Аналитическая динамика Лагранжа

Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского
Э. В. Антоненко; Г. Н. Белосточный; Г. П. Шиндяпин
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА
ЛАГРАНЖА
Учебно-методическое пособие для студентов механико-математического
факультета СГУ
Саратов 2014
СОДЕРЖАНИЕ
1. Уравнения
движения
механических
систем
в обобщенных координатах ........................................................................... 3
2. Двойной плоский физический маятник ........................................................ 6
3. Дифференциальные вариационные принципы механики ........................... 9
4. Решения задач на основе вариационных уравнений ................................. 12
5. Задачи для самостоятельного решения ....................................................... 27
6. Рисунки к задачам для самостоятельного решения ................................... 31
7. Литература ..................................................................................................... 36
2
1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ В
ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ
Сведения из теории
Уравнения Лагранжа второго рода
d T T

 Q j (j = 1, 2, 3, … 3n – ) ,
dt q j q j
(1)
описывающие движение голономной механической системы материальных
точек (МС), можно вывести из дифференциального вариационного принципа Д’Аламбера – Лагранжа:
  mi ri  Fi   ri  0
n
(2)
i 1
(в котором рассматривается мгновенное состояние МС, соответствующее
моменту времени «t», и виртуальные перемещения из этого состояния) или
из интегрального вариационного принципа Гамильтона:
t2
  T  U  dt  0 ,
(3)
t1
в котором рассматриваются кинематически возможные перемещения МС
между двумя фиксированными конфигурациями в пространстве за конечный промежуток времени t2  t1 . В вариационных уравнениях (2) и (3)
обозначено: mi – масса i-й точки; Fi – активная сила, приложенная к ней;
ri – вариация i-го радиус-вектора, описывающего движение i-й точки МС
относительно полюса 0 «вмороженного» в инерциальную систему отсчета,
n m r
2
i i
– кинетическая энергия МС; U – силовая функция и
T 
2
i 1
n
dU   Fi  dri , Qi- обобщенная сила, -число голономных связей.
i 1
Рассмотрим вывод уравнений Лагранжа (1), не обращаясь к вариационным принципам механики.
Пусть МС, на которую наложены геометрические связи f l (ri , t )  0
(l=1, 2, …), движется относительно полюса О, вмороженного в инерциальную систему отсчета. Число независимых радиус-векторов точек МС равно
n–, а число независимых координат 3n–.
Будем предполагать.
1. Преобразования Лагранжа известны
(4)
ri  ri (q j (t ), t ) (j = 1, 2, …, 3n–) .
2. Связи идеальны по Лагранжу, т.е.
3
n
 Ni  ri  0 .
(5)
i 1
В преобразованиях (4) qj(t) – переменные Лагранжа или обобщенные
координаты, выбор которых, в каждом конкретном случае, зависит от кинематики МС. В (5) величины ri есть вариации радиус-векторов точек МС
и связаны они с вариациями переменных Лагранжа qj равенствами:
3n   r
(6)
ri   i q j (i = 1, 2, …, n).
j 1 q j
В равенствах (6) все вариации обобщенных координат независимы.
Преобразуем левую часть равенства (5) на основании соотношений (6):
3n    n
r
N


r

 i i    N i  i
q j
i 1
j 1  i 1
n

 q j .


Тогда
n
r 
   N i  i  q j  0 .
3n  
(7)
q j 
 i 1
Так как все вариации переменных Лагранжа независимы, то все коэффициенты при них в равенстве (6) равны нулю и, следовательно,
j 1
n
 Ni 
i 1
ri
 0 (j = 1, 2, …, 3n–) .
q j
(8)
Левые части этих равенств назовем обобщенными реакциями связей.
Таким образом, если связи идеальны по Лагранжу, то все обобщенные реакции связей равны нулю.
d
Вторая аксиома Ньютона  (mv )  F  , на основании аксиомы
 dt

связей, перепишется для i-й точки МС в виде:
(9)
mi ri  Fi  N i .
Равенства Лагранжа
Нетрудно доказать следующие равенства (самостоятельно):
ri
r
 i ,
q j q j
d  ri  ri


,
dt  q j  q j
ri
ri

,
(k )
q j
q j
(k )
n
T ( k )
T ( k )
T
ri
T



k
m
r

,


(
k

1
)

i
i
(k )
q j
q j q (jk 1) q j
i 1
q j
4
ri
ri

k
,
( k 1)
q j
q j
(k )
(k = 0, 1, 2, 3, …) . (10)
Вывод уравнений
Продифференцируем по обобщенной скорости кинетическую энергию МС, которая есть функция обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени, и, следовательно,
n
n
T
r
r
(11)
  mi ri  i (10)  mi ri  i .
q j i 1
q j
q j
i 1
Определим абсолютную производную по времени от обеих частей
равенства (11):
n
n
d T
r
r
(12)
  mi ri 
  mi ri  i .
dt q j i 1
q j i 1
q j
Вторая сумма в левой части равенства (12) есть производная от кинетической энергии МС по обобщенной координате:
n
ri
 n mi  2 T

.
(13)
m
r


 ii
 ri 
q j q j i 1 2
q j
i 1
Оставшаяся сумма, на основании аксиомы Ньютона и равенств нулю
обобщенных реакций связей, равна обобщенной силе.
Действительно
n
n
n
r
r
r
 mi ri  i   Fi  Ni   i   Fi  i  Q j (j = 1,2,3,…,3n–) . (14)
q j i 1
q j i 1
q j
i 1
Окончательно выражение (12) принимает вид уравнений Лагранжа
d T T
(15)

 Qj .
dt q j q j
Уравнения (15) можно получить и исходя из уравнений движения
МС, для этого умножим скалярно уравнение (9) на частную производную
от i-го радиус-вектора по j-й переменной Лагранжа и проссумируем по
числу точек, образующих МС, и запишем
n
n
n
d 2 ri ri
r
r
  Fi  i   N i  i .
 mi 2 
i 1
dt q j i 1
q j i 1
q j
Вторая сумма в этом уравнении есть обобщенная реакция связи отнесенная к j-й переменной Лагранжа, равна нулю. Первая сумма, в той же части
уравнения, есть обобщенная сила отнесенная к той же переменной qj, т.е.
n
r
 Fi  i  Q j .
i 1
q j
Правая часть уравнения на основании равенств (10) преобразуется
d 2 ri ri
dr r  n
dr d  r 
dn
   mi i  i    mi i   i  
 mi 2 
i 1
dt q j dt  i 1 dt q j  i 1` dt dt  q j  (10)
r  n
r
dn
d T T
   mi ri  i    mi ri  i 

.
dt  i 1
q j  i 1
q j (11),(13) dt q j q j
n
5
Замечания
1. На основании равенств Лагранжа (10) уравнения (15) можно переписать в других, эквивалентных исходному, видах:
~
T
~ n m
 Q j , где T   i ri 2 – энергия ускорений;
(16)
i 1 2
q j
T ( k )
T
 (k  1)
 kQ j ,
(k )
q j
q j
или
(k  1)
d T T ( k )

 Q j (k = 0, 1, 2, 3, …) .
dt q j q j ( k )
(17)
(18)
2. Интегрирование уравнений Лагранжа проводится с учетом
начальных условий, следующих из принципа определяемости (детерминированности) Ньютона, которые в переменных Лагранжа перепишутся в виде:
при t = t0:
q j  q 0j , q j  q 0j .
(19)
3. Отметим, что при k=0 уравнение (18) принимает вид уравнений
(15), а при k1 в нем не содержатся слагаемые, содержащие производных
по обобщенным координатам.
План решения задач на основе уравнений Лагранжа
– Изобразить МС, связи и силы, наложенные на неё;
– ввести инерциальную систему отсчета и подходящую систему координат, «вмороженную» в неё;
– установить число степеней свободы МС (3n–);
– выбрать переменные Лагранжа qj(t) (обобщенные координаты) и
конкретизировать для данной задачи преобразования Лагранжа (4);
– определить производные
суммы скалярных произведений:
n
r
Q j   Fi  i
q j
i 1
ri
, вычислить обобщенные силы, как
q j
(j = 1, 2, …, 3n–);
(20)
n m
– определить кинетическую энергию МС  T   i ri2  и производi 1 2


ные от неё:
T T d T
;
(21)
,
,
q j q j dt q j
6
– составить уравнения Лагранжа (15) на основании полученных выражений для слагаемых, содержащихся в них;
– проинтегрировать полученную систему дифференциальных уравнений с учетом начальных условий (19);
– подставить интегралы уравнений Лагранжа (qj=qj(t)) в преобразования Лагранжа (4) и провести анализ движения МС, относительно полюса
О, «вмороженного» в инерциальную систему отсчета, в трехмерном Евклидовом пространстве.
2. ДВОЙНОЙ ПЛОСКИЙ ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
Двойной плоский физический маятник: к концам двух однородных
стержней, массы которых M1 и M2, а длины – l1, l2, прикреплены сосредоточенные массы m1 и m 2 . Стержни связаны между собой шарниром, конец
одного из них шарнирно закреплен в точке О (рис. 1). МС находится в однородном поле тяжести интенсивностью g . Получить уравнения движения
МС в переменных Лагранжа.
Линеаризировать полученные уравнения в предположении, что величины qj и q j , малые первого порядка малости, а стержни невесомы.
R1
e2
g
r2
О
M1
d1 g
l1
R2
e1
M2
d 2 g
l2
q1
1
r1
m2 g
А1
m1 g
q2
2
А2
Рис. 1
7
На рис. 1 обозначено: r1 , r2 – радиус-векторы точечных масс Ak
(k=1,2) относительно полюса О; mk g – силы тяжести, приложенные к точкам Ak; k – расстояния от точек О и A1 до произвольных «точек» на стержM
нях массами k dk ; Rk – радиус-векторы, определяющие положения этих
lk
«точек» (элементы стержней, длины которых dk) относительно полюса О;
qk=k – переменные Лагранжа – углы между вертикалью и стержнями; e k –
базисная двойка векторов.
Решение. МС имеет две степени свободы. Преобразования Лагранжа
запишутся:
r1  l1 sin (1 ) e1  l1 cos (1 ) e2 ;
(22)
R1  1 sin (1 ) e1  1 cos(1 ) e2 ;
r2  (l1 sin (1 )  l 2 sin ( 2 )) e1  (l1 cos (1 )  l2 cos ( 2 )) e2 ;
R2  (l1 sin (1 )   2 sin (2 )) e1  (l1 cos(1 )   2 cos(2 )) e2 .
Обобщенные силы на основании (20) запишем
r1
r2 M 1 l1 R1
M 2 l2 R2
Qk  g  m1
 m2

d1 
d 2 (k = 1, 2). (23)


 k
 k
l1 0  k
l2 0  k
Далее, вычисляя производные, интегралы и скалярные произведения,
запишем окончательные выражения для обобщенных сил:
M
Q1   g l1 m1  1  M 2  m2 sin (1 );
2
(24)
M2 

Q2   g l 2  m2 
 sin ( 2 ).
2 

Кинетическая энергия рассматриваемой МС:
m 2 m 2 M l1 2
M l2 2
(25)
T  1 r1  2 r2  1  R1 d1  2  R 2 d 2
2
2
2l1 0
2l2 0
преобразуется к виду:
m 2
m
M l2
T  1 l1  12  2 l12  12  l 22  22  2 l1l 2  1 2 cos (1   2 )  1 1  12 
2
2
6
(26)
2
M 2 2 2 l2 2

l1  1   2  2 l1l 2  1  2 cos (1   2 ) .
2
3
Определяя производные (21) с учетом (26) и выражений для обобщенных сил (24), получим уравнения движения МС в переменных Лагранжа:
1
1
1  l1l2  m2  M 2  cos (1   2 ) 
 2 
l12  m1  m2  M 1  M 2  
3
2




1
1
 l1l2  m2  M 2  sin (1   2 )  22   gl1  m1  m2  M 1  M 2  sin( 1 );
2
2




8
1
1
1  l22  m2  M 2  
 2 
l1l2  m2  M 2  cos (1   2 ) 
3
3




(27)
1
1




2
 l1l2  m2  M 2  sin (1   2 )  1   gl2  m2  M 2  sin ( 2 ) .
2
2




Система нелинейных дифференциальных уравнений (27) описывает
движение двойного физического маятника в переменных Лагранжа.
Если повороты и скорости поворотов элементов МС малы, а массы
стержней не учитываются, то система (27) преобразуется к виду:
1  l 2 m2 
 2  g (m1  m2 ) 1  0 ;
l1 (m1  m 2 ) 
1  l2
 2  g2  0 .
l1
(28)
В (28) представлена линейная однородная система дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами относительно функций k(t)
(k=1,2).
Интегрирование полученных уравнений проводится с учетом
k 
 0k .
начальных условий (19). При t=0: k  0k , 
Если l2=0, m2=M2=0, то первое уравнение системы (27) принимает
вид уравнения математического маятника
d 21 g
 sin 1  0 .
dt 2
l1
Интегрирование этого нелинейного уравнения приводится ниже
(см. задачу 8).
При 1<<1 движение сосредоточенной массы вблизи положения равновесия, sin 11 и уравнение принимает вид обыкновенного однородного
дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:
d 21
 k 21  0 , где k 2  g / l .
2
dt
Решение этого уравнения определяется стандартным образом и имеет вид:
1 (t )  a sin (k t  ) .
Модуль вектора поворота маятника изменяется во времени по закону
синуса. Обозначим через Т период колебания маятника и запишем условия:
1 (T  t )  1 (t ) ,  1 (T  t )   1 (t ) .
Откуда на основании интеграла уравнения получим
l
kT  2  T  2 
.
g
9
3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
МЕХАНИКИ
Сведения из теории
Рассмотрим механическую систему n материальных точек, движущуюся относительно полюса О, «вмороженного» в инерциальную систему
отсчета. На МС наложены геометрические связи, уравнения которых
f l (ri , t )  0 (l = 1, 2,…; i = 1, 2,…n).
(29)
Mеханическое состояние МС в данный момент времени «t» определяется совокупностью величин:
(k )
ri , ri , ri ... ri , Fi , N i , mi ,
(30)
где mi – масса i-й точки МС; ri (t ) – радиус-вектор, описывающий движение i-й точки относительно полюса О; N i – реакции связей, введенные в
рассмотрение стандартным образом, на основании аксиомы связей; Fi –
активные силы.
Во всех дифференциальных вариационных принципах механики рассматриваются мгновенные состояния МС, соответствующие моменту времени «t», и виртуальные изменения из этого состояния только одной из
векторных величин
ri (t ) (l = 1, 2, …k), т.е. ri (l ) .
Принцип Д’Аламбера – Лагранжа (D’Alambert J.le R. 1717-1783,
Lagranje J.L. 1736-1813) является объединением принципа возможных пе(l )
ремещений
Лагранжа
n
(  Pi  ri  0,
где
i 1
Pi  Fi  Ni )
и
принципа
Д’Аламбера, согласно которому совокупность сил инерции ( mii ri ) , активных сил и реакций связей, приложенных к точкам МС, эквивалентна нулю
 mi ri , Fi , Ni   0 ,
и, следовательно, главный вектор и главный момент этой системы сил равны нулю
n
n
i 1
i 1
 (mi ri  Fi  N i )  0,  ri  (mi ri  Fi  N i )  0 .
Вариационное уравнение Д’Аламбера – Лагранжа, содержащее только вариации радиус-векторов точек МС, имеет вид:
n
 (mi ri  Pi )  ri  0
i 1
или, если выделить реакции связей,
10
(31)
n
n
i 1
i 1
 (mi ri  Fi )  ri   N i  ri  0 .
(32)
В дальнейшем рассматриваются такие МС, для которых сумма скалярных произведений (по всем точкам МС) реакций связей на вариации
радиус-векторов равна нулю:
n 
(33)
 Ni  ri  0 .
i 1
Такие связи называют идеальными по Лагранжу. Отметим, что «идеальность по Лагранжу» перестает быть справедливой как только учитываются силы трения. Такие МС в дальнейшем не рассматриваем.
Вариационное уравнение в случае идеальных по Лагранжу связей запишем
n
 (mi ri  F i)  ri  0 ,
(34)
i 1
что позволяет сформулировать: из всевозможных движений МС, согласованных со связями в данный момент времени t и различающихся траекториями (варьируются только радиус-векторы, описывающие траектории точек МС), уравнение (34) справедливо только в истинном движении МС.
Принцип Журдена (Jourdain Philip 1879-1919). В этом вариационном
принципе видоизменяются (варьируются) только скорости ri точек МС.
Вариационное уравнение выводится по той же схеме и имеет вид:
n
n
i 1
i 1
 (mi ri  Fi )  ri   Ni  ri  0 .
(35)
В случае идеальных по Журдену связей
n
 Ni  ri  0
(36)
 (mi r  Fi )  ri  0
(37)
i 1
уравнение (35) перепишется
n
i 1
и позволяет сформулировать: из всевозможных движений МС, согласованных со связями в данный момент времени t и различающихся скоростями
точек МС, вариационное уравнение (37) справедливо только в истинном
движении МС.
Дифференциальный вариационный принцип Гаусса (Gauss Carl Friedrich 1777-1855) выводится из тех же посылок и, в предположении
n
 Ni  ri  0 (связи идеальны по Гауссу), приводит к вариационному уравi 1
нению:
n
 (mi ri  Fi )  ri  0 ,
(38)
i 1
11
согласно которому из всевозможных движений МС, согласованных со связями в данный момент времени t и различающихся ускорениями, уравнение (38) справедливо только в истинном движении МС.
Вариационное уравнение (38) можно преобразовать к несколько
иному виду, полезному в практических целях. Для этого умножим обе части уравнения (38) на (–1) и вынесем массу за скобку, тогда
n
F 

(39)
 mi  ri  i   ri  0 .
mi 
i 1

F 
Так как варьируются только ускорения, то  i   0 и, следовательно,
 mi 
F 

ri    ri  i  ,
mi 

что позволяет переписать уравнение (39) в виде:
n
F  
F 

 mi  ri  i    ri  i   0 .
mi  
mi 
i 1

Откуда получим
m
  i
i 1 2
n
  Fi 
 ri  
mi 

2
 0,
(40)
F
где ri – истинное ускорение i-й точки МС; i  wi – ускорение, которое
mi
имела та же точка, если бы на нее не были наложены связи. Тогда разность
ri  wi есть изменение истинного ускорения точки в предположении, что с
нее мгновенно сняли связи.
Сумму под знаком вариации в (40) назовем функцией Гаусса. Вариационное уравнение

n
mi
 2 (r  w
i 1
i
 2
i
)
0
(41)
позволяет сформулировать: из всевозможных движений МС, согласованных со связями и различающихся ускорениями в данный момент времени
t, истинное движение таково, что вариация функции Гаусса при истинном
движении равна нулю.
4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ОСНОВЕ ВАРИАЦИОННЫХ
УРАВНЕНИЙ
Задача 1. Прямоугольный однородный брусок массы М находится на
k катках в виде однородных круглых цилиндров одинаковых масс m и радиусов R. К торцу бруса приложена сила F (t ) . Определить мгновенное угловое ускорение, если цилиндры без проскальзывания катятся по прямой l.
12
ri
Rj
С
ri
Mig
j
 j
F (t )
R
mjg
l
O*
О
Рис. 2
На рис. 2 обозначено: С – центры цилиндров; O* – мгновенные центры
скоростей цилиндров; ri – виртуальное перемещение i-й точки бруса;  j –
виртуальное перемещение j-й точки цилиндра относительно O*; ri , R j – радиус-векторы, описывающие движения этих точек относительно полюса О.
Решение. Изобразим элемент МС «катки-брус» (рис. 3). Обозначим
через А(mA) точку приложения силы F . Радиус-векторы и вариации радиус-векторов связаны равенствами
R j  OO    j  R j    j , R   j   j .
(42)
Вариационное уравнение Д’Аламбера – Лагранжа запишется


 (mi ri  mi g )  ri  (mArA  mA g  F )  rA  k  (M j R j  M j g )  R j  0 . (43)
i 1
j 1
Брус совершает поступательное движение, следовательно;
  2R ,
(44)
ri  rA    2R , ri  rA  
где  – вектор поворота, перпендикулярный к плоскости фигур, следовательно, и к любому вектору в этой плоскости. Далее для цилиндров запишем
  w (o )     2 R  
   j   2  j ; R j    j     j .
R
(45)
j
j
На основании равенств (44), (45) вариационное уравнение (43) перепишется
 m  2R  mg  F     2R 

(46)
   j  M j  2  j  M j g      j  0 ,
 k   M j  2 R  M j 
j 1

где m   mi – масса бруса.
i 1
13
Учитывая свойство цикличности перестановок элементов смешанного произведения, выделим коэффициенты при вариации вектора поворота
 в уравнении (46)
  2 R  mg  F  
   2 R   m 
   j  M j  2  j  M j g )   0 .
 k   j   M j  2 R  M j 

j 1
В силу произвольности вектора  второй вектор (а это сумма в ломаных скобках) в скалярном произведении должен быть равен нулю.
Это и есть разрешающее уравнение для мгновенного углового ускорения  , которое запишется, на основании определения двойного векторного произведения, в виде:


j 1
j 1
  2 R  F  k  M j  2j 
  k   j  M j g  0 .
 4m R 2 
(47)
На основании теоремы статики (если начала радиус-векторов, определяющих положения точечных масс МС, находятся в центре масс этой
МС, то сумма произведений масс точек МС на эти радиус-векторы равна
нулю) последняя сумма в уравнении (47) равна нулю. Действительно



j 1
j 1
j 1
  j  M j g   ( R  j )  M j g  0 , т.к.  M j j  0 и R  g .
Решение запишется
 
2R  F
,

4mR  k  M j 
2
j 1
(48)
2
j

где  M j  2j =I(О*) – полярный момент инерции k-го цилиндра, вычисленный
j 1
относительно полюса О* – мгновенного центра скоростей этого цилиндра.
На основании теоремы Гюйгенса I(О*) можно выразить через I(С)
3
I(О*) = I ( C ) +M R 2 = MR2 .
2
Ускорение бруса равно

  2 R  (2 R  F )  2 R , M   M j .
(49)

j 1
 4m  k 3 M  R 2


2 

Ускорение любой точки катка определяется по (45), где угловая скорость  определяется путем интегрирования уравнения (49), и с учетом
начальных условий при t = 0   0 (МС в начальный момент времени
находилась в покое) запишем
2 R   F (t ) dt
.
 

2
2
4m R  kM j j
j 1
14
Задача 2. Решение на основе вариационного уравнения Гаусса.
Запишем функцию Гаусса для данной МС

2

 M
2
m
F 

j 
(50)
   i  ri   g     k 
Rj  g ,
mi  
i 1 2 
j 1 2

которая, на основании тех же кинематических соотношений (45), преобразуется к виду:
2
 M
m  
F 

j
   j   2  j  g ) 2 . (51)
     2R   g     k 
(  2 R  
2
m 
j 1 2

Вычислим вариацию функции Гаусса по мгновенному угловому
 и приравняем её к нулю
ускорению 
F   
 

 (  )   m 
 2 R   g     
 2R 
m 


(52)

2
2






 k  M j (  R     j    j  g )     j  0 .

j 1
Далее, рассуждая по той же схеме, выделим коэффициент при вариа  ......  0) и,
ции углового ускорения в вариационном уравнении (52) ( 
приравнивая его к нулю, получим уравнение (47).
Аi
rA
mi g
F (t )
Rj
 j
А
ri
ri
M jg
С

О
R
ÎÎ

 j
j
О*
Рис. 3
При решении задач использовался тот факт, что ускорение мгновенного центра скоростей k-го цилиндра, т.е. точка O , равно
 2R .
(53)
W (O )  
Действительно, ускорение центра масс цилиндра запишется
15
  R  
 2R .
(54)
W (C )  W (O )  
Центр масс перемещается по прямой, параллельной платформе и,
следовательно,
W (C ) R
в любой момент времени. Умножим обе части равенства (54) скалярно на
вектор R , тогда
 2R)  R ,
(53)
0  (W (O )  
что и требовалось доказать.
Задача 3. Один конец нерастяжимой нити обмотан вокруг однородного круглого цилиндра радиуса R, второй конец прикреплен к неподвижной точке О (рис. 4).
Цилиндр, разматывая нить, опускается вниз, раскачиваясь вокруг
перпендикулярной к плоскости движения оси, проходящей через точку
подвеса О. Пренебрегая массой нити, составить уравнения движения цилиндра в вариационной и дифференциальной формах.
OA  const
A
O
q  i


e3
R
ri

С
q
Сi
O
mi g

i
Рис. 4
16
Решение. МС имеет две степени свободы. Положение произвольной
точки Ci цилиндра относительно полюса О определяет радиус-вектор ri (t ) ,
который представим в виде суммы векторов
(55)
ri  OA  q  i ,
где q (t ) – определяет положение мгновенного центра поворота цилиндра
О* относительно точки А; i (t ) – определяет положение произвольной
точки Ci цилиндра относительно мгновенного центра поворота О*; OA –
векторная постоянная.
Положение цилиндра в любой момент времени t определяется мгновенными аксиальными векторами поворотов: (t ) – вектор поворота нити,
по которой «скатывается» цилиндр;  (t ) – мгновенный вектор поворота
цилиндра. При этом очевидно    .
Дифференцируя равенство (55), получим:
ri    (q   i )    i .
(56)
Повторное дифференцирование (55) определяет ускорение i-й точки
цилиндра
  (q  i )  
  (
  (q  i ))  
 2R  
  i  
 2 i .
ri  
(57)
Вариация радиус-вектора i-й точки цилиндра связана с вариациями
векторов поворота равенством
ri    (q  i )    i .
(58)
Вариационное уравнение Д’Аламбера – Лагранжа запишется
 
  (q  i )    (   (q  i ))  
 2R  
  i  
 2 i )  mi g 
 mi 
.
 (   ( q   )      )  0 
i 1
i
i
Выделяя коэффициенты при вариациях векторов-поворотов и приравнивая их к нулю, получим:
3
  m  2 R  q  3 m R 2 
  m R  g  0 ;
(59)
 m R2
2
2
  m 
 2q  R  m q  g  0 .
(60)
 m q2 
Умножая каждое из полученных уравнений скалярно на e3 и учитывая, что
  q / R ,

перепишем уравнения в функциях (t ) и q(t )
2
2
  q  2  cos () g ;
(61)
q  R 
3
3
  R q 
 2  qg sin () .
q 2
Задача 4. Составить уравнение движения маятника в векторной
форме, состоящего из материальной точки М массы m, подвешенной на
17
нерастяжимой нити, навернутой на неподвижный цилиндр радиуса R.
Длина свисающей в положении равновесия части нити равна l (рис. 5).
Решение. МС имеет одну степень свободы ( (t ) ). Радиус-вектор,
описывающий движение точечной массы М, связан с векторами R и L равенством r  R  L , дифференцируя которое по времени получим:
r  R  L    L , т.к. R  V (O )  0 .
Повторное дифференцирование позволяет определить ускорение
точки М
  L   2 L .
r   2 R  
(62)
  2 R
О*
R
L  R l

C

r (t )
Массу нити
не учитывать
M
l
mi g
M
Рис. 5
Вариация радиус-вектора связана с вариацией вектора поворота равенством
r     L .
(63)
Вариационное уравнение Д’Аламбера – Лагранжа примет вид:
  L  
 2R  
 2 L  g )    L  0 .
(64)
(
Откуда на основании аналогичных преобразований получим уравнение:
  L )  
 2 L  (R  L )  L  g  0 .
(65)
 L  (
Функция Гаусса для рассматриваемого маятника запишется
m
  L   2 L  g 2 .
(66)
    2 R  
2
18
Задача 5. К окружности радиуса R шарнирно прикреплен рычаг, на
концах которого сосредоточенные массы mi, удаленные от шарнира А на
расстояние li (i=1,2). Сам рычаг может перемещаться только в плоскости
диска, который вращается с постоянной угловой скоростью   const ,
перпендикулярной плоскости диска. Составить уравнение движения рычага в векторной форме и определить значения геометрических величин, когда рычаг находится в положении относительного равновесия (рис. 6).
Решение. МС имеет одну степень свободы ((t)). Дифференцируя по
времени радиус-векторы, описывающие движение точечных масс ri  R  li
получим:
  ( R  li )  
  li , ri    li (i = 1, 2) ;
ri  
  li  
ri  
 2 ( R  li )  
 2li .
  t
r2
R
e2

e3
e1
l2
С


r1
А
m2 g
l1
m1 g
Рис. 6
Вариационное уравнение Д’Аламбера – Лагранжа запишется
2
  li  
 2li   2 ( R  li ))  mi g ]    li  0 .
[mi (
i 1
Выделяя стандартным образом коэффициент при вариации  , в
этом уравнении получим уравнение движения рычага
 (m1l12  m2l22 )  
 2 (m1l1  m2l2 )  R  (m1l1  m2l2 )  g  0 .
(67)

19
Так как векторные произведения принадлежат плоскости диска

li  g  (e1, e2 ) , то умножая уравнение (67) скалярно на e3 , получим
 (m1l12  m2l22 )  
 2 R (m1l1  m2l2 ) cos(t  )  0.

Положение относительного равновесия возможно, если l1 l 2 или

t     .
2
Задача 6. Задача Бегена (Beghin H.) Тонкая однородная пластинка
массы М может без трения вращаться вокруг вертикальной оси l, параллельной одной из ее сторон и проходящей через ее центр масс С
( l 0  e3  g ). По прямолинейному каналу (рис. 7) перемещается частица
массы m. Необходимо определить уравнения движения частицы, если угол
наклона канала к прямой l  = const.

R
Mig
r
Ri
e3
mg
О
С
îñ

e2
e1
l

Рис. 7
Решение. МС «пластинка-частица» имеет две степени свободы
( r ,  ). Радиус-векторы R, Ri , описывающие движения частицы по каналу и
i-й частицы пластинки, представим в виде сумм:
R  OC  r ; Ri  OC  ri i = 1, 2, 3, … .
20
(68)
Радиус-вектор r (t ) описывает движение точечной массы относительно пластинки (неинерциальной системы отсчета) и «вмороженной» в
нее системы координат {e j }c (j=1,2,3); ri (t )  описывает движение i-й частицы пластинки относительно инерциальной системы отсчета и «вмороженного» в нее полюса С.
Дифференцируя равенства (68) по времени (с учетом известного из
кинематики сложного движения точки, связи между абсолютной и локаль~
da 
ной производной от векторной функции –
   a  a ), получим:
dt
~
~
~
  
  ri ,
  r  r , R
  r  
  (
  r )  r  2
  r , Ri  
R  
  
  ri  
  (
  ri ) , R    r  ~
r , Ri    ri .
(69)
R
i
Вариационное уравнение Д’Аламбера – Лагранжа с учетом (69) запишется
~
  r  m
  (
  r )  m2
  r  mr  mg )  (  r  ~
(m
r)

(70)
  ri  M i 
  (
  ri )  M i g     ri  0 .
   M i 
i 1
Выделяя и приравнивая к нулю коэффициенты при вариациях r и
 в уравнении (70), получим:
 2  g cos () ,
r  sin 2 () r 
  2 m sin 2 () r r 
  0,
( I ll  m r 2 sin 2 ()) 

где I ll  sin 2 () M i ri – момент инерции пластинки относительно оси
2
i 1
вращения l ( e3 ).
Задача 7. Однородный стержень АВ (рис. 8) массы m подвешен в
точке О на двух нерастяжимых нитях равной с ним длины l. Определить
натяжение одной нити в момент обрыва другой.
Решение. При выводе уравнений движения будем исходить из вариационного принципа Гаусса. МС «стержень-нить», начиная с момента обрыва одной из нити, имеет две степени свободы. Обозначим через (t ) и
 (t ) независимые вектора поворота. При этом очевидно
1
(71)
(t )  (  )  (t ) ,  (t )    (t ) ,
2

где   , (0)  (0)  0 . Дифференцируя равенства (71) по времени по3
лучим:
  
 , 
 
 , 
  
  .
    , 
(72)
21
e3
О
l

l0
Mi
g
ri

В
А

i
mi g
Рис. 8
Функция Гаусса запишется
 m
  l   2 l  
  i  
 2 i  g ) 2 .
(73)
   i (
i 1 2
Вычислим частные вариации    и    от функции (73) и приравняем их к нулю

  l   2 l  
  i  
  l  0 ;
 2 i  g   
 mi 
i 1

  l   2 l  
  i  
  i  0 .
 2 i  g   
 mi 
(74)
i 1
Далее, выделим коэффициенты при вариациях в уравнениях (74), отбрасывая предварительно слагаемые второго порядка малости –  2 l и
 2 i (т.к. нас интересует поведение стержня на временном интервале

[0,t*), t*<<1), и приравняем их к нулю

   l   mi i  
  m l  g  0 ;
ml2 
 i 1



2 
  m   l  


(75)

m




 i i
 mi i  g  0 .
 i 1 i i 
i 1
i 1
Стержень по условию задачи однородный, следовательно моменты
инерции в уравнениях (75) равны:

ml
1


(76)
 mi i     d   0  m l 0 ,
2
i 1
l 0

где 0 (t ) – единичная вектор-функция и 0  i  i .
Умножим каждое из уравнений системы (75) скалярно на единичный
вектор e3 (рис. 8) и перепишем систему после ряда стандартных преобразований в виде:
22
cos 
g

   sin ;

2
l
2
cos 
1
g
  
  .
(77)


2
3
2l
Получили линейную неоднородную алгебраическую систему отно и 
 , решение которой определяется стансительно угловых ускорений 
дартным образом на основании процедуры Крамера.
Для определения натяжения нити Т воспользуемся аксиомой связи и
запишем
 


 mi ri  T  m g ,
(78)
i 1

  l  
  i для t<<1.
где m   mi , ri  
i 1
Умножая скалярно равенство (78) на единичную вектор-функцию l 0
(рис. 9), получим выражение для усилия Т
l

  g  cos и при    / 3 Т = 0,266 m g .
T  m  
2
2

/2
g
l0
T

B
A
mi g
Рис. 9
Задача 8. Математический маятник. Точечная масса m подвешена
на нерастяжимой нити длинной l, другой конец которой прикреплен к неподвижной точке О (рис. 10).
Маятник находится в однородном поле тяжести интенсивности g .
Исходя из вариационного уравнения Гаусса, получить уравнение
движения и закон движения точечной массы. Массу нити не учитывать.
Решение. МС имеет одну степень свободы – вектор поворота  .
Ускорение точечной массы запишется
  l   2l .
w
(79)
23
Если снять связь (убрать нить), то ускорение точечной массы будет
g . Функция Гаусса примет вид
m 
(   l   2 l  g ) 2 .
2
Вариационное уравнение запишется
  l  
  l  0 ,
 2 l  g )  
(

(80)
  l  
 2l  g )  0 .
l  (
(81)
откуда получим

О
  2l

e3
  l

l
mg
Рис. 10
Раскрывая стандартным образом двойное векторное произведение в
уравнении (81), запишем
d 2 1
 l g  0.
(82)
d t2 l2
Умножая уравнение (82) скалярно на единичный вектор e3 (рис. 10),
запишем нелинейное дифференциальное уравнений второго порядка относительно функции (t )
d 2
 k 2 sin (t )  0 , k 2  g / l .
(83)
2
dt
d 2  d d 


d ,
Уравнение (83), на основании преобразования
dt 2
dt d d
перепишется
 d
  k 2 sin  d  0 .
(84)

Интегрируя (84), получим
24
 2
 k 2 cos  c .
2
Постоянную С определим из условия, если
  0.
  max   , то 
Тогда c  k 2 cos  и уравнение (85) примет вид
d
 2 k dt .
cos   cos 
Преобразуем подкоренное выражение по схеме

2



cos  cos  cos2  sin 2  1  2 sin 2 , cos  1  2 sin 2 .
2
2
2
2
2
Подставим (88) в уравнение (87)
d
 2k dt .



sin 2
 sin 2
2
2
Введем новую переменную , связанную с переменной :


sin  sin sin 
2
2
и перепишем уравнение (89)
d
 2k  dt ,
cos 
где

  sin .
2
Далее, исходя из равенства (90), получим:
2 cos  d
;
d 
cos 
(91) 
( 92)
d
1   2 sin 2 
 kdt .
(85)
(86)
(87)
(88)
(89)
(90)
(91)
(92)
(93)
Так как при t=0 =0, то из (90) следует, что и   0 , следовательно,
(93) интегрируется в пределах [0,] и [0,t]

d
 kt .
(94)

2
2
0 1   sin 
Левая часть равенства (94) есть эллиптический интеграл первого рода. Этот интеграл есть функция верхнего предела  и величины , тогда

  am 
0
d
1   2 sin 2 
 am u
(95)
25
 называется амплитудой интеграла u.
Возьмем от обеих частей равенства (95) «sin» и запишем
sin  = sin (am u );
(96)

  sin    sin( am kt ) .
( 96)
2
Закон движения маятника, выраженный через эллиптическую функцию, имеет вид:


sin = sin
sin (am [kt]) .
2
2
Так как при =0 и =0, при =* =/2,что следует из (90), то из положения =0 в =* маятник приходит за Т/4 – четверть периода, следовательно
T /2
d
k  
.
(97)
4
1  2 sin 2 
0
Разложим подынтегральную функцию в ряд, тогда
/2
d  / 2  1 2
1 3 4
1 3  5 6
  1   sin 2  
 sin 4  
 sin 6   ... d . (98)

24
246

... 0  2
0
Известно, что
 (2n  1)
/2

n
1, 2
2n
.
(99)
 sin  d  2
0
 2n
(90)  sin
n 1, 2
Тогда
2


  1 2

1 3 

2 
4 
1

sin

sin

...
(100)




 2
.
2  24
2


Как видим, чем больше предельный угол отклонения маятника от
вертикали, тем больше период колебаний.
 


При   1 sin
и из (100) во втором приближении получим
2
2
l  (  ) 2 
T  2
1
.
g 
16 
l
(97)  Т=2 
( 98, 99)
g
26
5. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Груз А массой m прикреплен пружинами заданных жесткостей к
платформе, по которой он может скользить без трения. Массы колес платформы равномерно распределены по ободу (рис. 11). Считая, что колеса
катятся без скольжения, определить движение платформы, если груз в
начальный момент времени был отклонен от положения равновесия на
расстояние l и отпущен без начальной скорости.
2. В прямоугольной призме А, стоящей на гладкой горизонтальной
плоскости, вырезана цилиндрическая полость, внутри которой может кататься без скольжения однородный цилиндр, масса m которого в три раза
меньше массы призмы (рис. 12). Определить ускорение призмы. Расстояние между осями цилиндров равно l.
3. Трехгранная призма А массы m скользит по гладкой наклонной
плоскости, образующей угол  с горизонтом. По грани призмы А скатывается без проскальзывания тонкостенный цилиндр В. масса которого в два
раза меньше массы призмы (рис. 13). Найти ускорение призмы и ускорение
центра цилиндра.
4. В цилиндрической полости радиуса R прямоугольной призмы А,
стоящей неподвижно на горизонтальной плоскости, находится полый цилиндр В, который может скользить без трения по внутренней полости
призмы А. Внутри цилиндра катается без проскальзывания однородный
цилиндр, масса которого m в четыре раза меньше массы цилиндра А, а радиус равен r (рис. 14). Составить уравнения движения механической системы. Толщина стенки полого цилиндра h.
5. По гладкой наклонной плоскости призмы А скатывается призма В
(рис. 15). Определить законы движений призм, если призма А соединена с
вертикальной стенкой пружиной жесткости С и скользит без трения по горизонтальной плоскости. В начальный момент времени МС находилась в
покое.
6. Треугольная призма А массы m связана с вертикальной стенкой
пружиной заданной жесткости С и скользит без трения по горизонтальной
плоскости. По плоскости призмы А катится без скольжения однородный
сплошной цилиндр массы М (рис. 16). Найти ускорение призмы и оси цилиндра.
7. Цилиндр А обмотан нитью, конец которой навит на цилиндр В,
жестко связанный с цилиндром С. На цилиндр С намотана нить, конец которой закреплен в точке Д (рис. 17). Считая известными радиусы цилиндров и их массы, определить натяжения нитей.
27
8. МС состоит из призмы А, массы М и однородного тонкостенного
цилиндра массы m. Цилиндр обмотан нерастяжимой нитью закрепленной
на призме так, что нить параллельна наклонной грани призмы (рис. 18).
Определить ускорения оси цилиндра и призмы, если угол наклона грани к
неподвижной плоскости .
9. По гладкой плоскости, составляющей с горизонтом угол , движется плита А массой m. Плита связана с неподвижной плоскостью пружиной, жесткость которой С. На поверхности плиты находится однородный круглый цилиндр В, масса которого М. Цилиндр катится по плите без
скольжения (рис. 19). Определить ускорение плиты и мгновенное угловое
ускорение цилиндра.
10. Вывести уравнения движения двойного плоского физического
маятника, изображенного на рис. 20, длины стержней которого соответственно l1 и l2.
11. Плоский маятник в виде стержня длиной l с двумя сосредоточенными на концах массами m1 и m2 совершает движение по горизонтальной
прямой (рис. 21). Вывести уравнения движения МС.
12. Один из концов стержня длиной l и массой М движется по внутренней гладкой поверхности неподвижного цилиндра радиуса R. К другому концу стержня прикреплена материальная точка массой m. Получить
уравнения движения МС (рис. 22). Рассмотреть случай, когда масса стержня сосредоточена на конце, скользящем по окружности.
13. Тяжелый круглый полый цилиндр массы М обмотан нитью, конец которой закреплен неподвижно (рис. 23). Цилиндр падает без начальной скорости, разматывая нить. Вывести уравнения движения МС. Определить силу натяжения нити и скорость оси цилиндра в момент, когда она
опустится на высоту h.
14. Треугольная призма под действием силы F скользит по гладкой
горизонтальной плоскости. Над призмой расположен невесомый вертикальный стержень, один конец которого находится на гладкой плоскости
призмы, а к другому с помощью нити длиной l крепится точечная масса.
Вывести уравнения движения МС (рис. 24). Рассмотреть случай тяжелого
стержня (масса – m1, длина – а).
15. Точечная масса М движется по гладкой кольцевой трубке радиуса
R, точечная масса m движется по вертикали АВ. Массы связаны невесомой
нерастяжимой нитью, пропущенной через отверстие в трубке в точке А.
Кольцо вращается с постоянной угловой скоростью  вокруг оси, проходящей через точки А и В (рис. 25). Построить уравнения движения точечных масс.
28
16. Тонкая вертикальная пластинка (рис. 26) может без трения вращаться вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью  . По
прямолинейному каналу в пластинке без трения движется точечная масса
m. Известны угол  между каналом и вертикалью и момент инерции пластинки относительно оси вращения. Получить уравнения движения точечной массы.
17. Однородный стержень АВ массы m и длины l подвешен в точке О
на двух нерастяжимых нитях (рис. 27). Определить натяжение одной из
нитей в момент обрыва другой.
18. Брусок массой М лежит в горизонтальной плоскости на трех катках массами mj и радиусами Rj (j = 1, 2, 3), как указано на рис. 28. К бруску
приложена горизонтальная сила F , приводящая в движение брус и катки.
Найти ускорение бруска, если катки – однородные круглые цилиндры.
19. Гладкая призма массы М скользит по горизонтальной плоскости.
Два груза А и В с равными массами m связаны нерастяжимой нитью и
скользят по наклонной и вертикальной плоскостям призмы (рис. 29).
Определить ускорения призмы и грузов.
20. На гладкой горизонтальной плоскости находится брус массы М,
на котором однородный круглый цилиндр массы m (рис. 30). Предполагая,
что скольжения между ними нет, определить величину абсолютного ускорения бруса и мгновенную угловую скорость цилиндра вызванные силой
F.
21. Груз массой М1 поднимается полиспастом с помощью груза массой М2. Определить ускорение поднимаемого груза, если масса спаренных
блоков m, а их радиусы R1 и R2 (рис. 31). Масса подвижного блока М. Все
блоки однородные диски.
22. На гладкой горизонтальной плоскости находится треугольная
призма массы М. По грани призмы катится без скольжения однородный
круглый цилиндр радиуса R и массой m (рис. 32). Определить ускорения
элементов МС.
23. К середине невесомого стержня АВ приложена точечная масса m,
а к другому концу, на горизонтальной плоскости, точечная масса М. Своими концами стержень может скользить без трения по сторонам вертикального угла (рис. 33). Найти ускорение точечной масс М в начальный момент
времени, если стержень образует в этот момент с горизонтом угол .
24. В МС, изображенной на рис. 34, определить натяжение троса СD
и ускорения грузов А и В, массы которых ma и mb. Блоки рассматривать как
однородные круглые диски, массы которых m и М.
29
25. Два груза массами М1 и М2 подвешены на гибких нерастяжимых
нитях навернутых на барабаны радиусов R1 и R2, насаженных на общую
ось (рис. 35). Определить ускорения грузов, полагая барабаны однородными дисками массами m1 и m2.
26. Две одинаковые точечные массы А и В (m) связаны между собой
однородными стержнями (равной длины l и массой М), шарнирно соединенными в точке С. В точке С приложена сила F (рис. 36). Определить
ускорения точечных масс и шарнира (масса которого m) в начальный момент движения МС. Концы стержней скользят без трения по горизонтальной плоскости.
27. Вывести уравнение движения маятника, состоящего из точечной
массы m, подвешенной на нерастяжимой нити, длина которой изменяется
по закону l=l(t).
28. Точка подвеса маятника, состоящего из точечной массы m на нерастяжимой нити длиной l=l(t), движется по наклонной прямой, образующей угол  с горизонтом по закону =(t). Составить уравнения движения
точечной массы.
29. Материальная точка массы m движется по окружности радиуса a,
которая вращается с постоянной угловой скоростью  вокруг вертикальной оси (рис. 37). Вывести уравнение движения точечной массы и найти
момент, поддерживающий постоянную угловую скорость для вектора a .
30. Однородный диск радиуса R и массы М вращается около перпендикулярной к плоскости (рис. 38) оси, проходящей через его центр. К диску на нити АВ длины l подвешена точечная масса m. Составить уравнения
движения МС.
30
6.РИСУНКИ К ЗАДАЧАМ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
С
А
С1
А
Рис. 11
Рис. 12
А
В
А
В
С


Рис. 13
Рис. 14
В
С
С
А
В
А
Рис. 15
Рис. 16
С
С
ВВ
D
В
А
А
Рис. 17
Рис. 18
31
В
С
О
M1
А
m1
F

М2
m2
Рис. 19
x
Рис. 20
m1
O
M
M
m2
m
Рис. 21
Рис. 22
В
А
F

Рис. 23
Рис. 24
x3
m1
m2
m
x1

x2

Рис. 25
32

Рис. 26
О
а
l
В
А
Рис. 27
F
Рис. 28
А
В
С
Рис. 29
F
Рис. 30
33
R1
R2

С
M2
M1
Рис. 31
Рис. 32
E
А
A
D
m
R
r
М

C

B
Рис. 33
34
Рис. 34
R1
С
R2
F
M1
M2
А
В


Рис. 35

Рис. 36
a

R
m
l
О
А
В

m

Рис. 37
Рис. 38
35
ЛИТЕРАТУРА
1. Лагранж Ж. Аналитическая механика / под ред. Л.Г. Лойцанского
и А.И. Лурье. М.: ГОНТИ, 1938. Т. 1. 348 с.
2. Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий / Л. Эйлер. М.:
ГОНТИ, 1934. 600 с.
3. Добронравов В.В. Основы механики неголономных систем /
В.В. Добронравов. М.: Высшая школа, 1970. 269 с.
4. Добронравов
В.В.
Основы
аналитической
механики /
В.В. Добронравов. М.: Высшая школа, 1976. 262 с.
5. Голдстейн Г. Классическая механика / Г. Голдстейн. М.: Наука,
1975. 415 с.
6. Раус Э.Дж. Динамика системы твердых тел / Э.Дж. Раус. М.:
Наука, 1983. Т. 2. 1462 с.
7. Жилин П.А. Векторы и тензоры второго ранга в трехмерном пространстве / П.А. Жилин. СПб.: Нестер, 2001. 275 с.
8. Галиуллин А. С. Аналитическая динамика. М.: Высшая школа
1989.264 с.
9. Антоненко Э. В., Кожанов В. С. Теоретическая механика. Часть 2.
Динамика системы материальных точек и аналитическая механика. Саратов,2012. 58 с.
36