ЕН.Ф.1_Высшая математика (новое окно)

Содержание Аннотация УМКД………………………………………………………………...3 Рабочая программа учебной дисциплины…………….………………………..4 Контрольно-измерительные материалы………………………………………..48 Список литературы………………………………………………………………64 Глоссарий………………………………………………………………………..67 2 АННОТАЦИЯ учебно-методического комплекса дисциплины «Высшая математика» Учебно-методический комплекс дисциплины «Высшая математика» (дисциплина федерального компонента цикла общих математических и естественнонаучных дисциплин) разработан для студентов по специальности 280103.65 – Защита в чрезвычайных ситуациях в соответствии с требованиями ГОС ВПО по данной специальности и положением об учебно-методических комплексах дисциплин образовательных программ высшего профессионального образования. Дисциплина «Высшая математика» изучается на 1,2/1,2 курсах 1,2,3/1,2,3 семестров соответственно. Общая трудоемкость освоения дисциплины составляет 558/558 часов. Учебным планом предусмотрены лекционные занятия (180/108 час), практические занятия (126/90 час), самостоятельная работа студента (252/360 час). Учебно-методический комплекс включает в себя:  рабочую программу учебной дисциплины;  контрольно-измерительные материалы;  список литературы (в том числе интернет-ресурсов); 3 4 При разработке программы учебной дисциплины использованы: Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования образовательной программы, утвержденный «5» апреля 2000г., №304 тех/дс. ЕН.Ф.01 Высшая математика Алгебра: основные алгебраические структуры, векторные пространства и линейные отображения, булевы алгебры. Геометрия: аналитическая геометрия, многомерная евклидова геометрия, дифференциальная геометрия кривых поверхностей, элементы топологии. Дискретная математика: логические исчисления, теория алгоритмов, языки и грамматика, автоматы, комбинаторика. Анализ: дифференциальное и интегральное исчисление, теория функций и функционального анализа, дифференциальные уравнения и теория поля; теория функций комплексного переменного; численные методы и конечные разности: численное решение уравнений, конечные разности и разностные уравнения, интерполяция функций, аппроксимация функций, численное интегрирование дифференциальных уравнений. Теория вероятностей и случайные процессы: определение и представление вероятностных моделей, одномерные распределения вероятностей, функции от случайных величин, замена переменных, сходимость по вероятности и предельные теоремы, специальные методы решения вероятностных задач, специальные распределения вероятностей, теория случайных процессов, стационарные случайные процессы, корреляционные функции и спектральные плотности, типы случайных процессов, действия над случайными процессами. Математическая статистика: статистические методы, статистическое описание, определение и вычисление статистик случайной выборки, типовые распределения вероятностей, оценки параметров, выборочные распределения, проверка статистических гипотез, некоторые статистики, выборочные распределения и критерии для многомерных распределений, статистика и измерения случайного процесса, проверка и оценка в задачах со случайными процессами на примере решения задач экозащиты, безопасности и риска. 5 1. Цели и задачи дисциплины Целью дисциплины «Высшая математика» является закладка математического фундамента как средства изучения окружающего мира, а также овладение инструментом и необходимой базой знаний для успешного освоения дисциплин естественнонаучного и профессионального циклов по профилю специальности и развития практических навыков в решении задач, возникающих в инженерных расчётах. По завершению освоения данной дисциплины студент способен и готов:  к обобщению, к анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения  к кооперации с коллегами, работе в коллективе  в условиях развития науки и изменяющейся социальной практики к переоценке накопительного опыта, анализу своих возможностей, готовностью к приобретать новые знания, использовать различных средств и технологий обучения  самостоятельно, индивидуально работать, принимать решения в рамках своей профессиональной компетентности  использовать на практике математические методы в профессиональной деятельности  владеть основными методами, способами и средствами получения, хранения и переработки информации, использовать компьютер как средство работы с информацией  к практическому анализу логики различного рода рассуждений, к публичным выступлениям, аргументации, ведению дискуссии и полемики  понимать сущность и значение информации в развитии современного информационного общества, сознавать опасности и угрозы, возникающие в этом процессе, соблюдать основные требования 6 информационной безопасности, в том числе защиты государственной тайны  демонстрировать базовые знания в области естественных дисциплин и готовностью использовать основные законы в профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования  выявить естественную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, и способностью привлечь для их решения соответствующий физико-математический аппарат  анализировать научно-техническую информацию, изучать отечественный и зарубежный опыт по тематике исследований  к принятию конкретных решений при моделировании, вычислениях и последующем анализе инженерных расчётах . 2. Начальные требования к освоению дисциплины (перечень предшествующих дисциплин, разделов их) Курс базируется на знаниях элементарной математики и физики в объеме средней школы. 3. Требования к уровню освоения содержания дисциплины В результате освоения учебной дисциплины, обучающиеся должны демонстрировать следующие результаты образования: Знать:  основные понятия и методы аналитической геометрии, линейной алгебры, дифференциального и интегрального исчисления, теории вероятностей, математической статистики, функций комплексных переменных и численные методы решения алгебраических и дифференциальных уравнений  возможности существующих программных средств и технологий проведения математических и инженерных расчётов 7  основные источники научно-технической информации по математическим методам решения прикладных задач Уметь:  уметь применять методы математического анализа при решении инженерных задач  находить необходимую информацию, используя компьютерные поисковые системы  переоценивать накопленный опыт в условиях развития науки, приобретать новые знания, использовать различные средства и технологии самообучения  демонстрировать базовые знания в области математических дисциплин, применять в профессиональной деятельности методы математического моделирования, численного анализа и вычислительного эксперимента  выполнять численные и экспериментальные исследования, обрабатывать и анализировать результаты  анализировать информацию о новых методах и технологиях, используемых при проведении инженерных расчётов  грамотно формулировать постановки математических задач в инженерных расчётах  выбирать адекватное математическое обеспечения для решения задачи  решать задачи аналитическими методами, а также на компьютере, используя современное математическое обеспечение для инженерных расчётов Владеть:  инструментарием для решения математических задач в своей предметной области;  способами анализа, обобщения, восприятия научной информации, формулирования целей исследования и выбора пути их достижения 8  навыками самостоятельной работы, принятия решения в рамках своей профессиональной деятельности  логикой различного рода рассуждений, искусством аргументации, ведения дискуссии и полемики  терминологией аналитической геометрии, линейной алгебры, дифференциального и интегрального исчисления, теории вероятностей, математической статистики, функций комплексных переменных, численных методов, дифференциальных уравнений  информацией о границах применения алгоритмов, реально используемых в вычислительной практике  навыками численного решения классических задач численного анализа на компьютере в математических средах (Mathcad, Maple, Matlab и т.п)  навыками численного эксперимента для исследования конкретных математических моделей устройств и процессов 4. Объем дисциплины и виды учебной работы 4.1. Очная форма обучения Всего часов Вид учебной работы Общая трудоемкость Распределение часов по семестрам дисциплины 558 180 126 252 экзамен Лекции Лабораторные работы Практические занятия (семинары) Всего самостоятельная работа Вид итогового контроля 9 1 2 3 270 192 96 72 72 36 72 36 18 126 84 42 экзамен экзамен экзамен 4.1. Очно-заочная форма обучения Всего часов Вид учебной работы Общая трудоемкость Распределение часов по семестрам дисциплины 558 108 90 360 экзамен Лекции Лабораторные работы Практические занятия (семинары) Всего самостоятельная работа Вид итогового контроля 1 2 3 252 192 114 36 36 36 36 36 18 180 120 60 экзамен экзамен экзамен 5. Содержание дисциплины 5.1. Распределение учебного материала по видам занятий № Наименование раздела дисциплины Распределение по видам (час) очное/заочное Лекции Сем ПЗ естр 1 9/4 СРС 1 2 3 4 Линейная алгебра 9/4 Аналитическая геометрия. 9/4 1 Ведение в математический анализ. 9/4 1 9/4 16/22 функции 9/4 1 9/4 16/22 5 Интегральное исчисление функции одной переменной. 9/4 1 9/4 16/22 6 Дифференциальное исчисление нескольких переменных. функции 9/4 1 9/4 16/22 7 Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. 9/6 1 9/6 16/24 8 Ряды. 9 Обыкновенные дифференциальные уравнения. 10 Векторный анализ. 13/10 2 11/8 16/24 24/12 2 12/12 28/40 24/12 2 12/12 28/40 11 Функциональные ряды. 24/12 2 12/12 28/40 12 Элементы функционального анализа. 8/8 3 4/4 10/15 13 Элементы дискретной математики. 8/8 3 4/4 10/15 14 Теория вероятностей. 15 Элементы математической статистики 8/8 3 4/4 10/15 8/8 3 4/4 12/15 Дифференциальное одной переменной. исчисление Всего 180/108 10 9/4 126/90 14/22 16/22 252/360 5.2. Содержание лекционного курса (108 часов) № п/п Наименование раздела дисциплины Содержание раздела 1. Линейная (9 часов) 2. Аналитическая геометрия. часов) 3. Ведение в Символика математической логики и ее использование. математический Множество действительных чисел. Комплексные числа, анализ. (9 часов) действия с ними. Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексного числа. Формула Эйлера. Показательная форма записи комплексного числа. Корни из комплексных чисел. алгебра Основные сведения о матрицах. Виды матриц. Действия над матрицами. Определители квадратных матриц и способы их вычисления. Свойства определителей. Невырожденные матрицы. Обратная матрица. Решение матричных уравнений. Линейная зависимость и независимость строк (столбцов) матрицы. Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы. Основные понятия и определения. Матричная запись системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений с невырожденной матрицей. Формулы Крамера. Метод Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли Декартова прямоугольная система координат в трехмерном (9 пространстве. Векторы. Координаты вектора. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов и его свойства. Угол между двумя векторами. Условия коллинеарности и ортогональности двух векторов. Векторное и смешанное произведения. Уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Общее уравнение прямой. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Расстояние от точки до прямой. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их геометрические свойства и уравнения. Уравнение поверхности. Общее уравнение плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей: условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. Уравнения прямой, проходящей через две точки. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Поверхности второго порядка: сфера, эллипсоид, эллиптический параболоид, цилиндрическая поверхность, конус. 11 Функция. Функции комплексного переменного. Область ее определения. Способы задания. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Сложные и обратные функции. Класс элементарных функций. Числовые последовательности и их пределы. Свойства сходящихся последовательностей. Предел функции. Бесконечно малые величины и их свойства. Бесконечно большие величины. Связь бесконечно больших и бесконечно малых. Основные теоремы о пределах функций. Первый и второй замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые. Определение непрерывности функции. Классификация точек разрыва функции. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений. 4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. (9 часов) Определение производной функции. Геометрический и механический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к кривой. Производная постоянной, суммы, произведения и частного двух функций. Производная обратной функции. Таблица производных. Дифференцируемость функции. Связь понятий дифференцируемости и непрерывности. Производная сложной функции. Дифференциал функции. Связь дифференциала с производной. Геометрический смысл дифференциала. Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Производные функции, заданной параметрически. Производные и дифференциалы высших порядков. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Раскрытие неопределенностей и правило Лопиталя. Формула Тейлора. Условия возрастания и убывания функции. Локальный экстремум функции. Необходимые и достаточные условия существования локального экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции. Исследование на экстремум функции с помощью производных второго порядка. Исследование графика функции на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба. Асимптоты кривых. Общая схема исследования функции и построения графика функций. 5. Интегральное исчисление функции одной переменной. (9 часов) Первообразная. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов. Основные приемы интегрирования: замена переменной и интегрирование по частям. Интегрирование дробно-рациональных функций. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции. Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Задача, приводящая к понятию определенного интеграла. Определение определенного интеграла, как предела интегральных сумм. Основные свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в 12 определенном интеграле. Интегрирование определенном интеграле. Приложения интеграла. Несобственные интегралы. по частям в определенного 6. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных. (9 часов) Понятие функции нескольких переменных. Область определения. Геометрический смысл функции двух переменных. Предел функции. Непрерывность. Основные свойства непрерывных функций. Частные приращения и частные производные функции. Дифференцируемость функции. Полное приращение и полный дифференциал функции нескольких переменных. Геометрический смысл. Частные производные сложных и неявных функций. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Применение полного дифференциала для приближенных вычислений. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. Необходимые и достаточные условия существования локального экстремума функции двух переменных. 7. Кратные, Понятие двойного и тройного интегралов, их свойства. криволинейные и Геометрический смысл двойного интеграла. Вычисление поверхностные кратных интегралов последовательным интегрированием. интегралы. (9 Замена переменных в двойном и тройном интегралах. Полярные, часов) цилиндрические и сферические координаты. Криволинейные интегралы двух видов. Поверхностные интегралы. Формулы Грина, Гаусса-Остроградского, Стокса. Геометрические и физические приложения интегрального исчисления. 8. Ряды. (13 часов) Числовой ряд. Сумма ряда. Свойства сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости ряда. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. Теорема Лейбница. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов. Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена. Применение рядов к приближенным вычислениям. Понятие о рядах Фурье. Формула Эйлера-Фурье. Приложение функциональных рядов. 9 Обыкновенные дифференциальные уравнения. (24 часа) Основные понятия и определения. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Линейная зависимость и линейная независимость функций. Определитель Вронского. Структура 13 общего решения линейного однородного уравнения и линейного неоднородного уравнения. Решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Отыскание частного решения линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами методом подбора по виду правой части. Вариация произвольных постоянных (метод Лагранжа). Приложение дифференциальных уравнений в различных областях науки и техники. Понятие о системах дифференциальных уравнений. 10. Векторный анализ. Скалярное поле. Поверхности уровня и линии уровня (24 часа) скалярного поля. Производная по направлению. Градиент скалярного поля и его свойства. Инвариантное определение градиента. Векторное поле. Векторные линии, векторные трубки. Односторонние и двусторонние поверхности. Поток векторного поля через поверхность. Физический смысл потока в поле скоростей жидкости. Теорема Остроградского и выражение потока векторного поля через замкнутую поверхность интегралом по объему. Дивергенция векторного поля. Инвариантное определение дивергенции и ее физический смысл. Соленоидное поле и его свойства. Линейный интеграл в векторном поле. Работа силового поля. Циркуляция векторного поля. Теорема Стокса. Ротор поля и его свойства. Потенциальные поля и их свойства. Условие потенциального поля. Вычисление линейного интеграла в потенциальном поле. Оператор Гамильтона и его применение. 11. Функциональные ряды. (24 часа) Понятие ортонормированной системы функций. Ортогональность тригонометрической системы на интервале (-1,1). Тригонометрический ряд Фурье функций, заданных на интервале (-1,1). Коэффициенты Фурье. Разложение в тригонометрический ряд Фурье функций, заданных на интервале (-l,l).Условие Дирихле. Теорема о разложение функции в ряд Фурье (без доказательства). Ряды Фурье для четных и нечетных функций. 12. Элементы функционального анализа. (8 часов) Определение векторного пространства. Линейные отображения. Функционалы. Гильбертовы пространства. Пространства ограниченных линейных операторов. Билинейные формы и связь их с операторами. Квадратичная форма. Частичные изометрии. 13. Элементы дискретной математики. (8 часов) Основные понятия теории графов. Языки и грамматики. Автоматы. 14 14. Теория вероятностей. часов) Предмет теории вероятностей. Случайные события. Алгебра (8 событий. Аксиоматическое определение вероятности. Классическое определение вероятности. Формулы комбинаторики. Геометрические вероятности. Условная вероятность. Правило умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема Бернулли. Формула Бернулли. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа. Понятие случайной величины. Закон распределения. Функция распределения случайной величины. Вероятность попадания случайной величины на заданный участок. Плотность распределения. Роль и назначение числовых характеристик случайной величины. Математическое ожидание и его свойства. Дисперсия случайной величины и ее свойства. Дискретные случайные величины: биномиальное распределение, геометрическое распределение, распределение Пуассона. Непрерывные случайные величины: равномерное распределение, показательное распределение, нормальное распределение. Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал. Системы случайных величин. Функция распределения и плотность распределения вероятностей двумерной случайной величины. Условные законы распределения. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент, коэффициент корреляции. Двумерное нормальное распределение. Регрессия. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. 15. Элементы Предмет и задачи математической статистики. Генеральная и математической выборочная совокупности. Способы отбора. Вариационный ряд. статистики. (8 Статистическая функция распределения. Графическое часов) изображение статистических рядов. Основные понятия теории оценок. Классификация точечных оценок. Метод моментов. Метод наибольшего правдоподобия. Доверительные интервалы. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения нормального распределения. Статистическая гипотеза. Статистический критерий проверки гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Уровень значимости статистического критерия. Мощность критерия. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона. 5.3. Содержание практических занятий (126часов) № п/п № раздела (темы) Содержание практической работы Первый семестр 1. Раздел 1 (9 часов) Решение задач по теме: Определители квадратных матриц и способы их вычисления. Линейная зависимость и независимость строк (столбцов) матрицы. Ранг матрицы. Решение систем линейных уравнений с невырожденной матрицей. 15 2. Раздел 2 (9 часов) 3. Раздел 3 (9 часов) 4. Раздел 4 (9 часов) 5. Раздел 5 (9 часов) 6. Раздел 6 (9 часов) 7 Раздел 7 (9 часов) 8. Раздел 8 (11 часов) 9. Раздел 9 (12 часов) Решение задач по теме: Векторы. Координаты вектора. Линейные операции над векторами. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их геометрические свойства и уравнения. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Решение задач по теме: Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексного числа. Формула Эйлера. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Сложные и обратные функции. Предел функции. Бесконечно малые величины и их свойства. Определение непрерывности функции. Классификация точек разрыва функции. Решение задач по теме: Производная постоянной, суммы, произведения и частного двух функций. Производная обратной функции. Связь дифференциала с производной. Геометрический смысл дифференциала. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Исследование на экстремум функции с помощью производных второго порядка. Исследование графика функции на выпуклость и вогнутость. Решение задач по теме: Основные приемы интегрирования: замена переменной и интегрирование по частям. Интегрирование дробно-рациональных функций. Определение определенного интеграла, как предела интегральных сумм. Основные свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Приложения определенного интеграла. Несобственные интегралы. Решение задач по теме: Геометрический смысл функции двух переменных. Предел функции. Непрерывность. Полное приращение и полный дифференциал функции нескольких переменных. Применение полного дифференциала для приближенных вычислений. Скалярное поле. Производная по направлению. Решение задач по теме: Понятие двойного и тройного интегралов, их свойства. Геометрический смысл двойного интеграла. Полярные, цилиндрические и сферические координаты. Криволинейные интегралы двух видов. Геометрические и физические приложения интегрального исчисления. Второй семестр Решение задач по теме: Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши. . Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена. Применение рядов к приближенным вычислениям. Решение задач по теме: Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Линейная зависимость и линейная независимость функций. Определитель Вронского. Структура общего решения линейного однородного уравнения и линейного неоднородного уравнения. Решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Отыскание частного решения линейного неоднородного уравнения с 16 10. Раздел 10 (12 часов) 11. Раздел 11 (12 часов) 12. 13 14 15 Раздел 12 (4 часа) Раздел 13 (4 часа) Раздел 14 (4 часа) Раздел 15 (4 часа) постоянными коэффициентами методом подбора по виду правой части. Вариация произвольных постоянных (метод Лагранжа). Решение задач по теме: Инвариантное определение градиента. Векторное поле. Векторные линии, векторные трубки. Односторонние и двусторонние поверхности. Поток векторного поля через поверхность. Физический смысл потока в поле скоростей жидкости. Теорема Остроградского и выражение потока векторного поля через замкнутую поверхность интегралом по объему. Решение задач по теме: Ортогональность тригонометрической системы на интервале (-1,1). Тригонометрический ряд Фурье функций, заданных на интервале (-1,1). Коэффициенты Фурье. Разложение в тригонометрический ряд Фурье функций, заданных на интервале (-l,l). Третий семестр Решение задач по теме: Определение векторного пространства. Линейные отображения. Функционалы. Гильбертовы пространства. Пространства ограниченных линейных операторов. Билинейные формы и связь их с операторами. Квадратичная форма. Частичные изометрии. Решение задач по теме: Основные понятия теории графов. Языки и грамматики. Автоматы. Решение задач по теме: Формулы комбинаторики. Геометрические вероятности. Условная вероятность. Правило умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема Бернулли. Формула Бернулли. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа. Понятие случайной величины. Закон распределения. Дискретные случайные величины: биномиальное распределение, геометрическое распределение, распределение Пуассона. Непрерывные случайные величины: равномерное распределение, показательное распределение, нормальное распределение. Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал. Решение задач по теме: Генеральная и выборочная совокупности. Способы отбора. Вариационный ряд. Статистическая функция распределения. Графическое изображение статистических рядов. Основные понятия теории оценок. Классификация точечных оценок. Метод моментов. Метод наибольшего правдоподобия. Доверительные интервалы. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения нормального распределения. Статистическая гипотеза. Статистический критерий проверки гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Уровень значимости статистического критерия. 6. Курсовое проектирование Рабочим учебным планом специальности не предусмотрено. 17 7. График изучения дисциплины 1 семестр Вид учебных занятий Лекции недели 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 ЛЗ ПЗ 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 КПР РГЗ, реферат Промежуточная аттестация * 2 семестр Вид учебных занятий Лекции недели 1 4 2 4 3 4 4 4 5 6 7 4 4 4 8 4 9 4 10 11 12 13 14 15 16 17 18 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ЛЗ ПЗ 2 2 2 2 2 2 2 2 КПР РГЗ, реферат Промежуточная аттестация * 3 семестр Вид учебных занятий Лекции недели 1 2 2 2 3 4 2 2 5 6 2 2 7 8 2 2 2 2 2 2 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ЛЗ ПЗ 2 2 2 2 2 КПР РГЗ, реферат Промежуточная аттестация * 8. Учебно-методическое обеспечение дисциплины 8.1. Основная литература 1. Письменный Д.Т., Конспект лекций по высшей математике: 18 Полный курс.-8е изд., М.:Айрис-пресс, 2009.-608с. 2. Письменный Д.Т., Конспект лекций по высшей математике: В 2-х 4.4.1-2.-9е изд.-М.Айрис-пресс,2008-2009.-608с. 3. Кузнецов Л.А.Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты. М., “Высшая школа”, 2008г. 4. Курс высшей математики. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление. Учебное пособие. И.М. Петрушко и др. – СПб.: Лань 2006г. 5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. — М.: Высшая школа, 2008г., часть 1 http://www.knigafund.ru/books/16866. 6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. — М.: Высшая школа, 2008г., часть 2 http://www.knigafund.ru/books/16866. 8.2. Дополнительная литература 1. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2-х ч1.: учеб. пособие для втузов 5-е издание, исправ,-М: Высшая школа, 2003 – 304 с. 2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2-х часях 2.: учебное пособие для втузов – 5 изд., испр., / Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. – М.: Высшая школа, 2003 – 410 с. 3. Гмурман В.Е. «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике» М.: Высшая школа. 2004 г. 4. Шипачев В.С. Курс высшей математики. М.: Издательство Проспект, 2005г. 19 8.3. Интернет-ресурсы 1. Высшая математика: Учебник / К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, А.В. Рукосуев; Российская академия образования (РАО). - М.: Флинта: МПСИ, 2010 - 360 с. http://znanium.com/bookread.php?book=217321 2. Высшая математика: Учебник / Л.Т. Ячменёв. - М.: ИЦ РИОР: НИЦ Инфра-М, 2011. - 752 с http://znanium.com/bookread.php?book=344777 3. Михеев, В. И. Высшая математика, краткий курс [Электронный ресурс] : Учеб. пособие / В. И. Михеев, Ю. В. Павлюченко. - 2-е изд., испр. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 196 с. http://znanium.com/bookread.php?book=437352 9. Контрольные задания и методические рекомендации по изучению дисциплины Вопросы для текущего контроля 1. Преобразование выражений, содержащих корни и степени n-го порядка. 2. Представление алгебраических дробей в виде простейших 1-го и 2-го типов. 3. Представление алгебраических дробей в виде простейших 3-го и 4-го типов. 4. Нахождение области определения функции одной переменной. 5. Деформация графиков числовых функций. 6. Преобразование выражений, содержащих тригонометрические функции. 7. Преобразование выражений, содержащих логарифмы. 8. Решение задач векторным и координатным методами. Вопросы для самостоятельной работы Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. 1. Определители второго и третьего порядков и их свойства. 2. Системы двух и трех линейных уравнений с двумя неизвестными. Правило Крамера. 3. Скалярные и векторные величины. Проекция вектора на ось. 20 4. Линейные операции над векторами, их основные свойства. Коллинеарные векторы. 5. Прямоугольная система координат в пространстве. Координаты точки, вектора, проекции вектора на координатные оси. Длина вектора. Направляющие косинусы вектора. Расстояние между двумя точками. 6. Разложение вектора по базису. 7. Линейные операции над векторами в координатной форме. Условие коллинеарности векторов. 8. Деление отрезка в данном отношении. 9. Скалярное произведение векторов и его свойства. Выражение скалярного произведения через координаты векторов. 10.Определение компланарных векторов. Правая и левая тройки векторов. Правая и левая системы координат. 11.Определение векторного произведения, его свойства. Выражение векторного произведения через координаты векторов. 12.Смешанное произведение векторов и его свойства. Выражение смешанного произведения через координаты векторов. 13.Уравнение линии на плоскости. Линии первого порядка. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнение прямой, проходящей через данную точку, с данным угловым коэффициентом. 14.Уравнение прямой, проходящей через данную точку, с данным направляющим вектором. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. 15.Уравнение прямой, проходящей через данную точку, с данным нормальным вектором. 16.Общее уравнение прямой. 17.Угол между двумя прямыми. перпендикулярности двух прямых. 18.Уравнение прямой «в отрезках». 19.Расстояние от точки до прямой. 21 Условия параллельности и 20.Линии второго порядка: эллипс, гипербола и парабола. 21.Уравнение поверхности. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, с данным нормальным вектором. Общее уравнение плоскости. 22.Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. 23.Уравнение плоскости, проходящей через три точки. 24.Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости. 25.Уравнения линии в пространстве. Общие уравнения прямой в пространстве. 26.Канонические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой. 27.Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. 28.Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. 29.Поверхности второго порядка. Введение в математический анализ. 1. Определение числовой последовательности. Ограниченные и неограниченные последовательности. 2. Предел последовательности. Свойства сходящихся последовательностей (единственность предела, ограниченность последовательности). 3. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей. 4. Свойства бесконечно малых последовательностей. 5. Свойства пределов последовательностей. Предельный переход в неравенствах. 6. Монотонные последовательности. Теорема о монотонной ограниченной последовательности (без доказательства). Число е. 7. Определение функции. Способы задания функции. 8. Определение предела функции в точке (определения на языке «    » и на языке последовательностей). Предел функции на бесконечности. 22 9. Теоремы о пределах функций. 10.Односторонние пределы. Связь между односторонними пределами и пределом функции в точке. 11.Первый и второй замечательные пределы. 12.Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства. 13.Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. 14. Использование эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших функций при вычислении пределов. Таблица эквивалентных бесконечно малых. 15.Определения непрерывности функции в точке. Арифметические операции над непрерывными функциями. 16.Непрерывность элементарных функций. Теорема о непрерывности сложной функции. 17.Теорема о существовании и непрерывности обратной функции. 18.Основные свойства непрерывных функций: устойчивость знака непрерывной функции, прохождение через любое промежуточное значение, ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции. 19.Определение и классификация точек разрыва функции. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. 1. Определение производной, ее геометрический и физический смысл. 2. Определения касательной и нормали к кривой. Уравнения касательной и нормали к кривой. 3. Определение дифференцируемости функции в точке. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции. 4. Теорема о связи между дифференцируемостью и непрерывностью функции. 5. Дифференциал функции, свойства геометрический смысл. 23 дифференциала и его 6. Правила дифференцирования: производная суммы, произведения и частного двух функций. 7. Производная обратной функции. 8. Производная сложной функции. 9. Таблица производных. 10.Логарифмическое дифференцирование. 11.Производные высших порядков. 12.Производные первого и второго порядков функции, заданной параметрически. 13.Основные теоремы дифференциального исчисления: теоремы Ферма, Лагранжа, Ролля, Коши. 14.Правило Лопиталя и его применение при вычислении пределов 15.Формула Тейлора. Формула Маклорена. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена: 16.Достаточные условия возрастания и убывания функции. 17.Определение точек локального экстремума функции. Необходимые условия существования локального экстремума. 18.Достаточные условия существования локального экстремума функции (первое и второе правила). 19. Определение выпуклой и вогнутой кривой. Достаточные условия выпуклости и вогнутости графика функции. 20.Определение точки перегиба кривой. Необходимые и достаточные условия существования точки перегиба. 21.Вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты графика функции. Теория вероятностей и математическая статистика 1. Некоторые формулы комбинаторики (размещения, перестановки, сочетания). 2. Испытания и случайные события. Виды случайных событий: несовместные, равновозможные, достоверные, невозможные события. 24 3. Классическое определение вероятности. Относительная частота. Статистическая вероятность. 4. Геометрические вероятности. 5. Условные вероятности. Независимость событий. Формулы умножения для зависимых и для независимых событий. 6. Формулы сложения вероятностей для совместных и для несовместных событий. Вероятность противоположного события. Вероятность появления хотя бы одного события. 7. Формула полной вероятности. Формула Байеса. 8. Последовательности испытаний. Схема Бернулли. Формула Бернулли. 9. Предельные теоремы в схеме Бернулли: формула Пуассона, локальная и интегральная формулы Муавра – Лапласа. 10.Случайные величины. распределения Дискретные дискретной случайной случайные величины. величины. Ряд Многоугольник распределения. 11.Функция распределения случайной величины и ее свойства. Вероятность попадания случайной величины в промежуток. Функция распределения дискретной случайной величины. 12.Непрерывная случайная величина. Плотность распределения. Основные свойства плотности распределения. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в промежуток. Выражение функции распределения через плотность вероятности. 13.Числовые характеристики случайных величин и их назначение. Математическое ожидание дискретной и непрерывной случайных величин и его свойства. Вероятностный математического ожидания. 14.Дисперсия дискретной и непрерывной случайных величин и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение. 15.Биномиальное распределение и его числовые характеристики. 16.Распределение Пуассона и его числовые характеристики. 17.Равномерное распределение и его числовые характеристики. 25 18.Показательное распределение и его числовые характеристики. 19.Нормальное распределение и его числовые характеристики. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины. Вероятность заданного отклонения нормальной случайной величины от её математического ожидания. Правило «трёх сигм». 20.Системы случайных величин. Функция распределения системы двух случайных величин и ее свойства. 21.Система двух дискретных случайных величин. Матрица распределения. 22.Система двух непрерывных случайных величин. Совместная плотность распределения. 23.Зависимые и независимые случайные величины. Условные законы распределения. 24.Числовые характеристики системы двух случайных величин. Ковариация и коэффициент корреляции. 25.Коррелированность и зависимость случайных величин. 26.Условные математические ожидания. Регрессия. 27.Закон больших чисел. Теоремы Чебышева.Теорема Бернулли. 28.Центральная предельная теорема. 29.Элементы математической статистики. Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. 30.Вариационный ряд. Статистический ряд распределения. Полигон и гистограмма. 31.Эмпирическая функция распределения. 32.Выборочные моменты. 33.Точечные оценки параметров распределения. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки. 34.Выборочное среднее. Выборочное среднее – несмещенная и состоятельная оценка. 26 35.Выборочная дисперсия. Выборочная дисперсия – состоятельная и смещенная оценка. Исправленная дисперсия. Выборочное среднее квадратическое отклонение. 36.Метод моментов для точечной оценки параметров распределения. 37.Метод наибольшего правдоподобия. 38.Распределение  2 и распределение Стьюдента. 39.Доверительная вероятность (надежность). Доверительный интервал. 40.Статистическая гипотеза. Статистическая проверка статистических гипотез. Нулевая и конкурирующая, простая и сложная гипотезы. 41.Статистический критерий проверки нулевой гипотезы. Критическая область. Область принятия гипотезы. Критические точки. Односторонние и двусторонние критические области. 42.Ошибки первого и второго рода. Уровень значимости. Мощность критерия. 43. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона. 10. Технические и электронные средства обучения, иллюстрационные материалы, специализированное и лабораторное оборудование Для обеспечения освоения дисциплины необходимо наличие учебной аудитории, а также аудитории, снабженной мультимедийными средствами и электронной доской для компьютерных иллюстраций и вычислений в режиме on-line на расчётном сервере МЭИ. Для проведения практических занятий необходимо наличие специализированных компьютерных классов, оборудованных электронными или стандартными учебными досками. 11. Текущий и итоговый контроль по дисциплине 11.1. Формы и методы текущего контроля 27 Для текущего контроля успеваемости используются контрольные работы, контрольный опрос, защита типового расчёта, тесты. Оценка за освоение дисциплины, определяется как оценка на экзамене. 11.2. Контрольные задания для определения минимального уровня освоения программы дисциплины Расчетные задания 1 семестр: Пределы, производные и графики функций. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Интегралы. 2 семестр: Кратные интегралы, векторный анализ. Ряды. 3 семестр: Дифференциальные уравнения. Функции комплексного переменного и операционное исчисление. Численные методы. Контрольная работа по теории множеств. Даны два множества и A и B . Найти следующие множества: a) A  B; b) A  B; c) A \ B; d ) B \ A . A ={простые числа <20} B ={нечетные числа <20} В1 A ={5<простые числа <20} B ={нечетные числа <20} В2 РГР по теме “Элементы линейной и векторной алгебры ” 1. Для данного определителя  найти миноры и алгебраические дополнения элементов ai 2 , a 3 j . Вычислить определитель  : а) разложив его по элементам i -ой строки; б) разложив его по элементам j -го столбца; в) получив предварительно нули в i -ой строке. 1 1 2 1.1. 3 6  2 ; i  3 , j  1 . 1 0 6 2 0 1 1.2. 6 3  9 ; i  3, j  3 . 1 2 4 2. Даны две матрицы A и B . Найти: а) AB ; б) BA ; в) A 1 ; г) AA1 ; д) A1 A .  2  2.1. A   8  3   3  2.2. A   2  3   1  3  2 1  2     7  6 , B   3  5 4  . 1 2 4 2  1   5  6 8  5  2    4 3  , B    3 1 0  .  4 1 1  5  3   28 3. Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы (матричным методом); в) методом Гаусса. 2 x1  x2  3x3  7, 3.1.  2 x1  3x2  x3  1, .  3x  2 x  x  6 2 3  1  2 x1  x2  2 x3  3, 3.2.  x1  x2  2 x3  4, . 4 x  x  4 x  3 2 3  1 4. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений. 5 x1  3x 2  x3  0, 4.1. 3x1  2 x2  x3  0, .  8 x  x  3x  0 2 3  1 5 x1  6 x2  4 x3  0, 4.2.  3x1  3x2  x3  0, .  2 x  3x  3x  0 2 3  1 5. Напишите матрицу квадратичной формы и найдите ее канонический вид (методом Лагранжа или методом ортогонального преобразования). 5.1 x 2  y 2  4 xy . 5.2. 3x 2  3 y 2  4 xy . Контрольная работа по теории вероятности. 1. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса n1 , из второй – n 2 , из третьей - n3 студентов. Вероятности того, что студент первый, второй и третьей группы попадет в сборную института, соответственно равны p1 ; p2 и p3 . Наудачу выбранный студент попал в сборную. Какова вероятность, что он из первой группы? 2. При автоматической наводке орудия вероятность попадания по быстро движущейся цели равна p . Найти вероятность n попаданий при k выстрелах. 3. Длительной проверкой качества стандартных деталей установлено, что из каждой сотни деталей не имеют m штук в среднем. Составить биномиальное распределение числа пригодных деталей из взятых наудачу 6 деталей. Построить многоугольник биномиального распределения вероятностей. Каково наиболее вероятное число пригодных деталей? В1 1. n1  4; n2  6; n3  5; p1  0,9; p2  0,7; p  0,8 ; 2. p  0,9; n  6; k  8 ; 3. m  75 . 29 В2 1. n1  5; n2  7; n3  5; p1  0,9; p2  0,7; p  0,8 ; 2. p  0,8; n  6; k  8 ; 3. m  80 . Контрольная работа по математической статистике. Для заданного варианта исходных данных 1. найти статистическое распределение выборки; 2. построить полигон частот; 3. найти эмпирическую функцию распределения и построить график; 4.найти выборочное среднее, выборочную дисперсию, асимметрию и эксцесс, моду и медиану. 5. составить интервальный ряд и построить гистограмму. В1 Время отыскания повреждения в приборе: 35 32 31 33 34 41 24 21 36 50 53 29 26 51 28 43 54 43 50 35 20 25 49 35 51 46 44 32 26 25 27 35 50 37 49 36 36 36 34 20 52 20 30 22 44 43 54 39 34 27 В2 4 3 Число членов семьи: 3 4 2 4 3 4 3 2 4 3 3 3 5 4 1 2 3 2 2 2 3 3 3 2 4 4 1 2 3 3 3 4 2 3 5 3 4 4 4 4 6 2 3 2 4 4 4 5 Задания для промежуточного контроля Вариант № 1 1. Элементы Примеры. комбинаторики: размещения, 2. Найти производную функции y  ln перестановки, сочетания. x2 . 1 x2 3. Игральная кость брошена 2 раза. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков окажется равной 11. Вариант № 2 1. Классическое определение вероятности. Ее свойства. Примеры. 2. Определить точки разрыва функции y  3x  2 . x2 1 3. В партии из 100 деталей имеется 10 бракованных. Для проверки отобрали 5 деталей. Найдите вероятность того, что среди отобранных деталей окажется 30 только одна бракованная. Вариант№ 3 1. Условная вероятность. Свойства условной вероятности. Теорема умножения вероятностей. Независимость и зависимость событий. Примеры. sin 3x . x0 x3 2. Найти предел функции lim 3. Игральная кость брошена 2 раза. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков окажется равной 7. Вариант№ 4 1. Формула полной вероятности. Пример.Формула Байеса. Пример. 2. Найти производную функции y  e x x  2e x . 3. Из пяти стрелков двое попадают в цель с вероятностью 0,6 и трое – с вероятность 0,4. Найдите вероятность того, что наудачу выбранный стрелок попадет в цель? 2 Вариант № 5 1. Схема испытаний Бернулли. Биномиальное распределение вероятностей. Примеры. 2. Найти предел функции lim x 0 e 2 x  1 . x 3. На склад поступила продукция трех фабрик, причем 10% продукции произведено первой фабрикой, 20% - второй и 70% - третьей. Известно, что в среднем продукция первой фабрики содержит 3% брака, второй – 2% и третьей – 1%. Найдите вероятность того, что наугад взятое изделие окажется бракованным. Вариант № 6 1. Дискретные случайные величины. случайной величины. Пример. 2. Найти предел функции lim x0 Функция распределения дискретной 4 x 2 . 3arctg ( x) 3. Проведено четыре измерения (без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в мм): 5, 6, 9, 12. Найти несмещенную оценку математического ожидания. Вариант № 7 1. Непрерывные случайные величины. 31 Функция распределения непрерывной случайной величины. Свойства функции распределения. Пример. 2. Найти множество первообразных функции y  Cos5x. 3. Найти эмпирическую функцию по данному распределению выборки xi 2 3 6 8 ni 1 6 9 4 Найти моду и медиану. Вариант № 8 1. Числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин. 2. Найти производную функции y  xesin x . 3. В урне 15 белых и 5 черных шаров. Наудачу отобраны 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется 3 белых шара. Вариант № 9 1. Задачи математической статистики. Статистическое определение вероятности. Генеральная совокупность. Выборки. Примеры. 2. Найти производную функции y   x 4  x 2 . 3. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент ответит на предложенные три вопроса. Вариант № 10 1. Точечные и интервальные оценки параметров распределения. Пример. 2. Найти производную функции y  ln( 2e x  1). 3. В студенческой группе 8 девушек и 12 юношей. Вероятность того, что девушка напишет контрольную работу на отлично, равна 0,6; для юношей эта вероятность равна 0,4. Наугад выбранная для проверки работа получила отличную оценку. Какова вероятность того, что эту работу написала девушка? Вариант № 11 1. Предел последовательности. Вычисление пределов последовательностей. 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке y  4 x 2  8x  15,  2;1 2. 3. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n =30 xi 2 3 4 5 ni 4 10 8 ? Найти: несмещенную оценку генерального среднего, выборочную дисперсию, 32 выборочное среднее квадратическое отклонение, моду. Вариант № 12 1. Определение функции. Вычисление пределов функции в точке. 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке y  10 x  10 , x 2  2x  2  1;2. 3. Бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что на обеих костях одинаковое число очков. Вариант № 13 1. Непрерывные функции в точке, на интервале. Классификация точек разрыва. 2. Найти дифференциал функции y  3 x2 . x2 3. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n =15 xi 2 4 5 6 ni 1 5 6 ? Найти: несмещенную оценку генерального среднего, несмещенную оценку дисперсии, моду. Вариант № 14 1. Дифференцирование функций. Производная сложной функции. 2. Найти дифференциал функции y  xarctgx  ln 1  x 2 . 3. Найти эмпирическую функцию по данному распределению выборки xi 2 4 5 7 ni 3 7 14 6 Найти моду и медиану. Вариант № 15 1. Дифференциал функции первого и второго порядков. 2. Найти предел функции y  1  sin 2 x  , при x  . 1  cos 4 x 4 3. Игральная кость брошена 2 раза. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков окажется равной 8. Вариант № 16 1. Касательная и нормаль к кривой в некоторой точке. 2. Найти производную функции y  (3x 6  4 x 4  x 2  2) (15x). 33 3. В коробке 6 шаров, причем два из них красных. Наудачу извлечены два шара. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных шаров окажется один красный. Вариант № 17 1. Исследование функции и построение ее графика. 2. Вычислить предел функции lim x 8 9  2x  5 . x 8 3. В урне находится 12 шаров, из них 10 белых. Из урны достают поочередно 3 шара и не возвращают обратно. Найти вероятность того, что они все белые. Вариант № 18 1. Интегрирование функций. Таблица интегралов. Свойства неопределенных интегралов. 2. Построить график функции с помощью производной первого порядка y  12 x 2  8 x 3  2. 3. В коробке 6 шаров, причем два из них красных. Наудачу извлечены три шара. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных шаров окажутся два красных. Вариант № 19 1. Замена переменной и интегрирование по частям. 2. Найти предел функции lim x0 sin 5 x  sin x . arcsin x 3. В коробке 6 шаров, причем два из них красных. Наудачу извлечены два шара. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных шаров окажется хотя бы один красный. Вариант № 20 1. Интегрирование рациональных дробей. 2. Найти производную функции y  x  ln( 1  e x ) . 3. Бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что на обеих костях появится два очка. Вариант № 21 1. Интегрирование иррациональных функций. 2. Найти производную функции y  x  ln( 1  sin x) . 3. Найти моду и медиану вариационного ряда 2,4,4,6,6,3,1,8,6,9. 34 Вариант № 22 1. Интегрирование тригонометрических функций. 2. Найти производную функции y  (1  e x ) cos x . . 3. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n =10 xi 10 12 14 16 ni 2 3 4 ? Найти: несмещенную оценку генерального среднего, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, моду. Вариант № 23 1. Определенный интеграл, его свойства. 2. Найти неопределенный интеграл x 1 x 2 dx. 3. Найти моду и медиану вариационного ряда 2,3,4,6,6,7,7,3,1,8,6,9,7. Вариант № 24 1. Формула Ньютона-Лейбница. Формула интегрирования по частям и замена переменной в определенном интеграле. 2. Найти неопределенный интеграл x 2 2 dx.  2x 3. В лаборатории имеется шесть новых и четыре старых компьютера. Вероятность безотказной работы нового компьютера равна 0,95, а старого 0,8. Производится расчет на наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что во время работы машина не выйдет из строя. 11.3. Перечень типовых вопросов для итогового контроля Вопросы к экзамену (1 семестр) 1. Основные сведения о матрицах. Операции над матрицами. 2. Определитель n-го порядка и их свойства. 3. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа. 4. Обратная матрица. Ранг матрицы. 5. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Правило Крамера. 35 6.Решение системы n линейных уравнений с n неизвестными методом обратных матриц. 7. Система m линейных уравнений с n неизвестными. Метод Гаусса. 8. Система линейных однородных уравнений. 9. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ). 10. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Площадь треугольника. 11. Линии первого порядка на плоскости. 12. Параллельность и перпендикулярность прямых. 13. Расстояние от точки до прямой. 14.Вектор. n-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами. 15. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис. Разложение вектора по базису. 16. Предел функций в точке. Арифметические операций над пределами. 17. Два замечательных предела и их следствия. 18. Бесконечно малые и бесконечно большие функций. Свойства. 19. Сравнение бесконечно малых. 20. Непрерывность функций в точке. Точки разрыва. 21. Свойства функций непрерывных в точке и на отрезке. 22. Разрывы первого и второго рода. 23.Основные правила дифференцирования. Производные элементарных функций. 24. Производные обратной и сложной функций. 25. Производные и дифференциалы высших порядков. 36 26.Понятие дифференциала функции. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. 27. Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Лагранжа. 28. Раскрытие неопределенностей. 29. Экстремумы функций. Необходимые и достаточные условие экстремума. 30. Наибольшее и наименьшее значение функций. 31. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба кривой. 32. Асимптота графика функций. Общая схема исследования и построение графика функций. 33. Первообразная функций и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. 34. Таблица интегралов. Метод подстановки и интегрирование по частям. 35. Интегрирование простейших рациональных выражений. 36. Определенный интеграл и его свойства. 37. Несобственные интегралы. 38. Вычисление площадей плоских фигур, объемов тел вращения и длин дуг кривой. 39. Дифференциальные уравнения. Основные понятия. 40. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. 41. Однородные линейные дифференциальные уравнения первого порядка. 42. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Использование дифференциальных уравнении в экономике. 43. Определение функции двух переменных. Линии и поверхности уровня функции двух переменных. 44. Частные производные. Полное производное и полный дифференциал. 37 45. Производная по направлению. Градиент функции. 46. Экстремум функции многих переменных (необходимое и достаточное условия). 47. Наибольшее и наименьшее значения функции. 48. Метод Лагранжа. 49. Классическое и статистическое определение вероятности. 50. Элементы комбинаторики. 51. Теоремы сложения и умножения вероятностей. 52. Условная вероятность. Теорема сложения вероятностей для совместных событий. 53. Формула полной вероятности. Формула Бейеса. 54. Формула Бернулли. Формула Пуассона. 55. Понятие случайной величины. Закон распределения дискретных случайных величин. 56. Числовые характеристики дискретных случайных величин. 57. Биноминальный закон распределения. 58. Непрерывная случайная величина. Закон распределения вероятностей и основные числовые характеристики. 59. Функция плотности вероятностей. 60. Нормальное распределение. 61. Неравенство и теорема Чебышева. Закон больших чисел. 62. Задача математической статистики. Выборочный метод. Статистические оценки параметров распределения. 63. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки. 64. Интервальная оценка. 65. Корреляционный анализ. Линейная регрессия. Коэффициент корреляции. 38 Вопросы к экзамену (2 семестр) 1. Понятие первообразной функции. Теорема о множестве первообразных для одной и той же функции. Определение неопределенного интеграла. 2. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов. 3. Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование, метод подстановки, метод интегрирования по частям. 4. Рациональные функции. Интегрирование элементарных дробей. 6. Интегрирование рациональных функций. 7 Интегрирование некоторых выражений, содержащих квадратный трехчлен. 8. Интегрирование некоторых иррациональных функций. 9. Интегрирование некоторых тригонометрических функций. 10. Задача, приводящая к понятию определенного интеграла. Определение определенного интеграла. 11. Необходимое условие интегрируемости функции. Достаточные условия существования определенного интеграла. 12. Основные свойства определенного интеграла. Оценки интегралов. Теорема о среднем значении. 13. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о производной интеграла по верхнему пределу и ее следствия. 14. Формула Ньютона-Лейбница. 15. Замена переменной в определенном интеграле. 16. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле. 17. Некоторые геометрические приложения определенного интеграла. 18. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. 19. Комплексные числа и действия над ними. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Формулы Эйлера. 20. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Определение 39 дифференциального уравнения первого порядка. Решение уравнения. Общее и частное решения уравнения. 21. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. 22. Уравнения с разделяющимися переменными. 23. Однородные уравнения первого порядка. 24. Линейные уравнения первого порядка. 25. Уравнение Бернулли. 26. Дифференциальные уравнения высших порядков. Общее и частное решения уравнения. Уравнения, допускающие понижение порядка. 27. Линейно зависимые и линейно независимые системы функций. 28. Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков. Свойства решений линейного однородного уравнения. 29. Определитель Вронского. Необходимое и достаточное условие линейной независимости решений линейного однородного уравнения. 30. Структура общего решения линейного однородного уравнения. 31. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения. 32. Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. 33. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. Метод подбора частного решения по виду правой части. 34. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) нахождения решения линейного неоднородного уравнения. 35. Определение функции двух и более переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. Предел функции двух переменных. 40 36. Непрерывность функции двух переменных. Определение непрерывности функции двух переменных. Основные свойства непрерывных функций двух переменных. 37. Частные производные функции нескольких переменных. 38. Определение дифференцируемости функции. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости. Дифференциал функции. 39. Производные сложных функций. 41. Производные неявных функций. 42. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. 43. Частные производные высших порядков. Теорема о смешанных производных. 44. Определение экстремума функции двух переменных. Необходимые условия существования экстремума. Достаточные условия существования экстремума функции двух переменных. 45. Поверхности и линии уровня. Производная по направлению. Градиент и его свойства. Вопросы к экзамену (3 семестр) 1. Определение двойного интеграла и его существование. 2. Вычисление двойного интеграла и его основные свойства. 3. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах. 4. Приложения двойного интеграла к решению задач геометрии и физики: вычисление площади плоской фигуры, объема тела, площади криволинейной поверхности, массы плоской пластины, моментов инерции плоской фигуры, координат центра масс плоской фигуры. 5. Определение тройного интеграла. Вычисление тройного интеграла и его основные свойства. 6. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах. 41 7. Приложения тройного интеграла к решению задач геометрии и физики: вычисление объема и массы тела, моментов инерции и координат центра масс тела. 8. Определение криволинейного интеграла первого рода. Основные свойства и вычисление криволинейного интеграла первого рода. 9. Определение криволинейного интеграла второго рода. Основные свойства и вычисление криволинейного интеграла второго рода. 10.Формула Грина. 11.Условия независимости криволинейного интеграла от формы пути интегрирования. 12.Интегрирование полных дифференциалов. Уравнения в полных дифференциалах. 13.Определение поверхностного интеграла первого рода, его основные свойства и вычисление. 14.Односторонние и двусторонние поверхности. Ориентация поверхности. Определение поверхностного интеграла второго рода. 15.Основные свойства и вычисление поверхностного интеграла второго рода. Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода. 16.Формула Остроградского. 17.Формула Стокса. 18.Элементы теории поля. Скалярное поле. Характеристики скалярного поля: поверхности и линии уровня, производная по направлению, градиент скалярного поля. 19.Векторное поле Поток векторного поля. 20.Дивергенция. Формула Остроградского в векторных обозначениях. Инвариантное определение дивергенции. Физический смысл дивергенции. 21.Соленоидальное поле. Свойства соленоидальных полей. 22.Работа силового поля. Циркуляция. Ротор векторного поля. Символическая запись ротора. Формула Стокса в векторных обозначениях. 42 23.Потенциальное поле. Потенциал векторного поля. Свойства потенциальных полей. Разность потенциалов. 24.Оператор Гамильтона. 25.Числовые ряды. Основные определения. Свойства сходящихся рядов. Ряд, составленный из элементов геометрической прогрессии. 26.Необходимое условие сходимости ряда. 27.Ряды с положительными членами. Лемма о необходимом и достаточном условии сходимости ряда с положительными членами. 28.Признаки сравнения рядов. 29.Интегральный признак сходимости ряда. 30.Гармонические ряды. 31.Признаки Даламбера. Радикальный признак Коши. 32.Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда. 33.Признак Лейбница. 34.Степенные ряды. Основные понятия. Теорема Абеля. 35.Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Формула для радиуса сходимости. 36.Свойства степенных рядов. Разложение функции в степенной ряд. Теорема о единственности разложения функции в степенной ряд. 37.Теорема о необходимом и достаточном условии разложения функции в степенной ряд. 38.Разложение в степенной ряд функций: e x , sin x, cos x, ln (1 x) . 39.Тригонометрические ряды Фурье. Ряды Фурье четных и нечетных функций. 40.Элементы дискретной математики. 41.Элементы функционального анализа. 12. Рейтинговая оценка по дисциплине 43 Усвоение учебной дисциплины максимально оценивается в 100 рейтинговых баллов, которые распределяются по видам занятий в зависимости от их значимости и трудоемкости. По результатам текущей работы по дисциплине в течение семестра студент может набрать не более 70 баллов. На итоговый контроль отводится 30 баллов. Распределение баллов по видам учебных работ №п /п 1 2 3 4 5 Наименование работ Распределение баллов 25 15 20 10 30 100 Теоретический материал Практические занятия Контрольные работы Посещаемость Экзамен Итого Перевод баллов в пятибалльную шкалу Отлично 85-100 Хорошо 71-84 Удовлетворительно 60-70 Неудовлетворительно Менее 60 Примечание. При набранной общей сумме баллов менее 40 по результатам второй аттестации студент не допускается к итоговой аттестации по дисциплине. 13. Дополнительная инновационные информация, образовательные включающая технологии в себя (дистанционные технологии, активные методы обучения, интегрированные формы и т.д.). ДОПОЛНЕНИЯ И ИЗМЕНЕНИЯ В РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЕ За ____________ /_____________ учебный год В рабочую программу вносятся следующие изменения и дополнения __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 44 Министерство образования и науки Российской федерации Филиал государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Дальневосточный государственный технический университет (ДВПИ имени В.В.Куйбышева)» в г. Артеме КОНТРОЛЬНО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Специальность 280103.65 – Защита в чрезвычайных ситуациях специализация – Гражданская защита г. Артем 2010 45 Текущий и итоговый контроль по дисциплине Формы и методы текущего контроля Для текущего контроля успеваемости используются контрольные работы, контрольный опрос, защита типового расчёта, тесты. Оценка за освоение дисциплины, определяется как оценка на экзамене. 11.2. Контрольные задания для определения минимального уровня освоения программы дисциплины Тестовые задания Задание 1 Вопрос 1. Что называется функцией? 1. число; 2. правило, по которому каждому значению аргумента х в соответствует одно и только одно значение функции у; 3. вектор; 4. матрица; 5. нет правильного ответа. Вопрос 2. В каком случае можно определить обратную функцию? 1. когда каждый элемент имеет единственный прообраз; 2. когда функция постоянна; 3. когда функция не определена; 4. когда функция многозначна; 5. нет правильного ответа. Вопрос 3. Какая функция называется ограниченной? 1. обратная; 2. функция f(x) называется ограниченной, если m≤f(x)≤M; 3. сложная; 4. функция f(x) называется ограниченной, если f(x)>0; 5. функция f(x) называется ограниченной, если f(x)≤0; Вопрос 4. Какая точка называется предельной точкой множества А? 46 1. нулевая; 2. т.х0 называется предельной точкой множества А, если в любой окрестности точки х0 содержатся точки множества А, отличающиеся от х0; 3. не принадлежащая множеству А; 4. нет правильного ответа; 5. лежащая на границе множества. Вопрос 5. Может ли существовать предел в точке в том случае, если односторонние пределы не равны? 1. да; 2. иногда; 3. нет; 4. всегда; 5. нет правильного ответа. Задание 2 Вопрос 1. Является ли функция бесконечно малой при х→∞? 1. да; 2. нет; 3. иногда; 4. всегда; 5. нет правильного ответа. Вопрос 2. Является ли функция бесконечно большой при х→∞? 1. да; 2. нет; 3. иногда; 4. если х=0; 5. нет правильного ответа. Вопрос 3. Является ли функция у=sin x бесконечно большой при х→∞? 1. да; 2. нет; 3. иногда; 47 4. всегда; 5. нет правильного ответа. Вопрос 4. Является ли функция у=cos x бесконечно большой при х→∞? 1. да; 2. нет; 3. иногда; 4. всегда; 5. нет правильного ответа. Вопрос 5. Является ли функция у=tg x бесконечно большой в т. х0=0? 1. да; 2. иногда; 3. всегда; 4. нет; 5. нет правильного ответа. Задание 3 Вопрос 1. Является ли произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную, бесконечно малой функцией? 1. нет; 2. да; 3. иногда; 4. не всегда; 5. нет правильного ответа. Вопрос 2. В каком случае бесконечно малые α (х) и β(х) называются бесконечно малыми одного порядка в точке х0? 1. если они равны; 2. если ; 3. если ; 4. если их пределы равны 0; 5. нет правильного ответа. Вопрос 3. Сколько видов основных элементарных функций мы изучили? 48 1. 5; 2. 1; 3. 0; 4. 2; 5. 3. Вопрос 4. Чему равен предел константы С? 1. 0; 2. е; 3. 1; 4. ∞; 5. с. Вопрос 5. Является ли степенная функция непрерывной при любом положительном значении показателя степени? 1. нет; 2. да; 3. иногда; 4. при х >1; 5. нет правильного ответа. Задание 4 Вопрос 1. Какие функции называются непрерывными? 1. бесконечно малые; 2 удовлетворяющие условиям: а) f определима в т. х0 в) существует и равен f(x0); 3. бесконечно большие; 4. степенные; 5. тригонометрические. Вопрос 2. Если f(x0+0)=f(x0-0)=L, но f(x0)≠L, какой разрыв имеет функция? 1. нет правильного ответа; 2. 2-го рода; 3. устранимый; 49 4. неустранимый; 5. функция непрерывна. Вопрос 3. Какой разрыв имеет f(x) в т. х0, если f(x0-0)≠ f(x0+0), и не известно: конечны ли эти пределы? 1. устранимый; 2. неустранимый; 3. функция непрерывна; 4. 1-го рода; 5. 2-го рода. Задание 5 Вопрос 1. Сформулируйте свойство непрерывности сложной функции. 1. сложная функция непрерывна всегда; 2. если функция u=g(х) непрерывна в точке х0 и функция у=f(u) непрерывна в точке u=g(х0), то сложная функция у=f(g(x)) непрерывна в точке х0. 3. сложная функция, являющаяся композицией непрерывных функций не является непрерывной; 4. сложная функция разрывна; 5. сложная функция является композицией непрерывных функций и имеет устранимый разрыв. Вопрос 2. Является ли функция у=(1-х2)3 непрерывной? 1. нет; 2. иногда; 3. при х >1; 4. да; 5. нет правильного ответа. Вопрос3. Что такое производная функции? 1. Предел значения этой функции; 2. -1 3. 0; 4. 1; 50 5. е Вопрос 4. Какая функция является дифференцируемой в точке х=4 ? 1. 1 2. ln(x-4); 3. имеющая производную в точке х=4 ; 4. непрерывная в точке х=4; 5. нет правильного ответа. Вопрос 5. Какая функция называется дифференцируемой на интервале (а,в)? 1. разрывная в каждой точке интервала; 2. дифференцируемая в каждой точке этого интервала; 3. постоянная; 4. возрастающая; 5. убывающая. Задание 6 Вопрос 1. Чему равна производная константы у=с? 1. 1; 2. 0; 3. е; 4. ∞; 5. нет правильного ответа. Вопрос 2. Чему равна производная функции у=х5? 1. 0; 2. 1; 3. е; 4. 5х4; 5. нет правильного ответа. Вопрос 3. Чему равна производная у=ех? 1. 0; 2. ех; 3. е; 51 4. 1; 5. нет правильного ответа. Вопрос 4. Чему равна производная у=ℓn x? 1. ; 2. 0; 3. е; 4. 1; 5. нет правильного ответа. Вопрос 5. Чему равна производная у=sin x? 1. 0; 2. cos x; 3. е; 4. 1; 5. нет правильного ответа. Задание 7 Вопрос 1. Может ли непрерывная функция быть дифференцируемой? 1. нет; 2. да; 3. иногда; 4. только в точке х=0; 5. нет правильного ответа. Вопрос 2. Всегда ли непрерывная функция является дифференцируемой? 1. всегда; 2. никогда; 3. не всегда; 4. в т. х=0; 5. в т. х=∞. Вопрос 3. Может ли дифференцируемая функция быть непрерывной? 1. нет; 2. да; 52 3. никогда; 4. в т. х=0; 5. в т. х=∞. Вопрос 4. Всегда ли дифференцируемая функция является непрерывной? 1. не всегда; 2. никогда; 3. нет правильного ответа; 4. в т. х=0; 5. всегда. Вопрос 5. Найти вторую производную от функции у=sin x. 1. cos x; 2. -sin x; 3. 0; 4. 1; 5. tg x. Задание 8 Вопрос 1. Как называется главная, линейная часть приращения функции? 1. производная; 2. дифференциал (dу); 3. функция; 4. бесконечно малая; 5. бесконечно большая. Вопрос 2. Какие виды неопределенностей можно раскрыть при помощи правила Лопиталя? 1. {0}; 2. ; 3. c·0; 4. c·∞; 5. ∞·∞. Вопрос 4\3. Является ли условие у΄=0 в точке, не являющейся граничной 53 точкой области определения дифференцируемой функции у, необходимым условием существования экстремума в этой точке? 1. нет; 2. да; 3. не всегда; 4. иногда; 5. нет правильного ответа. Вопрос 4. Является ли условие у΄=0 в т. х=а достаточным условием существования экстремума? 1. да; 2. нет; 3. не всегда; 4. иногда; 5. нет правильного ответа. Задание 9 Вопрос 1. Какая функция называется функцией двух переменных? 1. f(x); 2. n=f(x,у,z); 3. нет правильного ответа; 4. z=f(x,у); 5. f(x)=const=c. Вопрос 2. Вычислить предел функции . 1. 0; 2. 29; 3. 1; 4. 5; 5. 2. Вопрос 3. Вычислить предел функции 1. 0; 2. 1; 54 3. 16; 4. 18; 5. 20. Вопрос 4. Какие линии называются линиями разрыва? 1. прямые; 2. состоящие из точек разрыва; 3. параболы; 4. эллипсы; 5. нет правильного ответа. Вопрос 5. Найти первую производную по у от функции z=3x+2у. 1. 1; 2. 2; 3. 0; 4. 5; 5. нет правильного ответа. Расчетные задания 1 семестр: Пределы, производные и графики функций. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Интегралы. 2 семестр: Кратные интегралы, векторный анализ. Ряды. 3 семестр: Дифференциальные уравнения. Функции комплексного переменного и операционное исчисление. Численные методы. Контрольная работа по теории множеств. Даны два множества и A и B . Найти следующие множества: a) A  B; b) A  B; c) A \ B; d ) B \ A . A ={простые числа <20} B ={нечетные числа <20} В1 A ={5<простые числа <20} B ={нечетные числа <20} В2 РГР по теме “Элементы линейной и векторной алгебры ” 5. Для данного определителя  найти миноры и алгебраические дополнения элементов ai 2 , a 3 j . Вычислить определитель  : а) разложив 55 его по элементам i -ой строки; б) разложив его по элементам j -го столбца; в) получив предварительно нули в i -ой строке. 1 1 2 1.1. 3 6  2 ; i  3 , j  1 . 1 0 6 2 0 1 1.2. 6 3  9 ; i  3, j  3 . 1 2 4 6. Даны две матрицы A и B . Найти: а) AB ; б) BA ; в) A 1 ; г) AA1 ; д) A1 A .  2  2.1. A   8  3   3  2.2. A   2  3   1  3  2 1  2     7  6 , B   3  5 4  . 1 2 4 2  1   5  6 8  5  2    4 3  , B    3 1 0  .  4 1 1  5  3   7. Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы (матричным методом); в) методом Гаусса. 2 x1  x2  3x3  7, 3.1.  2 x1  3x2  x3  1, .  3x  2 x  x  6 2 3  1  2 x1  x2  2 x3  3, 3.2.  x1  x2  2 x3  4, . 4 x  x  4 x  3 2 3  1 8. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений. 5 x1  3x 2  x3  0,  4.1. 3x1  2 x2  x3  0, .  8 x  x  3x  0 2 3  1 5 x1  6 x2  4 x3  0,  4.2.  3x1  3x2  x3  0, .  2 x  3x  3x  0 2 3  1 5. Напишите матрицу квадратичной формы и найдите ее канонический вид (методом Лагранжа или методом ортогонального преобразования). 5.1 x 2  y 2  4 xy . 5.2. 3x 2  3 y 2  4 xy . Контрольная работа по теории вероятности. 4. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса n1 , из второй – n 2 , из третьей - n3 студентов. Вероятности того, что студент первый, второй и третьей группы попадет в сборную института, соответственно равны p1 ; p2 и p3 . Наудачу выбранный студент попал в сборную. Какова вероятность, что он из первой группы? 56 5. При автоматической наводке орудия вероятность попадания по быстро движущейся цели равна p . Найти вероятность n попаданий при k выстрелах. 6. Длительной проверкой качества стандартных деталей установлено, что из каждой сотни деталей не имеют m штук в среднем. Составить биномиальное распределение числа пригодных деталей из взятых наудачу 6 деталей. Построить многоугольник биномиального распределения вероятностей. Каково наиболее вероятное число пригодных деталей? В1 1. n1  4; n2  6; n3  5; p1  0,9; p2  0,7; p  0,8 ; 2. p  0,9; n  6; k  8 ; 3. m  75 . В2 1. n1  5; n2  7; n3  5; p1  0,9; p2  0,7; p  0,8 ; 2. p  0,8; n  6; k  8 ; 3. m  80 . Контрольная работа по математической статистике. Для заданного варианта исходных данных 1. найти статистическое распределение выборки; 2. построить полигон частот; 3. найти эмпирическую функцию распределения и построить график; 4.найти выборочное среднее, выборочную дисперсию, асимметрию и эксцесс, моду и медиану. 5. составить интервальный ряд и построить гистограмму. В1 Время отыскания повреждения в приборе: 35 32 31 33 34 41 24 21 36 50 53 29 26 51 28 43 54 43 50 35 20 25 49 35 51 46 44 32 26 25 27 35 50 37 49 36 36 36 34 20 52 20 30 22 44 43 54 39 34 27 В2 4 3 Число членов семьи: 3 4 2 4 3 4 3 2 4 3 3 3 5 4 1 2 3 2 2 2 3 3 3 2 4 4 1 2 3 3 3 4 2 3 5 3 4 4 4 4 6 2 3 2 4 4 4 5 Задания для промежуточного контроля 57 Вариант № 1 1. Элементы Примеры. комбинаторики: размещения, 2. Найти производную функции y  ln перестановки, сочетания. x2 . 1 x2 3. Игральная кость брошена 2 раза. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков окажется равной 11. Вариант № 2 1. Классическое определение вероятности. Ее свойства. Примеры. 2. Определить точки разрыва функции y  3x  2 . x2 1 3. В партии из 100 деталей имеется 10 бракованных. Для проверки отобрали 5 деталей. Найдите вероятность того, что среди отобранных деталей окажется только одна бракованная. Вариант№ 3 1. Условная вероятность. Свойства условной вероятности. Теорема умножения вероятностей. Независимость и зависимость событий. Примеры. sin 3x . x0 x3 2. Найти предел функции lim 3. Игральная кость брошена 2 раза. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков окажется равной 7. Вариант№ 4 1. Формула полной вероятности. Пример.Формула Байеса. Пример. 2. Найти производную функции y  e x x  2e x . 3. Из пяти стрелков двое попадают в цель с вероятностью 0,6 и трое – с вероятность 0,4. Найдите вероятность того, что наудачу выбранный стрелок попадет в цель? 2 Вариант № 5 1. Схема испытаний Бернулли. Биномиальное распределение вероятностей. Примеры. 2. Найти предел функции lim x 0 e 2 x  1 . x 3. На склад поступила продукция трех фабрик, причем 10% продукции произведено первой фабрикой, 20% - второй и 70% - третьей. Известно, что в среднем продукция первой фабрики содержит 3% брака, второй – 2% и третьей – 1%. Найдите вероятность того, что наугад взятое изделие окажется 58 бракованным. Вариант № 6 1. Дискретные случайные величины. случайной величины. Пример. 2. Найти предел функции lim x0 Функция распределения дискретной 4 x 2 . 3arctg ( x) 3. Проведено четыре измерения (без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в мм): 5, 6, 9, 12. Найти несмещенную оценку математического ожидания. Вариант № 7 1. Непрерывные случайные величины. Функция распределения непрерывной случайной величины. Свойства функции распределения. Пример. 2. Найти множество первообразных функции y  Cos5x. 3. Найти эмпирическую функцию по данному распределению выборки xi 2 3 6 8 ni 1 6 9 4 Найти моду и медиану. Вариант № 8 1. Числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин. 2. Найти производную функции y  xesin x . 3. В урне 15 белых и 5 черных шаров. Наудачу отобраны 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется 3 белых шара. Вариант № 9 1. Задачи математической статистики. Статистическое определение вероятности. Генеральная совокупность. Выборки. Примеры. 2. Найти производную функции y   x 4  x 2 . 3. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент ответит на предложенные три вопроса. Вариант № 10 1. Точечные и интервальные оценки параметров распределения. Пример. 2. Найти производную функции y  ln( 2e x  1). 59 3. В студенческой группе 8 девушек и 12 юношей. Вероятность того, что девушка напишет контрольную работу на отлично, равна 0,6; для юношей эта вероятность равна 0,4. Наугад выбранная для проверки работа получила отличную оценку. Какова вероятность того, что эту работу написала девушка? Вариант № 11 1. Предел последовательности. Вычисление пределов последовательностей. 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке y  4 x 2  8x  15,  2;1 2. 3. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n =30 xi 2 3 4 5 ni 4 10 8 ? Найти: несмещенную оценку генерального среднего, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, моду. Вариант № 12 1. Определение функции. Вычисление пределов функции в точке. 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке y  10 x  10 , x 2  2x  2  1;2. 3. Бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что на обеих костях одинаковое число очков. Вариант № 13 1. Непрерывные функции в точке, на интервале. Классификация точек разрыва. 2. Найти дифференциал функции y  3 x2 . x2 3. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n =15 xi 2 4 5 6 ni 1 5 6 ? Найти: несмещенную оценку генерального среднего, несмещенную оценку дисперсии, моду. Вариант № 14 1. Дифференцирование функций. Производная сложной функции. 2. Найти дифференциал функции y  xarctgx  ln 1  x 2 . 3. Найти эмпирическую функцию по данному распределению выборки xi 2 4 5 7 60 3 Найти моду и медиану. ni 7 14 6 Вариант № 15 1. Дифференциал функции первого и второго порядков. 2. Найти предел функции y  1  sin 2 x  , при x  . 1  cos 4 x 4 3. Игральная кость брошена 2 раза. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков окажется равной 8. Вариант № 16 1. Касательная и нормаль к кривой в некоторой точке. 2. Найти производную функции y  (3x 6  4 x 4  x 2  2) (15x). 3. В коробке 6 шаров, причем два из них красных. Наудачу извлечены два шара. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных шаров окажется один красный. Вариант № 17 1. Исследование функции и построение ее графика. 2. Вычислить предел функции lim x 8 9  2x  5 . x 8 3. В урне находится 12 шаров, из них 10 белых. Из урны достают поочередно 3 шара и не возвращают обратно. Найти вероятность того, что они все белые. Вариант № 18 1. Интегрирование функций. Таблица интегралов. Свойства неопределенных интегралов. 2. Построить график функции с помощью производной первого порядка y  12 x 2  8 x 3  2. 3. В коробке 6 шаров, причем два из них красных. Наудачу извлечены три шара. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных шаров окажутся два красных. Вариант № 19 1. Замена переменной и интегрирование по частям. 2. Найти предел функции lim x0 sin 5 x  sin x . arcsin x 3. В коробке 6 шаров, причем два из них красных. Наудачу извлечены два шара. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных шаров окажется 61 хотя бы один красный. Вариант № 20 1. Интегрирование рациональных дробей. 2. Найти производную функции y  x  ln( 1  e x ) . 3. Бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что на обеих костях появится два очка. Вариант № 21 1. Интегрирование иррациональных функций. 2. Найти производную функции y  x  ln( 1  sin x) . 3. Найти моду и медиану вариационного ряда 2,4,4,6,6,3,1,8,6,9. Вариант № 22 1. Интегрирование тригонометрических функций. 2. Найти производную функции y  (1  e x ) cos x . . 3. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n =10 xi 10 12 14 16 ni 2 3 4 ? Найти: несмещенную оценку генерального среднего, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, моду. Вариант № 23 1. Определенный интеграл, его свойства. 2. Найти неопределенный интеграл x 1 x 2 dx. 3. Найти моду и медиану вариационного ряда 2,3,4,6,6,7,7,3,1,8,6,9,7. Вариант № 24 1. Формула Ньютона-Лейбница. Формула интегрирования по частям и замена переменной в определенном интеграле. 2. Найти неопределенный интеграл x 2 2 dx.  2x 3. В лаборатории имеется шесть новых и четыре старых компьютера. Вероятность безотказной работы нового компьютера равна 0,95, а старого 0,8. Производится расчет на наудачу выбранной машине. Найти вероятность 62 того, что во время работы машина не выйдет из строя. 63 Министерство образования и науки Российской федерации Филиал государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Дальневосточный государственный технический университет (ДВПИ имени В.В.Куйбышева)» в г. Артеме СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Специальность 280103.65 – Защита в чрезвычайных ситуациях специализация – Гражданская защита г. Артем 2010 64 Основная литература 1. Письменный Д.Т., Конспект лекций по высшей математике: Полный курс.-8е изд., М.:Айрис-пресс, 2009.-608с. 2. Письменный Д.Т., Конспект лекций по высшей математике: В 2-х 4.4.1-2.-9е изд.-М.Айрис-пресс,2008-2009.-608с. 3. Кузнецов Л.А.Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты. М., “Высшая школа”, 2008г. 4. Курс высшей математики. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление. Учебное пособие. И.М. Петрушко и др. – СПб.: Лань 2006г. 5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. — М.: Высшая школа, 2008г., часть 1 http://www.knigafund.ru/books/16866. 6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. — М.: Высшая школа, 2008г., часть 2 http://www.knigafund.ru/books/16866. Дополнительная литература 1. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2-х ч1.: учеб. пособие для втузов 5-е издание, исправ,-М: Высшая школа, 2003 – 304 с. 2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2-х часях 2.: учебное пособие для втузов – 5 изд., испр., / Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. – М.: Высшая школа, 2003 – 410 с. 3. Гмурман В.Е. «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике» М.: Высшая школа. 2004 г. 4. Шипачев В.С. Курс высшей математики. М.: Издательство Проспект, 2005г. 65 Интернет-ресурсы 1. Высшая математика: Учебник / К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, А.В. Рукосуев; Российская академия образования (РАО). - М.: Флинта: МПСИ, 2010 - 360 с. http://znanium.com/bookread.php?book=217321 2. Высшая математика: Учебник / Л.Т. Ячменёв. - М.: ИЦ РИОР: НИЦ Инфра-М, 2011. - 752 с http://znanium.com/bookread.php?book=344777 3. Михеев, В. И. Высшая математика, краткий курс [Электронный ресурс] : Учеб. пособие / В. И. Михеев, Ю. В. Павлюченко. - 2-е изд., испр. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 196 с. http://znanium.com/bookread.php?book=437352 66 Министерство образования и науки Российской федерации Филиал государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Дальневосточный государственный технический университет (ДВПИ имени В.В.Куйбышева)» в г. Артеме ГЛОССАРИЙ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Специальность 280103.65 – Защита в чрезвычайных ситуациях специализация – Гражданская защита г. Артем 2010 67 ГЛОССАРИЙ Математическое ожидание Одна из числовых характеристик случайной величины. Математическое ожидание дискретной случайной величины находится как сумма произведений значений случайной величины на их вероятности, а непрерывной случайной величины как интеграл по всей прямой от плотности распределения, умноженной на переменную интегрирования. Матрица Матрицей называется прямоугольная таблица чисел. Числа в этой таблице называются элементами матрицы. Если матрицу обозначают буквой A , то элемент матрицы стоящий в строке с номером i и столбце с номером j обычно обозначают aij . Например a A   11  a21 a12 a22 a13   a33  Неопределённый интеграл Неопределённым интегралом функции называется на интервале называется множество первообразных функции на этом интервале. Все эти первообразные отличаются друг от друга на постоянную величину. Например x3  x dx  3  C на  ;  или 2 x dx  ln  x   C на  ;0 . 1 Определитель матрицы Определитель матрицы это число поставленное в соответствие каждой матрице имеющей одинаковое число строк и столбцов. Для матриц второго и третьего порядка это число можно найти по формулам a b c d a b  ad  bc , d g c e f  aei  bfg  cdh  afh  bdi  ceg h i 68 Первообразная Функция, производная от которой равна данной функции в каждой точке интервала называется первообразной функции на интервале. Дифференциал Дифференциалом функции называется линейная часть приращения функции. Если f - дифференцируемая функция одной или нескольких переменных, то справедливо (для функций двух переменных) равенство  f  f f x0  x; y0  y   f x0 ; y0    x0 ; y0 x  x0 ; y0 y    x; y  x 2  y 2 y  x  где  x; y  величина, стремящаяся к 0 при приближении точки x; y  к точке 0;0. Первое слагаемое в приведённой формуле и есть дифференциал. Дифференциал функции обозначают df и коротко записывают так: df  f  x dx для функции одной переменной, df  f f dx  dy  ... для x y функции двух и более переменных. Последняя формула называется также формулой полного дифференциала. Производная Предел, к которому стремится отношение у при х  0 называется х производной функции и обозначается у  . Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей из производных, входящих в это уравнение. Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки ( x1, n1 ),......,( xr , nr ) , где xi - варианты выборки, ni - соответствующие им частоты. Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки ( x1 , w1 ),.....,( xr , wr ) , где xi - варианты выборки, wi соответствующие им относительные частоты. 69

ЕН.Ф.1_Высшая математика (новое окно)

Related documents

Products

Support

ЕН.Ф.1_Высшая математика (новое окно)

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib