Программа и вопросы к гос.экзамену (специальность

ПРОГРАММА
ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА
специальность 1-31 03 03-01 – Прикладная математика (научнопроизводственная деятельность)
1. Способы задания, исследования и приближения функциональных
зависимостей.
Явное и неявное задание функций. Функции, задаваемые как сумма ряда, как
предел функциональной последовательности, как интегралы, зависящие от параметра.
Теоремы о свойствах таких функций. Их исследование методами дифференциального
исчисления. Представление функций степенными рядами, рядами Фурье. Задача о
наилучшем приближении в линейных нормированных пространствах. Алгебраическое
интерполирование.
Сплайн-приближения.
Другие
способы
приближенного
представления функций.
2. Последовательности и ряды, их роль в прикладной математике.
Сходимость рядов и последовательностей. Представление функций степенными
рядами и рядами Фурье. Использование рядов при решении дифференциальных и
интегральных уравнений. Использование рядов и последовательностей в численных
методах.
3. Интегралы, способы их нахождения.
Определение интеграла (по Риману, по Лебегу, по Стилтьесу). Интегралы на
различных множествах. Вычисление интегралов. Несобственные интегралы. Примеры
использования интегралов при решении технических, физических, экономических и
других задач. Квадратурные формулы с равноотстоящими узлами. Интерполяционные
квадратурные формулы. Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени
точности. Другие способы приближенного нахождения интегралов.
4. Системы линейных и нелинейных уравнений с численными
неизвестными, методы решения.
Неоднородные системы. Критерий совместности линейных систем (теорема
Кронекера-Капелли). Структура общего решения однородных и неоднородных систем.
Точные и приближенные методы решения систем. Примеры прямых методов.
Проблема плохой обусловленности. Итерационные методы. Сходимость. Принцип
сжимающих отображений. Линеаризация по Ньютону.
5. Обыкновенные дифференциальные уравнения, основные типы задач для
них, способы решения.
Понятие дифференциального уравнения, его порядок и решение, постановка
начальных и граничных задач. Начальные и граничные задачи механики. Построение
решений обыкновенных дифференциальных уравнений: интегрирование линейных
стационарных уравнений и систем, элементарные дифференциальные уравнения.
Существование и единственность решения задачи Коши (теорема Пикара-Линделефа).
Устойчивость и асимптотическая устойчивость решений дифференциальных
уравнений. Методы численного решения начальных задач. Одношаговые и
многошаговые методы, их характеристики. Проблема жесткости. Основные типы
методов решения граничных задач.
6. Дифференциальные уравнения с частными производными, примеры
корректных задач, методы решения.
Дифференциальные уравнения с частными производными и их классификация.
Основные уравнения математической физики и задачи для них. Корректная
постановка задач. Задача Коши. Задача Гурса. Метод Даламбера. Метод Римана.
Метод последовательных приближений. Метод Фурье. Методы функционального
анализа. Граничные задачи для эллиптических уравнений. Обобщенные решения.
Метод Грина. Смешанные задачи для параболических и гиперболических уравнений.
Специальные функции математической физики. Теория потенциала. Нелинейные
уравнения математической физики. Основные способы численного моделирования
корректных задач математической физики. Простейшие примеры численных методов,
их характеристики.
7. Интегральные уравнения, их решение.
Принцип сжимающих отображений и его применение к интегральным
уравнениям Фредгольма и Вольтерра. Решение интегральных уравнений с малыми
ядрами. Метод резольвент. Альтернатива Фредгольма и ее применение к решению
интегральных уравнений второго рода. Интегральные уравнения с симметричными
ядрами. Основные подходы к конструированию численных методов решения
интегральных уравнений, примеры методов.
8. Случайные процессы и их исследование.
Случайные величины, их характеристики. Последовательности случайных
величин. Определение случайных, стационарных случайных процессов и их основных
характеристик. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость в
среднеквадратичном смысле случайных процессов. Марковские процессы. Процессы с
независимыми приращениями.
9. Методы статистического анализа данных.
Определение статистических оценок параметров и их свойства. Методы
точечного и интервального оценивания. Неравенство информации. Методы
статистической проверки гипотез.
10. Задачи линейного и нелинейного программирования, методы решения.
Постановка задачи линейного программирования в канонической форме. Базис,
базисный план. Невырожденность. Потенциалы. Оценки. Критерий оптимальности.
Геометрическая интерпретация симплекс-метода как основного метода решения.
Двойственные задачи. Физический смысл двойственных переменных. Постановка
задачи нелинейного программирования со смешанными ограничениями. Регулярные
планы. Классическое правило множителей Лагранжа для регулярных задач.
11. Основные задачи вариационного исчисления и оптимального
управления.
Понятия допустимых кривых и допустимых вариаций. Постановка основной
задачи вариационного исчисления. Сильная и слабая минимали. Условия Эйлера в
дифференциальной форме. Условие Лежандра-Клебша. Присоединенная задача о
минимуме. Условие Якоби. Достаточные условия слабой минимали. Постановка
задачи терминального управления со свободным правым концом траектории. Принцип
максимума Понтрягина как необходимое условие оптимальности. Достаточность
принципа максимума.
12. Экстремальные задачи на графах, способы решения.
Задача о максимальном потоке: основные понятия (стационарного потока и
разреза), теорема о максимальном потоке, основные этапы алгоритма расстановки
пометок. Задача о кратчайших путях, основные этапы алгоритмов Дейкстра и Флойда.
13. Математические модели конфликтных ситуаций и их анализ.
Классы игр. Определение матричной игры. Способы решения матричных игр.
Основная теорема о разрешимости. Графический способ решения.
14. Алгоритмы и рекурсивные функции. Использование структур данных
при разработке эффективных алгоритмов.
Классические модели алгоритмов: Машины Тьюринга и частично рекурсивные
функции. Тезис Тьюринга. Операции суперпозиции, примитивной рекурсии и
минимизации. Частично рекурсивные функции. Эквивалентность понятий функций,
вычислимых по Тьюрингу, и частично рекурсивных функций (Теорема о классах Ч и
Т). Неразрешимые по Тьюрингу проблемы. Недетерминированные машины Тьюринга.
Временная сложность машин Тьюринга. Классы Р и NP. Полиномиальная сводимость.
NP- трудные и NP- полные проблемы.
Элементарные структуры данных (списки, стеки, очереди). Сложные структуры
данных (приоритетные очереди, бинарные кучи, биномиальные кучи). Система
непересекающихся множеств. Сбалансированные поисковые деревья (поддержка
инвариантов сбалансированности). Хеш-таблицы. Базовые операции и их
трудоемкость. Примеры использования структур данных при разработке эффективных
алгоритмов.
15. Модели данных, методы проектирования и управления базами данных.
Инфологическое и даталогическое проектирование баз данных. Элементы теории
нормализации отношений. Основные компоненты СУБД. Основные функции и
классификация СУБД.
16.
Технологии разработки и методы тестирования программного
обеспечения.
Жизненный цикл программного обеспечения. Стадии и этапы разработки
программного обеспечения. Архитектура программных систем. Технология объектноориентированного программирования.
Методы тестирования программного
обеспечения. Управление разработкой программного обеспечения.
17.
Операционные системы: архитектура, управление ресурсами.
Определение операционной системы, типы операционных систем. Потоки и
процессы. Диспетчеризация потоков. Синхронизация потоков и процессов.
Примитивы синхронизации. Тупики: обнаружение, восстановление после
обнаружения, предотвращение. Обмен данными между процессами. Управление
устройствами компьютера, прерывания. Виртуальная память. Функции файловой
системы.
18.
Организация компьютерных сетей. Сети Internet и Intranet.
Топологии компьютерных сетей. Сетевые модели OSI и DOD. Функции и
протоколы каждого уровня. Основные сервисы в глобальных и локальных сетях.
19. Компьютерный сервис вычислительного эксперимента.
Типовая структура, классификация систем компьютерной алгебры (СКА).
Отличительные признаки СКА и их основные функциональные возможности.
Технологии обработки и визуализации данных вычислительных экспериментов в
системе Wolfram MATHEMATICA.