Напряженное и деформированное состояние. Плоское

http://sm.teormex.net
3
Напряженное и деформированное состояние
Различают три вида напряженного состояния:
1) линейное напряженное состояние — растяжение (сжатие) в одном направлении;
2) плоское напряженное состояние — растяжение (сжатие) по двум направлениям;
3) объемное напряженное состояние — растяжение (сжатие) по трем взаимно перпендикулярным направлениям.
Рассматривают бесконечно малый параллелепипед (кубик). На его гранях могут
быть нормальные  и касательные  напряжения. При изменении положения "кубика" напряжения меняются. Можно найти такое положение, при котором нет касательных напряжений см. рис.
Площадки, по которым не действу1
1
1
ют касательные напряжения, называются главными площадками, а
3
2
2 2
нормальные напряжения на этих
2
площадках — главными напряжени3
ями.
1
1
1
Главные напряжения обозначают:
линейное
плоское
объемное
1, 2, 3 и 1> 2> 3
напряженное состояние
Плоское напряженное состояние
Разрежем элементарный параллелепипед
z
z
(рис.а) наклонным сечением. Изображаz

zx
ем только одну плоскость. Рассматрива
ем элементарную треугольную призму
xz

x
x
(рис.б). Положение наклонной площадки
x

x

x
xz
определяется углом . Если поворот от
xz
оси x против час.стр. (см. рис.б), то >0.
zx
zx
z
z
Нормальные напряжения имеют индекс,
соответствующий оси их направления.
б)
а)
Касательные напряжения, обычно, имеют два индекса: первый соответствует
направлению нормали к площадке, второй — направлению самого напряжения (к
сожалению, встречаются и другие обозначения, и другой выбор осей координат, что
приводит к изменению знаков в некоторых формулах).
Нормальное напряжение положительно, если оно растягивающее, касательное
напряжение положительно, если оно стремится повернуть рассматриваемую часть
элемента относительно внутренней точки по час.стр (для касательного напряжения в
некоторых учебниках и вузах принято обратное).
Напряжения на наклонной площадке:
  z
  x
sin 2   xz cos 2
   x cos2    z sin2    xz sin 2
2
  z x  z

cos 2   xz sin 2
или    x
2
2
http://sm.teormex.net
4
Закон парности касательных напряжений: если по площадке действует касательное
напряжение, то по перпендикулярной к ней площадке будет действовать касательное напряжение, равное по величине и противоположное по знаку. (xz= — zx)
В теории напряженного состояния различают две основные задачи.
Прямая задача. По известным главным напряжениям: 1= max, 2= min требуется
определить для площадки, наклоненной под заданным углом () к главным площадкам, нормальные и касательные напряжения:
  2

  1
sin 2
  1 cos2    2 sin2 

1
2
1   2 1   2




cos 2 .
или

 
2
2

Для перпендикулярной площадки:
2
  2
2
  1 sin 2    2 cos 2 
   1
sin 2 .
2
Откуда видно, что +=1+2 — сумма нормальных
напряжений по двум взаимно перпендикулярным пло1
щадкам инварианта (независима) по отношению к
наклону этих площадок.
Как и в линейном напряженном состоянии максимальные касательные напряжения
имеют место при =45о, т.е. по площадкам, наклоненным к главным площадкам
  2
под углом 45о max  1
.
2
Обратная задача. По известным нормальным и касательным напряжениям, действующим в двух взаимно перпендикулярных площадках, найти главные (max и min)
напряжения и положение главных площадок.
  z 1
max  x

( x   z ) 2  4 2xz
z
2
2
min
z
(касательные напряжения по главным площадкам
zx
max
равны 0).
Угол 0, определяющий положение главных площа0 xz
2 xz
2 xz
x
док: tg2 0  
или tg 0  
.
x
x  z
1   z
Если одно из главных напряжений окажется отрицаmin
тельным, то их надо обозначать 1, 3, если оба отрицательны, то 2, 3.

Круг Мора (круг напряжений). Координаты точек
D
круга соответствуют нормальным и касательным
2
напряжениям на различных площадках. Отклады0

C
ваем от оси  из центра С луч под углом 2 (>0,
2
то против час.стр.), находим точку D,
1
координаты которой: ,. Можно графически
1
2
решать как прямую, так и обратную задачи.