Арифметические и геометрические прогрессии. Арифметической прогрессией

Тема 22. Арифметические и геометрические прогрессии.
Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой,
начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d . Это число называется
разностью арифметической прогрессии.
Таким образом, арифметическая прогрессия задается равенством: an1  an  d , n  N , где a n и
an1 соответственно n -й и n  1-й члены прогрессии.
1.
Основные свойства арифметической прогрессии
Общий ( n -й) член арифметической прогрессии определяется формулой
2.
Сумма
Sn 
3.
4.
членов
арифметической
прогрессии
определяется
формулой
a1  an
2a  d (n  1)
n  1
n .
2
2
Три
an 
первых
n
an  a1  d (n  1) .
соседних
члена
арифметической
прогрессии
связаны
соотношением
ak  p  ak  p
an1  an1
, n  2 . Справедливо и другое соотношение ak 
,pk .
2
2
Для конечной арифметической прогрессии суммы членов, равноотстоящих от концов
прогрессии, равны
a1  an  a2  an1  a3  an2  ...  ak  ank 1 . Арифметическая
прогрессия является возрастающей, если d  0, и убывающей, если d  0.
Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой,
начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q  0 . Это число называется
знаменателем прогрессии.
Таким образом, геометрическая прогрессия задается равенством bn1  bn  q, n  N , q  0.
Основные свойства геометрической прогрессии.
1.
Общий ( n -й) член геометрической прогрессии определяется формулой bn  b1  q
2.
Сумма
n первых
если q  1 и
3.
членов геометрической прогрессии определяется формулой
Sn 
.
b1 (1  q n )
,
1 q
S n  b1  n , если q  1 .
Три соседних члена геометрической прогрессии связаны соотношением bn  bn 1  bn 1 .
2
Справедливо и другое соотношение
4.
n 1
bk2  bk  p  bk  p , где p  k .
Для конечной геометрической прогрессии произведения членов, равноотстоящих от концов
прогрессии, равны b1  bn  b2  bn1  b3  bn2  ...  bk  bnk 1 . Геометрическая прогрессия
является возрастающей, если
если
b1  0 и q  1 . Геометрическая прогрессия является убывающей,
b1  0 и 0  q  1 .
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия состоит из бесконечного количества членов и ее
знаменатель  1  q  1 .
Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле
S
b1
.
1 q
Пример 1. Если первый член арифметической прогрессии равен 1, а шестой член равен 21, то сумма
первых ее пяти членов равна 1) 40; 2) 45; 3)50; 4) 55; 5) 60.
Решение.
S5 
Так
как
2a1  4d
2 1  4  4
5 
 5  45.
2
2
a6  a1  5d ,
то
d
21  1
 4.
5
Значит
Ответ: 2.
Пример 2. Найти номер первого отрицательного члена арифметической прогрессии 5,3; 4,9; …
a1  5,3; a2  4,9, следовательно, d  a2  a1  4,9  5,3  0,4. Каждый
член этой прогрессии имеет вид an  a1  d (n  1)  5,3  0,4(n  1). Для отрицательных членов
53
1
выполняется неравенство 5,3  0,4( n  1)  0, n  1 
, n  14 . Поскольку n - целое, то n  15;16;...
4
4
Первый отрицательный член имеет номер n  15.
Решение. Нам дано
Ответ: 15.
Пример 3. При каком наименьшем целом
последовательными членами арифметической прогрессии?
x
числа
ln x, ln 3 x, ln 9 x являются тремя
Решение. Так как три последовательных члена связаны соотношением a n 
ln 3x 
a n 1  a n 1
,
2
то
ln x  ln 9 x
,2 ln 3x  ln 9 x 2 . Получим тождество ln( 3x) 2  ln 9 x 2 на области определения всех
2
данных логарифмов, т. е. при x  0. Наименьшим целым значением тогда служит x  1.
Ответ: 1.
Пример 4. Количество двузначных натуральных чисел, кратных 6, равно 1) 16; 2) 17; 3) 14; 4) 13; 5)
15.
Решение. Двузначные натуральные числа, кратные 6, образуют арифметическую прогрессию: 12;
18; 24; …; 96. Используем формулу an  a1  d (n  1) 96  12  6(n  1)  n  15.
Ответ: 5.
Пример 5. Если сумма четвертого, пятого, седьмого и шестнадцатого членов арифметической
прогрессии равна 32, то сумма первых пятнадцати членов этой прогрессии равна: 1) 100; 2) 110; 3) 120; 4)
115; 5) 130.
Решение.
По
условию
имеем
a4  a5  a7  a16  32 
a1  3d  a1  4d  a1  6d  a1  15d  32  4a1  28d  32  a1  7d  8  a8  8. По свойству
членов
арифметической
прогрессии
a1  a15  a2  a14  ...  a7  a9  a8  a8  2a8  16.
a  a15 2a8

15  8 15  120.
Тогда S15  1
2
2
Ответ: 3.
Пример 6. Если
x0 - корень уравнения 1+4+7+…+х=176, то значение выражения
x0  11
равно 1)
x0  10
2; 2) 3; 3) 2,5; 4) 3,5; 5) 4.
Решение. В левой части уравнения записана сумма арифметической прогрессии, в которой
a1  1, d  3, an  x. Из условия an  a1  d (n  1) найдем число членов этой прогрессии:
a  an
1 x x  2
x2
. Используя формулу суммы S n  1
 n, получим:

 176.
3
2
2
3
 x1  31,
2
Отсюда x  3x  1054  0  
x2  34 не подходит по смыслу уравнения. Следовательно
 x2  34.
x0  11 31  11 42


 2.
x0  10 31  10 21
x  1  3(n  1)  n 
Ответ: 1.
Пример 7. Если сумма шести первых членов геометрической прогрессии равна 1820, а знаменатель
равен 3, то сумма первого и пятого членов этой прогрессии равна: 1) 164; 2) 246; 3) 328; 4) 410; 5) 492.
Решение.
b1 
Согласно
условию,
S6 
b1 (1  q 6 ) b1 (q 6  1)

 1820 ,
1 q
q 1
1820
 5, b5  b1  q 4  5  34  405. Следовательно b1  b5  410.
364
Ответ: 4.
q  3.
Отсюда
Пример 8. Сумма первых трех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна
62
25
, а сумма прогрессии равна
. Каков первый член этой прогрессии?
5
5
Решение. Выражая первые три члена прогрессии и ее сумму через
b1 и q , имеем согласно условию
задачи
62

62
2

2
b1  b1q  b1q  5 ,
b1 (1  q  q )  5 ,


 b
b  25 (1  q )
 1  25
 1 2
1  q 2
124

3
1

1  q  125 ,
q  ,

5


b1  10
b  25 (1  q)
 1 2
Ответ: b1  10.
Пример 9. При каком значении
x
62
 25
2
 2 (1  q)(1  q  q )  5 ,


b  25 (1  q)
 1 2
числа
2 x ( x  2 )  0 , 5 ;2 x ;
1
образуют геометрическую
4 2
прогрессию?
Решение.
2 2 x  2 x  x 2 0,5 
По
1
4 2
Ответ:  3.
свойству
 22 x  2 x
2
геометрической
 2 x 0 , 5
прогрессии
bn2  bn1  bn1
получим
 2 2,5  2 x  x 2  2 x  3  x 2  3  x   3.
Пример 10. Решить уравнение
2 x  1  x 2  x 3  x 4  x 5  ... 
13
, где x  1.
6
Решение. Перепишем уравнение в виде
(2 x  1)  ( x 2  x 3  x 4  x 5  ...) 
13
.
6
Во
второй
скобке
-
сумма
бесконечно
убывающей
x2
13
x2
13
 ,
 , 2x 1
1 x 6
1  ( x) 6
1

x1  ,

2
12 x  12 x 2  6 x 2  6 x  6  13  13x, 18 x 2  5 x  7  0  
x   7 .
2
9

1 7
Ответ: ; .
2 9
геометрической прогрессии с q   x. Следовательно
2x 1 
Пример 11. Три числа, среднее из которых равно 8, составляют возрастающую арифметическую
прогрессию. Если от первого числа отнять 1, а к третьему прибавить 19, то полученные новые три числа
будут составлять геометрическую прогрессию. Найти эти числа.
Решение. По условию a1 ;8; a3 - возрастающая арифметическая прогрессия, a1  1;8; a3  19 -
a1  a3
2
и 8  ( a1  1)  ( a3  19). Решим систему
2
a1  a3  16,
a  3,
 a12  36a1  99  0   1
Значение a1  33 не удовлетворяет условию

a1  33.
(a1  1)( a3  19)  64
возрастания арифметической прогрессии. Значит a1  3. Тогда a3  16  3  13.
геометрическая
Ответ:
прогрессия.
Тогда
a1  3; a2  8; a3  13.
8