Метода_рус1 - Донецкий институт железнодорожного

Украинской государственной академии
железнодорожного транспорта
Кафедра «Автоматика, телемеханика, связь
и вычислительная техника»
И.Н.Кононенко
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
по дисциплине
«ОПТИМИЗАЦИЯ
И МОДЕЛИРОВАНИЕ
ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ СИСТЕМ»
(раздел «Линейное программирование»)
Часть 1
Донецк 2011
УДК 681.3.06 (071)
Методическое пособие по дисциплине «Оптимизация и
моделирование телекоммуникационных систем» для студентов факультета
«Инфраструктура
железнодорожного
транспорта»
(часть1)
//
И.М.Кононенко. – Донецк: ДИЗТ, 2011. – 86с.
В данном учебном пособии рассматриваются вопросы построения
математических
моделей
основных
типов
задач
линейного
программирования, и способы их решения средствами табличного
процессора Microsoft Excel. Предложены примеры выполнения и
рекомендации относительно решения конкретных задач, описаны
возможности применения электронных таблиц, которые существенно
упрощают работу и позволяют получать результаты. Приведены
индивидуальные задания по шести темам курса.
Пособие рассчитано на студентов всех форм учебы при подготовке
к практическим занятиям и расчетным работам.
Методическое пособие рассмотрено и утверждено на заседании
кафедры «АТС и ВТ» 02.09.2011г., протокол № 1.
Рекомендовано к печати на заседании методической комиссии
факультета «Инфраструктура железнодорожного транспорта» 04.10.2011г.,
протокол № 2.
Отв. за выпуск:
Кононенко И.Н.
Рецензенты:
Тераванесов М.Р.,
Поцепаев В.В.
 Кононенко И.Н., 2011
2
ВВЕДЕНИЕ
В данном учебно-методическом пособии рассматриваются
основные типы задач линейного программирования, даны
рекомендации относительно построения их математических
моделей и поиска оптимальных решений средствами табличного
редактора Microsoft Excel.
С целью более эффективного овладения учебного
материала пособие построено по принципу лабораторных работ,
разбитых по типам задач линейного программирования.
Лабораторные работы содержат теоретическое описание
математических моделей задач линейного программирования
определенного типа и методики их построения; примеры
решения конкретных задач, анализируются возможные ошибки
при вводе начальных данных задач линейного программирования
и рекомендации по их решению.
Каждая лабораторная работа содержит 20 вариантов
учебных задач определенного типа, а также перечень вопросов
для защиты работы, охватывающих как теоретические
положения, так и конкретные варианты заданий.
Применение электронных таблиц существенно упрощает
работу с данными и позволяет получать результаты без
проведения
расчетов
вручную
или
специального
программирования.
С
их
помощью
можно
решать
экономические, математические, физические и инженерные
задания, например, осуществлять расчеты по формулам,
проводить поиск и выполнять анализ расчетов.
Избранный способ изложения учебного материала
позволяет использовать данное пособие, как в учебных целях, так
и для решения практических задач с использованием Microsoft
Excel.
3
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ MICROSOFT EXCEL
Цель работы: приобретение навыков решения задач линейного
программирования (ЛП) в табличном редакторе
Microsoft Excel.
Одноиндексные задачи ЛП
Математическое программирование – это математическая
дисциплина, в которой разрабатываются методы отыскания
экстремальных значений целевой функции среди множества ее
возможных значений, определяемых ограничениями.
В зависимости от свойств целевой функции и функции
ограничений все задания математического программирования
делятся на два основных класса:

задание линейного программирования

задание нелинейного программирования.
Если целевая функция и функции ограничений – линейные
функции, то соответствующее задание поиску экстремума
является заданием линейного программирования. Если хоть бы
одна из указанных функций нелинейная, то соответствующее
задание поиску экстремума является заданием нелинейного
программирования.
Линейное программирование (ЛП) решает задачи
нахождения оптимальных значений переменных для линейной
целевой функции и системы ее ограничений, которые заданы
линейными алгебраическими уравнениями и неравенствами.
Сущность линейного программирования состоит в
нахождении точек наибольшего или наименьшего значения
некоторой функции при определенном наборе ограничений,
налагаемых на аргументы и образующих систему ограничений,
которая имеет, как правило, бесконечное множество решений.
Каждая совокупность значений переменных (аргументов
функции F), которые удовлетворяют системе ограничений,
называется
допустимым
планом
задачи
линейного
программирования. Функция F, максимум или минимум которой
определяется,
называется
целевой
функцией
задачи.
4
Допустимый план, на котором достигается максимум или
минимум функции F, называется оптимальным планом задачи.
Большинство заданий, которые решаются методами
исследования операций, могут быть сформулировано так:
максимизировать(минимизировать) F(x1, x2 ., xn) при
ограничениях
где f(x1, x2 ., xn) - целевая функция, или критерий
эффективности; X={x1.,xn}- варьируемые параметры; g1(x).,gm(x)функции, которые задают ограничение на имеющиеся ресурсы.
Рассмотрим пример нахождения решения для следующей
одининдексной задачи ЛП:
L( x)  20 x1  120,5 x2  56 x3  87,5 x4  max;
2 x1  6 x2  4 x3  x4  450
2 x  1,8 x  x  4 x  757
 1
2
3
4

 1,5 x1  4 x2  12,7 x3  11x4  90
 x j  0 ( j  1...5)

Для того, чтобы решить задачу ЛП в табличном редакторе
Microsoft Excel необходимо выполнить следующие действия.
1. Ввести условия задания:
а) создать экранную форму для введения условия
задания:
· целевой функции (ЦФ)
· переменных
· ограничений;
б) ввести начальные данные в экранную форму:
· коэффициенты ЦФ
· коэффициенты при переменных в ограничениях
· правые части ограничений;
в) ввести зависимости из математической модели в
экранную форму:
· формулу для расчета ЦФ
· формулы для расчета значений левых частей
ограничений;
5
г) задать ЦФ (в окне "Поиск решения"):
· целевая ячейка
· направление оптимизации ЦФ;
д) ввести ограничение в окне "Поиск решения":
· ячейки со значениями переменных
· предельные условия для допустимых значений
переменных
· соотношение между правыми и левыми частями
ограничений.
2. Решить задачу:
a) установить параметры решения задачи (в окне
"Поиск решения");
б) запустить задание на решение (в окне "Поиск
решения");
в) выбрать формат выведения решения (в окне
"Результаты поиска решения").
В экранной форме для введения условий задания на рис.
1.1 каждой переменной и каждому коэффициенту задания
поставлена в соответствие конкретная ячейка в Excel. Да,
например переменным задания отвечают ячейки B3 (x1), C3 (x2),
D3 (x3), E3 (x4), коэффициентам ЦФ отвечают ячейки B6 (20), C6
(120,5), D6 (56), E6 (87,8), правым частям ограничений отвечают
ячейки H10 ( >=450), H11 (= 757), ( <= 90) и так далее
Рисунок 1.1 - Экранная форма задания вместе с введенными у
нее начальными данными (курсор в ячейке F6)
6
В ячейку F6, в которой будет отображаться значение ЦФ,
необходимо ввести формулу, по которой это значение будет
рассчитываться. Согласно задания значения ЦФ определяется
выражением
20 x1  120,5 x2  56 x3  87,5 x4
Используя обозначение соответствующих ячеек в Excel,
формулу для расчета ЦФ можно записать как сумму
произведений каждого из ячеек, отведенных для значений
переменных задания (B3, C3, D3, E3), на соответствующую
ячейку, отведенную для коэффициентов ЦФ (B6, C6, D6,E6), то
есть
В3 . В6 + С3 . С6 + D3 . D6 + Е3 . Е6
Чтобы задать формулу необходимо в ячейку F6 ввести
следующее выражение
=СУММПРОИЗВ(B$3:E$3;B6:E6)1,
и нажать клавишу "Enter". После этого в целевой ячейке
появится «0» (нулевое значение).
Левые части ограничений задания являются суммой
произведений каждого из ячеек, отведенных для значений
переменных задания (B3, C3, D3, E3), на соответствующую
ячейку,
отведенную
для
коэффициентов
конкретного
ограничения (B10, C10, D10, E10 – 1-ое ограничение; B11, C11,
D11, E11 – 2-ое ограничение и B12, C12, D12, E12 – 3-ое
ограничение). Формулы соответствующие левым частям
ограничений, представленные у табл. 1.1.
Таблица 1.1 - Формулы, которые описывают ограничение
заданной модели
Левая часть ограничения
2 x1  6 x2  4 x3  x4 или
В3 . В10+С3 . С10+D3 . D10
+Е3 . Е10
2 x1  1,8x2  x3  4 x4 или
.
В3 В11+С3 . С11+D3 . D11 +Е3 . Е11
 1,5x1  4 x2  12,7 x3  11x4 или
.
В3 В11+С3 . С11+D3 . D11 +Е3 . Е11
Формулы Microsoft Excel
=СУММПРОИЗВ(B$3:E$3;B10:E10)
=СУММПРОИЗВ(B$3:E$3;B11:E11)
=СУММПРОИЗВ(B$3:E$3;B12:E12)
символ «$» перед номером строки 3 означает, что при копировании этой формулы в
другие ячейки листа Excel номер строки 3 не изменится;
символ «:» означает, что в формуле будут использованы все ячейки интервала,
расположенные между ячейками, указанными слева и справа от двоеточия (например,
запись B6:E6 указывает на ячейки B6, C6, D6 і E6).
1
7
Как видно из табл. 1.1, формулы, которые задают левые
части ограничений задания, отличаются одна от другой и от
формулы целевой функции (ячейка F6) только номером строки
во втором массиве. Этот номер определяется той строкой, в
которой ограничение записано в экранной форме. Поэтому для
задания зависимостей для левых частей ограничений достаточно
скопировать формулу из целевой ячейки в ячейки левых частей
ограничений. На экране в полях F10, F11 и F12 появится «0»
(нулевое значение).
Для проверки правильности введенных формул проводите
по очереди двойное нажатие левой клавиши мыши на ячейки с
формулами. При этом на экране рамкой будут выделяться ячейки,
используемые в формуле (рис. 1.2).
Рисунок 1.2 - Проверка правильности введения формулы
для левой части ограничения 1(курсор в ячейке F10)
Последующие действия проводятся в окне "Поиск
решения", которое вызывается из меню "Сервис" (рис. 1.3):
• в поле "Установить целевую ячейку" вводится адрес
целевой ячейки $F$6 или одним нажатием левой клавиши мыши
на целевую ячейку в экранной форме (это будет равносильно
введению адреса из клавиатуры);
• указывается направление оптимизации ЦФ, щелкнув
один раз левой клавишей мыши по селекторной кнопке
"Максимальному значению";
8
• в поле, "Изменяемые ячейки" вписывается интервал
ячеек $B$3:$E$3 путем выделения мышью соответствующих
ячеек переменных непосредственно в экранной форме;
• для задания предельных условий для допустимых
значений переменных нажимают кнопку Добавить, после чего
появится окно "Добавления ограничения" (рис. 1.3).
Рисунок 1.3 - Добавление условия отрицательной для
переменных задания
Нажав кнопку Добавить в окне "Добавление ограничения" в поле "Ссылки на ячейку" вводится адрес ячейки левой
части конкретного ограничения, например $F$10. Это можно
сделать как из клавиатуры, так и путем выделения мышью
нужной ячейки непосредственно в экранной форме. В
соответствии с условием задания в поле знака образуется
необходимый знак, например «=». В поле "Ограничения"
вводится адрес ячейки правой части данного ограничения,
например
$H$10.
Аналогично
вводятся
ограничения:
$F$11>=$H$11, $F$12<=$H$12.
Подтверждение введения всех перечисленных выше
условий происходит нажатием кнопки OK.
Окно "Поиск решения" после введения всех необходимых
данных задания представлен на рис. 1.4.
Рисунок 1.4 - Окно "Поиск решения"
9
Если при введении условия задания возникает
необходимость в изменении или удалении внесенных
ограничений или предельных условий, то это делают нажав
кнопки Изменить или Удалить (рис. 1.4).
Запуск задания на решение проводится из окна "Поиск
решения"
путем нажатия кнопки Выполнить . Но
предварительно для установления конкретных параметров
решения заданий оптимизации определенного класса необходимо
нажать кнопку Параметры и заполнить некоторые поля окна
"Параметры поиска решения" (рис. 1.5).
Параметр "Максимальное время" служит для назначения
времени (в секундах), которое выделяется на решение задачи. В
поле можно ввести время, не которое превышает 32 767 секунд
(больше 9 часов).
Рисунок 1.5 - Параметры поиска решения, соответствующие для
большинства заданий ЛП
Параметр "Предельное число итераций" служит для
управления временами решения задачи путем ограничения числа
промежуточных вычислений. В поле можно ввести количество
итераций, которое не превышает 32 767.
Параметр "Относительная погрешность" служит для
задания точности, с которой определяется соответствие ячейки
целевому значению или приближение к указанным пределам,
должно содержать число в интервале от 0 до 1. Чем меньше
количество десятичных знаков в введенном числе, тем ниже
10
точность. Высокая точность увеличит время, которое нужно для
того, чтобы сошелся процесс оптимизации.
Параметр "Допустимое отклонение" служит для задания
допуска на отклонение от оптимального решения в
целочисленных заданиях. При указании большего допуска поиск
решения заканчивается быстрее.
Параметр "Сходимость" применяется только при решении
нелинейных заданий.
Установка флажка "Линейная модель" обеспечивает
ускорение поиска решения линейной задачи за счет применения
симплекс-метода.
Если есть необходимость в знании промежуточных
результатов вычислений при поиске оптимального решения,
нужно отметить пункт "Показывать результаты итераций" в
окне, которое открылось (рис. 1.8). В Excel как методы поиска
решения задачи предлагаются метод Ньютона и метод связанных
градиентов. Для решения заданий линейного программирования
обычно используется метод Ньютона. Показаны установки в окне
"Параметры поиска решения" на рис. 1.8, как правило
оказываются достаточными для получения оптимального
решения заданий линейного программирования.
Подтверждение установленных параметров происходит
нажатием кнопки OK.
После запуска на решение задания ЛП на экране
появляется окно "Результаты поиска решения" с одним из
сообщений, представленных на рис. 1.6 - 1.8.
Рисунок 1.6 - Сообщение об успешном решении задания
11
Рисунок 1.7 - Сообщение при несовместимой системе
ограничений задания
Рисунок 1.8 - Сообщение при неограниченности ЦФ в
необходимом направлении
Иногда сообщения, представленные на рис. 1.7 и 1.8,
свидетельствуют не о характере оптимального решения задачи, а
о том, что при введении условий задания в Excel были допущены
ошибки, которые не позволяют Excel найти оптимальное
решение, которое в действительности существует .
Если при заполнении полей окна "Поиск решения" были
допущены ошибки, не позволяющие Excel применить симплекс
для решения задания или довести ее решение до конца, то после
запуска задания на решение на экран будет выдано
соответствующее сообщение с указанием причины, по которой
решение не найдено. Иногда очень малое значение параметра
"Относительная погрешность" не позволяет найти оптимальное
решение. Для исправления этой ситуации увеличивайте
погрешность поразрядного, например от 0,000001 до 0,00001 и
так далее
В окне "Результаты поиска решения" представлены
названия три типов отчетов: "Результаты", "Стойкость",
"Пределы". Они необходимы при анализе полученного решения
12
на чувствительность. Для получения же ответа (значений
переменных, ЦФ и левых частей ограничений) прямо в экранной
форме просто нажмите кнопку OK. После этого в экранной
форме появляется оптимальное решение задачи (рис. 1.9).
Значительная часть заданий по смыслу может иметь
решение только целыми числами; например, число турбин, судов,
животных может быть только целым числом. Такие задания
решаются методами целочисленного программирования. Общая
постановка задания ЛП дополняется требованием о том, чтобы
найденные переменные в оптимальном плане были целыми.
Рисунок 1.9 - Экранная форма задания по получении решения
Допустим, что к условию задания добавилось требование
целочисленности значений всех переменных. В этом случае
описанный выше процесс ввода условия задания необходимо
дополнить следующим шагом - добавить ограничения нажатием
кнопки Добавить и в появившемся окне "Добавление
ограничений" ввести ограничение таким образом: в поле
"Ссылки на ячейку" ввести адреса ячеек переменных задания,
то есть $B$3:$E$3; в поле ввода знака ограничения установить
"целое" и подтвердить введение ограничения нажатием кнопки
OK (рис. 1.10).
13
Рисунок 1.10 - Ввод условия целочисленности переменных
задания
На рис. 1.11 представлен конечный результат решения
задачи, к ограничениям которой
добавлено условие
целочисленности значений ее переменных.
Рисунок 1.11 - Результат решения задачи при условии
целочисленности ее переменных
14
Контрольные вопросы
1. Какие функции применяются в задачах линейного
программирования?
2. Какая задача называется стандартной задачей линейного
программирования?
3.
Как
записывается
общая
задача
линейного
программирования?
4. Чем характеризуется каноническая задача линейного
программирования?
5. Что называется областью допустимых планов задач
линейного программирования?
6. Какой план называется оптимальным?
7. Какое решение задачи линейного программирования
называется оптимальным?
8. Какими методами можно решить задачу линейного
программирования ?
15
Индивидуальные задания к лабораторной работе № 1.
Для модели ЛП, в соответствии с номером Вашего варианта,
найти оптимальное решение в табличном редакторе Microsoft Excel. К
условию задания добавить требование целочисленности значений всех
переменных.
№ варта
Математическая модель
1.
L( x)  14 x1  9 x2  x4  6,4 x5  min;
2.
L( x)  6 x1  2.3x 2  9.2 x3  4 x5  max;
0,9 x1  10 x 2  28 x 4  6,4 x5  245

0,8 x1  1,7 x 2  0,2 x3  0,5 x 4  9

6 x1  4 x3  7 x 4  6,3x5  54
8 x  6,2 x  4,8 x  2,9 x  17
2
4
5
 1
 x j  0 ( j  1...5)
3 x1  7.8 x3  12 x 4  9 x5  349

2.3 x 2  3 x3  5.6 x 4  x5  160

16 x1  x 2  7 x3  40 x 4  29 x5  120
180 x  98 x  x  150 x  190
1
2
3
5

 x j  0 ( j  1...5)
3.
9,6 x1  15,7 x 2  24 x 4  8 x5  74

0,8 x1  11,2 x 2  4,5 x3  1,5 x 4  6,3x5  22
L( x)  0,5x1  1,8x3  9,2 x4  14 x5  min; 
14 x1  45 x 2  38 x 4  26 x5  46
220 x  148 x  7 x  95 x  150
1
2
3
5

 x j  0 ( j  1...5)
4.
2 x1  9,6 x 2  15,7 x3  22 x 4  8 x5  73

0,9 x1  1,7 x 2  4,3x3  1,5 x 4  6,4 x5  19
L( x)  3x1  12 x 2  8,4 x3  3,3x 4  5x5  max; 
14 x1  45 x 2  38 x 4  26 x5  49
8 x  156,2 x  3,8 x  95 x  133
2
4
5
 1
 x j  0 ( j  1...5)
5.
L( x)  38x1  60 x2  x3  4 x4  8x5  max;
6.
18 x1  4 x 2  2 x3  12 x5  86

2 x 2  19 x3  7 x 4  10 x5  264

0,4 x1  3 x 2  4.2 x3  2 x 4  5 x5  34
2,1x  32 x  20 x  6 x  100,5
1
2
3
4

 x j  0 ( j  1...5)
7 x1  16 x3  5 x 4  25 x5  600

8 x1  2,3 x 2  0,5 x 4  4,7 x5  890
L( x)  10 x1  36 x 2  4 x3  x 4  58x5  max; 
6,2 x1  4 x3  7 x 4  6,3x5  270
84 x  62 x  80 x  14 x  230
2
3
5
 1
 x j  0 ( j  1...5)
16
1
7.
2
L( x)  0,84 x 2  4 x3  3,8x 4  12 x5  min;
8.
L( x)  84 x1  5,7 x 2  10 x 4  3x5  max;
9.
L( x)  5 x1  7 x 2  6 x3  9 x 4  8x5  max;
15 x1  9,6 x3  34 x4  8 x5  180

0,6 x1  14,3x2  2 x3  1,5 x4  6,3 x5  68

190 x1  148 x2  7 x3  84 x5  230
14 x  64 x  38 x  12 x  81
3
4
5
 1
 x j  0 ( j  1...5)
4 x1  8,5 x 2  16 x3  10 x5  50

10,4 x1  6 x3  2 x 4  4 x5  120

19 x1  18 x 2  20 x 4  30 x5  600
200 x  454 x  8 x  3,4 x  210
1
2
3
4

 x j  0 ( j  1...5)
0,7 x1  0,9 x 2  1,5 x 3  2,3x 4  x 5  50000

0,4 x1  x 2  0,5 x 3  1,3x 4  2,8 x 5  32000

0,5 x1  1,8 x 3  0,7 x 4  2 x 5  40000
2,2 x  1,4 x  0,8 x  0,9 x  15000
1
2
3
4

 x j  0 ( j  1...5)
L( x)  x1  4 x3  8x 4  12 x5  min
 x1  9 x 2  2 x3  4 x 4  250

0,4 x1  x 2  5 x3  3x 4  8 x5  460

0,5 x1  10 x 2  8 x3  6 x 4  2 x5  190
11x  8,5 x  3 x  2 x  210
3
4
5
 2
 x j  0 ( j  1...5)
L( x)  2,3x2  9,4 x3  6,4 x5  min;
195 x1  98 x2  4 x4  150 x5  300

0,8 x1  1,7 x2  0,2 x3  5,6 x5  9

6 x1  1,8 x3  7 x4  6,3x5  54
8 x  6,2 x  4,8 x  2,9 x  17
2
4
5
 1

 x j  0 ( j  1...5)
10.
11.
12.
L( x)  45x1  65x2  2 x4  3x5  max;
13.
L( x)  4 x1  6 x2  14 x3  49 x5  min;
17
15 x1  65 x2  2 x4  3x5  56

2 x1  7 x3  4 x4  3 x5  91

0,2 x1  0,8 x2  1,5 x3  0,9 x4  4 x5  26
1,8 x  42 x  6,4 x  3 x  15
2
3
5
 1
 x j  0 ( j  1...5)
21x1  98 x 2  2 x 4  12 x5  58

110 x 2  60 x3  80 x 4  45 x5  290

5 x 2  27 x3  14 x 4  x5  72
87 x  6,4 x  130 x  140
1
2
4


 x j  0 ( j  1...5)
1
14.
2
L( x)  0,74 x2  4 x3  58x4  12 x5  min;
15 x1  7,6 x2  34 x4  9 x5  185

0,6 x1  11,1x2  2,6 x3  15 x4  6,3x5  78

54 x1  64 x3  38 x4  12 x5  81
170 x 0148 x  7 x  84 x  230
1
2
3
5


 x j  0 ( j  1...5)
L( x)  38x1  60 x2  x3  4 x4  585  min;
58 x1  4 x2  2 x34  12 x5  86

2 x2  15 x3  7 x4  10 x5  130

0,4 x1  3 x2  4,2 x3  2 x4  5 x5  34
8 x  1,7 x  0,5 x  4,7 x  260
2
4
5
 1

x

0
(
j

1
...
5
)
 j
L( x)  16 x1  40 x3  13x4  3x5  max;
7 x1  16 x2  5 x4  25 x5  630

3 x1  1,3 x2  0,6 x3  5,7 x5  890

6 x1  4 x3  7 x4  6,5 x5  370
84 x  5,7 x  80 x  14 x  430
2
3
5
 1

 x j  0 ( j  1...5)
L( x)  0,5x1  18x2  x3  x4  6,4 x5  min;
4,9 x1  10 x2  28 x4  5 x5  295

9,81  1,7 x2  0,2 x3  0,5 x4  90

6 x1  4,1x3  7 x4  6,5 x5  370
8 x  6,2 x  4,8 x  2,9 x  47
2
3
5
 1

 x j  0 ( j  1...5)
15.
16.
17.
18.
L( x)  46 x1  2,3x2  6,4 x3  4 x4  x5  max;
19.
L( x)  2,4 x1  6 x 2  14 x3  4 x5  min;
20.
L( x)  12 x1  50 x3  3x 4  7 x5  max;
18
3x1  7,6 x2  128 x4  9 x5  49

2,31  6 x2  5,6 x4  0,5 x5  86

16 x1  40 x4  29 x5  60
142 x  98 x  4 x  180 x  15,7
1
2
4
5


 x j  0 ( j  1...5)
2 x1  8 x 2  x 4  12 x5  58

10 x 2  6 x3  34 x 4  45 x5  290

5 x 2  7 x3  14 x 4  2 x5  72
8 x  4 x  10 x  140
2
4
 1

 x j  0 ( j  1...5)
7 x1  16 x 2  5 x 4  25 x5  610

23 x1  1,3 x 2  7,6 x3  5,6 x5  530

6 x1  14 x3  2 x 4  5 x5  320
8,4 x  7 x  30 x  4 x  240
1
2
3
5


 x j  0 ( j  1...5)
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2
РЕШЕНИЕ ДВОЙСТВЕННЫХ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ MICROSOFT EXCEL
Цель работы: приобретение навыков решения двойственных задач
линейного программирования (ЛП) в табличном
редакторе Microsoft Excel.
Двойственные задачи ЛП и их решение
ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА [dual problem] (другие
названия: связанная, обратная задача по отношению к
начальной или прямой) — одно из фундаментальных понятий
теории ЛП; инструмент, позволяющий установить, оптимально
ли дано допустимое решение задачи ЛП, без непосредственного
сравнения его со всеми остальными допустимыми решениями.
Дадим определение двойственной задачи по отношению к
общей задаче ЛП, которая заключается в нахождении
максимального значения функции при ограничениях "с
недостатком".
К каждой задание ЛП можно определенным образом
поставить в соответствие некоторую другую, своего рода
симметричную задачу ЛП. Впрочем, хотя и принято считать
прямые задачи ориентированными на максимум целевой
функции, а двойные — ориентированными на минимум, в
действительности эти обозначения условны: оба задания
абсолютные равноправные, любую можно принять за прямую и
искать к ней двойную.
Две следующих задачи называются симметричными
взаимно двойными задачами ЛП:
Задача 1
Задача 2
19
Сопоставляя формы записи прямой и двойственной задач,
можно установить между ними следующие взаимосвязи.
1. Если прямая задача является задачею максимизации, то
двойственная будет задачей минимизации, и наоборот.
2. Коэффициенты целевой функции прямой задачи c1...,cn
становятся свободными членами ограничений двойственной
задачи.
3. Свободные члены ограничений прямой задачи b1...,bm
становятся
коэффициентами
целевой
функции
двойственной задачи.
4. Матрица ограничений двойственной задачи выходит путем
транспонирования матрице ограничений прямой задачи
(функция ТРАНСП[F2-CTRL+SHIFT+ENTER]).
5. Обе задачи является стандартными задачами линейного
программирования, причем в задаче о максимуме все
неравенства вида "  ", а в задаче о минимуме – вида "  "
Знаки неравенств в ограничениях изменяются на
противоположные.
6. Число неравенств в системе ограничений прямой задачи
равно числу переменных двойственной задачи, и наоборот.
Свойствами двойных задач следует руководствоваться при
их составлении.
Лемма. Если X - план начальной задачи, а Y - план
двойственной задачи, то значение целевой функции начальной
задачи на плане X никогда не превосходит значения целевой
функции двойственной задачи на плане Y, то есть
.
Связь между оптимальными решениями двойных задач
устанавливается теоремами о двойственности.
Теорема 1. Если одна из двойственных задач имеет
оптимальное решение, то другая также имеет оптимальное
решение. При этом для любых оптимальных планов
имеет место равенство
20
Следствие 1. Для разрешимой одной из задач двойственной
пары необходимо и достаточно, чтобы множество допустимых
планов каждому из двойственных задач было не пусто.
Следствие 2. Если целевая функция одной из задач
двойственной
пары не ограничена, то другая задача
двойственной пары не имеет плана.
Следствие 3. Для оптимума планов
и
пары двойственных задач необходимо и
достаточно выполнения равенства
Следствие 4. Если в одной из взаимно двойственных задач
нарушается единственность оптимального решения, то
оптимальное решение двойственной задачи вырождено.
Теорема 2. Планы
двойных задач являются оптимальными тогда и только тогда,
когда для любого значения
выполняется равенство
Если число неизвестных переменных как в прямой, так и в
двойственной задачах, образовывающих данную пару, равно
двум, то решение этих задач можно находить геометрическим
способом.
Задание.
1. Составляем двойственную задачу:
G ( y )  51 y1  62 y 2  13 y3  max;
2 y1  3 y 2  7 y3  1
3 y  13 y  2 y  7
 1
2
3

2 y1  4 y 2  2 y3  1
5 y1  6 y 2  2 y3  1
yj  0
2. Находим решение двойственной
3. Исходя из условия двойственности (лемма) решаем
начальную задачу.
21
Контрольные вопросы
1. Какие задачи называются двойственными задачами
линейного программирования?
2. Когда пара двойственных задач не имеет решения?
3. Какая связь существует между оптимальными решениями
двойственных задач?
4. В каком случае применяется метод решения
двойственной задачи линейного программирования?
5. Какими свойствами обладают двойственные задачи?
6. Какие правила следует соблюдать при составлении
задачи, двойственной заданной?
7. Сформулируйте теорему о решении двойственных задач.
8. Какая матрица называется транспонированной?
9. Сформулируйте необходимое и достаточное условие
оптимальности планов двойственных задач.
10. Какая связь между переменными двойственных задач?
11. В каком случае оптимальное решение двойственной
задачи будет вырожденным?
12. Какие
компоненты
оптимального
решения
двойственной задачи отвечают нулевым компонентам основной
задачи?
22
Индивидуальные задания к лабораторной работе № 2.
В соответствии с номером Вашего варианта для заданной задачи ЛП
составить двойственную и используя ее оптимальное решение найти
оптимальное решение начальной задачи
№
вар
-та
Математическая модель
№
вар
-та
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
23
Математическая модель
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
24
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3
РЕШЕНИЕ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ MICROSOFT EXCEL
Цель работы: приобретение навыков решения транспортных задач
линейного программирования (ЛП) в табличном
редакторе Microsoft Excel.
Транспортные задачи ЛП и их решение
К задачам математического программирования относятся
транспортные задачи. Под названием “транспортная задача”
объединяется
широкий
круг
задач
с
единственной
математической моделью. Решить транспортную задачу значит
на множестве неотрицательных решений системы ограничений
найти такое решение, при котором линейная функция
принимает минимальное значение.
В общей постановке транспортное задание заключается в
отыскании
оптимального
плана
перевозок
некоторого
однородного груза из m пунктов отправления А1 , А2 , ..., Аm в n
назначения пунктов потребителям B1 , B2 , ..., Bn.
Различают два типа транспортных заданий: но критерию
стоимости (план перевозок оптимален, если достигнутый
минимум расходов на его реализацию) и по критерию времени
(план оптимален, если на его реализацию тратится минимум
времени).
В этих
задачах решается проблема
о перевозках
некоторого однородного груза со складов в пункты назначения.
Количество грузов на каждом складе ограничено. В пункты
назначения необходимое количество груза можно доставить
многими способами. Задача состоит в том, чтобы определить
такой план перевозки груза, который дает минимум общей
стоимости перевозки при условии, что груз будет вывезен
полностью от всех поставщиков и будут удовлетворены все
потребности потребителей. В таком случае суммарные
возможности поставщиков должны быть равны суммарным
потребностям
потребителей.
Такую
задачу
называют
сбалансированной или закрытой.
Транспортная задача называется закрытой, если сумма
запасов всех n поставщиков равна сумме потребностей всех m
потребителей:
25
В противном случае транспортная задача называется
открытой. Решение открытой транспортной задачи сводят к
решению закрытой транспортной задачи введением фиктивных
потребителей, когда сумма запасов превышает сумму
потребностей, или фиктивных поставщиков, когда сумма
потребностей превышает сумму запасов. При этом тарифы
перевозок для фиктивных поставщиков и потребителей
принимаются равными нулю.
Любая транспортная задача, у которой суммарный объем
запасов совпадает с суммарным объемом потребностей, имеет
решение.
Рассмотрим пример транспортной задачи со следующими
исходными данными. На рис.3.1 приведены данные об
имеющихся запасах в городах Львов (300), Полтава (200), Сумы
(100). Имеются потребители вывозимой продукции, причем
Киеву для удовлетворения потребностей требуется - 350,
допустим, грузовиков, Донецку - 200, в Луганск следует отвезти
50 машин.
В таблице приведена так называемая матрица поставок –
стоимость перевозки единицы груза из пункта производства в
пункт потребления. Например, перевозка продукции одним
грузовиком из Львова в Киев стоит 2 грн., в Донецк – 3грн., в
Луганск – 2,3грн. Следует определить такой план перевозки,
который дает минимальную суммарную стоимость перевозок из
всех городов – поставщиков в города потребители.
Верхняя строка на рис.3.1 – адреса столбцов электронной
таблицы, в которую вводились приводимые данные, первый
столбец - номер строки Excel.
26
1
2
3
4
5
6
B
Постав
щики
A
C
Львов
Полтава
Сумы
Потребности
D
E
F
Потребители
Киев
Донецк Луганск Запасы
2
3
2,3
300
1
2
1,8
200
3
2,6
2,2
100
350
200
50
Рисунок 3.1 - Таблица поставок
Определяется количество неизвестных в поставленной
задаче. Первое неизвестное –х1 – это количество грузовиков из
Львова в Киев. Точно также неизвестно количество грузовиков,
отправляемых из Львова в Донецк – х2 , точно также за
неизвестные берем остальные грузовики, отправляемые из
каждого города в другой. Следовательно, количество
неизвестных равно девяти.
В табл.3.2 приведены неизвестные, закрепленные за каждой
перевозкой.
Таблица 3.2 - Распределение неизвестных
Города
Львов
Полтава
Сумы
Киев
х1
х4
х7
Донецк
х2
х5
х8
Луганск
х3
х6
х9
Используя неизвестные, определяется суммарная стоимость
перевозки, которая будет целевой функцией нашей задачи.
2х1+3х2+2,3 х3 +х4 + 2х5+1,8х 6+3 х7 +2,6 х8 +2,2 х 9 min
(1),
(минимум, так как ставится задача минимизации стоимости
транспортных перевозок).
Если бы не было ограничений, то задача решалась бы очень
просто по принципу: никуда, ничего, никому не отвозить, получится нулевая суммарная стоимость. Однако…
Из Львова требуется вывезти 300 грузовиков груза,
следовательно
х1+х2+ х3=300
27
(2),
аналогично следует задать условия вывоза грузов из Полтавы и
Сум
х4 + х5+х 6=200
х7 +х8 +х 9=100
(3),
(4).
Теперь учтем потребности потребителей:
х1+ х4 + х7=350
х2+ х5 + х8=200
х3+ х6 + х9=50
(5),
(6),
(7),
Потребности
Киева
Донецка
Луганска
Количество грузовиков, которое получится после решения
задачи, должно быть положительным и целым.
Запрограммируем целевую функцию и ограничения в
Excel. На рис.3.2 показана электронная таблица с приведенными
формулами.
В этой ячейке
запрограммирована
целевая функция
(формула 1)
Ограничения (5-7)
Ограничения
(2-4)
Рисунок 3.2 - Формулы, описывающие математическую
модель транспортной задачи
28
После ввода формул вызываем пункт меню Сервис/Поиск
решения и задаем ячейки, содержащие формулы. Для нашей
задачи окно Поиска решения будет иметь вид:
Рисунок 3.3 - Модель решения транспортной задачи
Перед запуском на выполнение необходимо сверить
введенные в модель адреса ячеек с адресами, указанными на
рис.3.3. Результат решения транспортной задачи указан в
табл.3.3.
Таблица 3.3 - Решение транспортной задачи
Львов
Полтава
Сумы
Потребности
Стоимость
Киев
214
136
0
350
Донецк
36
64
100
200
1175
Луганск
50
0
0
50
Запасы
300
200
100
Итак, для обеспечения оптимального плана перевозки
из Львова в Киева требуется направить 214 грузовиков, в Донецк
–36, в Луганск –50. Их сумма и составит 300, столько, сколько и
было в наличии в этом городе. Из Полтавы по городам
отправляют 136, 64 и 0 грузовиков соответственно, обратите
внимание, что в Луганск не попадает ни одного грузовика из
этого города, в следующей строке таблицы аналогичная
информация о вывозимых грузовиках из Сум. Все перевозки в
сумме будут стоить 1175грн., это и есть минимальная стоимость,
но если вы не доверяете полученному решению, замените план на
собственный и сравните результат.
29
Контрольные вопросы
1. Для решения каких экономических задач применяются
математические модели, приводящие к транспортным
задачам?
2. Какая цель ставится при решении транспортной задачи?
3. Как принято называть участников экономических или
производственных процессов, описываемых с помощью
математической модели в виде транспортной задачи?
4. Сформулируйте математическую постановку транспортной
задачи ЛП.
5. К чему стремится целевая функция транспортной задачи?
6. Какая транспортная задача называется закрытой?
7. Какая транспортная задача называется открытой?
8. Как называется таблица, с помощью которой находится
решение транспортной задачи?
9. Когда транспортная задача не имеет решения?
30
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4
МЕТОДЫ СОСТАВЛЕНИЯ ОПОРНОГО ПЛАНА
ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ
Цель работы: приобретение навыков решения транспортных задач
линейного программирования (ЛП) различными
методами.
Всякое неотрицательное решение систем уравнений,
определяемое матрицей X=(xi ), называют опорным планом ТЗ, а
план X*=(xi ), при котором функция Z принимает минимальное
значение - называется оптимальным планом ТЗ. Нахождение
опорных планов ТЗ можно осуществить одним из пяти методов:
северо-западного угла, минимальной стоимости, аппроксимации
Фогеля, двойного предпочтения и дельта-метода.
Метод северо-западного угла
Северо-западным углом называется ячейка таблицы
поставок, соответствующая значению переменной х11. В эту
ячейку записывается максимально возможная поставка.
Движение по таблице поставок может быть или по горизонтали,
или строго по вертикали, а повороты при движении по трассе
делаются только под прямым углом. При заполнении таблицы
следят за выполнением баланса по строкам и столбцам. Число
заполненных клеток в полученном распределении должно быть
равным числу базисных (основных) переменных. Если поворот
происходит в клетке, где размер поставки равен нулю, то говорят
о вырожденном плане поставок. В этом случае нулевая поставка
записывается в клетку, где трасса распределения поставок делает
поворот, и клетка считается занятой.
Если распределение выполняется без вычислительных
ошибок, в последнюю заполняемую клетку запишется число,
получаемое автоматически и равное остатку нераспределённых
количеств у последнего из участвующих в распределении
поставщиков или количеству неудовлетворённого спроса
последнего потребителя.
Пусть условия транспортной задачи заданы табл. 4.1
Не учитывая стоимости перевозки единицы груза, начинаем
удовлетворение потребностей первого потребителя B1 за счет
запаса поставщика А1. Для этого сравниваем a1 = 200 с bi = 300,
a1< b1 меньший из объемов, т. е. = 200 ед. записываем в левый
31
нижний угол клетки А1B1. Запасы первого поставщика полностью
израсходованы, поэтому остальные клетки первой строки
прочеркиваем. Потребности В1 остались неудовлетворенными на
300–200=100 ед. Сравниваем этот остаток с запасами поставщика
А2: так как 100<230, то 100 ед. записываем в клетку А2 .B1, чем
полностью удовлетворяем потребности потребителя B1, а
оставшиеся клетки в первом столбце прочеркиваем.
Таблица 4.1 - Решение ТЗ методом северо-западного угла
У поставщика А2 осталось 130 ед. груза. Удовлетворяем
потребителя B2 за счет оставшегося у поставщика А2 груза. Для
этого сравниваем этот остаток с потребностями потребителя B2:
130<160, записываем 130 ед. в клетку А2B2 и, так как запасы А2
полностью израсходованы, прочеркиваем остальные клетки
второй строки. Потребности B2 остались неудовлетворенными на
30 ед. Удовлетворяем их за счет поставщика А3 и переходим к
удовлетворению B3 за счет остатка, имеющегося у поставщика
А3, и т. д. Процесс продолжаем до тех пор, пока не удовлетворим
всех потребителей за счет запасов поставщиков. На этом
построение первоначального опорного плана заканчивается.
Таким образом, в табл. в правых верхних углах клеток
стоят числа, определяющие стоимость перевозки единицы грузов,
а в левых нижних углах - числа, определяющие план перевозок,
так как их сумма по строкам равна запасам соответствующего
поставщика,
а
сумма
по
столбцам
потребности
соответствующего потребителя.
32
Проверим, является ли план, построенный в табл. 2.2,
опорным. Видим, что, начиная движение от занятой клетки A1B1,
вернуться не только в нее, но и в любую другую занятую клетку,
двигаясь
только
по
занятым
ячейкам,
невозможно.
Следовательно, план является опорным. В то же время план
невырожденный, так как содержит точно m + n -1 = 3 + 4 - 1 = 6
занятых клеток.
При составлении первоначального опорного плана
методом северо-западного угла стоимость перевозки единицы
груза не учитывалась, поэтому построенный план далек от
оптимального, получение которого связано с большим объемом
вычислительных работ.
Найдем общую стоимость составленного плана как сумму
произведений объемов перевозок, стоящих в левом углу занятых
клеток, на соответствующие стоимости в этих же ячейках:
Z = 200*7 + 100*12 + 130 *7+ 30 *5 + 100*3 + 50*8 = 4360(eд. стоимости)
План не учитывал тарифов перевозок и, наверное, не будет
оптимальным. Если при составлении опорного плана учитывать
стоимость перевозки единицы груза, то, очевидно, план будет
значительно ближе к оптимальному.
Метод минимальной стоимости
Суть метода заключается в том, что при определении
объёмов поставок в первую очередь занимают клетки, имеющие
наименьшие тарифы перевозок. Так, из всей таблицы стоимостей
выбирается наименьшая, и в клетку, которая ей соответствует,
помещают меньшее из чисел ai, или bj . Затем, из рассмотрения
исключается либо строка, соответствующая поставщику, запасы
которого
полностью
израсходованы,
либо
столбец,
соответствующий
потребителю,
потребности
которого
полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если
израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности
потребителя. Из оставшейся части таблицы стоимостей снова
выбирается наименьшая стоимость, и процесс распределения
запасов продолжается, пока все запасы не будут распределены, а
потребности удовлетворены.
Условие рассмотренной задачи записывается таблицу (табл.
4.2) и составляется опорный план. Выбирается в таблице
33
наименьшая стоимость (это стоимость, помещенная в клетке
A1 B4) так как A1 = B4, 50 ед. груза помещаем в этой клетке и
исключаем из рассмотрения четвертый столбец. В оставшейся
таблице
стоимостей
наименьшей
является
стоимость,
расположенная в клетке A3 ,B1. Записываем в нее 180 и исключаем
из рассмотрения строку A3 . В оставшейся таблице стоимостей
снова выбираем наименьшую стоимость и продолжаем процесс
до тех пор, пока все запасы не будут распределены, а
потребности удовлетворены. В результате получен план :
X = (X12 = 150; X14 = 50; X21 = 120; X22 = 10; X23 = 100; X31 = 180),
остальные значения переменных равны нулю.
Таблица 4.2 - Решение ТЗ методом минимальной стоимости
План не содержит циклов и состоит из шести
положительных
перевозок,
следовательно,
является
вырожденным опорным планом. Определим его стоимость:
Z = 150*3+50*1+120*12+10*7+100*10+180*2= 3370 (ед)
Стоимость плана перевозок значительно меньше,
следовательно, он ближе к оптимальному. Вопрос об
оптимальности полученного плана остается нерешенным.
Метод аппроксимации Фогеля
Данный метод состоит в следующем:
1. На каждой итерации находят разности между двумя
наименьшими тарифами во всех строках и столбцах, записывая
их в дополнительные столбец и строку таблицы;
34
2. Находят max Δcij и заполняют клетку с минимальной
стоимостью в строке (столбце), которой соответствует данная
разность.
Процесс продолжается до тех пор, пока все грузы не будут
развезены по потребителям. Данный метод в ряде задач приводит
к оптимальному плану. Решим и этим методом задачу (табл.4.3).
Таблица 4.3 - Решение ТЗ методом минимальной стоимости
На первом шаге заполняется клетка A3 B3 (max Δc = 7 и
min cij = 3), исключается 3-ий столбец, отметив в дополнительной
строке буквой «В» факт выполнения заказа пункта B3 . Находятся
новые разности минимальных тарифов по строкам (в столбцах
они не изменились) в 1-ом и в 4-ом столбце. Заполняется клетка
A1B4 (max Δc = 5 и min cij = 1) и исключается 4-й столбец и т.д. В
конце остается последовательно заполнить клетки 3-го столбца
остатками запасов в A1 , A3 , A2 . Составленный опорный план
дает значение
Z = 150*7+50*1+70*12+160*7+80*2+100*3= 3520 (ед)
Метод двойного предпочтения
В случае если таблица стоимостей велика и, следовательно,
перебор всех элементов затруднителен, используют метод
двойного предпочтения, суть которого заключается в следующем.
В каждом столбце отмечается знаком V клетка с
наименьшей стоимостью (табл. 4.4). Затем то же проделывается в
каждой строке. В результате некоторые клетки будут иметь
отметку VV. В них находится минимальная стоимость, как по
столбцу, так и по строке. В эти клетки помещаются максимально
35
возможные объемы перевозок, каждый раз исключая из
рассмотрения соответствующие столбцы или строки. Затем
распределяются перевозки по ячейкам, отмеченным знаком V. В
оставшейся части таблицы перевозки распределяют по
наименьшей стоимости.
Таблица 4.4 – Анализ матрицы поставок для осуществления
метода двойного предпочтения
Ячейки A1B4 , A3B1 имеют отметку VV, следовательно, с них
и начинается заполнение. Затем заполняется ячейка A1B2 (т.к. в
столбце B2 нет ни одной ячейки с отметкой VV). В оставшейся
части таблицы последовательно заполняем ячейки по
минимальной стоимости A1B3, A4B3, A4B5 . План, полученный в
табл. 4.5, является вырожденным опорным планом.
Таблица 4.5- Решение ТЗ методом двойного предпочтения
36
Вычислим общую сумму затрат на перевозку груза по этому
плану:
Z = 150*3+50*1+120*12+10*7+100*10+180*2= 3370 (ед)
Таким образом, наименьшую стоимость имеет опорный
план, полученный методами минимальной стоимости и двойного
предпочтения, следовательно, он наиболее близок к
оптимальному плану.
Критерий оптимальности для транспортной задачи:
базисное распределение поставок оптимально тогда и только
тогда, когда оценки всех свободных клеток неотрицательны.
Для определения оценок свободных клеток используют два
взаимозаменяемых метода: распределительный и потенциалов.
Рассмотрим один из них, а именно метод потенциалов.
Потенциалы - числа для нахождения оценок допустимого
плана, полученного в ходе распределения запасов поставщиков.
Потенциалы для поставщиков и потребителей вычисляются по
тарифам cij занятых клеток таблицы поставок.
Вопрос об оптимальности опорного плана решает
следующая теорема:
Теорема. Если для некоторого плана X*= (xij ), (i = l, ..., m; j =
l, ..., n) транспортной задачи выполняются условия:
1. ui + vj = cij для xij > 0
(для занятых клеток),
2. ui + vj < cij для xij = 0
(для свободных клеток),
то план X* является оптимальным.
Из теоремы следует, что если для некоторой свободной
клетки ui + vj < cij , то план не является оптимальным.
Отметим, что система (m + n - 1) уравнений содержит (m + n)
неизвестных ui , vj , и потому, приравнивая одно из них, например
u1 к нулю, однозначно определим остальные неизвестные.
Для потенциалов поставщиков ui и потребителей vj,
соответствующих занятым клеткам, справедливы равенства
i = 1…m, j = 1…n
Так как занятых клеток на одну меньше, чем число
потенциалов, значение одного из потенциалов (все равно какого)
назначается произвольно и может быть любым действительным
числом (обычно полагают равным нулю, чтобы не усложнять
вычисления остальных потенциалов). Решая равенства
37
относительно потенциалов для опорного плана
получаем их числовые значения для занятых клеток.
табл.4.5,
Оценки
свободных
рассчитываются по формулам
поставок
u1= 0; u1+v2= c12  0+v2=3  v2=3;
u1+v4= c14  0+v4=1  v4=1;
u2+v2= c22  u2+3=7  u2=4;
u2+v1= c21  4+v1=12  v1=8;
u2+v3= c23 4+v3=10  v3=6;
u3+v1= c21  u3+8=2  u3=-6;
клеток
таблицы
11=c11-u1-v1=7 – 0 – 8=-1<0;
13=c13-u1-v3=10 – 0 – 6=4>0;
24=c24-u2-v4=6 – 4 –1=1>0;
32=c32-u3-v2=5 +6 –3=8>0;
33=c33-u3-v3=3 +6–3=6>0;
34=c34-u3-v4=8 +6 – 1=13>0;
построенное
первоначальное
решение
не
удовлетворяет критерию оптимальности, то для «улучшения»
опорного
плана
среди
свободных
клеток,
имеющих
отрицательную оценку, выбираем ту, для которой абсолютная
величина оценки наибольшая max (ui + vj - cij ) и строят для нее
цикл пересчета (сдвига).
Циклом называют замкнутую ломаную линию, все
вершины которой лежат в занятых ячейках, кроме одной,
расположенной в свободной клетке, подлежащей заполнению, а
звенья параллельны строкам и столбцам, причем в каждой строке
(столбце) лежит не более 2-х вершин.
Клетки, через которые проходит ломаная линия, не делая в
них поворота, называются транзитными, и имеющиеся в них
поставки не участвуют в процессе перераспределения. Таким
образом, цикл проходит через занятые клетки и только через
одну свободную клетку, начинаясь и заканчиваясь в ней.
Новый опорный план снова проверяют на оптимальность с
помощью системы уравнений потенциалов.
Заметим, что в результате пересчета по циклу может
оказаться число занятых клеток меньше, чем n+m-1 (план
называется вырожденным). В этом случае следует заполнить
числом «0» пустую клетку, имеющую минимальный тариф, и не
Если
38
образующую с занятыми клетками замкнутого прямоугольного
контура.
Последовательно отмечаем все вершины цикла знаками
"+" и "-", начиная со свободной клетки так, чтобы соседние
вершины были отмечены противоположными знаками.
Среди поставок, находящихся в клетках помеченных знаком
"-", выбираем наименьшую и помещаем ее в пустую клетку,
помеченную знаком " + ". Затем рассчитываем новые значения
поставок, прибавляя выбранное число ко всем поставкам,
стоящим в клетках, помеченных знаком " + ", и вычитая его из
всех поставок, стоящих в клетках, помеченных знаком " - ".
Новый опорный план снова проверяют на оптимальность с
помощью системы уравнений потенциалов. Если критерий
оптимальности выполняется для полученного плана, то задача
решена.
В
противном
случае
продолжаем
процесс
перераспределения поставок до тех пор, пока не будет получено
оптимальное решение транспортной задачи.
Среди найденных оценок одна меньше нуля, следовательно,
найденный
план
не
является
оптимальным.
Делаем
перераспределение поставки в клетку (А1, В1).
Цикл, найденный для перемены плана поставок, показан на
рис. 4.1.
+
-150
-120
+10
Рисунок 4.1 – Цикл для перемены плана поставок
Находим размер перемещаемой в клетку ( А1, В1) поставки
по размерам отмеченных знаком "-" поставок, а именно:
x11=min(x12,x21)=min(150,120)=120
Прибавляем число 120 к поставкам, отмеченным знаком "+",
вычитаем число 120 из поставок, отмеченных знаком "-",
получаем распределение поставок, показанных на рис. 4.2.
120
-30
-0
+130
Рисунок 4.2 – Новое распределение поставок
39
Для вновь полученного опорного плана поставок (табл.4.6)
и по тарифам занятых клеток считаем значения потенциалов.
Таблица 4.6 - Новый опорный план
u1= 0; u1+v1= c11  0+v1=7  v1=7;
u1+v2= c12  0+v2=3  v2=3;
u1+v4= c14  0+v4=1  v4=1;
u2+v2= c22  u2+3=7  u2=4;
u2+v3= c23 4+v3=10  v3=6;
u3+v1= c21  u3+8=2  u3=-6;
Оценки
свободных
рассчитываются по формулам
клеток
таблицы
поставок
13=c13-u1-v3=10 – 0 – 6=4>0;
21=c21-u2-v1=12 – 4 – 7=1>0;
24=c24-u2-v4=6 – 4 –1=1>0;
32=c32-u3-v2=5 +6 –3=8>0;
33=c33-u3-v3=3 +6–3=6>0;
34=c34-u3-v4=8 +6 – 1=13>0;
Для найденного плана подсчитаем значение целевой
функции:
Z = 120*7+30*3+50*1+130*7+100*10+180*2= 3250 (ед)
Поскольку все оценки свободных клеток положительные,
найденный план является оптимальным планом транспортной
задачи. Минимальная стоимость перевозок определяется
значением целевой функции на этом плане, и она равна
3250денежных единиц.
40
Для вычисления оценки свободной клетки ( As, Bk ) ,
таблицы поставок распределительным методом необходимо
построить цикл для неё и найти оценку по формуле:
где записаны в порядке прохождения цикла с чередованием
знаков "+" и "-" тарифы перевозок для всех клеток, образующих
цикл оцениваемой свободной клетки.
41
Индивидуальные задания к лабораторной работе № 3-4
Используя матрицу поставок с указанием транспортных
издержек на перевоз единицы продукции от каждого поставщика
каждому потребителю, в соответствии с номером вашего варианта,
составить опорные планы различными методами, проверить на
оптимальность, найти решение транспортной задачи в табличном
редакторе Microsoft Excel, и сравнить значения суммарной стоимости
перевозок по каждому плану.
Вариант№1
Источник/
Потребитель
Киев
Черновцы
Винница
Полтава
Потребность
Сумы
Луганск Одесса Черкассы Мукачево Наличие
16
30
13
3
50
30
27
4
1
60
17
26
22
5
70
10
9
3
4
90
16
23
1
24
30
40
60
100
100
Вариант№2
Поставщики/
Потребители
А1
А2
А3
Потребность
В1
В2
В3
В4
5
2
9
125
8
5
2
90
1
4
3
130
2
9
1
100
Наличие
210
170
65
Вариант№3
Источник/
Потребитель
Луганск
Полтава
Кировоград
Потребность
Ровно
Сумы
Ужгород
Черкассы
Наличие
23
12
14
1500
8
32
25
700
7
6
16
600
14
9
5
1200
1600
600
1800
Вариант№4
Источник/
Потребитель
П.1
П.2
№1
№2
№3
№4
№5
Наличие
1
2
2
1
3
3
4
5
5
4
100
100
П.3
П.4
Потребность
2
3
70
2
1
110
2
5
100
2
4
70
4
6
30
80
100
42
Вариант№5
Источник/
Потребитель
Карьер №1
Карьер №2
Карьер №3
Карьер №4
Потребность
Завод
Комбинат
Огород
Наличие
3
4
13
3
100
2
7
4
1
70
5
1
2
5
230
40
160
100
100
Вариант№6
Объекты
1
2
3
4
5
Потребность в
кирпиче
Цена перевозки 1 тысячи штук
1
8
7
4
9
3
2
7
3
3
7
8
3
5
4
2
5
7
4
10
6
8
8
6
230
220
130
170
Производство
кирпича
140
190
160
125
135
Вариант№7
Авиакомпания/
Пункт
назначения
БМС
Аэрофлот
Украина
Сибирь
Потребности
Анкара
Пекин
15
21
26
2
190
1
18
9
10
70
Токио Киев
9
11
23
3
100
19
4
26
19
130
Казань Возможност
и
7
3
24
8
60
85
130
290
45
Пункты
отправления
Вариант№8
А1
А2
А3
Потребность в
вагонах
Д1
3
2
9
35
Пункты назначения
Д2
Д3
Д4
5
11
2
14
5
7
5
4
13
65
80
70
43
Наличие
Д5
8
8
2
30
45
140
95
Вариант№9
Источник/
Потребитель
Харьков
Славянск
Кривой Рог
Потребность
Изюм
Киев
Винница
Чернигов
Наличие
23
16
19
1720
8
30
27
380
17
6
18
600
24
9
15
1240
1600
540
1800
Вариант№10
Источник/
Потребитель
Донецк
Торез
Докучаевск
Мариуполь
Потребность
Авдеевка Славянск Харцызск Макеевка Наличие
5
12
3
4
1700
8
3
4
8
700
9
6
8
6
300
1200
530
270
1000
11
9
7
5
300
Вариант№11
Источник/
Потребитель
Шахта 1
Шахта 2
Шахта 3
Потребность
Завод 1
Завод 2
Завод 3
Завод 4
Наличие
50
109
96
6000
80
37
102
3020
92
44
25
1000
110
93
48
4080
7000
3000
4100
Пункты
вывоза
Вариант№12
Пункты ввоза
Харьков
Винница
Черновцы
Потребности
Киев
23
11
34
1000
Донецк Макеевка
25
27
12
13
33
32
1500
1500
Запасы
700
1200
2100
Вариант№13
Источник/
Потребитель
И1
И2
И3
Потребность
П1
П2
8
3
12
90
П3
6
4
7
140
44
П4
10
2
1
80
Запасы
15
3
9
75
135
80
170
Вариант№14
Пункты
отправления
I
II
III
IV
Запасы
груза
60
70
80
70
Пункты назначения и их потребности
1
2
3
4
4
6
3
5
8
9
7
6
10
12
5
9
4
16
9
7
80
50
110
40
Вариант№15
Источник/
Потребитель
Коксохим 1
Коксохим 2
Коксохим 3
Завод 1
Завод 2
Завод 3
Завод 4
Наличие
150
69
35
80
57
65
120
44
80
170
98
70
6450
2700
1150
Потребность
2300
3000
1700
3300
Вариант№16
Пункты
отправления
А
В
С
Запасы
груза
50
20
30
Пункты назначения и их потребности
П1
П2
П3
П4
П5
4
1
2
3
3
3
1
5
2
4
5
6
1
4
2
30
5
25
15
25
Вариант№17
Поставщ
ик
Дневная производительность
А
В
С
80000
120000
100000
Потребитель
1
4
5
3
90000
2
1
2
4
65300
3
3
8
6
84700
4
5
4
7
60000
Вариант№18
Источник/
Агрофир Агрофир Агрофирм Агрофирм
Потребитель
ма 1
ма2
а3
а4
Шахта 1
40
80
92
11
Шахта 2
10
37
44
39
Шахта 3
29
17
25
48
Потребность 3600
3000
1400
4000
45
Наличие
6800
2040
3160
Вариант№19
Пункты
отправления
I
II
III
IV
Источник/
Потребитель
И1
И2
И3
И4
Потребность
Запасы
груза
60
70
80
70
Пункты назначения и их потребности
1
2
3
4
4
6
3
5
10
12
5
9
6
2
8
7
4
9
16
7
80
50
110
40
П1
Вариант№20
П2
П3
П4
П5
Наличие
1
3
13
3
75
2
14
8
1
130
11
2
9
24
20
40
85
110
125
3
6
7
5
90
2
7
5
4
45
Контрольные вопросы
1. Назовите известные вам методы определения опорного
плана поставок.
2. Как найти план транспортной задачи методом "северозападного угла"?
3. Как найти план транспортной задачи методом наименьшей
стоимости перевозок?
4. Как найти план транспортной задачи методом наибольшего
предпочтения тарифов?
5. Что называется циклом?
6. Сколько занятых клеток должно быть в таблице поставок?
7. Сколько циклов можно построить для каждой свободной
клетки таблицы поставок?
8. Что называется потенциалом клетки?
9. Как посчитать потенциалы для занятых клеток?
10. Как методом потенциалов найти оценки незанятых клеток?
11. Как перераспределить поставку из занятой клетки в
свободную?
12. Сколько клеток можно перераспределить за один шаг
алгоритма транспортной задачи?
46
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПРОИЗВОДСТВЕННОГО ПЛАНИРОВАНИЯ С
ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ MICROSOFT EXCEL
Цель
работы:
приобретение
навыков
решения
задач
производственного планирования в табличном
редакторе Microsoft Excel.
Задача производственного планирования.
Допустим решается задача об определении оптимального
плана производства конфет, в табл.5.1 приводятся данные о
расходе сахара, шоколада и т.д. на производство единицы
продукции, запасы, имеющиеся на складе и прибыль от продажи
единицы изделия.
Таблица 5.1- Затраты и прибыль от реализации конфет
Конфеты
Сахар
Шоколад
Орехи
Ваниль
Сироп
Прибыль
Грильяж
Белочка
2,70
2,70
1,00
2,00
0,70
1,50
0,10
0,00
0,60
0,20
4,00
3,80
Метеорит
Вишня Запасы
3,00
3,00
800,00
1,20
1,30
400,00
0,20
0,00
260,00
0,10
0,00
220,00
0,20
0,40
120,00
4,10
3,90
Осуществим математическую постановку задачи.
1. За неизвестные примем оптимальное количество производства
конфет одного вида, количество «Грильяжа», которое выгодно
произвести обозначим через х1 , количество «Белочки» через
х2, соответственно «Метеорит» через х3, «Вишню» через х4.
Таким образом, имеем четыре неизвестных.
2. Целевая функция должна определять прибыль от
производства, тогда, если прибыль от продажи единицы
«Грильяжа» равна 4, то продажа х1 количества принесет
прибыль равную 4х1, соответственно прибыль от реализации
«Белочки» составит 3,80 х2, «Метеорита» -4,10 х3, «Вишни» 3,90 х4. Так как мы рассчитываем общую прибыль, то целевая
функция имеет вид
4х1+3,80 х2+4,10 х3 +3,90 х4 max
(1)
(максимум, ясно, что ставится задача получения максимальной
прибыли, а не минимальной).
47
3. Если бы не было ограничений, то задача решалась бы очень
просто по типу производить всего и побольше, однако нас
лимитируют запасы на складе. Мы не можем использовать
сахара более 800ед., шоколада более 400 и т.д. Следовательно,
мы должны задать ограничения, связанные с расходом
составляющих для производства конфет. Они выглядят
следующим образом:
2,70х1+2,70х2+ 3,00х3 + 3,00х4 800
(2)
(расход сахара при производстве всех видов конфет не должен
превышать 800)
1х1+2х2+ 1,20х3 + 1,30х4 400
(3)
0,70х1+1,50х2+ 0,20х3 220
(4)
0,60х1+0,20х2+ 0,20х3+0,40 х4 120
(5)
Задача заключается в определении неотрицательных
переменных xi , удовлетворяющих системе ограничений и
обеспечивающих максимум целевой функции.
Компьютерная реализация решения поставленной задачи
1. На рис.4.1 показана таблица в Excel с введенными исходными
данными и ячейками, выделенными для ввода приведенных
выше формул
Таблица
исходных
данных
В эти ячейки
будут вводиться
ограничения
Ячейки,
отводимые под
неизвестные,
например, B10
будет
использоваться
как х1, С10 как х2
Рисунок 5.1 -Электронная таблица с исходными данными
48
2. Начнем с программирования ограничений (2-5). Установим
курсор в ячейку В11. Рассмотренная ранее функция
СУММПРОИЗВ, которая используется для перемножения
поэлементно двух массивов B10:E10 и B3:E3 с последующим
сложением, позволит запрограммировать левую часть
неравенства (2). На рис.5.2 показано окно, используемое для
задания параметров функции.
Рисунок 5.2 - Окно функции СУММПРОИЗВ
Обратите внимание, что первый массив задан в абсолютной
адресации, т.к. формулу =СУММПРОИЗВ(B10:E10;B3:E3)
следует копировать в ячейки В12:В15, если не использовать
абсолютной адресации, формула будет преобразована в
=СУММПРОИЗВ(B11:E11;B4:E4), причем, если в ячейках B4:E4
содержатся данные по расходу шоколада, то ячейки B11:E11
использоваться не должны, т.к. под неизвестные выделен
интервал B10:E10. На рис.5.3 показано окно с используемыми
формулами.
Рисунок 5.3 - Формулы, используемые для задания модели
49
3. После ввода формул вызвать меню Сервис/Поиск решения. На
экране появится окно, показанное на рис.5.4. Сначала
заполняется поле «Установить целевую», в это поле вводится
адрес ячейки, содержащей целевую функцию, в нашем случае,
это ячейка В16, (рис.5.1). Затем указывается, что функция
должна стремиться к максимуму (формула 1). Выбирается
группа ячеек, связанных с формулой в целевой ячейке.
Ограничения вводятся в поле с названием «Ограничения» при
щелчке по кнопке Добавить .
После ввода всех параметров нажимается кнопка Выполнитьи
и в выделенных как изменяемые ячейки, появится результат
решения задачи.
Ввести адрес
ячейки с
целевой
функцией
Щелкните по кнопке «Добавить» для
ввода ограничений
Ввести адреса ячеек,
отведенные под
неизвестные задачи
В поле Ссылка на ячейку
содержатся адреса формул левой части
неравенств (2-5), а в поле
Ограничение – ячеек,
содержащих числа правой
части.
Выбрать
максимум или
минимум
Щелкните по указателю для выбора
знака неравенства
Рисунок 5.4 - Окно «Поиск решения»
50
На рис.5.5 показано окно с уже введенными параметрами.
Обратите внимание, что ограничения вводились
сразу
интервалом ячеек, хотя можно было вводить их по одному,
просто это заняло бы больше времени. Первое ограничение
используется для задания неотрицательности неизвестных
(согласитесь, количество конфет не может быть равно –10, даже,
если вы их уже съели), второе для
программирования
неравенств (2-5).
После щелчка по кнопке «Выполнить» (рис.5.5) получены
результаты , представленные в табл.5.2.
Рисунок 5.5 - Окно «Поиск решения» с заполненными
параметрами
Таблица 5.2 -Результаты решения задачи об оптимальном плане
производства конфет
Конфеты
Результат
Ограничение на сахар
Ограничение на шоколад
Ограничение на орехи
Ограничение на ваниль
Ограничение на сироп
Прибыль
Грильяж
154,17
800,00
395,83
260,00
19,58
120,00
1151,67
Белочка
95,83
Метеорит
41,67
Вишня
0,00
Как видно из таблицы, производство конфет «Вишня»
нецелесообразно (х4=0), «Грильяж» выгодно произвести в
количестве 154,17 ед. (х1=154,17), количество «Белочки»
х2=95,83, «Метеорит» х3=41,67. Полученная при этом прибыль
51
составит 1151,67. Анализ таблицы результатов показал, что
полностью использованы имеющиеся запасы сахара, а вот ванили
- всего 19,58ед., при запасах равных 220,00, но это уже задача для
экономического анализа.
Индивидуальные задания к лабораторной работе № 5
Для модели ЛП, в соответствии с номером Вашего варианта,
найти оптимальное решение задачи производственного планирования
в табличном редакторе Microsoft Excel.
Вариант №1
Для изготовления четырех изделий используется токарное,
фрезерное, сварочное и шлифовальное оборудование. Затраты
времени на обработку каждого изделия приводятся в таблице.
Определить, сколько изделий, и какого вида требуется изготовить
предприятию, чтобы прибыль была максимальной.
Тип
оборудования
Фрезерное
Токарное
Сварочное
Щлифовальное
Прибыль
A
B
C
D
2
1
4
4
2
4
8
5
6
3
5
6
2
7
1
3
9
1
11
4
Фонд рабочего
времени
120
280
240
360
Вариант №2
При откорме животных каждое животное должно получать
ежедневно не менее 60ед. питательного вещества А, не менее
40ед. питательного вещества В, не менее 50ед. питательного
вещества С. Эти питательные вещества содержатся в пяти видах
корма. Составить дневной рацион, обеспечивающий необходимое
количество питательных веществ, при минимальных затратах,
если цена 1кг. корма I вида составляет 9 усл.ед., II - 12, III - 10,
IV - 13, V - 8.
Питательные
вещества
А
В
С
0
2
3
Количество единиц питательного
вещества в 1 кг. корма
3
4
2
4
2
5
7
4
6
52
5
3
3
Вариант №3
Для производства нескольких видов мебели фабрика
использует ресурсы, нормы затрат на одно изделие и общее
количество ресурсов приведены в таблице. Найти, сколько и
каких видов изделий следует изготовить, чтобы прибыль была
максимальной.
Ресурсы
Древесина (м3)
I вида
II вида
Трудоемкость
Прибыль
Нормы затрат ресурсов на одно
изделие
стол
шкаф
табурет
кровать
2
3
2
6
1
2
5
8
0.4
0.8
1
4
3
4
7
9
Общее
количество
ресурсов
45
60
378
Вариант №4
На звероферме для обеспечения нормальных условий
выращивания используются три вида кормов. Количество кормов
каждого вида, которое должны ежедневно получать звери,
приведено в таблице. Определить, сколько и каких зверей
следует выращивать, чтобы прибыль от реализации была
максимальной.
Вид кормов
I
II
III
IV
Прибыль от
реализации
Количество единиц корма, которые
ежедневно должны получать
лисица
песец
норка соболь
4
5
6
4
3
4
4
3
5
7
2
6
7
2
2
31
23
34
45
Общее количество
корма
123
345
234
567
Вариант №5
Для изготовления четырех видов изделий может быть
использована ткань трех видов. Нормы расхода на пошив одного
изделия приведены в таблице. Определить, сколько изделий и
какого вида должна произвести фабрика, чтобы стоимость
изготовленной продукции была максимальной.
53
Артикул ткани
Нормы расхода ткани на одно изделие
вида
Рубашка Халат Юбка
Пиджак
шерсть
шелк
ситец
Цена одного
изделия
5
6
3
9
8
6
6
8
4
9
7
Общее колво ткани
180
380
900
Вариант №6
Для изготовления столов и шкафов применяется три вида
древесины. Расход древесины для каждого изделия приведен в
таблице: Доход от изготовления одного стола составляет 10грн.,
книжной полки – 7грн, а шкафа -12грн. Найти, сколько и каких
видов изделий следует изготовить, чтобы прибыль была
максимальной.
Изделие
Вид древесины
2
0.25
0.4
0.53
50
1
0.3
0.2
0.43
60
Стол,м
Книжная полка, м3
Шкаф,м3
Запасы древесины,м3
3
3
0.25
0.32
0.34
40
Вариант №7
Распределить площадь для засева под различные культуры,
чтобы валовая продукция в стоимостном выражении была
наибольшей. В таблице указаны затраты труда на каждую
культуру.
Показатели
Затраты на механизированных работах
Затраты конноручного труда
Цена 1ц продукции
Ячмень
0.6
Подсолнух
2.5
Сахарная
свекла
4.5
Производственные ресурсы
4500
2
3
22
8000
5
7
4
-
Урожайность ячменя составляет 25ц с гектара, подсолнуха–45ц,
свеклы–80ц.
54
Вариант №8
Фабрика выпускает игрушки.
На каждую игрушку
требуется материал. Какую игрушку и в каком количестве
выгодно производить, чтобы получить наибольшую прибыль,
причем металла на складе 254ед., пластмассы- 345, краски - 189.
Показатели
Пластмасса
Краска
Металл
Прибыль
Кукла
4
0.3
1
3
Самолет
2
0.6
5
5
Конструктор
0.5
0.5
3
2
Кубики
0.7
0.8
0
1
Вариант №9
В производстве используются стальные прутья длиной
110см. Необходимо разрезать на заготовки длинной 45, 35 и
50см. Требуемое количество заготовок каждого типа 40, 30 и
20шт. соответственно. Сколько прутьев по каждому варианту
следует разрезать для получения нужного количества при
минимальных отходах.
Длина
заготовки
45
35
50
Отходы
1
2
20
2
1
1
30
Вариант разреза
3
4
1
3
1
15
5
5
1
1
25
6
2
10
Вариант №10
Из стандартных листов требуется вырезать заготовки в
количествах соответственно 31, 24, 18 и 45шт. Каждый лист
может быть разрезан на заготовки несколькими способами.
Количество получаемых заготовок при данном способе раскроя
приведено в таблице. Определить, сколько листов фанеры, и по
какому способу следует раскроить так, чтобы было получено не
меньше нужного количества заготовок при минимальных
затратах.
Вид
заготовки
I
II
III
IV
Количество заготовок в шт. при раскрое по способу
1-ый способ 2-ой способ
3-ий способ 4-ый способ
3
4
6
8
3
3
5
9
5
5
3
5
7
7
3
4
55
Вариант №11
Фабрика выпускает кожаные брюки, куртки, пальто. В
процессе изготовления изделия проходят три участка, время
обработки и плановая себестоимость изделий приведены в
таблице.
Ограничения на фонд времени на участках
соответственно составляют 4000, 4200 и 4400 часов. Составить
модель выпуска указанных изделий, исходя из требований
минимизации себестоимости выпускаемой продукции и
необходимости обеспечения плана выпуска 1800, 3600 и 1500
изделий соответственно.
Показатели
Норма времени на дубильном участке
Норма времени на раскройном участке
Время на пошивочном участке
Плановая себестоимость, руб.
Брюки
0.4
0.5
0.6
20
Куртки
0.5
0.3
0.5
35
Пальто
0.7
0.8
0.8
80
Вариант №12
Предприятие располагает тремя группами оборудования и
может выпускать на нем четыре вида продукции. Трудоемкость
обработки каждого изделия на различном оборудовании и
прибыль приведены в таблице.
Номер
изделия
1
2
3
4
Фонд
времени,
час
Трудоемкость обработки
по группам,
оборудование/час
1
2
3
2
4
3
5
2
0
1
3
4
3
0
2
15000 10000 20000
Прибыль
за штуку
Минимальный
объем реализации,
шт.
3
4
6
5
-
1200
900
1500
1300
-
Исходя
из
требований
максимизации
прибыли,
сформировать модель распределения изделий по различным
группам оборудования.
Вариант №13
На трех участках шахты совместно добывается уголь,
причем за день необходимо получать не менее 6000т
56
энергетического и 2000т коксующего угля. Найти оптимальное
распределение плана между участками, дающее максимум
прибыли.
Номер участка
1
2
3
Прибыль руб.
Энергетический
уголь
100
50
20
9,9
Коксующий уголь
50
80
14,3
Затраты
на 1т.
9
11
13
Вариант №14
При производстве двух видов кабеля выполняются четыре
технологических операции. Нормы затрат на 1км кабеля каждого
вида и прибыль от реализации приведена в таблице. Определить
такой план выпуска кабеля, при котором прибыль будет
максимальной.
Операция
Волочение
Наложение изоляций
Освинцование
Прибыль
Нормы затрат времени
1
2
3
1,2
1,8
1,6
1,0
0,6
0,7
3,0
1,6
1,8
2,8
1,9
2,3
Фонд времени
4200
5300
2800
Вариант №15
На фабрике изготовляют ткань, для производства которой
необходимы станки, пряжа и красители. Определить план
изготовления тканей с максимальной общей стоимостью.
Ресурсы
Производительность
станков 1 вида
2 вида
Пряжа, кг
Красители, кг
Цена 1 м
1
Нормы затрат на 1 м
2
3
0,02
0,04
1,0
0,03
5
0,03
1,5
0,02
8
0,04
0,01
2,0
0,025
8
57
Стоимость
200
500
15000
450
Вариант №16
На заводе используется сталь трех марок: 40ХН, У12 и Р18,
запасы которых соответственно равны 10, 16, и 12ед. Завод
выпускает два вида изделий. Для изделия I требуется по одной
единице стали всех марок. Для изделия II требуется 2 единицы
стали марки 40ХН, одна - марки У12 и не требуется сталь марки
Р18. От реализации единицы изделия I вида завод получает
300грн. прибыли, II вида - 200грн. Составить план выпуска
продукции, дающий наибольшую прибыль.
Вариант №17
Фабрика выпускает три вида тканей. Суточные ресурсы
фабрики следующие: 700 ед. производственного оборудования,
800 ед. Сырья и 900 ед. электроэнергии, расход которых на
единицу ткани представлен в таблице.
Ресурсы
Ткани
I
II
III
IV
Оборудование
2
4
4
8
Сырье
7
3
5
2
Электроэнергия
13
14
12
10
Цена одного метра I ткани равна 8грн., II ткани - 7 и III
ткани - 6грн. Сколько надо произвести ткани каждого вида,
чтобы прибыль от реализации была наибольшей?
Вариант №18
Изделия четырех типов проходят последовательную
обработку на двух станках. Время обработки одного изделия
каждого типа на каждом из станков приведено в таблице.
Станок
Время обработки одного изделия, ч.
Тип 1
Тип 2
Тип 3
Тип 4
1
14
12
10
12
2
13
14
11
10
3
15
15
12
12
58
Затраты на производство одного изделия каждого типа
определяются как величины, прямо пропорциональные времени
использования станков (в машино-часах). Стоимость одного
машино-часа составляет 10 долл. для станка 1 и 15долл.- для
станка 2. Допустимое время использования станков ограничено
следующими значениями: 500 машино-часов - для станка 1 и 380
машино-часов для станка 2. Цены изделий типов 1, 2, 3 и 4 равны
65, 70, 55 и 45 долл. соответственно. Сформулируйте для
приведенных условий задачу максимизации суммарной чистой
прибыли.
Вариант №19
Производитель
элементов
центрального
отопления
изготовляет радиаторы четырех моделей. Ограничения на
производство обусловленных количеством рабочей силы и
количеством стальных листов, из которых изготовляются
радиаторы.
Модель радиатора
А
В
С
D
Необходимое количество
рабочей силы, человекочасы
0,5
1,5
2
1,5
Необходимое количество
стального листа, м2.
4
2
6
8
Прибыль
от
продажи
одного радиатора, долл.
5
5
12,5
10
В каких объемах выпускать продукцию, чтобы прибыль от
продажи была максимальной?
Вариант №20
Небольшая фирма производит два типа подшипников А и В,
каждый из которых должен быть обработан на трех станках, а
именно на токарном, шлифовальном и сверлильном. Время,
требуемое для каждой из стадий производственного процесса,
приведено в таблице.
59
Тип
подшипника
Время обработки, ч.
Токарный Шлифоваль- Сверлильный Прибыль от продажи
станок
ный станок
станок
1 подшипника, грн
А
0,01
0,02
0,04
0.80
Б
0,06
0,04
0,01
1.25
В
0,04
0,02
0,02
1.12
полное время работы в
неделю, ч.
160
120
150
Фирма хотела бы производить подшипники в количествах,
максимизирующих ее прибыль.
60
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ О НАЗНАЧЕНИЯХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
MICROSOFT EXCEL
Цель работы: приобретение навыков решения задач о назначениях
в табличном редакторе Microsoft Excel.
Задачи о назначениях
Представим себе, что у нас есть три человека, каждый из
которых может выполнить три вида работ. Например, Булкин
может произвести наклейку обоев за 45 минут, укладку кафеля за
2часа, столярные работы определенного объема - за 60 минут.
Есть три объекта, в которые нужно направить специалистов,
причем в каждую квартиру пойдет один человек и один человек
выполнит только одну работу.
Данные о затратах времени каждым рабочим приведены в
табл.6.1.
Таблица 6.1 - Исходные данные для решения задачи о
назначениях
A
B
C
D
Булкин Шапкин Кошкин
1
Обои
45
55
200
2
Плитка
120
100
80
3
Сантехника
60
45
110
4
Проблема состоит в том, чтобы правильно распределить
наличные людские ресурсы в соответствии с профессиональными
требованиями. Это задача о назначении персонала. В ней
переменные
интерпретируются
как
назначение
соответствующего человека на определенную работу, причем
суммарное время выполнения ими работ должно быть
минимально.
Дадим математическую постановку задачи. Она во многом
напоминает решение транспортной задачи, в частности
неизвестные распределяются в таблице аналогично приведенным
в табл.3.2. Целевая функция задачи должна определять
суммарное время занятости рабочих.
45х1+55х2+200 х3 +45х4 + 35х5+90х 6+80 х7 +156 х8 +110 х 9 min
61
Каждая переменная может принимать лишь значения,
равные единице или нулю. (или показатели затрат).
A
1
2
3
4
Обои
Плитка
Сантехника
B
Булкин
45
120
60
C
Шапкин
55
100
45
D
Кошкин
200
80
110
На рис.6.2 приведены формулы, используемые для задания
модели.
Рисунок 5.2 - Формулы, используемые для программирования
модели
На рис.5.3 показано окно «Поиска решения».
Рисунок 5.3 - Окно «Поиска решения»
Результаты расчетов в табл.5.2.
62
Таблица5.2 -Результаты расчета
Булкин Шапкин
1
0
0
0
0
1
1
1
170
Обои
Плитка
Сантехника
Время
выполнения
Кошкин
0
1
0
1
1
1
1
Как видно из таблицы, Булкину целесообразно заняться
наклейкой обоев, Шапкину – установкой сантехники, а Кошкин
должен выполнить работу, связанную с укладыванием плитки.
Суммарное минимальное время работы составить 170 часов для
всех работников вместе.
Индивидуальные задания к лабораторной работе № 5.
Для модели ЛП, в соответствии с
найти оптимальное решение задачи о
редакторе Microsoft Excel. В каждой задаче
по 6 рабочим местам, считая, что числа
затраты времени для каждого участника.
номером Вашего варианта,
назначениях в табличном
распределить 6 работников
в таблицах характеризуют
1
2
3
10
5
9
16
8
5
13
6
10
13
8
6
8
11
8
18
19
10
9
7
11
8
12
7
13
10
3
4
14
11
5
8
12
4
18
5
9
6
21
12
17
12
6
9
8
5
8
5
4
11
6
13
14
9
4
4
5
6
6
17
7
12
3
13
16
17
11
8
7
4
4
7
3
6
5
9
10
7
12
4
5
9
5
6
14
9
7
11
6
8
11
8
12
4
13
16
15
8
10
7
8
10
7
2
15
8
10
17
7
5
6
10
5
6
11
14
8
4
9
5
6
4
9
8
9
4
1
3
5
4
12
10
11
5
6
10
11
10
12
10
9
11
5
6
12
63
5
6
7
10
8
11
7
15
8
4
5
18
6
1
1
2
5
6
10
18
9
5
7
2
4
8
8
11
9
2
16
3
1
10
5
6
12
9
5
2
5
14
3
10
2
4
7
13
10
8
8
7
6
7
13
8
12
3
11
9
12
10
6
8
17
10
11
9
5
13
8
2
3
12
7
8
18
4
6
7
8
11
13
4
5
12
3
6
13
5
12
13
5
6
7
1
9
4
11
2
10
13
14
17
3
4
12
4
7
6
8
7
5
6
5
6
4
15
5
4
6
1
7
8
19
20
10
7
8
6
7
4
4
5
4
3
9
10
1
17
1
4
5
18
12
13
8
5
5
16
21
5
6
7
8
6
1
2
6
7
8
3
9
10
9
14
10
15
6
7
2
16
3
9
14
2
3
13
6
7
4
5
15
20
19
11
10
8
12
1
11
2
10
1
2
18
17
3
6
7
1
10
3
8
5
6
4
10
5
7
11
12
1
4
5
8
9
4
1
5
7
10
2
3
5
6
7
8
10
11
8
2
5
4
7
10
4
18
4
7
6
7
8
3
10
17
8
2
5
4
3
6
10
4
5
6
7
10
1
3
9
10
8
9
5
13
4
8
12
5
4
5
6
8
11
12
7
8
10
15
1
2
5
6
64
13
14
5
1
4
2
10
6
3
5
10
7
8
10
4
5
10
4
5
8
4
6
7
4
5
6
15
12
14
15
4
5
12
13
11
6
7
8
4
8
9
10
12
13
10
4
5
8
9
4
5
4
7
8
9
10
8
7
9
5
6
7
7
8
4
3
5
6
1
3
12
1
4
5
15
16
15
3
4
2
10
6
12
5
10
5
8
10
3
5
10
2
5
8
4
6
5
4
7
6
1
12
13
15
4
5
2
13
21
2
7
8
14
8
9
10
14
13
11
4
5
8
2
4
5
4
7
6
9
12
8
7
9
5
6
3
6
2
4
3
5
6
7
3
12
1
4
5
17
18
20
4
3
5
12
4
12
5
3
11
2
6
9
13
14
7
11
11
5
2
5
4
7
10
8
6
7
4
5
7
6
3
18
17
8
2
10
4
5
3
7
4
5
5
7
10
1
3
3
6
7
8
12
13
4
8
12
5
3
4
9
8
5
11
8
8
17
15
1
2
5
6
19
20
9
4
5
7
9
4
10
5
7
10
4
3
5
6
7
8
10
11
8
6
5
4
7
16
4
18
4
3
6
7
8
3
10
13
8
1
5
4
7
6
18
4
5
6
2
10
1
3
9
10
8
9
5
19
4
8
2
6
4
5
6
4
11
12
7
8
10
7
1
2
6
6
65
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7
ВЫПОЛНЕНИЕ АНАЛИЗА РЕЗУЛЬТАТОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ЛИНЕЙНОГОПРОГРАММИРОВАНИЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
MICROSOFT EXCEL
Цель работы: приобретение навыков выполнения анализа
результатов решения задач линейного
программирования (ЛП) в табличном редакторе
Microsoft Excel.
Анализ результатов решения задач линейного программирование
Неизбежное колебание значений таких экономических
параметров, как цены на продукцию и сырье, запасы сырья, спрос
на рынке и т.д. может привести к неоптимальности или
непригодности прежнего режима работы. Для учета подобных
ситуаций проводится анализ чувствительности, т.е. анализ того,
как возможные изменения параметров исходной модели
повлияют на полученное ранее оптимальное решение задачи ЛП.
Для решения задач анализа чувствительности ограничения
линейной модели классифицируются следующим образом:
Связывающие ограничения проходят через оптимальную точку.
Несвязывающие ограничения не проходят через оптимальную
точку. Аналогично ресурс, представляемый связывающим
ограничением,
называют
дефицитным,
а
ресурс,
представляемый
несвязывающим
ограничением
–
недефицитным. Ограничение называют избыточным в том
случае, если его исключение не влияет на ОДР и, следовательно,
на оптимальное решение.
Выделяют
следующие
три
задачи
анализа
на
чувствительность.
1. Анализ сокращения или увеличения ресурсов:
- на сколько можно увеличить (ограничения типа <=)
запас дефицитного ресурса для улучшения оптимального
значения ЦФ?
- на сколько можно уменьшить (ограничения типа
<=) запас недефицитного ресурса при сохранении оптимального
значения ЦФ?
2. Увеличение (ограничения типа <=) запаса какого из
ресурсов наиболее выгодно?
66
3. Анализ изменения коэффициентов ЦФ: каков диапазон
изменения коэффициентов ЦФ, при котором не меняется
оптимальное решение?
Применяя Поиск решения, кроме нахождения оптимального
решения получили 3 листа с отчетами: Отчет по результатам,
Отчет по пределам, Отчет по устойчивости. Анализируя эти
отчеты, мы можем получить ответы на все вышеперечисленные
вопросы.
Рассмотрим пример. Мебельная фабрика производит
недорогие столы и стулья. В распоряжении фабрики 4 вида
ресурсов, запасы которых ограничены. Потребности в ресурсах и
возможности по их использованию (запасы) в течение суток
приведены в таблице. Максимальная потребность в столах на
плановый период - 40 шт. Каждый проданный стол приносит
прибыль в $7, а проданный стул в $5 (табл.7.1) .
Таблица 7.1 – Исходные данные задачи
Потребность в ресурсе Дневной запас
Ресурс
ресурса
Столы
Стулья
Плотницкий участок
4
3
240
(время)
Участок покраски
2
1
100
(время)
Участок контроля
0,5
0,6
36
(время)
Древесина (кв. м)
32
10
1248
Определить оптимальный план производства мебельной
фабрики.
Начальные данные вводятся в таблицу Microsoft Excel
(рис.7.1).
Для решения задачи используется команда: Сервис - Поиск
решения. Окно Поиска решений представлено на рис.7.2. В
Параметрах поставить отметку – Линейная модель (рис.7.3).
После нажатия кнопки ОК – Выполнить появляется окно
результатов поиска решений (рис.7.3). Для получения всех видов
отчетов надо щелкнуть кнопкой мыши на каждом из них –
соответствующие строчки будут закрашены – а затем на ОК.
Отчеты отображаются в нижней строке Листа на экране Excel.
67
Для их вызова необходимо щелкнуть на соответствующем
отчете.
Рисунок 7.1 – Представление в формульном виде целевой
функции и ограничений по дневному запасу ресурсов
Рисунок 7.2 – Заполненное окно Поиска решений
68
Рисунок 7.3 – Окно параметров и результатов Поиска решений
Результаты расчетов приведены в табл.7.2.
Таблица 7.2 – Полученные результаты расчетов
Ресурс
Плотницкий участок
(время)
Малярный участок
(время)
Участок контроля-ОТК
(время)
Древесина (кв. м)
Потребность в столах
План (шт)
Прибыль ($)
Потребность в
ресурсе
Столы Стулья
4
3
Дневной
запас
ресурса
Дневной запас
ресурса
(ограничение)
240
221,0704225
2
1
100
91,94366197
0,5
0,6
36
36
32
40
10
1248
1248
27,3803
37,1831
7
5
377,5774648
Ответ: оптимальный план производства мебельной фабрики:
27,4 стола и 37,2 стула в сутки. При этом достигается
максимальная прибыль в 377,58 единиц.
В окне Результаты поиска решения содержится тип
отчета: Результаты, Устойчивость, Пределы. Используя эти
отчеты можно проанализировать поведение оптимального плана
в различных изменениях.
Отчет по результатам состоит из 3 таблиц (рис.7.4).
69
Рисунок 7.4 - Отчет по результатам
1 – Целевая ячейка. В ней отображается начальное значение
целевой функции и оптимальное (результат). В нашем случае 120
и 377,58.
2- Изменяемые ячейки. В ней отражены исходные значения
переменных и результирующие (оптимальные). В нашей задаче –
10 и 27,38 столов, 10 и 37,18 стульев. Если продукт не входит в
оптимальное решение (равен 0), то он считается нерентабельным.
3- Ограничения. Кроме имени ограничения, ячейки, в
которую вписана левая часть ограничения, в ней отображены
столбцы:
Значение – значение левой части ограничения при
оптимальном плане показывает количество фактически
использовано ресурса. Например, Плотницкий участок – 221,07
ед., древесина – 1248 кв.м.
Формула – отображается знак ограничения (больше или
равно, меньше или равно и т.д.)
Статус – Если статус связанное, то ресурс использован
полностью (например, древесина, участок контроля). Если же
статус – несвязанное, то ресурс использован не полностью
(например, плотницкий участок, участок покраски).
Разница – отображено количество оставшегося не
использованным ресурса (т.е. разность между значением
переменной в найденном оптимальном решении и заданным для
70
нее граничным условием). Например, плотницкий участок – 18,93
единицы, участок покраски – 8,06 единицы.
Таблица 3 отчета по результатам дает информацию для
анализа возможного изменения запасов недефицитных ресурсов
при сохранении полученного оптимального значения ЦФ. Если
на ресурс наложено ограничение типа , то в графе "Разница"
дается количество ресурса, на которое была превышена
минимально необходимая норма. Если на ресурс наложено
ограничение типа , то в графе "Разница" дается количество
ресурса, которое не используется при реализации оптимального
решения.
На основании проведенного анализа можно сделать вывод о
том, что существуют причины (ограничения), не позволяющие
мебельному комбинату выпускать большее количество полок и
получать большую прибыль. Проанализировать эти причины
позволяет отчет по устойчивости.
В отчете по устойчивости (рис.7.5) границы устойчивости
неизвестных задачи – допустимое увеличение и уменьшение
коэффициентов целевой функции, границы устойчивости
двойственных оценок.
Рисунок 7.5 - Отчет по устойчивости
Отчет по устойчивости состоит из 2 таблиц.
Таблица 1– изменяемые ячейки содержит информацию,
относящуюся к переменным. Кроме имени переменных и адресов
ячеек в ней присутствуют столбцы:
1. Результат решения задачи(Результирующее значение) –
это оптимальный план.
71
2. Нормированная (редуцированная)
стоимость –
показывает, на сколько изменится целевая функция после
принудительного включения единицы этой продукции в
оптимальный план. Если продукт рентабелен, то нормированная
стоимость будет равна 0. В нашем примере нормированная
стоимость равна 0 и для столов и для стульев, т.к. продукция
рентабельна.
3. Коэффициенты ЦФ– значения коэффициентов целевой
функции. В нашем примере – удельная прибыль – 7 и 5.
4. Допустимое увеличение, допустимое уменьшение –
показывает границы изменений коэффициентов целевой
функции, при которых сохраняется набор переменных, входящих
в оптимальное решение. Например, если стоимость стола
увеличится на 9 и более единиц (например, 17), то изменится
набор переменных, входящих в оптимальное решение. Какой
именно будет оптимальный план, мы сказать не можем.
Таблица 2 содержит информацию, относящуюся к
ограничениям. Кроме имени переменных и адресов ячеек в ней
присутствуют столбцы:
Величина использованных ресурсов в колонке "Результ.
значение"- значение левой части ограничения при оптимальном
плане показывает количество фактически использованного
ресурса. Например, Плотницкий участок – 221,07 ед., древесина –
1248 кв.м.
Результирующее значение Теневая цена – изменение
целевой функции при изменении дефицитного ресурса на
1единицу. Теневая цена недефицитного ресурса будет равна 0.
Например, изменения количества ресурса плотницкого участка
или участка покраски не повлияет на значение целевой функции
(= 0). Если же увеличить ресурс участка контроля на 2 единицы
(38 единиц), то целевая функция увеличится на 2 * 6,338 = 12,676
единиц и станет равной 377,577 + 12,676 = 390,253 единицы.
Ограничение
Правая
часть
–
запас
ресурса.
Допустимое увеличение, допустимое уменьшение - показывает,
на сколько можно изменить правую часть ограничения до того
момента пока это будет влиять на целевую функцию. Например,
увеличение запаса времени участка контроля больше, чем на 4,8
единицы уже не будет влиять на целевую функцию.
72
В графе "Допустимое Уменьшение" показывают, на
сколько можно уменьшить (устранить излишек) или увеличить
(повысить минимально необходимое требование) ресурс,
сохранив при этом оптимальное решение. Анализируя отчет по
результатам, мы установили, что существуют причины
(ограничения), не позволяющие мебельному комбинату
выпускать большее, чем в оптимальном решении, количество
изделий и получать более высокую прибыль.
Примечание. Если в параметрах Поиска решения не указывать –
Линейная модель, отчет по устойчивости будет
иметь вид (рис.7.6):
Рисунок 7.6 - Отчет по устойчивости для нелинейной
модели
Нормированный градиент - показывает, на сколько
изменится значение целевой ячейки при увеличении значения
переменной на одну единицу.
Лагранжа множитель - показывает, на сколько
изменится значение в целевой ячейке при увеличении запаса
некоторого ресурса на одну единицу.
73
В отчете по пределам (рис.7.7) показаны нижние и
верхние пределы изменения неизвестных и значения целевой
функции при этих изменениях.
Рисунок 7.7 - Отчет по пределам
Отчет по пределам состоит из 2 таблиц.
1 – оптимальное значение целевой ячейки.
2 - результирующие (оптимальные) значения переменных с
их нижними и верхними пределами и соответствующими
целевыми результатами.
Значение – оптимальное значение переменной.
Нижний предел, верхний предел - наименьшее значение,
которое может иметь изменяемая ячейка при условии, что
ограничения еще выполняются, а значения остальных
изменяемых ячеек фиксированы (равны оптимальным).
Целевой результат - это значение целевой ячейки, когда
значение изменяемой ячейки равно ее нижнему или верхнему
пределу. Например, если столов не будут выпускать (0 штук –
нижний предел), то при выпуске 37,18 стульев, прибыль (целевая
функция) будет равняться 185,91.
74
Индивидуальные задания к лабораторной работе № 6.
Для модели ЛП, в соответствии с номером Вашего варианта,
выполнить анализ результатов решения задачи ЛП в табличном
редакторе Microsoft Excel.
Вариант 1
Компания производит мягкую мебель в обыкновенном
исполнении и в исполнении люкс. Потребности в ресурсах
приведены в таблице. 364 часов времени в неделю могут быть
использованы на участке сборки, 280 часов в неделю на участке
покраски и 60 часов в неделю на участке контроля. Древесина
имеется в количестве 5000 кв.м., ткань в количестве 1001м.кв.
Спрос на мебель, по меньшей мере, 150 единиц продукции в
обыкновенном исполнении и 90 единиц в исполнении люкс.
Компания заинтересована в оптимальном сочетании выпуска
продукции в течение недели.
Продукт
Расход
Вклад в
Время Расход Время
Время
прибыль древесины сборки ткани покраски контроля
Обыкновенный
$50
15
1.2
3
0.8
0.2
Люкс
$75
17
1.6
5
0.9
0.2
Вариант 2
Мебельный цех производит плательные и книжные шкафы.
В распоряжении цеха 4 вида ресурсов, запасы которых
ограничены. Потребности в ресурсах и возможности по их
использованию (запасы) в течение недели приведены в таблице.
Максимальная потребность в плательных шкафах на плановый
период - 100 шт. Каждый проданный плательный шкаф приносит
прибыль в 90грн, а проданный книжный шкаф в 57грн.
Плательный Книжный Недельный
шкаф
шкаф
запас ресурса
Участок сборки (время)
4
3
638
Участок покраски
2
1
300
(время)
Участок контроля
0.5
0.6
90
(время)
Деревообрабатывающий
9
12
276
участок (время)
75
Вариант 3
Кооператив, используя три типа ресурсов, реализует
продукцию четырех видов. Общий объем ресурсов, их затраты на
продажу одной партии изделий, а также прибыль от ее
реализации приведены в таблице.
Затраты на реализацию одной
Общий
партии изделий, грн.
Тип
объем
ресурсов
1-го
2-го
3-го
4-го
ресурсов
вида
вида
вида
вида
Древесина
3
4
2
6
64
Ткань
4
7
3
5
83
Сборка
2
3
6
1
58
Прибыль
от
14
15
12
17
реализации
изделий, грн
Вариант 4
Мебельная фабрика производит комоды и кресла. В
распоряжении фабрики 4 вида ресурсов, запасы которых
ограничены. Потребности в ресурсах и возможности по их
использованию (запасы) в течение недели приведены в таблице.
Максимальная потребность в креслах на плановый период - 35шт.
Каждый проданный комод приносит прибыль в 7,5грн., а
проданное кресло - в 6,2грн.
Потребность в ресурсе Недельный запас
Ресурс
Комоды
Кресла ресурса
Участок
сборки
4
3
220
(время)
Участок металокон12
10
100
струкций (время)
Участок
контроля
0,5
0,6
32
(время)
Ткань
0,7
20
76
Вариант 5
Завод выпускает изделия двух типов: А и В. При этом
используется сырье четырех видов. Расход сырья каждого вида
на изготовление единицы продукции и запасы сырья заданы
следующей таблицей:
Изделия
Сырье
I
II
III
IV
А
2
1
0
2
B
3
0
1
1
Запасы
21
4
6
10
сырья
Выпуск одного изделия типа А приносит 3,8 грн. прибыли,
одного изделия типа В - 2,4 грн. Составить план выпуска
продукции, обеспечивающий наибольшую прибыль.
Вариант 6
На заводе используется сталь трех марок: А, В и С, запасы
которых соответственно равны 8, 16, и 10 ед. Завод выпускает два
вида изделий. Для изделия I требуется по одной единице стали
всех марок. Для изделия II требуется 2 единицы стали марки В,
одна- марки С и не требуется сталь марки А. От реализации
единицы изделия вида I завод получает 470грн. прибыли, вида II220грн. Составить план выпуска продукции, дающий
наибольшую прибыль.
Вариант 7
Предприятие располагает ресурсами двух видов в
количестве 120 и 80 ед. соответственно. Эти ресурсы
используются для выпуска продукции I и II, причем расход на
изготовление единицы продукции первого вида составляет 4 ед.
ресурса первого вида и 2 ед. ресурса второго вида, единицы
продукции второго вида- 3 ед. ресурса первого вида и 1 ед.
ресурса второго вида. Прибыль от реализации единицы
продукции первого вида составляет 600грн., второго вида400грн. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий
наибольшую прибыль, при условии, что продукции первого вида
должно быть выпущено не менее продукции второго вида.
77
Вариант 8
Фабрика выпускает три вида тканей. Суточные ресурсы
фабрики следующие: 700 ед. производственного оборудования,
800 ед. сырья и 900 ед. электроэнергии, расход которых на
единицу ткани представлен в таблице.
Ресурсы
Ткани
I
II
III
Оборудование
21
32
16
Сырье
14
16
15
Электроэнергия
17
14
22
Цена одного метра ткани I равна 8,2грн,ткани II- 7,4грн и
ткани III- 6,6грн. Сколько надо произвести ткани каждого вида,
чтобы прибыль от реализации была наибольшей?
Вариант 9
Два вида деталей А и В проходят обработку на всех
четырех станках. Известны время обработки детали на каждом
станке, время работы станков в течение одного цикла
производства и прибыль, получаемая от выпуска одной детали
каждого вида. Эти данные приведены в таблице.
Станки
Время обработки одной детали, ч. Время станка за
один цикл
A
B
производства, ч
I
4
2
16
II
6
3
25
III
8
7
10
IV
3
1
24
Прибыль на
400
одну деталь,
грн.
Составить
план
наибольшую прибыль.
100
производства,
78
обеспечивающий
Вариант 10
Для откорма животных употребляют два корма: 1 и 2.
Стоимость одного килограмма корма 1- 5грн., корма 2- 2грн. В
каждом килограмме корма 1 содержится 5ед. витамина А, 2,5ед.
витамина В и 1ед. витамина С. В каждом килограмме корма 2
содержится 3ед. витамина А, 3ед. витамина В и 1ед. витамина С.
Какое количество корма каждого вида необходимо расходовать
ежедневно, чтобы затраты на откорм были минимальными, если
суточный рацион предусматривает не менее 225 питательных
единиц витамина А, не менее 150ед. витамина В и не менее 80ед.
витамина С?
Вариант 11
На птицеферме употребляется два вида кормов- I и II. В
единице веса корма I содержится единица вещества А, единица
вещества В и единица вещества С. В единице веса корма II
содержатся четыре единицы вещества А, две единицы вещества В
и не содержится вещество С. В дневной рацион каждой птицы
надо включить не менее единицы вещества А, не менее четырех
единиц вещества В и не менее единицы вещества С. Цена
единицы веса корма I составляет 30грн., корма II- 20грн.
Составить ежедневный рацион кормления птицы так, чтобы
обеспечить наиболее дешевый рацион питания.
Вариант 12
Мебельное малое предприятие производит два вида
изделия. Потребности в ресурсах и возможности по их
использованию (запасы) в течение недели приведены в таблице.
Максимальная потребность в изделии 1 на плановый период 120шт. Каждое проданное изделие1 приносит прибыль в 80грн, а
проданное изделие 2 - в 67грн.
Запасы
Изделие1 Изделие2 Недельный
запас ресурса
Участок сборки (время)
6
4
638
Участок покраски
3
2
400
(время)
Участок контроля
0.6
0.6
120
(время)
79
Вариант 13
На машиностроительном предприятии для изготовления
четырех видов продукции используется токарное, фрезерное,
сверлильное, расточное и шлифовальное оборудование, а также
комплектующие изделия. В таблице указаны: нормы расхода
ресурсов на изготовление одного изделия каждого вида,
имеющиеся в наличие ресурсы, ограничения, обусловленные
спросом на выпуск продукции второго и третьего видов, и
прибыль от реализации одного изделия. Требуется определить
такой объем выпуска продукции, который обеспечивает
предприятию наибольшую прибыль.
Оборудование
Норма расхода ресурсов на 1 изделие
Изделие1
520
30
75
140
токарное
фрезерное
сверлильное
расточное
шлифовальное
Комплектующие 3
детали
Выпуск(шт)min
max
Прибыль
от 315
реализации
Изделие2 Изделие3
580
40
20
110
140
82
132
156
60
6
3
Наличие
Изделие4
20
32
128
40
5
62400
3800
21300
18620
6300
480
35
130
620
278
350
Вариант 14
Кооператив, используя три типа ресурсов, изготавливает
продукцию трех видов. Общий объем ресурсов, их затраты на
продажу одной партии изделий, а также прибыль от ее
реализации приведены в таблице.
Затраты на изготовление одной Общий
партии изделий, грн.
Тип ресурсов
объем
1-го вида 2-го вида 3-го вида ресурсов
Древесина
Ткань
Сборка
Прибыль от реализации изделий, грн
13
14
2
24
14
17
3
16
80
12
15
6
12
64
83
58
Вариант 15
Макаронная фабрика выпускает три вида продукции.
Суточные
ресурсы
фабрики
следующие:
600
ед.
производственного оборудования, 500 ед. сырья и 800 ед.
электроэнергии, расход которых на единицу продукции
представлен в таблице.
Ресурсы
Вид продукции
I
II
III
Оборудование
2
3
4
Сырье
1
4
5
Электроэнергия
3
4
Цена одной упаковки макаронного изделия I равна
макаронного изделия II- 10грн и макаронного изделия IIIСколько надо произвести макаронных изделий каждого
чтобы прибыль от реализации была наибольшей?
2
9грн,
7грн.
вида,
Вариант16
Три шлифовальных станка обрабатывают два вида деталей:
А и В. Каждая деталь проходит обработку на всех трех станках.
Известны: время обработки детали на каждом станке, время
работы станков в течении одного цикла производства и прибыль,
получаемая от выпуска одной детали каждого вида. Эти данные
приведены в таблице.
Станки
Время обработки
Время станка за один
одной детали, мин. цикл производства,
ч.
A
B
I
30
10
18
II
10
30
22
III
30
20
20
Прибыль на одну
деталь, грн.
600
200
81
Вариант 17
Предприятие, используя четыре типа ресурсов, выпускает
продукцию трех видов. Общий объем ресурсов, их затраты на
изготовление одной партии изделий, а также прибыль от ее
реализации приведены в таблице.
Затраты на реализацию одной
Общий
партии изделий, грн.
Тип
объем
ресурсов
1-го
2-го 3-го вида 4-го ресурсов
вида
вида
вида
Древесина
3
4
2
6
54
Бумага
1
2
2
3
42
Ткань
4
7
3
5
73
Сборка
2
3
6
1
48
Прибыль
от
16
18
22
15
реализации
изделий, грн
Вариант18
Кондитерская фабрика выпускает три вида продукции.
Суточные
ресурсы
фабрики
следующие:
1200
ед.
производственного оборудования, 2500 ед. сырья и 1800 ед.
электроэнергии, расход которых на единицу продукции
представлен в таблице.
Ресурсы
Вид продукции
Конфе
ты
Кексы
Торт
ы
Оборудование
10
22
18
Сырье
16
25
17
Электроэнергия
20
24
26
Цена одной упаковки конфет равна 90грн, кексов - 10грн и
тортов - 70грн. Сколько надо произвести кондитерских изделий
каждого вида, чтобы прибыль от реализации была наибольшей?
82
Вариант 19
Три шлифовальных станка обрабатывают два вида деталей:
А и В. Каждая деталь проходит обработку на всех трех станках.
Известны: время обработки детали на каждом станке, время
работы станков в течении одного цикла производства и прибыль,
получаемая от выпуска одной детали каждого вида. Эти данные
приведены в таблице.
Станки
Время обработки одной
Время станка за
детали, мин.
один цикл
производства, ч.
A
B
С
I
30
14
22
28
II
12
20
24
12
III
30
10
28
30
Прибыль на одну
деталь, грн.
450
300
200
Вариант 20
Предприятие, используя три типа ресурсов, реализует
продукцию трех видов. Общий объем ресурсов, их затраты на
продажу одной партии изделий, а также прибыль от ее
реализации приведены в таблице.
Затраты на реализацию одной
Общий
Тип
партии изделий, грн.
объем
ресурсов
1-го вида 2-го вида 3-го вида ресурсов
Древесина
Бумага
Клей
Сборка
Прибыль
от
реализации
1
партии изделий,
грн
34
10
4
12
16
42
12
7
15
18
83
28
12
3
16
22
64
32
53
38
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................. 3
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1 “РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ MICROSOFT
EXCEL”. ....................................................................................................... 4
Контрольные вопросы ........................................................................... 15
Индивидуальные задания к лабораторной работе № 1...................... 16
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2 “РЕШЕНИЕ ДВОЙСТВЕННЫХ
ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С
ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ MICROSOFT EXCEL”. ..................................... 19
Контрольные вопросы ........................................................................... 22
Индивидуальные задания к лабораторной работе № 2...................... 23
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3 “РЕШЕНИЕ ТРАНСПОРТНОЙ
ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С
ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ MICROSOFT EXCEL”. ..................................... 25
Контрольные вопросы ........................................................................... 30
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4 “МЕТОДЫ СОСТАВЛЕНИЯ
ОПОРНОГО ПЛАНА ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ”. .......................... 31
Индивидуальные задания к лабораторной работе № 3-4. ................. 42
Контрольные вопросы ........................................................................... 46
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5 “РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
ПРОИЗВОДСТВЕННОГО ПЛАНИРОВАНИЯ С
ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ MICROSOFT EXCEL”. ..................................... 47
Индивидуальные задания к лабораторной работе № 5...................... 52
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 “РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ О
НАЗНАЧЕНИЯХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ MICROSOFT EXCEL”. .. 61
Задачи о назначениях ............................................................................ 61
Индивидуальные задания к лабораторной работе № 6...................... 63
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7 “ВЫПОЛНЕНИЕ АНАЛИЗА
РЕЗУЛЬТАТОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ........................... 66
ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ MICROSOFT
EXCEL”. ..................................................................................................... 66
Индивидуальные задания к лабораторной работе № 7...................... 75
84
Литература
1. Акулич И.Л. Математическое программирование в
примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1986. – 320с.
2. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс: Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1988. - 128 с.: ил.
3. Банди Б. Основы линейного программирования: Пер. с англ.
- М.: Радио и связь, 1989. - 176 с.: ил.
4. Губин Н.М., Добронравов А.С., Дорохов Б.С. Экономикоматематические методы и модели в планировании и
управлении в отрасли связи. М.: Радио и связь, 1993.
5. Карманов В.Г. Математическое программирование. – М.:
Наука, 1986. – 288с.
85
Кононенко И.Н.
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
по дисциплине
«ОПТИМИЗАЦИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ
ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ СИСТЕМ»
(раздел «Линейное программирование»)
Технические редакторы
Григорьева Л.В.,
Чупахина Н.А.
Подписано к печати 29.12.2011.
Формат 60×84/16. Бумага писчая. Гарн. Times New Roman.
Печать на ксероксе.
Услов.печ. лист 5,0. Тираж 25 экз. Заказ .№
Донецкий институт железнодорожного транспорта
Опечатано в редакционно-издательском отделе ДонИЖТ
Свидетельство о внесении в Гос.реестр от 22.06.2004г.,
серия ДК №1851
83018, г. Донецк – 18, ул.Горная,6.
86
ДОНЕЦКИЙ ИНСТИТУТ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА
ФАКУЛЬТЕТ «ИНФРАСТРУКТУРА ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА»
Кафедра«Автоматика, телемеханика, связь и вычислительная техника»
И.Н. Кононенко
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
по дисциплине
«ОПТИМИЗАЦИЯ
И МОДЕЛИРОВАНИЕ
ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ СИСТЕМ»
(раздел «Линейное программирование»)
Донецк 2011
87