Когда и как начинать подготовку к ЕГЭ по математике?

Когда и как начинать подготовку к ЕГЭ по математике?
Пахомова В.Н.,
учитель математики
МАОУ «СОШ №1 им. И.А. Куратова
с углублённым изучением отдельных предметов»,
г. Сыктывкар
Как известно, единый государственный экзамен (далее - ЕГЭ) по математике является
обязательным для всех учащихся, планирующих получить аттестат о среднем общем
образовании.
На уровне среднего общего образования учащиеся окончательно определяются с
выбором будущей профессии, которая может быть связана также с математикой. Однако в силу
своих индивидуальных способностей и мотивации школьники имеют разный уровень
подготовки по предмету. Тем не менее учитель математики обязан подготовить всех
учащихся к сдаче ЕГЭ, в том числе с учетом запросов школьников по балловому уровню
результатов.
Итак, каково назначение ЕГЭ по математике в системе современного образования?
ЕГЭ фиксирует наличие и уровень сформированности системы математических знаний
учащихся. Именно системность знаний, понимание учащимися места каждой изучаемой темы в
математике способствуют осознанию школьниками степени приобретенных ими знаний и
умений, необходимых для выполнения заданий ЕГЭ.
Следовательно, чтобы обеспечить системность знаний по предмету, надо с первых
уроков в 5 классе начинать подготовку детей к выпускному экзамену.
Цель данной статьи - помочь учителю организовать работу с учащимися со слабой
мотивацией к изучению математики или имеющими трудности в изучении математики по
причине некоторых природных и других особенностей. В эти группы входят дети, которые к
пятому классу уже имеют пробелы в математических знаниях (например, не знают таблицу
умножения или компоненты уравнения); дети, оказавшиеся по воле судьбы в сложной
жизненной ситуации, воспитывающиеся в семье, где родители совершенно не занимаются
воспитанием детей; гуманитарии, у которых больше развито правое полушарие, вследствие
чего им трудно выстраивать длинные логические цепочки; учащиеся, у которых в силу
некоторых причин не сформирована внутренняя мотивация к обучению. Может быть, мой
опыт работы с такими детьми покажется коллегам интересным, советы полезными.
Итак, при организации учебной деятельности по предмету важно опереться на
некоторые положения, без которых трудно добиться результата в формировании прочных
качественных знаний, умений и навыков учащихся по математике.
Во-первых, первое знание самое прочное.
Часто ученики легко усваивают теоретический материал, однако при решении задач
теряются в сложном алгоритме и последовательности действий, связанном с особенностями
оформления ее решения в рабочей тетради (в восьмом классе записывали одним способом, в
десятом – уже по-другому). Переучивать очень сложно. Следовательно, учителю необходимо
обращать внимание на любые мелочи в самом начале пути математического образования
учащихся – первое знание самое прочное.
Во-вторых, чем меньше формул и правил, тем легче и крепче они запоминаются.
Любая задача по математике имеет несколько решений. С учащимися,
мотивированными к изучению учебного предмета мы рассматриваем все возможные способы, и
они впоследствии применяют в решении задач более удобный путь. Остальным же способ
решения должен подсказать учитель: предложить такой алгоритм решения, который содержит
минимум новых приемов и формул, а еще лучше, если решение опирается только на
приобретенные знания.
В-третьих, корректировка знаний должна осуществляться своевременно. Учитель
должен постоянно держать на контроле тех учащихся, которые в силу некоторых
объективных причин пропустили изучение какой-либо темы или слабо ее усвоили. Например, в
6 классе ученик не понял тему «Координатная плоскость». Следовательно, он не сможет
успешно изучить тему «График функции» в 7 классе. Особенно важно своевременно устранять
пробелы в знаниях и добиваться прочного усвоения учебного материала на уровне основного
общего образования, так как знания, умения и навыки, полученные в 5-9 классах, составляют
базовую основу в изучении математики в старших классах.
В-четвертых, желательно учителю вести данный предмет с 5 класса и до выпуска.
Учитель должен хорошо знать образовательную программу, видеть этапы изучения этой
программы, перспективы изучения каждой отдельной темы на определенном этапе, в каком
объеме школьники получат знания по математике на выходе; прогнозировать и отслеживать
результаты, постоянно их корректируя.
В-пятых, сочетать доброжелательные отношения с требовательностью к качеству
результатов. Не следует забывать, что работаем мы с разными детьми: у кого-то может быть
слабо развито чувство ответственности; у другой группы детей невысок познавательный
интерес; есть просто дети ленивые. К сожалению, в «группу риска» прежде всего попадают
именно последние.
В-шестых, с пятого класса обязательно начинать решать задания из основного
государственного экзамена (далее – ОГЭ) и ЕГЭ, посильные учащимся.
Содержание учебного материала по математике в школе изучается в полном объеме с
учетом требований ФГОС. Однако глубина и насыщенность изучаемых материалов по разным
темам требуют от учителя разных подходов: деление тем на более значимые и менее значимые.
Как показывает опыт, недостаточное внимание на уроках к некоторым учебным темам
создает проблемную ситуацию на ЕГЭ. В частности, ежегодно анализ результатов «пробных»
ЕГЭ выявляет типичные проблемные «зоны» по предмету, среди которых:
1. Устный счет.
2. Числовые выражения, содержащие обыкновенные и десятичные дроби вместе.
3. Пропорции.
4. Решение уравнений вида х2 = а.
5. Рациональное решение полных квадратных уравнений.
6. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни.
7. Определение синуса, косинуса, тангенса острого угла прямоугольного треугольника.
8. Решение прямоугольных треугольников, содержащих углы в 30, 45 и 60.
9. Таблица значений тригонометрических функций для углов 30, 45 и 60.
10. Прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами.
Кроме того, очень важно при изучении любого нового материала необходимо выявить
совместно с учащимися, где в дальнейшем может пригодиться новое знание, какие
возможности открывает данная тема в освоении других научных областей.
«Устный счет»
В пятом и шестом классах устный счет можно проводить практически на каждом
уроке. Учебно-методический комплекс Н.Я. Виленкина и др. «Математика- 5» и «Математика6» содержат замечательную систему упражнений для устного счета. Если использовать ее от
начала до конца, то ученики будут наизусть (как таблицу умножения) знать следующие
примеры: 163=48, 373=111, 243=72, 184=72, 363=108, 8125=1000 (а этот пример в
шестом классе помогает переводить обыкновенную дробь в десятичную, так же, как 254=100
и 52=10) и другие. Кроме этого, следует регулярно тренировать детей устно умножать на 11;
четные числа умножать на кратные пяти.
На первых уроках в пятом классе устный счет может проводить учитель. Чтобы этап
урока проходил динамично, учащиеся говорят только ответы. Через две-три недели (в
зависимости от уровня класса) устный счет начинают проводить сами учащиеся, проверяя друг
друга.
Важно, чтобы в течение учебного года каждый ученик смог побывать в роли
«ведущего».
Для того чтобы учащиеся обращали внимание на числа в повседневной жизни (а это
тоже тренировка), можно записывать дату в виде числового равенства, например, 6+9=15
означает шестое сентября 2015 года (06.09.15). Ребята охотно включаются в эту игру. При
решении какого-нибудь номера в пятом классе мы выясняем, на какие числа он делится, а в
шестом классе уже находим его делители.
Очень важно добиться осмысленного выполнения учащимися требования: «Все
вычисления на уроках математики и при выполнении домашнего задания по предмету - без
калькулятора!»
В 7-9 классах следует продолжать включать примеры для устного счета, уже связанные
со степенями, с квадратными корнями, с числом π.
«Числовые выражения, содержащие обыкновенные и десятичные дроби вместе»
Решение таких примеров требует умения переводить дробь одного вида в другой,
выделять среди обыкновенных дробей те, которые можно перевести в конечную десятичную, а
какие – нет. Одновременно отрабатываются навыки работы с дробными выражениями
(числовыми), что впоследствии облегчит учащимся изучение тем, связанных с алгебраическими
дробями.
«Пропорции»
Одна из важнейших тем шестого класса! В ней закладываются навыки работы с
процентами, с решением дробно-рациональных уравнений и задач по геометрии. К сожалению,
учебники и дидактические материалы содержат недостаточное количество заданий для работы
с пропорциями. Многие задания учителю приходится составлять самостоятельно. В таких
случаях не нужно забывать включать геометрические задачи. Например, «Точка В лежит на
отрезке АС, причем АВ : ВС = 3 : 5 и АС = 16 см. Найдите длину отрезков АВ и ВС.»
«Решение уравнений вида
х2 = а»
Учащиеся регулярно делают одну и ту же ошибку при решении данных уравнений – они
не находят отрицательный корень. Возможно, причина кроется в том, что знакомство с этими
уравнениями, как и вообще с квадратными корнями у учащихся, происходит не на алгебре, а на
геометрии при изучении темы «Теорема Пифагора». При нахождении третьей стороны
прямоугольного треугольника им как раз и приходится решать уравнение такого типа.
Неоспоримое правило: учить детей сразу находить два корня, а затем отрицательный корень
отсеивать – первое знание самое прочное.
«Рациональное решение полных квадратных уравнений»
В программе по математике в 10-11 классах практически любая тема требует умения
решать полные квадратные уравнения. Причем чаще всего при выполнении заданий учащиеся
приходят к уравнениям, которые решаются с помощью теоремы, обратной теореме Виета или к
уравнениям с достаточно большими коэффициентами. Применение данной теоремы и
применение второй формулы дискриминанта (D1) могли бы облегчить учащимся решение таких
уравнений, если бы они на должном уровне владели этими знаниями. Но в курсе алгебры 8-9
класса учителя по некоторым соображениям не уделяют должного внимания данным темам.
Педагог в стремления лучше отработать стандартный способ решения в какой-то мере обедняет
уроки математики, «тормозит» развитие школьников.
Необходимо на уроке в устную работу включать уравнения на применение обратной
теоремы Виета, при решении уравнения с четным средним коэффициентом вызывать к доске
двух учащихся, которые будут выполнять задание разными способами. В этом случае у детей
будет возможность оценить рациональность второго решения.
«Преобразование выражений, содержащих квадратные корни»
В первую очередь необходимо научить детей сокращать дроби вида
а
√а
=
√а∙√а
.
√а
На самом
деле это не требует больших усилий со стороны учителя. В данном случае требуется частое
повторение, например, в виде устного счета. Особое внимание следует уделять умению вносить
и выносить множитель из-под знака корня и сокращать дроби вида
√𝑎+√𝑏
.
√𝑐
В старших классах
угла
прямоугольного
эти умения будут незаменимы при решении квадратных уравнений и геометрических задач на
нахождение элементов многогранников.
«Определение
треугольника»
синуса,
косинуса,
тангенса
острого
Кроме выше перечисленных функций уже в восьмом классе желательно включать в
практику определение котангенса. Все равно в 10 классе они будут его изучать как
самостоятельную функцию. Однако из-за того, что знакомство с ним происходит позже других
функций, часто задания с котангенсом пугают учеников, вызывают чувство беспомощности.
Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного
треугольника дети учат наизусть и устно сдают учителю или друг другу несколько раз на
протяжении всего учебного года. С этими определениями связаны разделы не только в
геометрии, но и в алгебре.
5
В курсе алгебры и начала анализа такие задания, как «Найти tgx, если cosx=7 и
3𝜋
2
<х<
2𝜋», можно решать не с помощью тригонометрических тождеств, а с помощью прямоугольного
треугольника следующим образом: 1) определяем знак тангенса: так как х находится в
четвертой четверти, то тангенс отрицательный, 2) чертим прямоугольный треугольник и
5
выделяем в нем острый угол х, 3) так как косинус равен 7, то прилежащий катет обозначаем
равным 5, а гипотенузу – 7, 4) по теореме Пифагора находим второй катет √72 − 52 = √24 =
2√6, 5) по определению тангенса находим его абсолютное значение
2√6
5
, 6) ответ: −
2√6
5
.
7
х
5
Такое решение опирается на знания, полученные на уровне основного общего
образования, поэтому требуется меньше времени на выполнение (тригонометрические
тождества ученики слабо запоминают в полном объеме, часто допускают ошибки при работе с
ними).
Решение прямоугольных треугольников, содержащих углы в 30°, 45° и 60°.
Решение указанных треугольников требуется в работе с правильными
многоугольниками и многоганниками, и они часто встречаются в задачах на экзамене.
При решении данных треугольников удобно применять следующие схемы:
х√2
х
60
х
2х
45
х
30
х√3
Равнобедренный прямоугольный треугольник впечатляет человечество со времен
пифагорейцев, которых он поверг в ужас. Ведь его гипотенуза несоизмерима с катетами!
Говоря современным языком, уравнение х2 =2 не имеет рациональных корней. С этим
историческим фактом ученики знакомятся на первом уроке при изучении теоремы Пифагора.
После π число √2 - первое иррациональное число в их жизни. На самом деле это можно
представить очень просто: чтобы найти гипотенузу равнобедренного прямоугольного
треугольника, надо катет умножить на √2. И всё!
Решение можно оформлять следующим образом: рассмотрим треугольник АВС, ‫ے‬В =
90, АВ = ВС = 5, следовательно, АС = 5√2 (по теореме Пифагора).
При отработке решения второго треугольника целесообразно называть его стороны как
малый катет, большой катет и гипотенуза. При вычислении сторон опираемся на малый катет.
Чтобы найти большой катет, надо малый умножить на √3. Чтобы найти гипотенузу, надо малый
катет умножить на 2 (этот факт ученики обычно хорошо помнят еще с седьмого класса).
Рассмотрим задачу: «Найти сторону правильного треугольника АВС, если его медиана
ВМ равна 5». Оформление решения может быть следующим: так как треугольник АВС
правильный, то медиана ВМ является его высотой; рассмотрим треугольник АВМ, ‫ے‬М = 90
(ВМ - высота), ‫ے‬А = 60 (АВС - правильный), значит, АМ =
5
√3
=
5√3
10√3
3
3
, следовательно, АВ =
.
«Таблица значений тригонометрических функций для углов 30°, 45° и 60°»
Задача педагога добиться знания этой таблицы каждым учащимся как таблицы
умножения!
«Прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами»
Частое включение этих треугольников в задачи по геометрии позволяют учащимся
запомнить тройки чисел, для которых выполняется равенство а2+b2=c2. Знание этих троек
помогает ученику при чтении условия задачи узнавать прямоугольные треугольники, находить
значения тригонометрических функций и иррациональных выражений, дает возможность
предвидеть ответ.
Упражнения в учебниках позволяют запомнить только одну-две тройки: 3,4,5 и 5,12,13.
Рекомендуется при составлении задач использовать еще и следующие: 20, 21, 29; а также
те же тройки, но увеличенные в два-три раза, например, 6,8,10; 9,12,15; 10,24,26; 15,36,39; 40,
42,58 и т.д.
И хотелось бы обратить внимание своих коллег еще на одно важное направление - это
индивидуальная работа с учащимися. Разумеется, в условиях, в которых работает большинство
учителей (большая учебная нагрузка и учителей, и учащихся), организовать результативную
индивидуальную работу с учащимися очень сложно. Приходится находить такие формы
работы, которые помогают справиться с постоянным лимитом времени. Что-то радикально
новое в этом направлении предложить трудно. Мы в своей школе используем такие
традиционные формы, как индивидуальное занятие, работу в группах, консультирование
слабых учащихся более подготовленной частью классного коллектива.
При организации индивидуальной работы с учащимися надо иметь в виду: занятия не
должны носить стихийный характер! В частности, индивидуальные занятия необходимо
правильно планировать, тщательно изучив пробелы в знаниях учащихся. В целях ликвидации
пробелов в знаниях по математике разработать индивидуальный «маршрут» для каждого
учащегося в отдельности.
Очень часто темы, которые вызывают затруднение у школьников, являются типичными
для группы детей. В таких случаях, можно их объединить в группы с учетом пробелов в
знаниях. Такая форма работы позволяет включать учащихся в совместное обучение: ребята
делятся друг с другом информацией, обсуждают вместе способы решения задач.
Заключение
Данная статья не является руководством к действию, скорее, она носит
консультационный характер. Возможно, кому-то из молодых учителей советы покажутся
интересными, предложения целесообразными – помогут решить проблемы, с которыми
сталкивается любой учитель математики в практической работе.