12,13
advertisement
12. Формулы Грина. 13Фундаментальные формулы Грина. Мы рассмотрели 2 подхода к определению возмущающего потенциала. Первый подход базируется на его выражении как потенциала простого слоя. Второй базируется на его выражении как потенциала второго слоя. Для того что бы решить поставленную задачу ее рассматривают и применяют формулу Остроградского или Грина. Формула Остроградского заключается в том, что функция R непрерывна, то 𝑑𝑅 𝑑𝑟 в трехмерном пространстве записывается так: ∬ 𝜏 𝑑𝑅 ∗ 𝑑𝑥 ∗ 𝑑𝑦 ∗ 𝑑𝑧 = ∬ 𝑅 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝑛, 𝑧) ∗ 𝑑𝑥 ∗ 𝑑𝑦 𝑑𝑟 𝜏 Где (n,z) – угол между нормалью к поверхности и осью z. Введем еще функции Q,P следовательно: ∬ 𝜏 𝑑𝑄 ∗ 𝑑𝑥 ∗ 𝑑𝑦 ∗ 𝑑𝑧 = ∬ 𝑄 ∗ cos(𝑛, 𝑥) ∗ 𝑑𝑦 ∗ 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝜏 ∭ 𝜏 𝑑𝑃 ∗ 𝑑𝑥 ∗ 𝑑𝑦 ∗ 𝑑𝑧 = ∬ 𝑑𝑃𝑑𝑥 2 𝑑𝑦 𝜏 Найдем сумму этих интегралов: ∭( 𝜏 𝑑𝑅 𝑑𝑄 𝑑𝑃 + + ) ∗ 𝑑𝑥 ∗ 𝑑𝑦 ∗ 𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = ∬(𝑅 ∗ 𝑑𝑦 ∗ 𝑑𝑥 + 𝑄 ∗ 𝑑𝑦 ∗ 𝑑𝑧 + 𝑃 ∗ 𝑑𝑥 ∗ 𝑑𝑧) 𝜏 Введем упрощения в интеграле: в правой части различные дифиреанциалы интегрирования: 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝑑𝜗 ∗ cos(𝑛, 𝑧) 𝑑𝑥 𝑑𝑧 = 𝑑𝜗 ∗ cos(𝑛, 𝑦) 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 𝑑𝜗 ∗ cos(𝑛, 𝑥) Тогда формула Остроградского: ∭( 𝜏 𝑑𝑅 𝑑𝑄 𝑑𝑃 + + ) ∗ 𝑑𝜏 𝑑𝑟 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = ∭(𝑅 ∗ cos(𝑛, 𝑧) + 𝑄 ∗ cos(𝑛, 𝑦) + 𝑃 ∗ cos(𝑛, 𝑥) ∗ 𝑑𝜗 ∑ Значение этой формулы заключается в том, что она позволяет заменять объемные интегралы поверхностными, что упрощает интегрирование. Для вывода формулы Грина на основе формулы Остроградского. Введем непрерывные функции Ui и Vi. На основе этой функции Грин построим функции P, Q, R следующего вида: 𝑃 = 𝑈𝑖 ∗ 𝑑𝑉𝑖 𝑑𝑥 𝑄 = 𝑈𝑖 ∗ 𝑑𝑉𝑖 𝑑𝑦 𝑅 = 𝑈𝑖 ∗ 𝑑𝑉𝑖 𝑑𝑧 Находим производную по этим формулам по x,y,z. 𝑑𝑃 𝑑𝑈𝑖 𝑑𝑉𝑖 𝑑 2 𝑉𝑖 = ∗ + 𝑈𝑖 ∗ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑𝑄 𝑑𝑈𝑖 𝑑𝑉𝑖 𝑑 2 𝑉𝑖 = ∗ + 𝑈𝑖 ∗ 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑦 2 𝑑𝑅 𝑑𝑈𝑖 𝑑𝑉𝑖 𝑑 2 𝑉𝑖 = ∗ + 𝑈𝑖 ∗ 2 𝑑𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑧 Складывают эти выражения и получают их сумму: 𝑑𝑃 𝑑𝑄 𝑑𝑅 + + = 𝐷(𝑢, 𝑣) ∗ 𝑈 + ∆𝑉 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑦 Где 𝐷(𝑢, 𝑣) = 𝑑𝑈𝑖 𝑑𝑥 ∗ 𝑑𝑉𝑖 𝑑𝑥 + 𝑑𝑈𝑖 𝑑𝑦 ∗ 𝑑𝑉𝑖 𝑑𝑦 + 𝑑𝑈𝑖 𝑑𝑧 ∗ 𝑑𝑉𝑖 𝑑𝑧 ∆𝑉 = 𝑑2𝑉 𝑑2𝑉 𝑑2𝑉 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 2 + 2 + 2 Настоящее суммарное выражение подставим в формулу Остроградского: ∭(𝐷(𝑢, 𝑣) + 𝑢∆𝜗)𝑑𝜏 𝜏 = ∬𝑢( ∑ 𝑑𝑉 𝑑𝑉 𝑑𝑉 ∗ cos(𝑛, 𝑥) + ∗ cos(𝑛, 𝑦) + ∗ cos(𝑛, 𝑧)) 𝑑𝑉 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 Выражение в скобках – это производная по направлению. На этом основании первая формула Грина: ∭ 𝐷(𝑢, 𝑣) + 𝑈∆𝑉) ∗ 𝑑𝜏 = ∬ 𝑈 𝜏 𝜏 𝑑𝑉 ∗ 𝑑𝜗 𝑑𝑛 Однако для практики определение возмущающего потенциала имеет значении вторая формула Грина: Для вывода в первой формуле Грина поменяем местами функции U и V, следовательно можем записать второе выражение для первой формулы Грина ∭ 𝐷(𝑢, 𝑣) + 𝑉∆𝑈)𝑑𝑟 = ∬ (𝑈 𝜏 𝛿 𝑑𝑉 𝑑𝑈 − 𝑉 ) 𝑑𝛿 𝑑𝑛 𝑑𝑛 Вторая формула Грина является исходной для определения возмущающего потенциала, как потенциала второго слоя, при этом преобразуем вторую формулу Грина следующим образом. Предположим что функция U является гармоничной функцией, а для каждой пограничной функции: 𝑑2𝑈 𝑑2𝑈 𝑑2𝑈 ∆𝑈 = + + =0 𝑑𝑥 2 𝑑𝑦 2 𝑑𝑧 2 Кроме того обозначаем оператор ∆ как оператор Лапласа. Будем считать что функция V – потенциал. Очевидно что тогда формулу Грина можно записать так: ∭ 𝑈∆𝑉 = ∬ (𝑈 𝜏 𝛿 𝑑𝑉 𝑑𝑈 − 𝑉 ) 𝑑𝛿 𝑑𝑛 𝑑𝑛 Из этой формулы будем находить значения потенциала. В качестве функции U примем U=1/r. Поскольку V принимаем в качестве потенциала, то в нутрии области: 𝑑2𝑉 𝑑2𝑉 𝑑2𝑉 ∆𝑉 = 2 + 2 + 2 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 Формула удовлетворяет следующие условия ∆𝑉 = −4𝜋𝑓𝛿 - условие Пуассона. Подставим значение ∆𝑉 = −4𝜋𝑓𝛿, U=1/r во вторую формулу Грина: 1 𝑑 𝑑𝑉 ∭ 𝑈∆𝑉𝑑𝑇 = ∬(𝑈 ∗ − 𝑉 𝑟 ) 𝑑𝛿 𝑑𝑛 𝑛 𝜏 𝜏 𝛿 1 𝑑𝑉 𝑑𝑈 −4𝜋𝑓 ∭ 𝑑𝑇 = ∬ ( ∗ − 𝑉 ) 𝑑𝛿 𝑟 𝑟 𝑑𝑛 𝑑𝑛 𝜏 𝜎 Настоящая формула является фундаментальной формулой Грина. 𝛿 𝑓 ∭ 𝑑𝑇 = 𝑉 𝑟 𝑟 V = T. 1 𝜎 1 1 𝑑𝑉 𝑇 = − 𝜋∬( ∗ − 𝑉 ∗ 2) 𝑑𝛿 4 𝑟 𝑑𝑛 𝑑𝑛 𝛾 Производную 𝑑𝑇 𝑑𝑛 нужно выразить через аномалии силы тяжести записанную в третьем краевом условии. 𝑑𝑇 2𝑇 = ∆𝑔 − 𝑑𝐻 𝑅 Следовательно: 1 𝑑 1 1 2𝑇 𝑇=− ∬ ( (∆𝑔 − ) − 𝑇 𝑟 ) 𝑑𝛿 4𝜋 𝑟 𝑅 𝑑𝑛 𝜎 Поскольку значение T находится под знаком интеграла и вынести его из под знака невозможно, то аналитического решения этого уравнения нет. А численно не известно и сложно.
