14. РАСЧЕТ СТЕРЖНЯ НА УСТОЙЧИВОСТЬ (ЗАДАЧА 10)

14. РАСЧЕТ СТЕРЖНЯ НА УСТОЙЧИВОСТЬ (ЗАДАЧА 10)
а
l
Основные понятия и расчетные зависимости
Стержень с прямой осью нагружен продольной сжимающей
силой. В зависимости от величины силы, материала и геометрических параметров стержня его прямолинейная форма равновесия
может быть неустойчивой. Неустойчивость при сжатии проявляется в виде изгиба стержня в
Плоскость
Fкр наименьшей
F
плоскости наименьшей жесткости (рис. 14.1). Данная плосжесткости
кость перпендикулярна к главной центральной оси сечения с
минимальным моментом инерции. Наименьшая продольная
сжимающая сила, при которой
2а
прямолинейная форма равновеРис.14.1.
сия становится неустойчивой,
называется критической. Отношение критической силы Fкр к
фактической нагрузке F называется коэффициентом запаса
устойчивости
Fкр
nу 
.
(14.1)
F
Критическая сила равна
(14.2)
Fкр   кр А,
где  кр - критическое напряжение; А – площадь поперечного сечения.
Критическое напряжение находится в зависимости от гибкости стержня, которая определяется по формуле
l

,
(14.3)
I min
A
где μ – коэффициент, учитывающий способ закрепления стержня;
l – длина стержня; Imin – минимальный момент инерции поперечного сечения.
104
Наиболее распространенные способы закрепления стержня
и соответствующие им коэффициенты μ представлены на
рис.14.2.
μ=1
μ=0,7
μ=0,5
μ=2
Рис.14.2
Критическое напряжение равно
2Е
При   1
 кр  2 (формула Эйлера);

при  2    1
 кр  a  b (формула Ясинского) ; (14.4)
при
  2
 кр   т ,
где 1 ,  2 - первая и вторая предельные гибкости стержня; Е,  т
– модуль Юнга и предел текучести материала стержня; a, b – экспериментальные коэффициенты для материала стержня .
Предельные гибкости определяются по формулам
a  т
Е
1  
;
2 
,
(14.5)
 пц
b
где  пц - предел пропорциональности материала стержня. Для
стали Ст3: λ1 = 100; λ2 = 40; a = 310 МПа; b = 1,14 МПа.
По формуле Эйлера выполняется расчет стержней большой
гибкости (λ ≥ λ1), для которых в момент потери устойчивости
справедлив закон Гука. Экспериментальная формула Ясинского
используется для расчета стержней средней гибкости (λ2 < λ < λ1),
потеря устойчивости которых происходит в области упругопластических деформаций. Для стержней малой гибкости (λ ≤ λ2)
вместо расчета на устойчивость производится расчет на прочность при сжатии.
105
Расчет на устойчивость выполняется с использованием
условия устойчивости
F
(14.6)
     ,
A
где φ – коэффициент продольного изгиба, [σ] – допускаемое
напряжение при сжатии. Коэффициент продольного изгиба зависит от материала и гибкости стержня. Значения φ приведены в
Приложении 2.
Проектный расчет стержня заключается в определении размеров его поперечного сечения. При данном расчете (14.6) необходимо представить в виде
F
A
,
(14.7)
  
Задача решается методом последовательных приближений.
В первом приближении задается начальное значение φ' и из (14.7)
вычисляется характерный размер сечения. Затем по формуле
(14.3) определяется гибкость стержня. Используя таблицу значений φ (Приложение 2), по гибкости находится конечное значение
φ''. Если начальное φ' и конечное φ'' значения отличаются не более
чем на 5 %, то решение закончено. В противном случае выполняется второе и последующие приближения, в каждом из которых
начальное значение φ' определяется по формуле
 '   'n' 1
(14.8)
 'n  n 1
,
2
где n – номер приближения (n > 1).
Порядок расчета
1. Найти положение главных центральных осей сечения.
Вычислить геометрические характеристики сечения: площадь А,
минимальный момент инерции Imin и минимальный радиус
инерции imin. Геометрические характеристики выразить через
искомый размер a поперечного сечения.
Используя условие устойчивости (14.7), получить формулу
для определения размера a. Формулу представить в виде
106
a
B

,
(14.9)
где В – некоторое число.
Записать формулу (14.3) для определения гибкости
стержня, которую привести к виду
С
(14.10)
 ,
a
где С- некоторое число.
2. Определить размер а методом последовательных приближений.
В первом приближении:
а) принять 1'  0,5 ;
б) по (14.9) при данном значении  вычислить размер а;
в) используя (14.10), по полученному значению а найти
гибкость стержня ;
г) по таблице значений  (Приложение 2) для данной
гибкости  определить коэффициент 1'' ;
Если 1'' отличается от 1' более чем на 5 % , то выполнить
следующее
приближение.
Для
n
–ого
приближения
 'n
определять по (14.8). Расчет производить до тех пор, пока  'n'
будет отличаться от  'n не более чем на 5 %. В качестве ответа
принять значение а, полученное в последнем приближении.
3. В зависимости от гибкости стержня, полученной в
последнем приближении, выбрать формулу (14.4) для
критической силы и определить ее значение. По (14.1) найти
коэффициент запаса устойчивости.
107
Пример расчета
Исходные данные
F = 100 кН, l = 1 м; [σ] = 160 МПа
F
a
2a
l
Y
2,2l
X
a
Рис.14.3.
1. Все оси симметрии сечения являются равноценными
главными центральными осями с одинаковым моментом инерции
сечения. Находим геомертические характеристики сечения
A  a 2  a 2  2,14a 2 ; J min  2a 4 / 64  a 4 / 12  0,701a 4 ;
i min  0,701a 4 / 2,14a 2  0,574 a .
Из условия устойчивости определяем
A  2,14a 2  F /   100 /   16  ; a  100 / 2,14  16   1,71 / .
Стержень имеет два участка. Устойчивость стержня
определяется устойчивостью участка с большей гибкостью,
имеющего большую приведенную длину μl. Для верхнего участка
длиной 1 м коэффициент   2 и приведенная длина l =2 м; для
нижнего участка длиной 2,2 м   0,5 и приведенная длина
l  1,1 м . Следовательно, в более опасном состоянии находится
верхний участок. Поэтому размеры поперечного сечения всего
стержня определим из условия устойчивости верхнего участка.
Находим гибкость верхнего участка стержня
  l / i min  200 / 0.574 a  349 / a .
2. Используем метод последовательных приближений.
Первое приближение
1'  0,5 ;
108
a  1,71 / 0,5  2,42 см ;
  349 / 2,42  144 .
По таблице  (Приложение 2) для полученной гибкости
0,36  0,32
находим
150  144   0,344 .
1''  0,32 
10
Вычисляем относительную разницу значений φ.
1'  1''
0,5  0,344
 100 
100  31 %.
'
0,5
1
Так как разница значений φ больше 5 %, то выполняем
второе приближение.
Второе приближение
349
1,71
0,5  0,344
 133 .
 2,63 см ;  
'2 
 0,421 ; a 
2,63
2
0,422
По таблице  для данной гибкости находим
0,40  0,36
140  133  0,388 .
 '2'  0,36 
10
Вычисляем относительную разницу значений φ.
 '2   '2'
0,421  0,388

100

100  8 %.
0,421
 '2
Третье приближение
349
1,71
0,421  0,388
 130 .
 2,69 см ;  
3' 
 0,404 ; a 
2,69
2
0,404
По таблице  находим  3''  0,40 . Так как  3'   3'' , то
решение прекращаем. Принимаем а = 2,7 см.
3. Полученная расчетная гибкость стержня   130 больше
предельной гибкости  пр  100 (для стали Ст3). Поэтому для
определения критической силы используем формулу Эйлера
2E
3,14 2  2  10 4
Fkp   кр A  2 A 
 2,14  2,7 2  182 кН.
2

130
Вычисляем коэффициент запаса устойчивости
Fкр 182
nу 

 1,82.
F 100
109