ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА Критерий Михайлова Дано Задание

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4
Критерий Михайлова
Цель работы: определение устойчивости замкнутой САУ.
Дано: характеристическое уравнение замкнутой системы; величина
параметра Т.
Задание: Определить состояние системы при заданном значении параметра
Т и величины этого параметра для двух других состояний системы.
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
Пусть дано характеристическое уравнение системы:
D( s )  a0 s n  a1 s n1  ...  a n  0
Левую
часть
характеристического
уравнения
называют
характеристическим полиномом
D( s)  a0 s n  a1 s n 1  ...  a n
Если подставить в этот полином чисто мнимое значение s = jω, то получим
комплексный полином
D( j )  a0 ( j ) n  a1 ( j ) n 1  ...  a n  X ( )  jY ( )  D( )e j ( )
Функции
X ( )  a n  a n  2 2  a n  4 4  ... ,
Y ( )   (a n 1  a n 3 2  a n 5 4  ...)
называют соответственно вещественной и мнимой функциями Михайлова;
функции D(ω) и ψ(ω) представляют собой модуль и фазу (аргумент) вектора
D ( j ) .
При изменении частоты ω вектор D( j ) , изменяясь по величине и направлению,
будет описывать своим концом в комплексной плоскости некоторую кривую,
называемую кривой (годографом) Михайлова.
Критерий устойчивости Михайлова можно сформулировать так:
для того чтобы система автоматического управления была устойчива,
необходимо и достаточно, чтобы кривая (годограф) Михайлова при изменении
частоты ω от 0 до ∞, начинаясь при ω = 0 на вещественной положительной
полуоси, обходила только против часовой стрелки последовательно n
квадрантов координатной плоскости, где n — порядок характеристического
уравнения.
Варианты заданий:
1. Ф 
87
0.0053Ts  0.058Ts  1.0Ts 2  (2.7  35T ) s  87
T = 0.1
2. Ф 
48.3
0.045Ts  (0.04  48.3T ) s  (0.45  25.8T ) s 2  (5.8  48.0T ) s  48.3
T = 0.5
3. Ф 
49.7
0.007Ts  (0.004  0.17T ) s  (0.19  21T ) s 2  (1  50.0T ) s  49.7
T = 0.02
4. Ф 
49.7
0.02Ts  (0.04  0.24T ) s  (0.19  22T ) s 2  (1  45.0T ) s  49.7
T = 0.5
5. Ф 
87
0.03Ts  (0.03  0.36T ) s  (0.03  21T ) s 2  (1  44.0T ) s  87
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
T = 0.04
6. Ф 
51
0.03Ts  (0.03  0.36T ) s  (0.4  25T ) s 2  14.0Ts  51
T = 0.1
7. Ф 
50
0.005Ts  0.07Ts  2.5Ts 2  (6  20T ) s  50
T = 0.1
8. Ф 
87
0.03Ts  (0.03  0.36T ) s  (0.03  21T ) s 2  (1  44.0T ) s  87
T = 0.5
9. Ф 
48
0.005Ts  0.05Ts  0.63Ts 2  (1  2T ) s  48
T = 0.7
4
3
4
3
4
3
4
3
10. Ф 
37
0.004Ts  (0.007  0.19T ) s  (0.24  21T ) s 2  (1  52.0T ) s  37
T = 0.4
11. Ф 
82
0.02Ts  (0.04  0.48T ) s  (0.24  21T ) s 2  (1  47.0T ) s  82
T = 0.5
12. Ф 
18
0.04Ts  (0.05  48T ) s  Ts 2  (5.8  44.0T ) s  18
T = 0.3
4
3
4
4
3
3
13. Ф 
29
0.003Ts  0.06Ts  (0.19  21T ) s 2  (3  49.0T ) s  29
T = 0.7
14. Ф 
87
0.03Ts  (0.03  0.36T ) s  (0.03  21T ) s 2  (1  44.0T ) s  87
T = 0.4
15. Ф 
19
0.003Ts  (0.03  0.36T ) s 3  3.5Ts 2  (5  40T ) s  19
T = 0.5
16. Ф 
57
0.08Ts  s  s  (2.8  36T ) s  57
T = 0.1
17. Ф 
78
0.03Ts  (0.04  58T ) s  (0.5  26T ) s 2  (5.8  42.0T ) s  78
T = 0.5
18. Ф 
99
0.045Ts  (0.04  0.39T ) s  (0.79  41T ) s 2  (1.5  50T ) s  99
19. Ф 
50
0.01Ts  (0.02  0.44T ) s  (0.03  81T ) s 2  (1.1  60T ) s  50
T = 0.5
20. Ф 
97
0.003Ts  (0.04  0.16T ) s  (0.07  11T ) s 2  (1  60T ) s  97
T = 0.04
21. Ф 
57
0.003Ts  (0.03  0.36T ) s  (0.76  46T ) s 2  (1  23.5Ts  57
T = 0.1
22. Ф 
20
0.005Ts  0.36Ts  2.4Ts 2  (8  30T ) s  20
T = 0.1
23. Ф 
37
0.02Ts  (0.1  0.56T ) s  (0.3  91T ) s 2  (3.4  40T ) s  37
T = 0.5
24. Ф 
48
0.005Ts  (0.007  0.19T ) s 3  (1  51T ) s 2  (1  2T ) s  48
T = 0.7
25. Ф 
77
0.002Ts  (0.001  0.29T ) s  (0.14  51T ) s 2  (1  70T ) s  77
T = 0.4
26. Ф 
52
0.007Ts  (0.14  58T ) s  (0.34  31T ) s 2  (2  42T ) s  52
T = 0.5
27. Ф 
98
0.05Ts  (0.06  44T ) s  1.2Ts 2  (6  18T ) s  98
T = 0.1
28. Ф 
89
0.005Ts  0.06Ts  (0.39  41T ) s 2  (3  60T ) s  89
T = 0.8
4
3
4
3
4
4
3
2
4
3
4
3
4
3
4
3
4
4
3
3
4
3
4
4
3
4
3
4
3
4
3
T = 0.02
29. Ф 
87
0.03Ts  (0.03  0.36T ) s  (0.03  21T ) s 2  (1  44.0T ) s  87
T = 0.7
30. Ф 
60
0.005Ts  (0.03  0.5T ) s 3  7.5Ts 2  (8  42T ) s  60
T = 0.5
4
3
4
Порядок выполнения задания.
1. Проверить состояние САУ с помощью критерия Михайлова для
заданного значения Т, построив годограф Михайлова.
2. Определить два других значения Т (методом подбора) при которых
система будет находиться в остальных двух состояниях, построив годографы
Михайлова. 3. Найти вещественную и мнимую функции Михайлова.
4. Найти корни вещественной и мнимой функций Михайлова для всех трех
найденных значений Т. Значения корней нанести на числовые оси, подтвердив
таким образом состояния системы.
5. Определить запасы устойчивости по модулю и фазе для устойчивой
системы используя функцию “margin” пакета MATLAB.
Примеры построения амплитудно-частотных характеристик.
Система неустойчива. Т = ….
Общий вид годографа
Начальный участок годографа
Система на грани устойчивости. Т = ….
Система устойчива. Т = ….
Общий вид годографа
годографа
Начальный участок