1 Вариационно-энергетический метод расчета оболочек и других конструкций основан

1
К расчету оболочек вариационно-энергетическим методом
С.В. Бурцева, Г.П. Стрельников, В.И. Авилкин
Вариационно-энергетический метод расчета оболочек и других конструкций основан
на принципе минимума полной потенциальной энергии системы, являющимся одним из
основных принципов механики сплошной среды.
Полная потенциальная энергия системы (Э) равна разности работы внутренних и
внешних сил
Э=А - Авн
За основные неизвестные принимаются компоненты перемещения произвольной
точки срединной поверхности оболочки вдоль осей криволинейной системы координат в
виде бесконечных двойных рядов
𝑚
𝑛
𝑘
𝑘
𝒖 = ∑ ∑ Ф𝑘𝑟𝑠 𝑞𝑟𝑠
,
𝑟=1 𝑠=1
где Ф𝑘𝑟𝑠 − аппроксимирующие функции выбираются так, чтобы удовлетворялись
𝑘
геометрические граничные условия; 𝑞𝑟𝑠
− неизвестные постоянные коэффициенты,
определяемые из условия минимума полной потенциальной энергии системы.
Согласно принципу минимума полной потенциальной энергии системы,
действительному деформированному состоянию системы отвечает минимальное значение
ее полной потенциальной энергии.
Функция полной потенциальной энергии системы (Э) после подстановки в нее
компонент перемещения uk , будет являться квадратичной функцией многих
𝑘
независимых перемещений 𝑞𝑟𝑠
. Необходимым условием экстремума этой функции
𝑘
является равенство нулю ее частных производных по переменным 𝑞𝑟𝑠
𝜕Э
𝑘 = 0, 𝑘 = 1,2,3; 𝑟 = 1,2, … 𝒎; 𝑠 = 1,2, … 𝒏.
𝜕𝑞𝑟𝑠
Полученная система представляет собой систему 3mn линейных уравнений
𝑘
относительно 3mn неизвестных коэффициентов 𝑞𝑟𝑠
. Полученные коэффициенты
позволяют определить не только перемещения, но и деформации и напряжения в любой
точке тонкостенной конструкции.
Для расчета оболочки любой формы, для которой найдены линии кривизны,
получено выражение для работы внутренних сил (А) в матричном виде.
При получении этого выражения были приняты гипотезы Киргофа-Лява. Система
координат криволинейная, ортогональная и совпадает с линиями кривизны срединной
поверхности оболочки
𝑨 = 𝑬1 𝒒𝑇 [∫ ∫ 𝑭𝑇 𝑯11 𝑯22 𝑹𝑇 𝑵𝑹𝑭𝑑𝛼1 𝑑𝛼2 ] 𝒒.
𝛼1
𝛼2
𝑬(1 − 𝝁)
𝝁
; 𝝁1 =
(1 + 𝝁)(1 + 2𝝁)
1−𝝁
E−модуль упругости первого рода, − коэффициент Пуассона
𝑬1 =
2
𝑘
𝑞11
⋮
𝑘
𝑞 𝑘 = 𝑞𝑟𝑠
, 𝑘 = 1,2,3;
⋮
𝑘
𝑞
( 𝑚𝑛 )
1
𝑞
𝑞 = (𝑞 2 ) ;
𝑞3
(3mn×1)
Ф1
Ф=(0
0
Ф
Ф,1
𝐹=( )
Ф,2
Ф3
(mn×1)
(12×3mn)
0 0 Ф3,11
0
3
𝑘
0 ) ; Ф𝑘 = (Ф11 … Ф𝑘𝑟𝑠 … Ф𝑘𝑚𝑛 ); Ф3 (0 0 Ф,12 )
Ф3
0 0 Ф3,13
(3×3mn)
(1×mn)
(12×3mn)
0
Ф2
0
11 =
3
Г11
Г322
;

=
22
3
2 ; 𝐻11 , 𝐻22 − параметры Ляме,
𝐻22
𝐻11
3
2
2
Г11
, Г322 , Г112 , Г12
, Г11
, Г122 − символы Кристоффеля.
R=
0
R21
0
R41
R51
R61
R71
R81
𝑹12
R12
0
R32
0
R52
R62
R72
R82
𝑹51 = −
0
R25
0
0
0
R65
R75
0
0
0
0
0
R56
R66
R76
R86
0
0
R37
0
0
R67
R77
0
0
0
0
R48
0
0
0
R88
0
0
0
0
R59
R69
R79
R89
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
R512
R612
R712
R812
Г112
1
𝐻11 Г122
1
; 𝑹37 =
; 𝑹41 = −
; 𝑹43 = −22 ; 𝑹48 =
;
𝐻22
𝐻11
𝐻22
𝐻22
11,1
Г112
11
𝐻11,1
Г112
; 𝑹52 = −
; 𝑹54 = −
; 𝑹56 = 3 ; 𝑹59 = − 2 ;
𝐻11
𝐻22
𝐻11
𝐻22
𝐻11
2
2
1
11 Г112 11 𝐻22 Г11
11 Г12
22,1
= − 2 ; 𝑹61 =
+
;
𝑹
=
−
+
62
2
2 ;
2𝐻22
2𝐻11
𝐻11
𝐻11
𝐻11
𝑹65 = −
𝑹612
R14
0
0
0
R54
0
0
0
2
𝐻22 Г11
1
Г112
1
=−
;
𝑹
=
−
;
𝑹
=
;
𝑹
=
−
;
𝑹
=
;
13
11
14
21
25
2
𝐻11
𝐻22
𝐻11
𝐻11
𝑹32 = −
𝑹512
R13
0
0
R43
0
0
0
0
2
11
22
𝐻22 Г11
11
𝐻22,1
+
; 𝑹66 =
; 𝑹67 =
; 𝑹69 = −
3
2 ;
2𝐻11 𝐻11
2𝐻22
𝐻11 𝐻22
𝐻11
2
1
22 Г112 11,2
22 Г12
22 𝐻11 Г122
=
; 𝑹71 = −
+
; 𝑹72 =
+
;
2
𝐻11 𝐻22
𝐻22
𝐻22
2𝐻11
𝐻22
3
𝑹75 =
22
𝐻11,2
11
22
𝐻22,1
; 𝑹76 =
; 𝑹77 =
−
; 𝑹79 = −
2
2 ;
2𝐻11
𝐻22 2𝐻22
𝐻22 𝐻11
𝐻11 𝐻22
𝑹712 = −
2
1
11 Г112
22,2
Г12
; 𝑹81 =
; 𝑹82 = −
; 𝑹86 = − 2 ;
𝐻11 𝐻22
𝐻11
𝐻22
𝐻11
𝑹88 = −
N=
N11
0
0
N41
N51
0
0
0
0
N22
N32
0
0
N62
N72
0
22
𝐻22,2
1
; 𝑹89 = 2 ; 𝑹812 = − 2 .
𝐻22
𝐻22
𝐻22
0
N23
N33
0
0
N63
N73
0
N14
0
0
N44
0
0
0
N84
N15
0
0
0
N55
0
0
N85
0
N26
N36
0
0
N66
N76
0
0
N27
N37
0
0
N67
N77
0
0
0
0
N48
N58
0
0
N88
𝒉3 2
𝒉3
𝑵11 = 𝒉 + (11 − 11 22 ); 𝑵14 = 𝒉𝝁1 ; 𝑵15 =
( − );
3
3 11 22
1 − 𝝁1
𝒉3
𝑵23 = 𝑵22 =
(𝒉 + (11 −22 )2 ) ; 𝑵32 = 𝑵33 = 𝑵22 ;
2
6
3
𝒉 (1 − 𝝁1 )
(22 −11 ); 𝑵37 = 𝑵27 = −𝑵26
𝑵63 = 𝑵62 = 𝑵36 = 𝑵26 =
12
𝒉3 2
𝒉3
( − 11 ); 𝑵51 = − 𝑵48 ;
𝑵41 = 𝒉𝝁1 ; 𝑵44 =
(22 − 11 22 ); 𝑵48 =
3
3 22
𝒉3
𝒉3
𝑵88 = 𝑵55 =
; 𝑵85 = 𝑵58 =
𝝁 ; 𝑵 = 𝑵48 ;
3
3 1 84
𝒉3 (1 − 𝝁1 )
𝑵76 = 𝑵77 = 𝑵67 = 𝑵66 =
.
6
Литература:
1.Аксентян К.Б., Гордеев-Гавриков В.К. Энергетический метод расчета оболочек
усложненной формы. Издательство Ростовского университета, 1976г.
2. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек М. «Наука» ,1976г.
3.Филин А. В. Элементы теории оболочек Изд. второе, дополн. и перераб.- Л.: Стройиздат,
1975г.