01.04.02 Прикладная математика и информатика

ПРОГРАММА ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ НА НАПРАВЛЕНИЕ
ПОДГОТОВКИ
МАГИСТРАТУРЫ
01.04.02
«ПРИКЛАДНАЯ
МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА»
ПРОГРАММА
ВСТУПИТЕЛЬНЫХ
ИСПЫТАНИЙ
ПО
ДИСЦИПЛИНЕ «АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»
Тема 1. Основные понятия алгебры
Алгебраические операции. Коммутативность, ассоциативность и
дистрибутивность операций. Алгебраическая система. Гомоморфизм.
Изоморфизм. Группа. Кольцо. Поле. Группа подстановок.
Тема 2. Матрицы и определители
Операции над матрицами и их свойства. Основные свойства
определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Методы вычисления
определителей. Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы. Обратная матрица.
Тема 3. Системы линейных уравнений
Матричная форма записи систем линейных уравнений. Правило
Крамера. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Теорема
Кронекера-Капелли. Общее решение системы линейных уравнений
(определение и отношение). Однородные системы (пространство решений,
фундаментальные системы решений).
Тема 4. Линейные (векторные) пространства
Линейная
зависимость.
Базис
и
размерность.
Линейные
подпространства. Линейные отображения. Ядро и образ линейного
отображения. Матрица линейного отображения. Преобразование матрицы
линейного отображения при переходе к новому базису. Собственные
значения и собственные векторы линейного отображения.
Тема 5. Афинные и ортонормальные системы координат
Формулы замены координат. Прямоугольные декартовы системы
координат на плоскости и в пространстве. Расстояние между точками.
Полярные координаты. Связь между полярными и декартовыми
координатами. Цилиндрическая и сферическая системы координат. Понятие
об уравнении кривой. У равнения поверхности и кривой в пространстве.
Тема 6. Прямая на плоскости и в пространстве
Общий вид уравнения прямой на плоскости. Каноническое уравнение
прямой. Угол между прямыми. Расположение двух прямых на плоскости.
Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Уравнение прямой в
нормальной форме. Пучок прямых. Плоскость и прямая в пространстве.
Уравнения плоскости и прямой. Взаимное расположение плоскостей и
прямых в пространстве.
Тема 7. Линии и поверхности второго порядка
Линии второго порядка. Типы кривых второго порядка. Эллипс.
Гипербола. Парабола. Канонические уравнения эллипса, гиперболы и
параболы. Поверхности второго порядка. Классификация поверхностей
второго порядка. Канонические уравнения поверхностей второго порядка.
Конические сечения.
ПРОГРАММА
ВСТУПИТЕЛЬНЫХ
ИСПЫТАНИЙ
ПО
ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»
Тема 1. Определенные интегралы Римана и приближенные методы
их вычисления
Определение интегрируемости функции по Риману и интеграл Римана.
Основные свойства интеграла. Способы прямоугольников, трапеций и
парабол для приближенного вычисления интеграла Римана. Оценка
погрешностей.
Тема 2. Частные производные
Частные производные функции в точке. Дифференцируемость функции
в
точке
и
на
множестве.
Геометрический
смысл
условия
дифференцируемости. Определение двукратной дифференцируемости
функции и частной производной 2-го порядка в точке. Теорема о
независимости
смешанных
частных
производных
от
порядка
дифференцирования.
Тема 3. Криволинейные интегралы
Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода. Условия существования
криволинейных интегралов и формулы для их вычисления.
Тема 4. Двойные интегралы
Определение двойного интеграла Римана. Сведение двойного
интеграла к повторному интегралу. Формула Грина.
Тема 5. Поверхностные интегралы
Определение поверхностных интегралов 1-го и 2-го рода. Условия
существования и формулы для вычисления поверхностных интегралов.
Тема 6. Тройные интегралы
Определение тройного интеграла Римана. Сведение тройного
интеграла к повторному. Замена переменных в тройном интеграле. Теорема
Гаусса-Остроградского. Теорема Стокса.
Тема 7. Основные операции теории поля
Производная скалярного поля по данному направлению. Градиент, его
свойства. Понятие векторного поля. Поток и дивергенция векторного поля.
Выражение дивергенции в декартовых координатах. Циркуляция и ротор
векторного поля. Выражение ротора в декартовых координатах. Векторная
формулировка теорем Гаусса-Остроградского и Стокса.