Максимумы и минимумы функций

Максимумы и минимумы функции
Точка х0 называется внутренней точкой множества D, если существует
такая окрестность точки х0, которая содержится во множестве D.
Например, интервал (а; b) является окрестностью точки х0. х0(а; b).
Точка х0 называется точкой максимума функции f, если существует
такая окрестность точки х0 что для любого х из этой окрестности верно
неравенство 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥0 ). При этом говорят, что функция f имеет в точке х0
максимум.
Точка х0 называется точкой минимума функции f, если существует такая
окрестность точки х0 что для любого х из этой окрестности верно неравенство
𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑥0 ). При этом говорят, что функция f имеет в точке х0 минимум.
Например, х1 – точка максимума, х2 – точка минимума.
Точки максимума и минимума называются точками экстремума.
Латинское слово «экстремум» в переводе на русский язык означает «крайний».
Необходимое условие экстремума
Теорема Ферма: Если точка х0 является точкой экстремума функции f и в
точке х0 существует производная, то 𝑓 ′ (𝑥) = 0.
Достаточное условие экстремума
Если 𝑓 ′ (𝑥) = 0 и при переходе через точку х0 значения производной
меняют знак с «+» на « - », то х0 является точкой максимума.
Если 𝑓 ′ (𝑥) = 0 и при переходе через точку х0 значения производной
меняют знак с « - » на «+», то х0 является точкой минимума.
Если 𝑓 ′ (𝑥) = 0 и при переходе через точку х0 значения производной не
меняют знак, то х0 не является точкой экстремума.
Примеры решения задач
Пример 1. Найти точки экстремума функции 𝑓(𝑥) = 2𝑥 6 − 4𝑥 3 + 7.
Решение. 𝑓 ′ (𝑥) = (2𝑥 6 − 4𝑥 3 + 7)′ = 12𝑥 5 − 12𝑥 2 = 12𝑥 2 (𝑥 3 − 1).
𝑓 ′ (𝑥) = 0, т.е. 12𝑥 2 (𝑥 3 − 1)=0. Отсюда х1=0 и х2=1. Отметим на числовой
прямой эти точки и найдем знаки производной и промежутки возрастания и
убывания функции на полученных интервалах.
При переходе через точку 0 производная не меняет знак, следовательно,
точка 0 не является точкой экстремума.
При переходе через точку 1 знак производной меняется с « - » на «+»,
следовательно, точка 1 – точка минимума. xmin=1.
Точек максимума данная функция не имеет.
Ответ: xmin=1
Пример 2. Найти точки экстремума функции 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 9𝑥 − 2 и
значение функции в этих точках.
Решение. 𝑓 ′ (𝑥) = (𝑥 3 − 6𝑥 2 + 9𝑥 − 2)′ = 3𝑥 2 − 12𝑥 + 9 = 0.
D=( -12)2 - 439=144 – 108=36, x1=3, x2=1.
При переходе через точку 1 знак производной меняется с «+» на « - »,
следовательно, точка 1 – точка максимума.
При переходе через точку 3 знак производной меняется с « - » на «+»,
следовательно, точка 3 – точка минимума.
Значение функции в этих точках: 𝑓(1) = 13 − 6 ∙ 12 + 9 ∙ 1 − 2 = 2,
𝑓(3) = 33 − 6 ∙ 32 + 9 ∙ 3 − 2 = −2
Ответ: хmax=1, xmin=3, f(1)=2, f(3)= - 2
Упражнения
1. По графику функции укажите точки максимума и минимума функции и
значение функции в этих точках:
1)
2)
3)
4)
7)
5)
6)
8)
9)
10)
2. Найдите точки экстремума функции и значения функции в этих точках:
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 32𝑥 + 7
2) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥
3) 𝑓(𝑥) = −10𝑥 3 + 51𝑥 2 − 36𝑥 + 3
4) 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 2𝑥 2
5) 𝑓(𝑥) = −𝑥 4 + 4𝑥 − 9
6) 𝑓(𝑥) = −4𝑥 3 − 15𝑥 2 + 18𝑥 + 2
7) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑥 2 − 2𝑥
8) 𝑓(𝑥) = 5 − 4𝑥 − 4𝑥 2
9) 𝑓(𝑥) = 7𝑥 2 − 56𝑥 + 8
10) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 5𝑥 − 1
5
2
3. Найдите точки экстремума функции и значения функции в этих точках:
3
1) 𝑓(𝑥) = − 12𝑥 2
𝑥
5) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −
7
𝑥
𝑥
7
9) 𝑓(𝑥) = +
2
𝑥
2) 𝑓(𝑥) =
6) 𝑓(𝑥) =
8−𝑥 2
3+𝑥
𝑥(𝑥 3 −4)
10) 𝑓(𝑥) =
2
8
𝑥
𝑥
2
3) 𝑓(𝑥) = +
7) 𝑓(𝑥) =
2𝑥 2
4) 𝑓(𝑥) =
8) 𝑓(𝑥) =
3−𝑥
4
4−𝑥
𝑥
1+𝑥 2
2𝑥 2 +6
𝑥−1
4. Найдите точки экстремума функции и значения функции в этих точках:
1) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − √𝑥
1
2) 𝑓(𝑥) = 2√𝑥 − 𝑥
3) 𝑓(𝑥) = + 2√𝑥
𝑥
4) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − √𝑥 2
5) 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 2𝑥 2
6) 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1
7) 𝑓(𝑥) = 𝑥 √𝑥 − √𝑥
8) 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1
3
10) 𝑓(𝑥) = 2 − √𝑥
4
9) 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1
5. Найдите точки экстремума функции и значения функции в этих точках:
1) 𝑓(𝑥) =
4) 𝑓(𝑥) =
7) 𝑓(𝑥) =
(𝑥−2)(6+𝑥)
(𝑥−1)2
16
𝑥(4−𝑥 2 )
𝑥 2 +2𝑥
𝑥 2 +2𝑥+2
10) 𝑓(𝑥) =
2) 𝑓(𝑥) =
5) 𝑓(𝑥) =
8) 𝑓(𝑥) =
𝑥2
𝑥 2 +3
𝑥3
𝑥−1
𝑥 2 −2𝑥+2
𝑥−1
3) 𝑓(𝑥) =
6) 𝑓(𝑥) =
9) 𝑓(𝑥) =
(𝑥−5)(3+𝑥)
(𝑥+2)2
𝑥
𝑥 2 −2𝑥+1
𝑥 2 −4𝑥+4
𝑥 2 +4
3𝑥
𝑥 2 +4𝑥+4
6. Найдите точки экстремума функции:
1) 𝑓(𝑥) = cos 2𝑥 − 2 cos 𝑥
2) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2 sin 𝑥
3) 𝑓(𝑥) = 1 + cos 2𝑥
4) 𝑓(𝑥) = 2 − sin
5) 𝑓(𝑥) = sin2 𝑥 − cos 𝑥
6) 𝑓(𝑥) = 10 cos 𝑥 + sin 2𝑥 − 6𝑥
7) 𝑓(𝑥) = 2 sin 𝑥 + cos 2𝑥
8) 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 − cos 𝑥
9) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − sin 𝑥
10) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − cos 3𝑥
𝑥
2
7. Найдите точки остановки тела, двигающегося по следующему закону:
1) 𝑠 =
𝑡 2 −2𝑡+2
𝑡2
5) 𝑠 = 𝑡 3 − 6𝑡 + 2
9) 𝑠 = 2𝑡 3 − 15𝑡 2 − 13
2) 𝑠 =
6) 𝑠 =
𝑡
𝑡 2 −2𝑡+1
𝑡3
𝑡−1
10) 𝑠 =
3) 𝑠 =
7) 𝑠 =
1
(𝑡−2)2
−
𝑡 2 −4𝑡+4
𝑡 2 +4
1
𝑡2
4) 𝑠 = 2𝑡 3 − 6𝑡 − 1
8) 𝑠 = 2𝑡 − 1 +
1
4𝑡+1
𝑡 2 −2𝑡+2
𝑡 2 −2
8. Функция f(x) определена на промежутке ( - 5; 10). Используя график ее
производной, найдите количество точек максимума и минимума:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
9. Найдите экстремумы функции…
1) 𝑓(𝑥) = 4𝑥 +
49
𝑥+3
2) 𝑓(𝑥) = 25𝑥 +
36
𝑥−1
3) 𝑓(𝑥) =
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
(𝑥−2)(8−𝑥)
𝑥2
10. Найти модуль разности экстремальных значений функции…
1) 𝑦 = 𝑥 3 + 3𝑥 2 − 3𝑥 + 1
2) 𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 − 6𝑥 + 2
3) 𝑦 = 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 6𝑥 + 1
4) 𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 − 3𝑥 + 2
5)
6)
7)
8)
9)
10)
Дополнительные задания
1. Сколько корней имеет уравнение…
1) 𝑥 3 − 3𝑥 2 = 𝑎, если 𝑎 ∈ (−4; 0)
2) −𝑥 3 + 3𝑥 2 − 2 = 𝑎, если 𝑎 < −2
4) −𝑥 3 + 3𝑥 2 = 𝑎, если 𝑎 ∈ (0; 4)
5) 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 2 = 𝑎, если 𝑎 > 2
7)
8)
9)
10)
2. Определите значение параметра:
1) c, при котором функция y  x3  2, 4 x 2  cx  8, 4 не имеет экстремума в
критической точке.
2) a, при котором точка x  1 является точкой максимума функции
f ( x )  ax 2 
1
при x  0.
x
4) a, при котором
x6
является точкой экстремума функции
y  ( x  a)  3x  a.
3
5) b, при котором максимум функции y  3bx2  12bx  b2  11 равен 2.
7)
8)
9)
10)
Максимумы и минимумы функции
Вариант 1
Вариант 2
𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 2𝑥 2
3.
Найдите
точки
максимума
и
минимума функции
𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 32𝑥 + 7
𝑓(𝑥) = −𝑥 4 + 4𝑥 − 9
4.
Найдите
точки
максимума
и
минимума функции
𝑓(𝑥) = 3 − 2𝑥 − 𝑥 2
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 + 6
5.
Найдите
точки
максимума
и
минимума функции
𝑓(𝑥) = 3𝑥 3 − 2𝑥 2 + 3𝑥 − 4
𝑓(𝑥) = 4𝑥 3 + 𝑥 2 − 4𝑥 + 7
1.
Найдите
точки
максимума
и
минимума функции
2.
Определите
по
рисунку
точки
минимума
и
максимума функции
6.
Найдите
точки
максимума
и
минимума функции
7. Найдите точки
максимума и
минимума функции
8. Найдите точки
остановки тела,
двигающегося по
закону
𝑓(𝑥) =
4
4−𝑥
𝑓(𝑥) =
𝑥
1 + 𝑥2
𝑓(𝑥) = 2√𝑥 − 𝑥
𝑓(𝑥) = √𝑥 − 2𝑥 2
𝑠(𝑡) = 2𝑡 3 − 15𝑡 2 − 13
𝑠(𝑡) = 2𝑡 3 − 6𝑡 − 1
если f(x) – четная функция,
х0 – точка максимума, то –
х0 является точкой
максимума
если f(x) – нечетная
функция, х0 – точка
минимума, то - х0 является
точкой максимума
9. Определите по
графику производной
количество точек
экстремума
10. Докажите
утверждение