Л Е К Ц И Я 8 ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ

ЛЕКЦИЯ 8
ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ
И ПЛОСКОСТИ
П л а н:
1. Прямая пересекает плоскость
2. Прямая параллельна плоскости
3. Прямая перпендикулярна плоскости
1. Прямая пересекает плоскость
Прямая пересекает плоскость, если имеет с ней только одну общую точку. При
нахождении точки К пересечения прямой АВ с проецирующей плоскостью используют
свойство этой плоскости (рис.48). Точку пересечения прямой с плоскостью общего
положения определяют при помощи вспомогательной плоскости, проводимой через прямую.
Так, для нахождения точки пересечения прямой АВ с плоскостью Р (рис. 49) через прямую
АВ проводят горизонтально-проецирующую плоскость. Она пересечет плоскость Р по прямой H1V1. Точка К пересечения найденной линии и заданной прямой АВ является искомой
точкой пересечения этой прямой с плоскостью Р.
Рис. 48
На рис. 49 показаны те же построения на
чертеже. Сначала с помощью горизонтальнопроецирующей плоскости найдена фронтальная
проекция k' точки пересечения прямой с плоскостью, а затем и горизонтальная проекция k.
В
качестве
вспомогательной
можно
использовать также фронтально-проецирующую
плоскость. Например, для нахождения точки
пересечения, прямой АВ с плоскостью, заданной
треугольником
CDE
(рис.
50),
можно
воспользоваться
фронтально-проецирующей
плоскостью S. Изобразим эту плоскость только
фронтальным следом Sv, совместив его с фронтальной проекцией а'b' прямой (горизонтальный след
вспомогательной плоскости в построениях не
Рис. 49
Рис. 50
участвует, поэтому его можно не показывать). Линия пересечения плоскостей определяется
точками М и N. В пересечении горизонтальных проекций аb и тп прямых находится
горизонтальная проекция k искомой точки пересече-ния. Фронтальную проекцию k' точки К
находим при помощи линии связи. Видимость прямой определяем с помощью конкурирующих точек.
В том случае, когда плоскости заданы двумя параллельными или пересекающимися
прямыми, точку их пересечения с прямой находят аналогично.
2. Прямая параллельна плоскости
Известно, что прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой,
лежащей в плоскости. Построения взаимно параллельных прямой и плоскости основаны на
этом положении. Заметим, что через точку пространства можно провести бесчисленное множество прямых, параллельных плоскости.
На рис. 51 показаны прямые уровня, параллельные плоскости Р, заданной следами.
Горизонтальная прямая АВ параллельна плоскости Р, так как она параллельна ее
горизонталям (ab॥PH, а'b'॥х); фронтальная прямая АС параллельна плоскости Р, так как она
параллельна ее фронталям (а'с'॥Рv, ас॥ох).
На рис. 51 показана прямая АВ общего положения, параллельная плоскости Р (ab॥h1v1,
a'b'h1'॥v1).
Рис. 51
3. Прямая перпендикулярна плоскости
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каким-либо двум ее пересекающимся прямым.
Строят проекции перпендикуляра к плоскости на основе следующей теоремы: если
прямая перпендикулярна к плоскости, то ее проекции перпендикулярны к одноименным
проекциям линий уровня.
Проекции перпендикуляра к плоскости, заданной следами, перпендикулярны к
одноименным следам этой плоскости.
2
Рассмотрим аксонометрическое изображение плоскости Р общего положения и
перпендикуляра АК к ней, причем точка К лежит в плоскости (рис. 52). Проведем через
точку К горизонталь плоскости (V1K॥PH). Тогда угол
AKV1 равен 90°. Построим
горизонтальные проекции
горизонтали V1K и прямой
АК.
Так как угол AKV1
равен 90°, а его сторона
KV1 параллельна плоскости
Н, то угол akv1 равен 90°,
или ak  kv1 на основании
свойства проекций прямого
угла. Но kvx॥PH, следовательно, ak  PH. Таким
Рис. 52
образом,
горизонтальная
проекция ak прямой АК,
перпендикулярной к плоскости Р, перпендикулярна к горизонтальным проекциям всех ее
горизонталей, в том числе и к горизонтальному следу.
При помощи фронтали и профильной прямой, проведенных в плоскости Р через точку
К, легко установить, что фронтальная и профильная проекции перпендикуляра АК к
плоскости перпендикулярны к одноименным проекциям фронталей и профильных прямых и,
значит, к соответствующим следам этой плоскости.
На чертеже (рис. 52) ak  PH и ak  kv1, a'k'  Pv и a'k'U  к'h1'.
Построение перпендикуляра к плоскости, заданной плоской фигурой (или
равнозначными геометрическими элементами), начинают с проведения ее горизонтали и
фронтали. Например, для построения перпендикуляра AM к плоскости треугольника ABC
проводим в ней горизонталь AD и фронталь АЕ (рис. 53). Тогда проекции перпендикуляра
будут располагаться так: am  ad и а'т'  а'е'.
Зная, как проводится проекция перпендикуляра к плоскости на чертеже, нетрудно
построить взаимно перпендикулярные плоскости, определить расстояние от точки до
плоскости и решить многие другие задачи.
Известно, что две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит
через перпендикуляр к другой. Поэтому, чтобы через прямую АВ провести плоскость Q,
перпендикулярную к плоскости Р, заданной следами Рн и Рv, достаточно из точки В провести
к этой плоскости перпендикуляр ВС (рис. 54).
Две пересекающиеся прямые АВ и ВС определяют плоскость Q, перпендикулярную к
плоскости Р, так как плоскость Q проходит через перпендикуляр к ней.
Рис.
54
Рис.
53
3