Ч2. гл.2

Глава 2 . Определенный интеграл.
2.1 Площадь под графиком. Формула для вычисления. Необходимое и
достаточное условия существования площади. Определенный интеграл.
Формула для вычисления. Линейность. Необходимое и достаточное условия
интегрируемости.
.
2.2 Аддитивность определенного интеграла. Определение интеграла по
отрезку [a,b], a>b.
Сохранение аддитивности.
2.3 Интегралы от непрерывных функций. Существование первообразной и
формула для нее. Формула Ньютона-Лейбница. Формула интегрирования по
частям и замены переменной. Примеры.
.2.4. Геом. приложения опред. интегралов.
Длина дуги. Площадь между графиками. Объем по поперечному сечению.
2.5 Понятие двойного интеграла. Формула для вычисления для простейшей
области. Пример.
2.6 Несобственный интеграл 1 рода и его свойства
Глава 2 . Определенный интеграл.
2.1 Площадь под графиком. Формула для вычисления. Необходимое и
достаточные условия существования площади. Определенный интеграл.
Формула для вычисления. Линейность. Необходимое и достаточное
условия интегрируемости
Определение 1(определенный интеграл)
Пусть f ( x)  0 _ на _[a, b]. (см.рис.1)
Тогда определенным интегралом от f(x) по отрезку [a,b] называется
площадь
между отрезком [a,b] и графиком функции. Определенный интеграл
обозначается
b
 f ( x)dx.
a
Если функция f ( x) _ меняет _ знак _ на _[a, b], то
f(x)=f+(x)-f(x)-, где f  ( x) 
и
b

a
b
b
a
a
f ( x)  f ( x)
2
, _ f  ( x) 
f ( x)  f ( x)
2
(см.рис.2),
f ( x)dx   f  ( x)dx   f  ( x)dx. Это есть разность площади под f+(x) и над
f (x) (см.рис.3)
Если для функции существует интеграл по отрезку, то она называется
интегрируемой на этом отрезке.
-
Замечание 1. Определенный интеграл существует не для всякой функции,
Так как не всякая фигура имеет площадь.( Пример позже будет приведен).
Замечание 2. Если изменить интегрируемую функцию на отрезке в конечном
числе точек, то получится интегрируемая функция с тем же значением
интеграла. Фигуры под графиками изменятся на конечное число отрезков.
имеющих площадь 0. Поэтому общая площадь не изменится.
Замечание 3.Если f ( x)  0, то определенный интеграл равен площади под
b
графиком . которая  0. Значит для f ( x)  0,  f ( x)dx  0.
a
Пример1 (рис.4)
Если f(x)=C-константа,то
b
 f ( x)dx  C (b  a). Здесь площадь под графиком или
a
над графиком-прямоугольник и его площадь- произведение основания на
высоту.
Пример 2(рис.4) при cx  d  0 на [a, b]
c(b 2  a 2 )
a cx  ddx  (ca  d  cb  d )(b  a) / 2  d (b  a)  2 , Искомая площадь здесьb
площадь трапеции
Рассмотрим для примера, как раньше считали площадь под графиком
неотрицательной функции( при этом получим формулу для определенного
интеграла).
Пример 1(вычисление площади под графиком , формула для
определенного интеграла)
Пусть f ( x)  0 _ на _[a, b]. (см.рис.5)
Так как функция непрерывна, то на очень маленькихn отрезках ее можно
считать постоянной, и результат будет тем точнее, тем меньше эти отрезочки.
Поэтому разобьем отрезок [a,b] на n кусочков точками a=x0<x1<x2<…<xn=b.
В точках деления проведем вертикальные прямые, делящие площадь под
графиком на n частей. Если отрезки разбиения маленькие, то значение
функции ни куске [xk-1, xk] можно считать равным
f ( k ), _ где _  k  [ xk 1 , xk ]  любая _ точка, _ k  1,2,...n. А площадь кусочка
примерно площадь прямоугольника и равна
n
f ( k )( x k  x k 1 ). _ Общая _ площадь _  их _ сумме _  f ( k )( x k  x k 1 ). Эта площадь
1
Вычислена тем точнее, чем меньше максимальная длина отрезков разбиения:
max ( xk  xk 1 )  d . Поэтому естественно считать, что
k 1, 2 ,... n
площадь под графиком равна
b
 f ( x)dx  lim 
a
n
d 0
1
f ( k )( xk  xk 1 ).
Дадим некоторые определения и приведем формулу для вычисления
определенного интеграла.
Определение 2.(разбиения отрезка, диаметра разбиения, размеченного
разбиения)
Пусть отрезок [a,b] разбит на n кусочков точками a=x0<x1<x2<…<xn=b.
Тогда говорим, что задано разбиение отрезка Т.
Т: a=x0<x1<x2<…<xn=b.
При этом число
d (T )  max ( x k  x k 1 )
k 1, 2 ,... n
называется диаметром разбиения Т.
Разбиение
Т: a=x0<x1<x2<…<xn=b.
называется размеченным, если на каждом отрезочке [xk-1,xk] выбрана любая
точка
 k  [ xk 1 , xk ], _ k  1,2,...n.
(см. рис. 6)
Определение 3 (интегральной суммы)
Пусть f ( x) _ определена _ на _[a, b].
Т: a=x0<x1<x2<…<xn=b,  k  [ xk 1 , xk ], _ k  1,2,...n.
размеченное разбиение отрезка.
Тогда сумма
n
S ( f , T )   f ( k )( x k  x k 1 ).
k 1
называется интегральной суммой от f(x) по разбиению T.
Теорема 1.(формула для определенного интеграла)
Определенный интеграл от f(x) по отрезку [a,b] вычисляется как предел
интегральных сумм при диаметре разбиения d(T), стремящемся к 0.
b
 f ( x)dx  lim 
a
n
d (T )0
1
f ( k )( xk  xk 1 ).
Пояснения к доказательству. Из определения площади как предела
площадей сумм вписанных или описанных прямоугольников с
параллельными осям сторонами ,можно вывести существование этого
предела для неотрицательной интегрируемой функции. Кроме того он будет
равен площади под графиком, а значит и определенному интегралу от
функции..
Значит для интегрируемой функции f(x)
b
f

( x)dx 
f
f  ( k )( xk  xk 1 ).
lim 
f  ( k )( xk  xk 1 ).
n
1
d (T )0
a
b
lim 

n
( x)dx 
d (T )0
a
1
По определению
b
b
a
a
 f ( x)dx  
lim  ( f
n
d ( T ) 0
1

свойства _ пределов
f ( x)dx   f ( x)dx


b

a
( k )  f  ( k ))( xk  xk 1 ) 
lim 
d ( T ) 0
n
1
f ( k )( x k  x k 1 ).
Формула получена.
Замечание1. Понимать приведенный в определении предел надо так, что ,
что существует число
b
I=  f ( x)dx , такое, что
a
  0 _ найдется _   0, _ такое, _ что _  _ размеченного _ разбиения _ T _ при _ d (t )   _ будет _
I  S ( f , T )   _ независимо _ от _ выбора _ точек _  k , _ k  1,...n.
Замечание 2.
В стандартных курсах полученная формула для определенного интеграла
берется за его определение. На самом деле эти определения эквиваленьны,
но устанавливать это мы не будем. Нам достаточно, что формула следует из
нашего определения и значит, если указанный предел не существует, то
функция не интегрируема.
Приведем свойства определенного интеграла.
Теорема 2 (линейность)
Если f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a,b], то их сумма, а также
произведение любой из них на число интегрируемы на этом отрезке,
причем
b
b
b
b
b
a
a
a
a
a
 f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx, _  Cf ( x)dx  C  f ( x)dx.
Доказательство сводится к применению формулы для вычисления интеграла
для суммы и произведения на число и свойству линейности пределов.
Следствие.
Если f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то ее модуль там интегрируем.
По определению через площадь вместе с f(x) интегрируемы
f  ( x) 
f ( x)  f ( x)
, _ f  ( x) 
f ( x)  f ( x)
.
2
2
Тогда f ( x)  f  ( x)  f  ( x) интегрируем как сумма интегрируемых функций.
Теперь мы можем привести пример неинтегрируемой функции.
Пример(неинтегрируемой функции)
 1, _ x  рациональное
__ x  [a, b].
 1, x  иррациональное
Пусть f ( x)  
Тогда для любого разбиения отрезка
T : a  x0  x1  ...  x n  b,  k  [ x k 1 , x k ], k  1,..., n
n
n
1
1
для всех рациональных
 k _ будет _ f ( k )  1,  f ( k )( x k  x k 1 )   ( x k  x k 1 )  b  a  0.
Для всех иррациональных
n
n
1
1
 k _ будет _ f ( k )  1,  f ( k )( x k  x k 1 )    ( x k  x k 1 )  a  b  b  a.
Поэтому построенная функция не интегрируема.
Заметим, что при этом f (x)  1  интегрируем. Значит из интегрируемости
модуля функции не следует ее интегрируемость, хотя обратное верно!
Теорема 2а(интегрирование неравенств).
Если f(x) и g(x) интегрируемы на [a,b] и f ( x)  g ( x) _ x  [a, b], то
b

a
b
f ( x)dx   g ( x)dx.
a
Доказательство. Пусть f(x)=0, g ( x)  0. Тогда по замечанию 3 к определению
1 интеграла от неотрицательной функции
площадь _ отрезка _ под _ графиком  0

0. Неравенство
 g ( x)dx  0, _ а _  f ( x)dx
и
b
ф
a
верно. В силу свойств неравенств и вышесказанного
b
g ( x)  f ( x)  0, __  g ( x)  f ( x)dx  0 .
a
b
b
b
a
a
a
Из-линейности интеграла 0   g ( x)  f ( x)dx   g ( x)dx   f ( x)dx. Отсюда
b
b
a
a
 f ( x)dx   g ( x)dx. Что и требовалось.
Следствие1(теорема об оценке).
Если m  f ( x)  M _ x  [a, b] _ и f(x) интегрируема на этом отрезке, то
b
m(b  a)   f ( x)dx  M (b  a). Действительно
m  f ( x)  M .
Интегрируя двойное
a
b
неравенство, получим  m(b  a)   f ( x)dx  M (b  a), что требовалось.
a
Следствие2(теорема о модульной оценке).
Если и f(x) интегрируема на этом отрезке, то
b
b
a
a
 f ( x)dx  
f ( x) dx.
Действительно
 f ( x)  f ( x)  f ( x) _ x  [a, b] и f ( x)  интегрируема
По теореме об интегрировании неравенств
.
b
b
b
a
a
a
  f ( x) dx   f ( x)dx   f ( x) dx,
т.е.
b

b
f ( x)dx   f ( x) dx.
a
a
Теорема 2б)(о среднем)
Если f(x) непрерывна на [a,b], то найдется точка c на [a,b],такая, что
b
f (c ) 
 f ( x)dx
a
ba
.
Доказательство.
По теореме Вайерштрасса на отрезке имеет место оценка:
m  f ( x1 )  f ( x)  f ( x2 )  M _ x  [a, b], _ x1 , x2  фиксированные _ точки _[a, b].
Тогда областью значений функции на отрезке будет по теореме Коши
f ([ a, b])  [m, M ]. Это значит, что любое значение из [m,M] принимается
функцией на [a,b] . По теореме об оценке интеграла имеем
b
b
m(b  a)   f ( x)dx  M (b  a), _ откуда _ m 
a
 f ( x)dx
a
ba
 C  M . Значение C
принадлежит отрезку [m,M] и по вышесказанному принимается функцией
b
на [a,b] в какой-то точке c. А это значит f (c) 
Замечание. В форме
 f ( x)dx
a
ba
.
b
 f ( x)dx  f (c)(b  a) для неотрицательной функции
a
слева стоит площадь под графиком, справа- площадь прямоугольника
с основанием [a,b] и высотой f(c).(рис.6а)Теорема говорит, что эти площади
равны.
Для ненепрерывной функции это не верно!(придумайте пример)
Теорема 3(достаточное условие существования определенного интеграла)
Для непрерывной на отрезке функции существует интеграл по этому
отрезку(без строгого доказательства. Пояснено в примере вычисления
площади).
Приведем теперь необходимое условие существованиея определенного
интеграла.
Теорема 4(необходимое условие интегрируемости)
Если f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке.
Доказательство. Предположим, что f(x) не ограничена. Тогда ее модуль не
ограничен сверху и интегрируем. Поэтому мы можем предполагать, что
функция f(x) не ограничена сверху (вместо нее можно взять ее модуль).
Поэтому для любого натурального n>0 существует точка отрезка xn, в
которой f(xn)>n. Поэтому ни f(xn) стремится к плюс бесконечности и всякая
ее подпоследовательность имеет предел плюс бесконечность. Возьмем
любое размеченное разбиение отрезка. Выделим один из его отрезков
содержащий бесконечное число точек последовательностиподпоследовательность xnk . Тогда,
фиксируя разметку всех других отрезков и выбирая в выделенном отрезке
в качестве точек разметки лежащие там точки подпоследовательности,
можно получить интегральные суммы, стремящиеся к бесконечности. Это
противоречит тому, что было взято любое разбиение на отрезки и
доказывает теорему. Рассмотрим другие свойства определенного интеграла.
2.2 Аддитивность определенного интеграла. Определение интеграла по
отрезку [a,b], a>b.
Сохранение аддитивности.
Теорема 4 (аддитивность)
Пусть и c-точка внутри [a,b]. Тогда f(x) интегрируема на [a,b] тогда и только
тогда, когда f(x) интегрируема на [a,c] и на [c,b] и
b

c
b
a
c
f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx.
a
Доказательство.
Пусть f(x)-неотрицательна. Тогда площадь под ее графиком на [a,b]
состоит из площадей под ее графиком на [a,c] и на [c,b], которые
пересекаются по отрезку с площадью 0. Обе эти площади существуют
одновременно с общей площадью, т.к.
получены разбиением общей площади вертикальной прямой и по свойству
площадей их сумма равна площади под графиком графиком f(x) на [a,b]
(рис.7) .
По определению интеграла , это и значит
b

c
b
a
c
f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx.
a
Если f(x) меняет знак, то f(x)= f (x)+ f (x), каждая из которых неотрицательна.
Пользуясь аддитивностью для f+(x) и f-(x), и линейностью получим
+
b
b
a
a
 f ( x)dx   f

b
c
-
b
c
b
( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx   f  ( x)dx 

a

a

c

a
c
c
c
b
b
b
c
b
a
a
c
c
a
a
c
  f  ( x)dx   f  ( x)dx   f  ( x)dx  f  ( x)dx  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx.
Что и требовалось.
Попробуем теперь определить определенный интеграл по «отрезку», у
которого левый конец больше правого с сохранением свойства аддитивности.
При этом интеграл по «отрезку» с совпадающими концами естественно
считать равным 0(площадь отрезка равна 0).
Определение 4.
a
 f ( x)dx  0 для любой f(x).
Положим
a
b<a, f(x) интегрируема на [b,a]. Тогда считаем f(x) интегрируемой на [a,b]
и положим
b

a
f ( x)dx   f ( x)dx.
a
b
Теорема 4а.
Для обобщенного интеграла верна теорема об аддитивности при любом
расположении точек a,b,c, если функция интегрируема на самом большом
отрезке. Т.е. всегда
b

a
c
b
a
c
f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx.
Доказательство.
Если c=a, то
b

a
b
a
a
f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx. , т.к.
a
a
 f ( x)dx  0 . Аналогично, если c=b.
a
Пусть для определенности a<b<c(остальные случаи рассматриваются
аналогично.
По теореме 4
с
b
a
a
 f ( x)dx  
определение _ интеграла _ при _ b  c b
b
f ( x)dx   f ( x)dx

. f ( x)dx   f ( x)dx.
c
b
a
c
Перенося последнее слагаемое в левую часть и меняя части местами,
получим:
b

a
c
b
a
c
f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx.
После этих результатов добавим еще одно достаточное условие
интегрируемости, дав предварительное определение.
Определение 5 (кусочно-непрерывной функции)
Функция называется кусочно-непрерывной на отрезке, если она имеет там
конечное число точек разрыва 1 рода.
Теорема 5.(еще достаточное условие интегрируемости)
Кусочно-непрерывная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке.
Доказательство для 1 точки разрыва (для нескольких аналогично)(рис.8).
В силу существования односторонних пределов функции в точке разрыва c ,
она будет совпадать кроме точки c с непрерывной на [a,c]функцией. Эта
непрерывная функция интегрируема , и, в силу замечания 2 к определению 1
наша функция,отличающаяся от интегрируемой в 1 точке, интегрируема на
[a,c]. Аналогично она интегрируема и на [c,b]. В силу аддитивности
функция интегрируема на [a,b].
2.3 Интегралы от непрерывных функций. Существование первообразной
и формула для нее. Формула Ньютона-Лейбница. Формула
интегрирования по частям и замены переменной. Примеры.
Займемся теперь изучением функций, получающихся с помощью
использования определенных интегралов. а именно, будем изучать свойства
x
функции F ( x)   f ( )d , где f (x)-интегрируемая на [a,b] функция. Как в
a
теореме об аддитивности, получаем что эта функция определена на [a,b]
В следующих теоремах мы изучим свойства этой функции в зависимости от
свойств f (x). При этом мы сохраним введенные обозначения в следующих
трех теоремах, а переменное будем интерпретировать как верхний предел в
согласии с общепринятым изложением.
Теорема 6(Непрерывность определенного интеграла по верхнему пределу)
Пусть f (x)-интегрируемая на [a,b] функция.
x
F ( x)   f ( )d . Тогда F(x) непрерывна на [a,b].
a
Доказательство.
f(x) интегрируема и значит, ограничена по необходимому условию
интегрируемости, теорема 4. Т.е. f ( x)  M _ x  [a, b].
Пусть x0  [a, b]. Тогда
определение x
аддитивность x
x0
F ( x)  F ( x0 )


 f ( x)dx   f ( x)dx
 f ( x)dx . По теореме
a
a
x0
Об интегрировании неравенств получим:
x
 f ( x)dx  M ( x  x
0
)  0 _ при _ x  0.
x0
То есть
lim F ( x)  F ( x
x  x0
0
)  0  lim F ( x)  F ( x0 ), предел вычисляется
x  x0
подстановкой, это непрерывность в любой точке отрезка x0.
Теорема 8(Дифференцируемость определенного интеграла по верхнему
пределу,существование первообразной непр. функции)
Пусть f (x)-непрерывная на [a,b] функция.
x
F ( x)   f ( )d . Тогда F(x) дифференцируема на [a,b] и F ( x)  f ( x). .
a
Замечание. На концах имеется в виду односторонняя
дифференцируемость, т.е. существование односторонней касательной,
соответственно односторонних пределов в формуле для вычисления
производной.
Доказательство.
Пусть x0 принадлежит [a,b]. Тогда Приращение
определение x
аддитивность x
теорема _ о _ среднем
x0
F ( x)  F ( x0 )



 f ( x)dx   f ( x)dx
 f ( x)dx
a
a
x0
f(c)(x-x0), где c принадлежит отрезку с концами x и x0. При x, стремящемся к
x0 точка c стремится к x0, а f(x) – к f(x0) из-за непрерывности.Отсюда
F ( x0 )  lim
x  x0
F ( x)  F ( x 0 )
f (c)( x  x0 )
 lim
 lim f (c)  f ( x0 ).
x  x0
x  x0
x  x0
x  x0
Следствие. По определению первообразной мы нашли первообразную
F(x) для f(x) на[a,b].
Следствием из этой теоремы буде формула Ньютона-Лейбница.
Теорема 9 (Формула Н.-Л.)
Для непрерывной на отрезке [a,b] функции f(x) и любой ее первообразной
F(x) на этом отрезке имеет место формула:
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a).
a
Рассмотрим полученную в теореме 8 первообразную для f (x) _
x
( x)   f ( x)dx. Для нее
a
b
(b)  (a)  
второй _ интеграл  0 b
f ( x)dx   f ( x)dx

 f ( x)dx.
a
a
a
a
Для этой первообразной формула верна. По свойству первообразных
b
F ( x)  ( x)  C , _ F (b)  F (a)  (b)  C  (a)  C  (b)  (a)   f ( x)dx.
a
Формула тоже верна.
Пример.
1
x
0
1
dx

 arctg ( x)  arctg (1)  arctg (0)  .
0
4
1
2
Доказанные теоремы помогут нам обосновать следующие методы
интегрирования.
Теорема 10.(замена переменной в определенном интеграле)
Пусть f(x) непрерывна на [a,b],
 (t ) _ непрерывна _ на _[ ,  ] _ и _ имеет _ там _ непрерывную _ производную, a   ( ), b   (  ).
Тогда
b

a

f ( (t )) _ интегрируема _ на _[ ,  ] _ и _  f ( x)dx  f ( (t )) (t )dt.
Доказательство.
Сложная функция непрерывна на [ ,  ] как суперпозиция непрерывных
и по достаточному условию интегрируема на этом отрезке.
В силу непрерывности подинтегральных функций в обоих интегралах
они имеют первообразные. Пусть F(x)- первообразная для f(x). По теореме
о замене переменной в неопределенном интеграле
F ( (t )) _ будет _ первообразной _ для _ f ( (t )) (t ). Отсюда
по формуле Ньютона-Лейбница
b

по _ условию _ теоремы
формула _ Н .  Л .
f ( x)dx  F (b)  F (a)

F ( ( ))  F ( (  ))

a

 f ( (t ) (t )dt.
Теорема доказана.
Пример.
a
a 2  x 2 dx  x  a sin t ,a / 2  a sin(  / 6)  x( / 6) _ a  a sin(  / 2)  x( / 2), x(t )  a cos t 

a / 2
 /2

 /2
 / 6
 /2
a2
a2
1
 /2
1

cos
2
tdt

(t  sin 2t )  / 6 
a  a sin t a cos tdt   a cos tdt 

2  / 6
2
2
 / 6
2
2
2
2
2
a2
a2
a2
(2 / 3  1 / 2 sin   1 / 2 sin  / 3) 
(2 / 3  3 / 4) 
(8  3 3 ).
2
2
24
Теорема 11(интегрирование по частям)
Пусть u(x),v(x) непрерывны на[a,b] и имеют там непрерывные производные.
Тогда верна формула
b
b
a
a
 u( x)dv( x)  u ( x)v( x)
b
  v( x)du ( x).
a
Замечание. Значок подстановки означает f ( x) a  f (b)  f (a).
Доказательство.
Имеем по определению дифференциала и формуле Ньютона-Лейбница
b
b
b
b
b
 u( x)dv( x)   u( x)v( x)dx U ( x) a ,  v( x)du( x)   v( x)u ( x)dx  V ( x) a .
b
a
a
b
a
a
Здесь из-за непрерывности подинтегральных функций для обоих интегралов
существуют первообразные и верна формула Н.-Л.
Применим теперь формулу интегрирования по частям для неопределенных
интегралов:
 udv  uv   vdu
Для первообразных это значит, что u(x)v(x)-V(x) есть первообразная
для  udv и поэтому отличается от U(x) на константу, то есть
U(x)=u(x)v(x)-V(x)+C.
Подставляя в исходную формулу, получим
b
 u( x)dv( x)  U ( x)
b
b
a
 u ( x)v( x) a  V ( x) a  C  C  u( x)v( x)
a
b
b
b
a
  v( x)du( x).
a
Что и требовалось.
Замечание. Применяем формулу интегрирования по частям к интегралу от
произведения в случае, если один множитель существенно упрощается при
дифференцировании, а другой не очень усложняется при интегрировании.
Функциями, упрощающимися при дифференцировании являются ln(x),
arctg(x), arcsin(x), xn при натуральном n.
Пример.
по _ частям _


2


dx
1 x3
x3
2
2
3
ln
x
*
x
dx

u
(
x
)

ln
x
,
_
du

,

ln
x
*
x
/
3

dx

ln
2
*
8
/
3



1
1
x
3 1 x
9


2
3
dv
(
x
)

x
dx
,
_
v
(
x
)

x
/
3


2

2

1
8 ln 2 7
 .
3
9
.2.4. Геом. приложения опред. интегралов.
Длина дуги. Площадь между графиками. Объем по поперечному
сечению.
Определенные имеют огромное количество приложений в физике и др.
науках. Остановимся на некоторых геометрических приложениях.
Напомним одно определение.
Определение 6(параметрически заданная функция)
Говорят, что функция задана параметрически, если зависимость y(x)
задана двумя соотношениями:
 x  x(t )

 y  y (t ), _ причем _  _ обратная _ функция _ t  t ( x), x  [c, d ].
t  [a, b]

Замечание 1.В силу условия существования обратной функции получаем
y  y (t ( x)), _ x  [c, d ]  обычная функция.
Определение 8( виды параметрически заданных функций)
 x  x(t ),

Параметрически заданная функция  y  y (t ) называется непрерывной,
t  [ a , b ]

если непрерывны x(t) и y(t) на отрезке [a,b] и гладкой если
существуют непрерывные x (t ), _ y (t ) на этом отрезке.
Замечание. По известным теоремам о непрерывности и
дифференцируемости сложной функции для непрерывной параметрически
заданной функции
получим непрерывную на отрезке y(x(t)), для гладкой-дифференцируемую,
причем по теоремам о дифференцируемости обратной и сложной функции
t ( x) 
1
y (t )
, _ y (t ( x))  y (t ) * t ( x) 
.
x (t )
x (t )
Определение 8.
Под длиной дуги кривой понимается предел длин вписанных
конечнозвенных ломаных при максимальной длине звеньев, стремящейся к
0 (см. рис.8а).
Теорема 12 (длина дуги кривой)
Пусть кривая есть график гладкой параметрически заданной функции:
 x  x(t ),

 y  y (t )
t  [ a , b ]

Тогда ее длина вычисляется по формуле
b
l   ( x (t )) 2  ( y (t )) 2 dt.
a
Доказательство
Возьмем любое разбиение T  : _ a  t 0  t1  ...  t k  t k 1  ...  t n  b
Отрезка [a,b].xk=x(tk),yk=y(tk), Ak=(xk,yk)-точки кривой ,k =1,…,n,
A0A1…AkAk+1…An-вписанная ломаная. Тогда по теореме Пифагора длина ее
звена AkAk+1 в квадрате равна
lk2= xk 2
формула _ линеаризации
2
2
2
 y k

x(t k ) 2 t k  y  (t k ) 2 t k  ( x (t k ) 2  y (t k ) 2 )t k .
2
Отсюда l k  Mt k  0 _ при _ d (T )  0.
Длина всей ломаной равна
n 1

k 0
x (t k ) 2  y (t k ) 2 t k  S ( f (t ), T ) 
есть интегральная сумма по разбиению T  от непрерывной и интегрируемой
функции f (t )  x(t ) 2  y(t ) 2 . Поэтому при стремящемся к 0 d (T ) звенья
ломаной стремятся к 0, ее длина стремится к длине кривой, а равная длине
ломаной интегральная сумма стремится к интегралу от f(t) .Поэтому
длина кривой
b
l   ( x (t )) 2  ( y (t )) 2 dt.
a
Следствие.
Длина дуги графика дифференцируемой на отрезке [a,b] функции y=f(x)
равна
b
xx

l   1  f ( x) 2 dx. Получаем, беря параметризацию 
 y  f ( x), x  [a, b]
a
Примеры.
1.Окружность радиуса 1 с центром (0,0) можно задать параметрически
 x  cos t

 y  sin t .
t  [0,2 ]

По теореме 12 длина окружности равна
2

sin 2 t  cos 2 t dt  2 .
0
2.y=ex, x  [(ln 1,25) / 2, (ln 3) / 2]. По формуле следствия
(ln 3) / 2

l
(ln 1, 25) / 2
2
1  y
1, 5
2


замена _
ln 3 / 2

1  e2x
1  e 2 x dx  
1  e2x  y
 
e2x
ln 1, 25 / 2
 2x
e2x
2
dx
e  y  1, dy 
1  e2x

1
1 y 1
dy  y  ln
2 y 1
1
2
1, 5
e2x
1  e2x
2
dx 
y2
 2 dy 
1, 5 y  1
5
 0,5(1  ln ).
3
Теорема 13(площадь между графиками)
Пусть y=f(x) и y=g(x) интегрируемы, причем f ( x)  g ( x) на [a,b].
Тогда площадь между графиками S на отрезке [a,b] равна
b
S   g ( x)  f ( x)dx.
a
Доказательство.
Будучи интегрируемыми на отрезке, обе функции ограничены снизу и можно
считать, что одной и той же константой m. Тогда g(x)-m и f(x)-m
неотрицательны и площадь между ними не изменилась( при сдвиге площадь
сохраняется)
“Эта площадь равна разности площади под большей функцией и площади
под меньшей(рис.10). А из неотрицательности этих функций следует, что эти
площади равны определенным интегралам. Поэтому
b
b
b
a
a
a
S   ( g ( x)  m)dx   ( f ( x)  m)dx   g ( x)  f ( x)dx , что и требовалось.
Пример.
Найдите площадь между графиками y=x,y=2x , и y=x2.
Найдем попарные точки пересечения этих кривых. Это
(0,0), (1,1) и (2,4). На рис. 11 заштрихована площадь, ограниченная всеми
тремя кривыми. Она не лежит непосредственно между двумя из них.
Поэтому разобьем ее прямой x=1 на две части, которые лежат между x и 2x и
между x2 и 2x. площадь каждой части посчитаем по формуле теоремы 13 и
результаты сложим.
1
1
2
S   2 x  xdx   2 x  x dx  x
2
0
1
2
0
x2

2
1
x
0
2 2
1
x3

3
2
1
1
 1  1/ 2  4  1  8 / 3  1/ 3  1 .
6
Теорема 14 (объем через поперечное сечение)
Пусть имеем пространственное тело, имеющее объем ,OX-некоторая
прямая(ось) в пространстве, причем наше тело расположено между
перпендикулярными OX плоскостями с уравнениями x=a и x= b Пусть
сечение нашего тела перпендикулярной OX плоскостью x=x0 имеет
площадь S(x0) и функция S(x) непрерывна на [a,b].
b
Тогда объем нашего тела V   S ( x)dx.
a
Доказательство.
Возьмем разбиение отрезка
T:a=x0<x1<…,xk<xk+1<…,xn=b. Перпендикулярными OX плоскостями с
уравнениями x=xk , k=0,2,…,n-1 тело разобьется на n кусков с
параллельными основаниями площади S(xk) , перпендикулярными OX(рис.
12 а).Рассмотрим для k- ого куска цилиндрическое тело с образующими,
параллельными OX, с равными основаниями площади S(xk). Это прямой не
круговой цилиндр с высотой, равной x k и площадью основания
S(xk)(рис.12б).
Из геометрии известно, что его объем равен
Vk  S ( xk )xk . Так как наше тело имеет объем, то объем объединения всех
цилиндров будет при измельчении разбиения стремиться к объему всего
тела. Но объем объединения есть
n 1
n 1
k 0
k 0
Vk   S ( xk )xk  S (S ( x), T ) .
А это интегральная сумма от S(x) по разбиению T и при d(T), стремящемся
к 0, стремится к интегралу от S(x) по отрезку [a,b].
n 1
b
Поэтому V  lim Vk  lim S (S ( x), T )   S ( x)dx. Формула доказана.
d (T )0 k 0
d ( T ) 0
a
Следствие(объем тела вращения)
Пусть пространственное тело получено вращением графика непрерывной
функции y=f(x)вокруг оси OX. Известно, что оно имеет объем. Тогда каждое
сечение этого тела перпендикулярной оси плоскостью есть круг радиусаf(x) и
его площадь S(x)= f 2 ( x) (см. рис. 13)
Объем тела между плоскостями x=a и x=b есть тогда
b
b
V   f ( x)dx    f 2 ( x)dx.
2
a
a
2.5 Понятие двойного интеграла. Формула для вычисления для
простейшей области. Пример.
Определение 9 (функции 2-х переменных, графика). Пусть D  R 2 –
множество на плоскости .
Говорят, что на множестве D задана функция f(x,y) 2-х переменных, если
каждой ее точке
( x, y )  D однозначно соответствует число z=f(x,y)
При этом D называется областью определения функции.
Графиком этой функции двух переменных называется множество точек в
пространстве   ( x, y, f ( x, y)), _ ( x, y)  D
Замечание. График функции 2-х переменных зависит от 2 координат ,
Это какая-то «изогнутая плоскость», его называют поверхностью
по аналогии с поверхностью шара, например.
Определение 10 (непрерывность функции 2-х переменных)
Если график функции f(x,y) 2-х переменных на области D представляет
собой «неразрывную поверхность без проколов и разрезов», то функция
называется непрерывной на области D.
Пример 1(объем конуса вращения)
Рассмотрим функцию z= x 2  y 2 .
Найдем объем конуса ( x, y, z ) : x 2  y 2  z  1 
Этот конус получается вращением графика y  z вокруг оси OZ(рис.14).
По следствию из последней теоремы
1
V    z 2 dz 
0

3
z3
1
0


3
.
Пример 2
D= ( x, y)  R 2 :  ( x)  y   ( x) _ x  [a, b],
где _  ( x), _ ( x)  кусочно  непрерывные _ на _[a, b]
Пусть z=f(x,y)  0 -определенная на D непрерывная функция. Рассмотрим
тело в пространстве
T  ( x, y, z) : ( x, y)  D, _ 0  z  f ( x, y). (рис.15)
Причем известно, что для непрерывной функции z=f(x,y) тело T имеет объем
Тогда рассмотрим сечение T плоскостью x=x0(рис.16).
Это площадь под графиком z=f(x0,y) над отрезком { ( x0 ), ( x0 )] . Так как
f(x0,y) непрерывна вместе с f(x,y)(кривая на неразрывной поверхности не
разрывается), то эта площадь равна определенному интегралу
 ( x0 )
S(x0)=
 f ( x , y)dy
0
 ( x)
. Аналогично
 ( x0 )
вычислении объема
b
b  ( x)
a
a  ( x)
V   S ( x)dx   (
 f ( x, y)dy))dx.
x  [a, b] _ S ( x) 
 f ( x, y)dy. По теореме о
 ( x)
Для ознакомления приведем здесь некоторые общеиспользуемые
определения.
Определение 11(двойного интеграла)
Пусть f ( x, y )  0 _ определена на ограниченном(помещающемся внутри
какого-то круга) множестве D , имеющем площадь .
Тогда двойным интегралом от f(x,y)  0 по D называется объем тела между
D  XOY _ и _ графиком _ f ( x, y) : _ T  ( x, y, z) : ( x, y)  D, _ 0  z  f ( x, y)( x, y)  D,
Если этот объем существует. Функция называется тогда интегрируемой.
Двойной интеграл обозначается  f ( x, y)dxdy  объему _ T . (рис. 17)
D
Для знакопеременной функции аналогично определенному интегралу
 f ( x, y)dxdy   f
D
D

( x, y )dxdy   f  ( x, y )dxdy, _ f
D


f  f
2
,f


f f
2
, _ , если
оба интеграла в правой части существуют.
z=f(x,y) называется интегрируемой на множестве D, если двойной интеграл
от нее по D существует.
Замечание. Аналогично определенному интегралу двойной интеграл
обладает линейностью и аддитивностью.
Определение 12 (простой области)
Простейшей областью на плоскости называется множество
D  ( x, y) : x [a, b],  ( x)  y   ( x), _ где _  ( x) _ и _ ( x)  кусочно- непрерывные на
[a,b] функции (рис.18). Примем без доказательства то, что интеграл по
простейшей области от непрерывной на ней функции f(x,y) существует.
Теорема 15.
f(x,y) непрерывна на простейшей области
D  ( x, y) : x [a, b],  ( x)  y   ( x), _ где _  ( x) _ и _ ( x)  кусочно- непрерывные на
[a,b] функции. Тогда
b  ( x)
 f ( x, y)dxdy   (  f ( x, y)dy)dx.
D
a
( x)
Доказательство для неотрицательной функции следует из примера 2.
Для f(x,y)=f+(x,y)-f-(x,y)

b  ( x)
f ( x, y )dxdy   f  ( x, y )dxdy   f  ( x, y )dxdy   (
D
D
 линейность _ опред. _ инт  ла





b  ( x)
 (
 f ( x, y)dy)dx.
a  ( x)
Пример.
D
a
b  ( x)
(
a


f  ( x, y)dy 
( x)


b  ( x)
f  ( x, y )dy )dx   (
( x)
 ( x)


a
b  ( x)
f  ( x, y )dy)dx   (
( x)
f


a


( x)

( x, y )dy )dx .
( x)
f  ( x, y )  f  ( x, y )dy )
Найти
2

2 x 2 ydxdy  2
 1 / 2 x  2 


 3 x  y 1 x 

1 x
(  x 2 ydy )dx  2
1 / 2 3 x
2

1 / 2
x2 (
y2
2
1 x
)dx 
3 x
2
x
2
((1  x) 2  9 x 2 )dx 
1 / 2
2

x
2
 2 x 3  8 x 4 dx  1 / 3(4  1 / 4)  1 / 2(8  1 / 8)  8 / 5(16  1 / 16).  5 / 4  65 / 16  24  21
1 / 2
3
.
16
2.6 Несобственный интеграл 1 рода и его свойства. Интегралы Дирихле.
Признаки сходимости. Абсолютная и условная сходимость.
Введем понятие еще одного типа интегралов. Они возникли из попытки
вычислять площадь под графиком функции, определенной на полуоси .
Пример.
Пусть f(x)  0 определена на [a,+ ) и интегрируема на любом отрезке [a,b],
a<b. Как вычислить площадь под графиком f(x) на [a,+ ) ?
Из определения определенного интеграла площадь под графиком на
отрезке [a,b] равна
b
S (b)   f ( x)dx. Из рисунка 19 ясно, что S(b) монотонно возрастает c ростом b.
a
Поэтому всегда существует предел S  lim S (b) . Только этот предел может
b  
быть равен либо   , либо неотрицательному числу S.
В любом случае можем считать этот предел площадью под графиком,
которая либо неотрицательна, либо бесконечна .
Теперь мы можем определить несобственный интеграл 1 рода.
Определение 13.
Пусть f(x) определена на [a,+ ) и интегрируема на любом отрезке [a,b],
a<b. Тогда несобственным интегралом от f(x) по [a,+ ) называется


b
f ( x)dx  lim  f ( x)dx. если предел существует и конечен.
b  a
a
Если этот предел есть число, то говорят, что интеграл сходится, если предел
бесконечен или не существует, то говорят, что он расходится.
Замечание 1(геометрический смысл интеграла от неотрицательной
функции). Для f(x)  0 это определение в силу примера совпадает с
определением площади под графиком, и

 f ( x)dx _
a
сходится, если площадь между лучом [a,) и графиком функции конечна
и расходится, если эта площадь бесконечна.
Замечание 2.Если функция меняет знак, то определение через площадь
может давать другой результат, так как при определении через площади
аналогично определенному интегралу всегда будет сходиться интеграл от
модуля функции, что как мы увидим впоследствии для несобственных
интегралов, определенных через предел, не обязательно.
Поэтому здесь мы будем следовать традиционному пути, всегда определяя
этот несобственный интеграл через предел.
Примеры (интегралы Дирихле)

dx
 x
_   0, _ сходится _ при _   1 _ и _ расходится _ при _ 0    1.
1
b
dx
1
при _   1 _   
x 1
(1   )
1 x
b

1
1
 1
(b1  1)

b  
1
, при _   1,интеграл _ сходится
.
 1
 , при _   1 _ интеграл _ расходится

Вычислим теперь предел
b
при _   1 _ 
1
dx
b
 ln x 1  ln b   _ при _ b   и _ интеграл _ расходится.
x
Объединяя результаты, получили что

dx
 x
_   0, _ сходится _ при _   1 _ и _ расходится _ при _ 0    1.
1
Теорема 16(свойство линейности несобственных интегралов)

Если сходятся


f ( x)dx _ и _  g ( x)dx, _ c  число, то сходятся
a

a




a
a
a
a
 f ( x)  g ( x)dx _ и _  cf ( x)dx _ причем _  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx; _
a


a
a
 cf ( x)dx  c  f ( x)dx.
Доказательство следует из свойства линейности пределов.
Теорема 17(аддитивность).
Если f(x) интегрируема на конечных отрезках [a,b], b>a и c>a, то



c

a
c
a
a
c
 f ( x)dx _ и _  f ( x)dx _ сходятся _ одновременно _ и _  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx.
Доказательство.
Из аддитивности определенного интеграла
b

c
b
a
c
f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx. Переходя к пределу при b   и пользуясь тем,
a
что первый из интегралов справа не зависит от b и стремится к самому себе,
получим одновременную сходимость несобственных интегралов и равенство


f ( x)dx   f ( x)dx 
c

a
a
c
 f ( x)dx.
Обычно не требуется вычислять значение несобственного интеграла. Это
можно сделать с любой степенью точности на компьютере, если известно,
что интеграл сходится. Поэтому надо уметь исследовать данные интегралы
на сходимость.
Для неотрицательных функций это помогают сделать простые признаки
сходимости.
Теорема 18 (признак сравнения)
Пусть 0  f ( x)  g ( x), _ x  [a,) _ и_обе функции_ интегрируемы на конечных
отрезках [a,b], b>a.
Тогда если

 g ( x)dx _ сходится, то сходится и
a
Если

 f ( x)dx _ .
a


a
a
 f ( x)dx _ расходится, то расходится и  g ( x)dx _ .
Доказательство.
Обратимся к геометрическому смыслу интеграла от неотрицательной
функции. Это площадь под графиком на [a,) . Сходимость интеграла
означает конечность этой площади, а расходимость-бесконечность.
Из рисунка 20 видно, что в силу неравенства 0  f ( x)  g ( x), _ x  [a,) _
видно, что площадь под графиком f(x) есть часть площади под графиком g(x).
Поэтому из конечности большей площади следует конечность меньшей и
из бесконечности меньшей-бесконечность большей.
Из равенства площади интегралу получаем :
Из сходимости

 g ( x)dx _ следует сходимость
a

 f ( x)dx _ , из расходимости
a


a
a
 f ( x)dx _ следует расходимость  g ( x)dx _ , что и требовалось.
Примеры.
1.  0, _ Тогда _
1
1
 , x  1. _ Т .к. _

x
x
расходится.
2.
sin x
x


1
на [1,) и так как
x

dx
1 x расходится _ по _ Дирихле, _ то _

dx
 x _ тоже _
1

1
 x  dx __ сходится _ при _   1, _ по _ Дирихле, _ то _
a

тогда _ сходится _ по _ признаку _ сравнения _ и _

1
sin x
x
dx.
Так как при   1 интеграл от большей функции расходится , то признак не
применим ни в какой формулировке( там расходиться может интеграл от
меньшей).
Теорема 19(предельный признак сравнения)
Если f ( x)  0, _ g ( x)  0, _ x  [a,) _ и _ f ( x) ~ g ( x) _ при _ x   _ то _


a
a
 f ( x)dx _ и _  g ( x)dx
сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство.
По определению эквивалентности
при x>M ,будет
f ( x)
1
g ( x)
g ( x)
g ( x)
 1  , _ т.е. _ f ( x)  g ( x) 
, _ g ( x) 
 f ( x)  g ( x)  g ( x) 
.
g ( x)
2
2
2
2
Или при x>M ,будет
g ( x)
3
 f ( x)  g ( x).
2
2
По свойству линейности несобственных интегралов
сходятся одновременно с


g ( x)
3
a 2 dx _ и _ a 2 g ( x)dx _

 g ( x)dx . Последний сходится одновременно с
a

 g ( x)dx
Тогда из двойного неравенства следует,
M
что при сходимости

 g ( x)dx

сходится
 f ( x)dx , при
сходимости
M
a

 f ( x)dx
a

сходится  g ( x)dx . Из свойства аддитивности это дает одновременную
M
сходимость исходных интегралов.
Пример.

1
x
Исследовать на сходимость  sin( )dx .
1
 1
При x>1 будет 0<1/x<1< .  0 _ при _ x  . Значит, sin(1/x) положителен
2 x
и sin(1/x)~1/x при стремлении к бесконечности x. Как интеграл Дирихле с
показателем   1 _


dx
1
1 x __ расходится _, значит, расходится _ и _ 1 sin( x )dx.
Перейдем к рассмотрению интегралов от знакопеременных функций.
Для них вводится понятие абсолютной сходимости.
Определение 14.
Интеграл


f ( x)dx называется абсолютно сходящимся, если f(x)
a
интегрируема на конечных отрезках и сходится


f ( x) dx .
a
Что нам дает абсолютная сходимость, выясняет следующая теорема.
Теорема 20(об абсолютной сходимости)
Из абсолютной сходимости интеграла


f ( x)dx следует его сходимость.
a
Доказательство.
Рассмотрим функции
f  ( x) 
f ( x)  f ( x)
2
, _ f  ( x) 
f ( x)  f ( x)
2
. _ Тогда _ f ( x)  f  ( x)  f  ( x). Из свойств
определенного интеграла следует сходимость f+(x), f-(x) на конечных
отрезках [a,b],b>a.
Далее, имеем 0  f+(x)  f ( x) , _ 0  f  ( x)  f ( x) . Отсюда и из непредельного
признака сравнения из сходимости интеграла от модуля следует сходимость


f  ( x)dx _ и _
a

f

( x)dx.
a
А тогда из свойств линейности сходится

f


( x)  f ( x)dx 
a

 f ( x)dx.
a
Это свойство очень важно, потому, что для неотрицательных функций
существует много признаков сходимости.
Пример

sin x
dx сходится абсолютно по непредельному признаку сравнения, так как
2
x
a

0
sin x
x
2

1
и сходится интеграл Дирихле
x2

dx
x
2
. Поэтому по теореме об
a
абсолютной сходимости сходится и сам интеграл

sin x
.
2
a x
