций берется в исходном виде Ф1(f’), а
для другой производится сдвиг по оси абсцисс и изменяется её направление: Ф2(-f’+f).
Эти функции перемножаются и произведение интегрируется, то есть, находится площадь
под кривой, соответствующей произведению.
Прямоугольный импульс с единичной амплитудой обозначается символом ∏(𝑡, 𝑇и ) .
Первый аргумент обозначает положение импульса на горизонтальной оси, второй –
ширину импульса. Спектр импульса выражается следующим образом:
∞
Ф(𝑓) = ∫ ∏(𝑡, 𝑇и ) 𝑒 −𝑖2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡 =
−∞
𝑇и /2
∫ 𝑒 −𝑖2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡 =
−𝑇и /2
sin(𝜋𝑓𝑇и )
.
𝜋𝑓
f – частота

  пределы интегрирования – от минус до плюс бесконечности. Так как здесь

вычисляется спектральная плотность, то интеграл берётся от одного прямоугольника, и,
соответственно, переходит на пределы интегрирования от -Tи/2 до Tи/2
t – время периода, Tи – время импульса.
sin( x)
Сам спектр представляет собой функцию вида
,или, как его называют, sinc(x).
x
Спектр импульса sinc( f и t ) можно записать так:
1
sinc (f и t ) 
sin( f и t )
1

П( f , fи )
f и t
fи
Ступенчатый импульс можно представить в виде суммы нескольких прямоугольных
импульсов. Тогда, ПФ для этого вида импульса также представляется в виде суммы двух
составляющих – ПФ прямоугольного импульса и ПФ функции, смещенной по аргументу.
Таким образом, для импульса, представленного суммой импульсов 2П(t,T0) и П(t-T0/2,T0),
спектр выражается следующей формулой:
Фи  2Т 0 sinc( fТ 0 )  е  jfT0 T0 sinc( fT0 )  T0 sinc( fT0 )( 2  e  jfT0 )
Ход работы
1. Полигармонический сигнал и его спектр в командном окне MATLAB
Вычислим значения во временной и частотной области простых полигармонических
сигналов, построим графики.
o сигнал y=sin(x)+sin(3x) – рис 1
o сигнал y=sin(x)+cos(x) – рис 2
o сигнал y=sin(x)+3sin(3x)+5sin(5x) – рис 3
%полигармонические сигналы
x = 0:0.01:4*pi;
f=100*(0:255)/512;
%сигнал y=sin(x)+sin(3x)
figure
y1 = sin(2*pi*x)+sin(2*pi*3*x);
plot(x(1:200),y1(1:200))
grid
%спектр сигнала y=sin(x)+sin(3x)
figure
s1 = fft(y1,512);
ss1 = s1.*conj(s1)/512;
plot(f,ss1(1:256))
grid
%сигнал y=sin(x)+cos(x)
figure
y2 = sin(2*pi*x)+cos(2*pi*x);
plot(x(1:200),y2(1:200))
grid
%спектр сигнала y=sin(x)+cos(x)
figure
s2 = fft(y2,512);
ss2 = s2.*conj(s2)/512;
2
plot(f,ss2(1:256))
grid
%сигнал y=sin(x)+3sin(3x)+5sin(5x)
figure
y3 = sin(2*pi*x)+3*sin(2*pi*3*x)+5*sin(2*pi*5*x);
plot(x(1:200),y3(1:200))
grid
%спектр сигнала y=sin(x)+cos(x)
figure
s3 = fft(y3,512);
ss3 = s3.*conj(s3)/512;
plot(f,ss3(1:256))
grid
а
б
Рис. 1. сигнал y=sin(x)+sin(3x). а – временная область, б – частотная
а
б
Рис. 2. сигнал y=sin(x)+cos(x). а – временная область, б – частотная
3
а
б
Рис. 3. сигнал y=sin(x)+3sin(3x)+5sin(5x). а – временная область, б – частотная
Как видно из графиков, частотная область состоит из всплесков в частотах
составляющих полигармонических сигналов. Тот факт, что это всплески, а не точечные
подъёмы, объясняется конечностью сигналов.
2. Треугольный сигнал и его спектр в командном окне MATLAB
Вычислим значения треугольного сигнала, прямо зададим значения у (функция у=|x|+c).
Построим графики во временной и частотной области – рис 4.
%треугольный сигнал
x = 0:0.01:4*pi;
f=100*(0:255)/512;
%сигнал
figure
y = abs(x-ceil(x)+0.5);
plot(x(1:200),y(1:200))
grid
%спектр
figure
s = fft(y,512);
ss = s.*conj(s)/512;
plot(f,ss(1:256))
axis([-1 max(f) 0 10])
grid
а
б
4
Рис. 4. треугольный сигнал. а – временная область, б – частотная
Как будет видно ниже, спектр треугольного сигнала будет спадать круче спектра
меандра.
3. Меандр и его спектр в командном окне MATLAB
Так же, как и в треугольном сигнале, зададим значения у прямо
Графики – рис 5
%меандр
figure
y=[ones(1,100) zeros(1,100)];
plot(y)
grid
%спектр
figure
s = fft(y,512);
ss = s.*conj(s)/512;
plot(ss(1:256))
grid
а
б
Рис.5. меандр. а – временная область, б – частотная
Как и предсказано, спектр является функцией вида sinc(x).
4. Треугольный сигнал, полученный из меандра и его спектр в командном окне
MATLAB.
Теперь проверим высказывание, утверждённое в теоретическом обосновании, и
построим треугольный сигнал свёрткой двух меандров. Построим графики (рис. 6)
%треугольный сигнал путем свертки меандров
figure
yy=[ones(1,100) zeros(1,100)]; %меандр
y = conv(yy,yy);
plot(y)
grid
5
%спектр
figure
s = fft(y,512);
ss = s.*conj(s)/512;
plot(ss)
axis([0 300 0 50])
grid
а
б
Рис. 6. треугольный сигнал. а – временная область, б – частотная
Как и было сказано, получился треугольный сигнал.
5. Полигармонический сигнал и его спектр в среде Simulink
Используя средства среды Simulink, построим полигармонические сигналы
рис.7. Схема simulink для визуализации сигнала
y  sin  x   sin  3x 
и его спектра
6
Рис.7.1. Сигнал.
Рис.7.2. Спектр сигнала
рис.8. Схема simulink для визуализации сигнала
Рис.8.1.1 sin(x) Рис.8.1.2. cos(x)
Рис.8.1.3 сумма
рис.9 Схема simulink для визуализации сигнала
Рис.9.1. Сигнал.
y  sin  x   cos  x 
и его спектра
Рис.8.2 Спектр
y  sin  x   3sin  3x   5sin 5x 
и его спектра
Рис.9.2. Спектр сигнала
7
6. Треугольный сигнал и его спектр в среде Simulink.
рис.10 Схема simulink для визуализации треугольного сигнала и его спектра
Рис.10.1. Сигнал.
Рис.10.2. Спектр сигнала
7. Меандр и его спектр в среде Simulink.
рис.11 Схема simulink для визуализации меандра и его спектра
8
Рис.11.1. Сигнал.
Рис.11.2. Спектр сигнала
8. Треугольный сигнал, полученный из меандра и его спектр в среде Simulink.
рис.12 Схема simulink для визуализации треугольного сигнала, полученного из меандра, и его
спектра
Рис.12.1 Сигнал
Рис. 12.2. Спектр сигнала
Построенные сигналы за допущением по дискретности соответствуют теоретическим,
спектры, соответственно, имеют множественные локальные максимумы по причинам
дискретности.
9
Вывод
Треугольный импульс обозначается символом ∆(𝑡, 𝑇и ). Такой импульс представляется
𝑇
в виде свертки двух одинаковых прямоугольных импульсов длительностью 2и:
∆(𝑡, 𝑇и ) =
2
𝑇и
𝑇и
∏ (𝑡, ) ∗ ∏ (𝑡, )
𝑇и
2
2
Спектр выражается через квадрат спектра прямоугольного импульса:
∆(𝑡, 𝑇и ) ↔
2 𝑇и
𝑇и 2 sin2(𝜋𝑓𝑇и /2)
[ sinc(𝜋𝑓 )] =
𝑇и 2
2
𝜋 2 𝑓 2 𝑇и /2
В данной работе фильтры используются для выполнения свертки.
10