ОсобенРазлВрядЛ_МеромФункц

Титов К.В. Особенности разложения в ряд Лорана мероморфных функций. Сборник научных трудов: Необратимые процессы в природе и
технике: Труды Пятой Всероссийской конференции 26-28 января 2009 г. –М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009.- с. 720.
ОСОБЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯД ЛОРАНА
МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ
К.В. Титов
Мероморфные функции имеют достаточно широкое приложение
(например, в гидродинамике), а знание их свойств является необходимым
условием их применения. Для многих из них, рассмотренных в [1], дано
разложение в ряд Лорана. Как известно [2], ряд Лорана
f ( z) 

C
n 
где
Cn 
n
 ( z  a)n ,
(1)
1
f ( z )dz

n1
2 i  ( z  a )
(2)
имеет главную и правильную части. Здесь f(z) голоморфная функция в кольце
r  z  a    R . Обозначим через Lr и LR окружности радиусов r1 и R1
соответственно ( r  r1    R1  R ) с центром в точке
a. Тогда 
есть
произвольная окружность с центром в точке a, лежащая внутри данного кольца.
Там же в [2] дана классификация особых точек, в том числе дано определение
полюса порядка m, согласно которому главная часть ряда (1) в этом случае
должна иметь наименьшую отрицательную степень n=-m . Таким образом,
разложение (1), когда центр кольца является единственной особой точкой
(полюсом порядка m), должно содержать конечное число отрицательных
степеней (z-a) .
Рассмотрим общий случай, когда особая точка функции не совпадает с
центром кольца – точкой a. Можно сформулировать и доказать следующую
теорему.
Теорема. Пусть функция голоморфна в кольце r  z  a   R. Внутри
окружности Lr она также голоморфна за исключением единственной особой
точки b, являющейся полюсом порядка m ( m  1 ) не совпадающим с центром
кольца ( b  a ). Тогда главная часть ряда Лорана (1), в который разлагается f (z)
в кольце, будет иметь бесконечное число отрицательных степеней (z-a).
Доказательство. По условию теоремы внутри окружности Lr точка b
( b  a ) является полюсом порядка m для f(z). Это означает, что существует
предел
(3)
lim f ( z)  ( z  b)m  B  0 ,
z b
1
Титов К.В. Особенности разложения в ряд Лорана мероморфных функций. Сборник научных трудов: Необратимые процессы в природе и
технике: Труды Пятой Всероссийской конференции 26-28 января 2009 г. –М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009.- с. 720.
отличный от нуля. Введем обозначение:  ( z )  f ( z )  ( z  b)m , где  (b)  B  0 .
Тогда коэффициенты (2) можно записать как
Cn 
1
 ( z )dz

2 i  ( z  b) m  ( z  a) n 1
(4)
Подынтегральная функция в (4) в области, ограниченной контуром  ,
имеет два полюса. По теореме Коши для многосвязной области интеграл (4)
можно заменить суммой двух аналогичных интегралов Cn  Ian  Ibn по
замкнутым контурам  b и  a , охватывающим соответствующие полюса z=b и
z=a. Вычислим каждый из этих интегралов в отдельности.
Ian 
1
f ( z )dz

2 i  a ( z  a) n 1
(5)
Так как f(z) голоморфна в точке а, то
Ian  f ( n ) (a ) / n ! , n=0, 1, 2, …, где f ( n ) (a) 
dn
f ( z)
dz n
(6)
z a
Ian  0 , n=-1, -2, …
В точке b функция f(z) имеет полюс порядка m. Поэтому
Ibn 
1
 ( z )dz
,

2 i  b ( z  b)m  ( z  a)n 1
n  0, 1, 2,...
(7)
Применяя интегральную формулу Коши для вычисления этого интеграла,
получим
Ibn 
1
d m1  ( z )
 lim( m1
),
(m  1)! z b z ( z  a)n1
n  0, 1, 2,...
(8)
Заметим, что формула (8) совпадает с вычетом функции f ( z ) /( z  a)n1 в
полюсе z=b. Для простого полюса, когда m=1, имеем
Ibn  lim
z b
 ( z)
( z  a)
n 1

 (b)
(b  a) n 1
(8а)
 0 , n  0, 1, 2,...
И коэффициенты (4) ряда Лорана будут равны
Cn 
f ( n ) (a)
 (b)
,

n!
(b  a)n1
n  0,1, 2,... ;
Cn 
 (b)
(b  a)n 1
, n  1, 2,... .
(9)
Откуда следует, что главная часть ряда Лорана (1) будет содержать
бесконечное число отрицательных степеней (z-a). Теорема, таким образом,
доказана для m=1. Если m>1, то, предположив, что выражение (8) равно нулю
при отрицательных индексах n, мы приходим к противоречию с условием
2
Титов К.В. Особенности разложения в ряд Лорана мероморфных функций. Сборник научных трудов: Необратимые процессы в природе и
технике: Труды Пятой Всероссийской конференции 26-28 января 2009 г. –М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009.- с. 720.
теоремы о порядке полюса в точке b. Значит это предположение не верно. И
теорема доказана.
В качестве примера можно взять мероморфную функцию f ( z )  cscm ( z) и
разложить её в ряд Лорана в кольце

4
 za 
3
по степеням (z-a). Центр этого
4
кольца выберем в точке a   / 4 . Тогда внутри окружности Lr в точке b=0
будут находиться один полюс порядка m этой функции.
Коэффициенты ряда Лорана в этом случае можно вычислить с помощью
модифицированной программы [1], написанной в среде Maple. Приведем этот
ряд.
  f ( n ) (a )

1
d m 1  ( z ) 
n


lim(
)

(
z

a
)





(m  1)! z b z m 1 ( z  a) n 1 
 n!

m
csc ( z )   

m 1
n 0 
1
d
1

n
 ( z )( z  a) ) 
n 1
 (m  1)!  lim(

z b z m 1
(
z

a
)


Здесь сохранены прежние обозначения и  (b)  1 . Не трудно проверить,
что полученный ряд достаточно хорошо сходится к функции cscm(z), например,

в точках z   (1  3  ei ) , 0    2 и других.
4
Следует также заметить, что если внутри окружности Lr мероморфная
функция имеет более одного простого полюса, то её ряд Лорана в кольце будет
иметь бесконечное число отрицательных степеней (z-a) независимо от того
совпадает центр кольца с одним из полюсов или нет.
Таким образом, совмещая центр кольца разложения мероморфной
функции с одним из её полюсов, получаем в указанном выше случае ряд
Лорана с ограниченным числом членов в его главной части, что, безусловно,
упрощает его дальнейший анализ.
Литература
1.
Титов К.В. Разложение в ряд Лорана одного класса функций с
бесконечным числом полюсов. Сборник научных трудов: Необратимые
процессы в природе и технике: Труды Четвертой Всероссийской конференции
29-31 января 2007 г. –М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, ФИАН 2007.- с. 651
2. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного
переменного. Изд. 14-е, стер. – М.: Высш. шк., 1999. – 432 с.: ил.
3
Титов К.В. Особенности разложения в ряд Лорана мероморфных функций. Сборник научных трудов: Необратимые процессы в природе и
технике: Труды Пятой Всероссийской конференции 26-28 января 2009 г. –М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009.- с. 720.
Автор: Титов Константин Викторович, кандидат технических наук,
доцент кафедры ФН-11 МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Адрес: Москва, Молдагуловой, 28-1-215.
Тел. рабочий: 263-60-18, моб. 8-9162202553
4