Задания с решениями

4 класс
1. Несколько пингвинчиков построились в колонну по росту и двинулись к морю.
Каждый следующий пингвин на 2 см ниже предыдущего, а самый маленький
пингвинчик на 3 дм ниже самого высокого. Сколько всего пингвинов в колонне?
2. Две внучки и два внука собрали деньги на подарок бабушке: один 30, другой 50,
а третий 80 рублей. Четвертый тоже вложился, но его взнос не был наибольшим.
Сколько он внес, если девочки и мальчики внесли поровну? Ответ необходимо
обосновать
3. Квадратная таблица размером 10×10 заполнена числами так, что сумма любых
трех идущих подряд чисел (расположенных сверху вниз или слева направо)
равна 10. В левой нижней клетке записано число 1. Какое число записано в
правой верхней клетке?
4. Имеется двухместная лодка и 4 пассажира, которые хотят переправиться на
другой берег. Один из них робкий, другой бойкий, а двое оставшихся
нормальные. Робкий пассажир не плавает в одиночку и не остаётся на берегу в
одиночку, а бойкий плавает только в одиночку. Как им переправиться с левого
берега на правый?
5. Сорок детей водили хоровод. Из них 20 держали за руку хотя бы одного
мальчика и 28 держали за руку хотя бы одну девочку. Сколько девочек было в
хороводе?
6. Запишите число 2016 в виде суммы трёх палиндромов: четырехзначного,
трёхзначного и двузначного (палиндром – это натуральное число, чья запись
одинаково читается слева направо и справа налево, например, 55, 191 или 2002).
Решения.
1. Между первым и последним пингвинчиками 30:2=15 промежутков, значит,
всего пингвинчиков 15+1=16.
2. Четвертое число в сумме с одним из известных равно сумме двух других
известных чисел. Всего возможны 3 различных варианта: 0+80=50+30;
60+50=80+30; 100+30=50+80. Первый и третий из приведенных вариантов
противоречат условию задачи. Значит, справедлив второй вариант, и четвертый
внук внес 60 рублей.
3. Из условия задачи следует, что, если 4 числа расположены одно за другим, то
четвертое равно первому. Отсюда следует, что, двигаясь сначала вправо, а потом
вверх и перешагивая через 2 клетки, мы доберемся из левой нижней клетки в
правую верхнюю. Таким образом, в правой верхней клетке записано число 1.
4. Сначала переправляются два нормальных пассажира, потом один из них
возвращается и перевозит робкого. Затем нормальный пассажир возвращается, и
на другой берег переправляется бойкий. После чего возвращается другой
нормальный пассажир, и оба нормальных пассажира переправляются на другой
берег.
5. Из условия задачи следует, что 20+28-40=8 детей держали за руку и мальчика, и
девочку. Тогда 20-8=12 держали двумя руками мальчиков. Сосчитаем руки всех
мальчиков. Их количество равно 12·2+8=32; значит мальчиков всего 32:2=16, а
девочек 40-16=24.
6. Например, 1111+828+77.
5 класс
1. Жюри решило снять задачу №1, т.к. в разных школах города ученики 5-х классов обучаются по разным
программам. Поэтому работа будет оцениваться по 5 оставшимся задачам.
2. Семья состоит из мамы, папы и четверых детей. Средний рост детей –120 см, а родителей – 174 см.
Каков средний рост всех членов этой семьи?
3. Имеется пять монет, из которых три настоящие и две фальшивые и прибор, который проверяет
одновременно две монеты, причем положительный ответ выдается только в том случае, если обе
монеты настоящие. Как за четыре попытки определить настоящие монеты?
4. Пятиклассник Вася Пупкин весь январь готовился к математической олимпиаде. При этом он решал от
одной до шести задач в день. Вася утверждает, что за все понедельники он решил на 25 задач больше,
чем за все среды, а за все четверги на 25 задач больше, чем за все субботы. Не перепутал ли Вася?
5. Король вписал в каждую клетку квадрата 3×3 числа так, что суммы трех чисел в каждой строке,
каждом столбце и обеих диагоналях оказались равны, а потом закрыл все клетки картонками. Барон
Мюнхгаузен похвастался, что если откроет всего 4 картонки, он сможет узнать числа во всех клетках
квадрата. Стоит ли ему верить?
6. Петя и Вася делят два яблока веса 100 и 150 г и одну грушу. Фрукты они не режут. Сначала делил Петя,
взяв себе вдвое больше (по весу). Недовольный Вася переделил по-другому, взяв себе в полтора раза
больше Пети. Сколько весит груша?
Решения.
1. 2. (120∙3+174∙2):5=141,6.
3. Проверим сначала две монеты. Если они настоящие, то будем проверять по одной
оставшейся вместе с одной из настоящих. В этом случае для того, чтобы найти третью
настоящую монету, достаточно будет двух проверок. Если первая проверка не даст
положительного результата, то проверим еще две монеты. Если и в этом случае ответ
будет отрицательный, то пятая монета – настоящая, а в первых двух парах по одной
фальшивой. Проверим настоящую монету сначала с какой-нибудь монетой из первой
пары, а потом с какой-нибудь монетой из второй пары, и таким образом выявим две
фальшивые монеты. Если же во второй паре две настоящие монеты, то проверим
вместе с настоящей монетой пятую монету, и, если она окажется фальшивой,
проверим настоящую монету вместе с монетой из первой пары и найдем в первой паре
еще одну фальшивую монету.
4. Так как Вася каждый день решал от 1 до 6 задач, то за все понедельники он мог
решить на 25 задач больше, чем за все среды, лишь в том случае, если в январе было 5
понедельников. Точно также, если Вася не ошибается, то в январе должно быть 5
четвергов. Но ни в одном месяце не может быть одновременно 5 понедельников и 5
четвергов. Значит, Вася ошибается.
5. Мюнхгаузен говорит правду. Он может посмотреть, например, три карточки, лежащие
в первой строке и карточку, лежащую в центре. С помощью первых трех карточек мы
найдем интересующую нас сумму, затем воспользуемся тем, что во втором столбце и в
обеих диагоналях нам известно по два числа (и, кроме того, сумма). Благодаря этому
мы определим все числа в третьей строке. Два оставшихся числа мы найдем с
помощью первого и третьего столбцов.
6. Так как Петя взял себе фруктов вдвое больше, то груша может весить 50 г
(50+150=2·100); 125 г (100+150=2·125); 200 г (100+200=2·150); 500 г
(500=2·(100+150)). Из этих 4 чисел нам подходит только 125, так как только в этом
случае Вася может распределить фрукты так, как сказано в условии: 125+100 в
полтора раза больше, чем 150.
6 класс
1. Вася Пупкин перевозил левые и правые палочки «Твикс». Он арендовал один и тот же поезд на два
рейса. В первом рейсе вагонов с левыми палочками было в пять раз больше, чем вагонов с правыми. А
во втором рейсе вагонов с левыми и правыми палочками было поровну. Во сколько раз больше левых
палочек перевез Вася?
2. Шестиклассник Петя из цифр 0, 1, …, 9 составил пять двузначных чисел, используя каждую цифру
ровно один раз. Чему равна сумма всех пяти чисел, если известно, что количество простых среди них
максимально возможное?
3. Путешественник встретил 4 жителей острова лжецов и рыцарей, и спросил каждого из них: «Есть ли
среди оставшихся троих лжецы?» Первый ответил «нет», второй и третий – «да», а ответ четвертого
путешественник не расслышал. Лжецы всегда лгут, а рыцари всегда говорят правду. Кем является
четвертый житель – лжецом или рыцарем?
4. «А это вам видеть пока рано», – сказала Баба-Яга своим 33 ученикам и скомандовала: «Закройте
глаза!». Правый глаз закрыли все мальчики и треть девочек. Левый глаз закрыли все девочки и треть
мальчиков. Сколько учеников всё-таки увидели то, что видеть пока рано?
5. Запишите число 2016 в виде суммы трёх палиндромов: четырехзначного, трёхзначного и двузначного,
так, чтобы в записи всех трёх палиндромов было использовано менее пяти цифр. (Палиндром – это
натуральное число, чья запись одинаково читается слева направо и справа налево, например, 55, 191
или 2002)
6. Варя захотела раскрасить каждую клетку таблицы 5×8 разными цветами таким образом, чтобы каждый
цвет встречался ровно в четырёх рядах (ряды могут быть как вертикальными, так и горизонтальными,
а в одном ряду клетки данного цвета могут встречаться несколько раз). Какое наименьшее число
цветов ей для этого понадобится?
Решения.
1. Левых палочек Вася перевез
он перевез
1 1 2
 
6 2 3
5 1 4
 
6 2 3
от числа всех вагонов в составе. Правых палочек
от числа всех вагонов, то есть в два раза меньше.
2. Двузначные простые числа могут заканчиваться только на 1, 3, 7 и 9 (иначе число
делится на 2 или на 5), то есть их не более четырёх. Четыре простых числа можно
составить. Например, Петя мог придумать числа 23, 41, 59, 67, 80. Пятое число всегда
оканчивается на 0 (т.к. начинаться с нуля число не может). Таким образом, в разрядах
единиц стоят цифры 0,1,3,7,9 с общей суммой 20, а в разрядах десятков – оставшиеся
числа 2,4,5,6,8 с общей суммой 25 (десятков), и сумма всех пяти чисел всегда равна
270.
3. Если первый – рыцарь, то он сказал правду, значит, второй и третий – тоже рыцари,
но их ответ противоречит ответу первого. Значит, первый - лжец. Но тогда второй и
третий сказали правду, значит, они рыцари. Если бы четвертый был также рыцарем, то
слова первого были бы правдой, чего не может быть. Значит, четвертый житель –
лжец.
4. Оба глаза закрыли треть мальчиков и треть девочек, то есть треть всех детей. Значит,
две трети детей увидели то, что им видеть не положено.
5. Например, 1111+828+77.
6. Чтобы выполнялось условие задачи, нужно, чтобы в каждый цвет было окрашено либо
три клетки в одном ряду, либо четыре клетки, расположенные в пересечении двух
вертикальных и двух горизонтальных рядов. При этом ряды длиной 5 нельзя покрыть
раскрасками второго типа, поэтому, чтобы покрасить таблицу из 40 клеток, не хватит
десяти цветов. А одиннадцатью цветами это можно сделать, например, так.
1 1 1 2 2 2 3 4
5 5 6 6 7 7 3 4
5 5 6 6 7 7 3 4
9 9 10 10 11 11 8 8
9 9 10 10 11 11 8 8