Оптимизация в дискретных системах и оптимальное

ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (СПбГУ)
Факультет прикладной математики – процессов управления
«Утверждено»
на заседании Ученого совета факультета
прикладной математики – процессов управления
протокол № 10 от 12.04.2012 года
(Решение учебно-методической комиссии факультета
от 10.04.2012, протокол № 13)
Декан: ___________________Л.А. Петросян
ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА
ПО СПЕЦИАЛЬНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ
на основную образовательную программу
послевузовского профессионального образования (аспирантура)
Оптимизация в дискретных системах и оптимальное управление
по специальности научных работников
01.01.02 «Дифференциальные уравнения, динамические системы и
оптимальное управление»
Санкт-Петербург
2012
Специальность 01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и
оптимальное управление
1. Дифференцирование функций. Производная неявной функции и функции,
заданной параметрически. Производная по направлению.
2. Интегрирование функций. Кратные интегралы.
3. Поверхностные и криволинейные интегралы. Их взаимосвязь. Элементы теории
поля.
4. Функциональные последовательности и ряды. Ряды Фурье.
5. Метрические и нормированные пространства. Оператор сжатия. Теорема Банаха.
6. Измеримые функции. Предельный переход в классе измеримых функций.
7. Интеграл Лебега. Суммируемые функции.
8. Матричное представление линейных операторов. Алгоритм приведения к
Жордановой форме.
9. Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для
обыкновенного дифференциального уравнения. Метод последовательных
приближений Пикара.
10. Теоремы о зависимости от параметров и начальных данных решения задачи Коши
для обыкновенного дифференциального уравнения.
11. Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Интегрирование
линейных систем с постоянными коэффициентами.Анализ траекторий на
плоскости.
12. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений с аналитическими правыми
частями. Интегрирование с помощью степенных рядов. Метод малого параметра,
теорема А.Пуанкаре.
13. Аналитические функции. Условия аналитичности. Конформные отображения.
14. Разложение аналитических функций в степенные ряды. Ряд Лорана.Представление
вычетов.
15. Задачи управления и наблюдения в линейных системах.
16. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений и
второй метод Ляпунова.
17. Асимптотическая
устойчивость
решений
систем
обыкновенных
дифференциальных уравнений, область притяжения и ее оценка. Теорема
В.И.Зубова о границе области притяжения.
18. Стабилизация управляемых систем (непрерывная, дискретная,релейная).
19. Численные методы решения задачи Коши для системы обыкновенных
дифференциальных уравнений.
20. Метод сеток решения дифференциальных уравнений: аппроксимация,
устойчивость, сходимость, консервативные схемы интегрирования.
21. Уравнение электродинамики сплошных сред. Уравнение Максвелла в
интегральной и дифференциальной форме. Магнитная электродинамика.Теорема
В.И.Зубова об универсальности уравнений электродинамики.
22. Элементы вариационного исчисления: условия экстремума интегрального
функционала.
23. Дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка
гиперболического типа. Характеристики задачи Коши, формула Эйлера-Даламбера.
Распространение волн.
24. Дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка
параболического типа. Уравнение теплопроводности, задача Коши-Дирихле.
25. Дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка
эллиптического типа.
26. Уравнения движения и основные законы динамики материальной точки и
механической системы.
27. Обобщенные координаты. Уравнения Лагранжа второго рода. Канонические
уравнения механики.
28. Оптимальная стабилизация линейных систем. Метод последовательных
приближений синтеза оптимальных управлений.
29. Основная задача оптимального управления. Связь с задачами вариационного
исчисления. Необходимые условия оптимальности.
30. Оптимальное демпфирование переходных процессов.
Литература:
1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1-3.
М.,1966-1971.
2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального
анализа. М., 1968.
3. Зорич В.А. Математический анализ. Ч. 1. М., 1982. Ч. 2, 1984.
4. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1-3. М.,1988-1989.
5. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.,
1969.
6. Вулих Б.З. Основы теории функций вещественной переменной. М., 1973.
7. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975.Окунев Л.Я. Высшая алгебра.
М.: Учпедгиз, 1958.
8. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
9. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1972.
10. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
11. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных
уравнений.
12. Алешков Ю.З. Лекции по теории функций комплексного переменного.- СПб.: Издво СПбГУ, 1999.- 196 с.
13. Алешков Ю.З., Смышляев П.П. Теория функций комплексного переменного и ее
приложения.- Л.: Изд-во ЛГУ, 1986.- 248 с.
14. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной.- М.:
Наука, 1967.- 304 с.
15. Гюнтер Н.М. Курс вариационного исчисления. Л.; М., 1941.
16. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.,
1969.
17. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.
18. Зубов В.И. Лекции по теории устойчивости.- М.: Наука, 1975.
19. Зубов В.И. Теория колебаний.- М.: Высш. шк., 1979.
20. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1953.
21. Зубов В.И. Методы Ляпунова и их применение. Л.: Изд-во ЛГУ, 1957.
22. Березин И.С, Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.1,2. М.: Физматгиз, 1962. 464 с.
23. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 2000.
622 с.
24. Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1998. 470
с.