ГЛАВА VII. Базовое уравнение связи модуля упругости

ГЛАВА VII. Базовое уравнение связи модуля упругости
с пределом прочности пиломатериалов при изгибе
Мы полагаем, что хотя каждая древесная порода имеет свои особенности и свой набор физико-механических показателей, взаимосвязь показателей отличается хорошей стабильностью. Следовательно, можно найти некое усредненное уравнение связи между показателями пиломатериалов.
Доказательством этому служит тот факт, что европейский стандарт на сорта конструкционных пиломатериалов EN 338 различает только хвойные и
лиственные породы. Для всех хвойных даются единые нормативы физикомеханических показателей. Модуль упругости и предел прочности указаны
для досок испытанных при изгибе по кромке при высоте сечения 150 мм.
В нашей работе главное внимание уделяется взаимосвязи модуля упругости с пределом прочности досок при изгибе их по пласти. Для краткости
эту зависимость обозначим как σизг(E), где прочность выражена в МПа, а
модуль упругости в ГПа. Наш анализ известных работ ЦНИИМОДа показал, что не существует корреляции между показателями досок при изгибе
по пласти с показателями при изгибе досок по кромке. Вместе с тем, все
известные нам сортировочные машины выполняют контроль пиломатериалов при изгибе их по пласти. Замеряемый ими модуль упругости досок не
коррелирует с прочностью досок при их изгибе по кромке. Для того, чтобы
прогнозировать такую прочность, необходимо выполнять машинный контроль модуля упругости при изгибе досок по кромке, то есть при расстоянии между опорами примерно 3 м. В этом случае останутся вне контроля
участки длиной не менее 1,5 м с каждого конца, то есть примерно половина длины доски останется вне зоны измерений.
По этой причине мы не можем брать за основу для расчета базового
уравнения связи σизг(E) данные по испытаниям пиломатериалов при изгибе
по кромке. Далее мы сравниваем результаты испытаний чистой древесины
и пиломатериалов, для того чтобы выяснить, насколько корреляция показателей для чистой древесины отличается от корреляции для реальных пиломатериалов с допускаемыми пороками древесины.
7.1. Сравнение взаимосвязи показателей для чистых образцов и образцов с сучками
Все указанные выше зависимости и уравнения связи относятся к чистой
древесине и не могут быть непосредственно применены к прочностной
сортировке пиломатериалов. Оценка прочности досок проводится, естественно, по наихудшему участку сортимента, а показатели чистой древесины, свободной от пороков, во внимание не принимаются. Для того чтобы
выяснить, насколько сопоставимы уравнения связи для чистой древесины
и древесины с сучками провели серию экспериментов.
В первом опыте использовали сосновые карандаши как остаток от лущения чураков, полученных на Архангельском фанерном заводе. Карандаши
диаметром 75-80 мм и длиной 1,6 м были распилены на рейки, которые после сушки и строгания имели размеры поперечного сечения примерно 40 х
20 мм. Из каждой рейки выпилили по 2-4 образца длиной 340 мм, как чистые, то есть без видимых дефектов древесины, так и с сучками по середине длины. Затем образцы были испытаны на изгиб с определением модуля упругости и предела прочности при изгибе на пролете 300 мм по
трехточечной схеме, (машина Р-0,5, шкала до 500 кгс, податливость силоизмерителя 0,012 мм/кгс, скорость деформирования 5 мм/мин). Путем
прямого взвешивания определена также плотность древесины образцов
при текущей влажности (6-8%).
Результаты испытаний представлены в табл. 7.1 и на рис.7.1 на двух диаграммах в координатах модуль упругости (Е) - предел прочности при изгибе (σизг) для всех образцов, для чистых образцов и образцов с сучками.
7. 1. Результаты испытании образцов с размерами поперечного сечения 40 х 20 мм2
Показатель
Все образцы
Чистые образцы
Образцы с сучками
Мср
V, %
п, шт.
Мcр
V,%
п, шт.
Мcр
V,%
п, шт.
Плотность, кг/м3
466
11,0
84
461
13,9
32
469
9,4
52
Е, ГПа
7,94
29,4
84
9,75
26,1
32
7,44
30,1
52
σизг , МПа
56,0
35,9
84
71,4
22,2
32
37,2
34,8
52
Рис. 7.1. Взаимосвязь модуля упругости с пределом прочности при изгибе
для всех образцов (график слева), для чистых образцов (1) и образцов с
сучками (2).
Можно видеть, что для малых образцов существует заметная разница
между уравнениями связи для чистых образцов и образцов с сучками.
Средний модуль упругости образцов с сучками составил 76,3%, а предел
прочности - 52,1% от показателей чистых образцов.
Во втором эксперименте использовали пиломатериалы с поперечным сечением после строгания 70 х 18 мм. Из каждой доски были выпилены по 3
- 4 образца, из которых были как чистые образцы, так и образцы с сучками
диаметром от 5 до 30 мм, в том числе выходящие на кромку. Испытания
проводили по ранее изложенной методике на машине Р-0,5, шкала №3 (до
500 кгс), скорость испытания 5 мм/мин, расстояние между опорами 300
мм, трехточечная схема изгиба. Средняя влажность образцов составила
5,5%. Всего испытано 61 образец, из них 34 - без видимых пороков древесины. Результаты испытаний и расчетов представлены в табл.7.2 и на
рис.7.2 .
7.2. Данные испытаний образцов с размерами поперечного сечения 70 х 18 мм
Показатель
Все образцы
Мср. V, % п, шт.
Чистые образцы
Мcр V, % п, шт.
Образцы с сучками
Мcр V, % n, шт.
Модуль упругости, ГПа
12,3
14,5
61
12,9
11,2
34
11,4
17,8
27
Предел прочности, МПа
93.4
21,8
61
100,4
13,7
34
85,5
27,5
27
Рис.7.2. Взаимосвязь между модулем упругости c пределом прочности
при изгибе для всех образцов (1), для чистых образов (2) и образцов с сучками (3) во втором опыте.
Можно видеть, что уравнения связи для более крупных образцов отличаются менее значительно. Средний модуль упругости образцов с сучками
составил 88,3% от модуля упругости чистых образцов, а предел прочности
- 85,2% от показателей чистых образцов.
Из сказанного ранее следует, что снижение модуля упругости не равно
снижению предела прочности, так как испытание до разрушения в более
полной мере раскрывает влияние всех дефектов древесины, чем определение модуля упругости, которое проводится при низком уровне напряжений. Расхождение в уравнениях связи для чистой древесины и образцов с
сучками сильно зависит от размеров поперечного сечения образцов и снижается по мере их увеличения, так как в крупных образцах относительная
доля сучка уменьшается.
Следующим шагом стало сопоставление уравнений связи для пиломатериалов реальных сечений с уравнениями связи для чистой древесины с
тем, чтобы на большом экспериментальном материале установить, существует ли заметная разница во взаимосвязи двух показателей для чистой
древесины и древесины с сучками.
7.2. Сопоставление уравнений связи для пиломатериалов и
чистой древесины
В справочнике [9] и приложении к ГОСТ 21554.3-82 [52] можно найти
уравнения связи модуля упругости с пределами прочности при изгибе досок по пласти и кромке для пиломатериалов различных пород, районов
произрастания, сечений. Эти уравнения получены на основании большой
работы, выполненной в свое время ЦНИИМОДом и другими организациями по единой методике согласно действующим стандартам. Ниже в табл.
7.3 и на рис. 7.3 показаны данные для пиломатериалов хвойных пород, испытанных при изгибе по пласти. (Влажность древесины - 18%.)
7.3. Уравнения связи σизг (Е) для хвойных пиломатериалов по ГОСТ 21554.3-82
№
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Порода и район произрастания Сечение до- Уравнение связи Достоверность
сок, мм h х b,
σизг =
апроксимации
мм
(R2)
Сосна, Архангельская обл.
38 х 100
6,46 + 4,94Е
0,442
Ель, Архангельская обл.
38 х 100
16,5 + 4,25Е
0,310
Ель, Архангельская обл.
38 х150
17,5+4,39E
0,421
Ель, Архангельская обл.
50 х 100
6,06+5,20Е
0,468
Ель, Архангельская обл.
50 х 150
18,3 + 4,18Е
0.337
Сосна, Красноярский край
38 х 100
1,27+5,84Е
0,656
Сосна, Красноярский край
50 х 100
б,04+5,34Е
0,357
Сосна, Красноярский край
50 х 150
1,9б+5,52Е
0,527
Лиственница,
50 х 100
2,21 + 5,44Е
0,418
Красноярский край
Поскольку эти уравнения получены при влажности 18% и относятся к пиломатериалам различных сечений, то необходимо выполнить пересчет на
стандартные условия испытаний. В дальнейшем мы понимаем под стандартными следующие условия:
1) Влажность древесины 12%
2) Температура древесины 20 град.
3) Поперечное сечение пиломатериалов: толщина 50 мм, ширина 100 мм.
4) Направление изгиба – по пласти.
5) Схема испытания на изгиб - трехточечная.
6) Расстояние между опорами 900 мм (l/h = 18).
7) Определение приращения прогиба в заданном интервале сил и разрушающей нагрузки – за одну установку образца.
Указанные в таблице уравнения связи выражены уравнением прямой
типа y = ax+b, поэтому мы вынуждены сравнивать эти уравнения также с
линейным уравнением связи между двумя показателями для чистой древесины всех хвойных пород США и Канады. Пересчет выполняется следующим образом:
y * k 1 * k 3 * k 5  ax * k 2 * k 4  b
y  ax
k2k4
k1k3k5

b
k1k3
Здесь k1 - пересчетный коэффициент для предела прочности при изгибе с
влажности 18% на влажность 12% (см. табл. 4.9)
k2 - пересчетный коэффициент для модуля упругости с влажности 18% на
влажность 12% (см. табл.4.11).
k3 – масштабный коэффициент для предела прочности, учитывающий отклонение размеров поперечного сечения испытанных пиломатериалов от
стандартных (b x h = 100 x 50 мм) – см. табл. 4.16.
k4 - масштабный коэффициент для модуля упругости (см. табл. 4.16).
k5 – коэффициент, учитывающий переход от 4-х точечной схемы определения предела прочности при изгибе к трехточечной (см. табл. 4.17).
Результаты расчетов отражены в табл.7.4 и на рис.7.3.
7.4. Результаты пересчета уравнений связи для хвойных пиломатериалов
№
Исходное
Уравнение
k1
k2
k3
k4
k5
уравнение
после пересчета
1. σизг = 4,94E + 6,46
0,797 0,915
1,03
1,013
0,98
σизг = 5,69E + 8,03
2. σизг = 4,25E +16,5
0,797 0,915
1,03
1,013
0,98
σизг = 4,90E + 20,5
3. σизг = 4,39E + 17,5
0,797 0,915 1,008 1,003
0,98
σизг = 5,12E + 22,2
4.
0,797 0,915
1
1
0,98
σизг = 5,2E + 6,06
σизг = 6,09E + 7,76
5.
0,99
0,98
σизг = 4,18E + 18,3 0,797 0,915 0,978
σизг = 4,95E + 24
6.
0,797 0,915
1,03
1,013
0,98
σизг =5,84E + 1,27
σизг = 6,72E + 1,6
7.
1
1
0,98
σизг = 5,34E + 6,04 0,797 0,915
σизг = 6,25E + 7,7
8.
0,99
0,98
σизг = 5,52E + 1,96 0,797 0,915 0,978
σизг = 6,54E + 2,57
9.
0,797
0,915
1
1
0,98
σизг = 5,44E + 2,21
σизг = 6,36E + 2,82
Можно видеть, что между уравнениями есть определенные различия, но
они не настолько велики, чтобы рекомендовать для каждой древесной породы своё уравнение связи двух показателей.
Предел прочности, МПа
100
80
60
40
y = 5,85x + 10,8
20
0
4
6
8
Модуль упругости, ГПа
10
12
Рис. 7.3. Уравнения связи
между двумя
показателями
пиломатериалов согласно табл. 7.4.
Анализ данных таблицы 7.4 показывает, что все известные уравнения
связи можно свести к усредненному уравнению (на рис.7.3 график уравнения показан штриховой линией):
σизг = 5,85Е +10,8
Значения прочности при изгибе, прогнозируемые по этому уравнению,
будут отличаться от значений, рассчитанных по исходным уравнениям,
примерно на ±15% при низких значениях модуля упругости (6 ГПа) и не
более ±6 % при модуле упругости равном 10 ГПа.
Это усредненное уравнение для пиломатериалов сравнили с уравнением
для чистой древесины хвойных пород, произрастающих в США и Канаде,
и полученным для образцов сечением 51х51 мм на пролете 714 мм при
влажности древесины 12% (рис. 7.4).
7.4. Взаимосвязь показателей
для хвойных пород США и
Канады.
Для того чтобы привести оба уравнения к одинаковым условиям, пересчитали уравнение для чистой древесины к рекомендуемым условиям испытания пиломатериалов: влажность 12%, l/h = 18, b = 100 мм, h = 50 мм.
Для наглядности и пояснения техники пересчета составлена следующая
таблица.
7.5. Показатели условий испытаний пиломатериалов и чистых образцов
Показатель
Уравнение связи
Расстояние между опорами
Ширина образца, мм
Толщина образца, мм
Влажность древесины, %
Параметр h/l
Схема определения модуля упругости
Схема определения предела прочности
Для чистых образцов
σизг = б,04Е+ 10,7
714
51
51
12
1/14
3-х точечная
3-х точечная
Для пиломатериалов
σизг = 5,85Е+10,8
900
100
50
12
1/18
3-х точечная
4-х точечная
Для пересчета первого уравнения найдены поправочные масштабные
коэффициенты на увеличение объёма образца и увеличение расстояния
между опорами. Поправка на изменение прочности при увеличении объёма
образцов с 51*51*714 до 50*100*900 мм3
51 * 51 * 714  0 ,08
K y1  (
)
 1 ,07
50 * 100 * 900
Тоже для модуля упругости
51 * 51 * 714  0 ,024
K x1  (
)
 1 ,021
50 * 100 * 900
Поправка на изменение прочности и модуля упругости при изменении расстояния между опорами, то есть параметра l/h, с 14 до 18:
K x2  K y2 
1  24( 1 / 14 ) 2
1  24( 1 / 18 )
2
 0 ,948
В соответствие с этим новое уравнение примет вид
 изг * 1 ,07 * 0 ,948*  6 ,04 E * 1 ,021 * 0 ,948  10 ,66
 изг  5 ,76 E  10 ,5
Следовательно, в результате расчетов мы получили очень близкое совпадение уравнения связи модуля упругости с прочностью чистой древесины с таким же уравнением для хвойных пиломатериалов отечественных
пород. Графики двух уравнений представлены на рис.7.5.
Для чистой древесины хвойных зарубежных пород уравнение связи
практически совпадает с таковым для чистой древесины в пиломатериалах
отечественных хвойных пород.
Предел прочности, МПа
100
80
60
Ряд1
Ряд2
40
20
0
4
6
8
10
Модуль упругости, ГПа
12
Рис. 7.5. Графики
взаимосвязи между
модулем упругости
и пределом прочности при изгибе для
пиломатериалов
(1) и чистой древесины (2)
7.3. Определение базового уравнения связи для пиломатериалов хвойных пород
Для того, чтобы уточнить, насколько согласуются уравнения связи между модулем упругости и пределом прочности для чистой древесины и пиломатериалов, провели масштабные эксперименты, в которых были испытано 380 отрезков еловых досок сечением 125 х 50 мм 3-го сорта по ГОСТ
8486. Образцы были заготовлены в летнее время в виде отрезков пиломатериалов длиной 2 м и имели влажность 18-20%. В течение примерно полугода материал был выдержан в условиях отапливаемого помещения,
равновесная влажность древесины в момент испытаний составила 6 ± 1 %.
Испытания выполнены по вышеописанной методике. В специальном
приспособлении с постоянным расстоянием между опорами в 900 мм по
трёхточечной схеме изгиба на испытательной машине Р-5 выполняли за
одну установку образца измерение времени нагружения при фиксированной скорости движения нагружающего элемента и измеряли разрушающую нагрузку Рмакс. Интервал нагружения при определении модуля упругости составил 3 кН, скорость деформирования 0,37 мм/с. Каждая доска
испытывалась трижды – сначала по середине длины, а затем обе разрушенные половинки снова испытывались на пролете 900 мм с определением
модуля упругости и предела прочности при изгибе.
Результаты испытаний представлены на рис. 7.6 и в табл. 7.6. Наряду со
всеми образцами отдельные расчеты выполнены и для образцов, разрушение которых прошло по чистой древесине, и для образцов, которые имели
в среднем сечении какой-либо дефект древесины (в основном сучок). Зависимости апроксимировали уравнениями степенного вида, так как эта математическая модель лучше отражает физическую сущность взаимосвязи
двух показателей. Она дает более высокое значение величины R2 и, в отличие от линейных уравнений, сводится к началу координат (при модуле
упругости равном нулю прочность также равна нулю).
Табл.7.6. Показатели для образцов еловых пиломатериалов, испытанных на изгиб
Показатель
n, шт.
Мср.
V, %
1*)
2
3
1
2
3
1
2
3
Модуль упругости, ГПа 6,24
6,45 6,06 23,6 22,8 22,8 380 203 177
Предел прочности при
50,86 53,0 49,0 24,9 24,0 24,3 380 203 177
изгибе, МПа
*) 1 – для всех образцов, 2 – для образцов, разрушившихся по чистой древесине, 3 –
для образцов, разрушившихся по сучку.
Предел прочности, МПа
100
80
60
40
y = 12,68x 0,75
R2 = 0,488
20
0
0
2
4
6
8
Модуль упругости, ГПа
12
80
Предел прочности, МПа
Предел прочности, МПа
80
10
60
40
0,75
y = 12,5x
R 2 = 0,469
20
0
0
2
4
6
Модуль упругости. ГПа
8
10
60
40
y = 14,4x0,69
R2 = 0,411
20
0
0
2
4
6
8
10
12
Модуль упругости, ГПа
Рис.7.6 Взаимосвязь между модулем упругости и пределом прочности образцов еловых пиломатериалов: 1 - для всех образцов (n = 380 шт.), 2 для образцов, разрушившихся по чистой древесине (n = 203 шт.), 3 - для
образцов, разрушившихся по дефектам древесины( n=177).
Взаимосвязь показателей дана на рис.7.6. Получены следующие уравнения связи:
а) для всех образцов
σизг = 12,68Е0,75 МПа при средней ошибке 17,82%
б) для образцов, разрушившихся по чистой древесине
σизг = 14,4Е0,69 при средней ошибке 18,42%
в) для образцов, разрушившихся по сучку или по другому дефекту
σизг = 12,5Е0,75 при средней ошибке 17,49%.
Сначала сравним последние два уравнения, чтобы выяснить, насколько
велика разница во взаимосвязи показателей для чистой древесины и древесины с сучками. Результаты сравнения даны на рис.7.7 и в табл.7.7
Предел прочности, МПА
80
60
Ряд1
40
Ряд2
20
0
0
2
4
6
8
10
12
Модуль упругости, ГПа
Рис.7.7. Графики взаимосвязи модуля
упругости
и
предела прочности при изгибе для чистой древесины (1) и для
образцов с сучками (2)
Табл.7.7. Сравнение расчетных пределов прочности для чистой древесины и древесины с сучками
Уравнение
Расчётный предел прочности (МПа) при модуле упругости (ГПа)
связи
5
6
7
8
9
10
11
12
σизг = 14,4Е0,69
σизг = 12,5Е0,75
Разница, %
43,72
49,58
55,14
60,46
65,58
70,53
75,32
79,98
41,80
4,39
47,92
3,34
53,79
2,44
59,46
1,66
64,95
0,96
70,29
0,33
75,50
-0,24
80,59
-0,76
Следовательно, мы еще раз получили подтверждение того, что сучки в
пиломатериалах снижают модуль упругости примерно в той же мере, что и
предел прочности при изгибе. В силу этого не наблюдается достоверной
разницы между уравнениями связи двух показателей для обеих групп образцов. Можно только предполагать, что для низкосортных пиломатериалов с сучками большого диаметра следует ожидать некоторого расхождения в уравнениях связи, так как у таких досок доля объёма макронеоднородностей в общем объёме нагруженного участка возрастает
Теперь проведём сравнение полученного нами уравнения связи для всех
испытанных еловых пиломатериалов с уравнением связи для всех хвойных
пород США и Канады. Для того, чтобы привести наше уравнение к стандартным условиям испытаний (поперечное сечение образцов 100 х 50 мм,
влажность древесины 12%), учли разницу во влажности и размерах образцов. Пересчетный коэффициент с влажности 6% на влажность 12% составит:
для предела прочности - 0,876 /0,728 = 1,203 (см. табл. 4.9)
для модуля упругости - 0,944 /0,878 = 1,075 (см. табл.4.11).
Масштабные коэффициенты, учитывающие тот факт, что сечение испы-
Предел прочности, МПа
танных образцов составило 125 х 50 мм, согласно табл. 4.16 равны:
для предела прочности - 0,995
для модуля упругости - 0,988.
Тогда уравнение связи будет иметь вид
σизг*1,203*0,995 = 12,68(Е*1,075*0,988)0,75
σизг = 11,08Е0,75.
Уравнение связи для хвойных пород США и Канады σизг = 10,84Е0,81 (см.
табл.2.6). С учетом масштабных коэффициентов уравнение принимает вид
σизг* 1,07*0,948 = 10,84(Е*1,021*0,948)0,81
σизг = 10,4Е0,81
80
y = 10,4x 0,81
60
40
20
y = 11,08x 0,75
0
0
2
4
6
8
10
12
Модуль упругости, ГПа
Рис.7.8. Cравнение зависимостей σизг=f(E) для чистой древесины различных хвойных пород США и Канады (вверху) и еловых пиломатериалов
На рис. 7.8 показано, насколько близки графики уравнений – первое характеризует чистые образцы всех хвойных пород США и Канады, второе –
все испытанные еловые образцы.
Таким образом, выполненные расчеты и эксперименты позволяют рекомендовать для практического использования следующее базовое уравнение связи между модулем упругости и пределом прочности пиломатериалов всех хвойных пород и всех районов произрастания
σизг = 11,1Е0,75.
Это уравнение имеет большое экспериментальное подтверждение, так
как является усредненным уравнением связи для очень близких зависимостей, характеризующих хвойные породы различных пород и районов произрастания.
7.3. Расчет погрешности уравнения связи
Для практических целей важно найти нижнюю доверительную границу
базового уравнения связи, которая зависит от погрешности этого уравнения.. Согласно ГОСТ 21554.3-82 [52] при оценке прочности нижняя граница доверительного интервала рассчитывается по формуле
 изг  aE  b   m yx
где γ - гамма-квантиль распределения (по другой терминологии - "коэффициент Стьюдента"), равный 1,64 при доверительной вероятности 0,90 (то
есть допускается только 5 случаев из 100, когда показатель прочности образцов выходит за рамки нижней границы интервала); mух - ошибка уравнения связи
m yx   y 1  R 2
где σу - среднее квадратичное (стандартное) отклонение предела прочности
при изгибе, а R2 - достоверность апроксимации.
На наш взгляд, при оценке погрешностей необходимо иметь в виду относительную погрешность, а не абсолютную. Для этого следует выразить
ошибку уравнения связи в процентах. Это позволяет сравнить ошибку
уравнения связи с вариационным коэффициентом для среднего арифметического. Равенство этих величин говорит об отсутствии корреляции. Малая
же относительная ошибка уравнения связи говорит об эффективности принятого оценочного показателя и целесообразности сортировки по этому
показателю (или группе показателей). Относительная ошибка уравнения
связи определяется по формуле
m yx  V y 1  R 2
где Vу - вариационный коэффициент предела прочности, показывающий
долю стандартного отклонения от среднего арифметического в процентах.
Кроме этого, необходимо еще учесть параметр, называемый "удаленность от центра события". Дело в том, что погрешность оцениваемой величины при конкретном значении оценочного показателя зависит от того,
насколько далек этот показатель от его среднего значения, к которому
"привязано" данное уравнение связи.
k уд .  1 
( E  M x ) 2 100 2
M x2 V x2 ( n  1 )
Здесь Vх - вариационные коэффициенты для модуля упругости, %, Мх среднее арифметическое модуля упругости, ГПа. Минимальная величина
прочности при изгибе должна определяться по формуле
 изг  ( aE  b )( 1   m yx k уд )
а для уравнения степенного вида:
 изг  aE b ( 1  m yx k уд )
Таким образом, для определения нормативного сопротивления при изгибе
расчетная величина вероятного предела прочности при изгибе должна
быть умножена на понижающий коэффициент, который зависит как минимум от трех факторов - принятой доверительной вероятности, оцениваемой квантилем распределения γ, от изменчивости свойств (вариационного
коэффициента Vу) в замеренной совокупности образцов и от достоверности
апроксимации (R2).
Для представленного варианта (n = 380 шт. ) получено среднее значение
модуля упругости Мх = 5,88 ГПа с вариационным коэффициентом Vх=
23,6% и предел прочности Му = 42,5 МПа при Vу= 24,9%. Для этих условий понижающий коэффициент составит
K 1
1 ,64 * 24 ,9
100
1  0 ,488 * ( 1 
( E  5 ,88 ) 2 * 100 2
5 ,88
2
2
* 23 ,6 ( 380  1 )
)
Соответствующая этим расчетам нижняя граница доверительного интервала показана на рис.7.9. Насколько существенным является влияние
коэффициента kуд можно видеть из таблицы 7.8.
Предел прочности, МПа
70
60
y = 11,08x 0,75
R 2 = 0,488
50
40
30
20
10
0
0
2
4
6
8
10
12
Модуль упругости, ГПа
Рис.7.9. Корреляция предела прочности с модулем упругости пиломатериалов при изгибе (данные после пересчета на влажность 12%). Штриховая линия показывают нижнюю доверительную границу при вероятности
0,95.
Табл. 7.8. Расчетный минимальный предел прочности, МПа при вероятности 0,95.
Модуль
Предел прочности, МПа
Разница,
упругости, ГПА
С учётом kуд. Без учёта kуд
%
2
12,4
13,2
-6,3
3
17,1
17,9
-4,6
4
21,5
22,2
-3,0
5
25,9
26,2
-1,4
6
30,0
30,1
-0,2
7
33,2
33,8
-1,7
8
36,1
37,3
-3,3
9
38,8
40,8
-5,0
10
41,3
44,1
-6,7
Из этой таблицы видно, что влияние коэффициента kуд. заметно тольк при
значениях модуля упругости, существенно отличающихся от средней величины. На рис.7.9 показана также нижняя доверительная граница нашего
уравнения связи при вероятности 0,95. Ниже этой границы находится примерно 12-15 точек при теоретически допустимых 380*0,05 = 19. Этот факт
свидетельствует о правильности выполненных расчётов.
Для того, чтобы рекомендовать базовое уравнение для практических
целей найдем нижнюю доверительную границу при следующих условиях:
А) Доверительную вероятность принимаем на уровне 0,90 (γ =1,64), что
соответствует правилу 5%-ного исключения, то есть из 100 замеров имеем
не более пяти случаев, когда прогнозируемый показатель окажется ниже
границы Мcр -1,64тух (остальные пять результатов выходят за пределы
верхней границы).
Б) Вариационной коэффициент предела прочности в партии пиломатериалов (Vу) примем для дальнейших расчетов равным 25%, как вероятную
максимальную величину для партии пиломатериалов одной породы, одного сечения и постоянной влажности.
В) Достоверность апроксимации R2 при исследовании взаимосвязи двух
показателей по рекомендуемой нами методике примем равным 0,49 (коэффициент корреляции равен 0,7), хотя во многих случаях он может быть и
выше. Например, в работе А. Д. Голякова [40] достоверность апроксимации для линейной корреляции между модулем упругости и пределом
прочности сырых сосновых пиломатериалов составила R2 = 0,726. В
наших опытах с еловыми пиломатериалами мы получили величины R2 в
пределах 0,411 … 0, 488.
Нижняя доверительная граница, по которой определяются нормативные
значения предела прочности при изгибе, рассчитывается по формуле
 изг  11,1 E 0 ,75 K дов .
V
* 1  R 2 )k уд
100
Здесь понижающий коэффициент Кдов. зависит от требуемой достоверности результатов испытаний. При доверительной вероятности 0.95 коэффициент γ = 1,64, при доверительной вероятности 0.99 коэффициент γ =2,33.
Коэффициентом куд. в дальнейших расчетах пренебрегаем в виду его незначительности. Вторым доводом против его использования является тот
факт, что он зависит от средней величины предела прочности досок в партии пиломатериалов. Естественно, что для еловых, например, пиломатериалов эта величина будет значительно меньше, чем для лиственичных. Поэтому для базового уравнения связи применение коэффициента куд. мы не
считаем целесообразным.
Ниже в табл. 7.9 и на рис.7.10 даны вероятные величины средних и
минимальных пределов прочности хвойных пиломатериалов при влажности 12% в зависимости от их модуля упругости при изгибе по пласти на
пролете l=18h, где h - толщина досок.
K дов .  ( 1   *
Предел прочности, МПа
Табл.7.9. Вероятные пределы прочности пиломатериалов в зависимости от их модуля упругости при изгибе
Модуль упругости,
Предел прочности при изгибе, МПА
МПА
среднее
0,95
0,99
2
18,7
13,2
11,2
3
25,3
17,9
15,2
4
31,4
22,2
18,9
5
37,1
26,2
22,3
6
42,6
30,1
25,6
7
47,8
33,8
28,8
8
52,8
37,3
31,8
9
57,7
40,8
34,7
10
62,4
44,1
37,6
11
67,0
47,4
40,4
12
71,6
50,6
43,1
13
76,0
53,7
45,7
14
80,3
56,8
48,4
15
84,6
59,8
50,9
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
1) y = 11,1x 0,75
2) y = 7,85x 0,75
3) y = 6,68x 0,75
0
2
4
6
8
Модуль упругости, ГПа
10
12
14
Рис.7.10. Линии вероятных пределов прочности хвойных пиломатериалов при изгибе в зависимости от
их модуля упругости:
1 – средние значения;
2 – минимальное при
доверительной вероятности 0,95; 3 –
тоже при вероятности 0,98.
Табл.7.9 и рис.7.10 отражают основные результаты наших исследований
по взаимосвязи двух наиболее практически важных показателей конструкционных пиломатериалов – модуля упругости и предела прочности
при изгибе. Предлагаемая зависимость σизг = f(E) и её погрешности отражают реальную картину, опирающуюся на большой экспериментальный
материал, полученный как в нашей стране, так и за рубежом. Базовое
уравнение связи σизг = 11,1Е0,75 действительно для пиломатериалов всех
хвойных пород. Для пересчета на другие условия испытаний имеется система пересчетных коэффициентов, учитывающих размеры досок, их
влажность и температуру (см. глава IV).
7.4. Оценка прочности пиломатериалов по двум параметрам
Ранее, в п.2.6, мы рассмотрели возможность оценки прочности образцов
чистой древесины по двум параметрам – дополнительно к модулю упругости по плотности или твердости древесины. Показано, что в этом случае
точность оценки прочности древесины существенно увеличивается. Теперь
у нас есть возможность проверить эффективность такой методики применительно к пиломатериалам.
При испытании еловых пиломатериалов сечением 50 х 125 мм у каждой
доски предварительно определяли массу и затем рассчитывали среднюю
(интегральную) базисную плотность древесины в пиломатериалах по формуле:
 баз   w
100( 100  K  W )
( 100  W )( 100  30 K  )
Здесь ρw – плотность древесины при влажности W в момент испытаний
w 
m
кг / м 3
Lbh
Кα – коэффициент объёмного разбухания, равный для древесины ели 0,5;
m – масса образца, кг;
L, b, h – размеры образца, м.
Замеры дали следующие результаты: среднее арифметическое величины
базисной плотности чистых образцов составило 405,8 кг/куб.м при вариационном коэффициента 9,15% и при объёме выборки n = 203 шт.
Ниже, на рис. 7.11 показана взаимосвязь плотности древесины с прочностью при изгибе и с модулем упругости, а также график взаимосвязи фактической прочности с прочностью, рассчитанной по уравнению множественной регрессии, то есть учитывающий оба параметра – модуль упругости и плотность древесины.
12
Прочность при изгибе,
МПа
Модуль упругости, ГПа
100
10
80
8
y = 0,0279x 1,25
R 2 = 0,208
60
6
4
40
y = 0,0266x 0,91
R 2 = 0,132
2
0
200
300
400
500
20
0
600
0
100
Плотность базисная, кг/куб.м
200
300
400
500
Плотность древесины, кг/куб.м
Рис.7.11. Взаимосвязь плотности древесины с её прочностью при изгибе и с модулем упругости при изгибе.
Фактические значения
прочности, МПа
100
80
60
40
y = 1,00x
R 2 = 0,52
20
0
0
20
40
60
80
Расчетные значения прочности, МПа
100
Рис.7.12.
Сравнение
фактических пределов
прочности пиломатериалов с пределами прочности, рассчитанными
по уравнению множественной регрессии, то
есть с учетом плотности древесины и её модуля упругости.
Из рисунка 7.11 видно, что корреляция плотности с другими показателями пиломатериалов слабая – с прочностью она составляет 0,208 и с модулем упругости всего 0,132. Однако совместный учёт двух параметров
(рис.7.12), т.е. плотности и модуля упругости, повышает точность оценки
пределе прочности при изгибе пиломатериалов без пороков (по сравнению
с оценкой только по модулю упругости) с 0,411 (см. рис.7.6-2) до 0,520, то
есть на 10,9%. Это еще раз подтверждает, что двухпараметрический контроль пиломатериалов или заготовок представляет практический интерес.
Можно предположить, что сортирование древесины по показателям физико-механических свойств может найти применение не только для деталей
строительных конструкций, но и в других отраслях деревообработки,
например, в производстве некоторых изделий мебели (стулья, рабочие
кресла, столы). К ножкам этих изделий предъявляются повышеннные
600
прочностные требования, поэтому в мебельной промышленности может
найти применение сортировка заготовок по физико-механическим показателям древесины. Здесь объектом исследований может быть древесина в
основном твердолиственных пород без пороков или с очень малыми пороками. Потребуется специальная техника для сплошного контроля качества
заготовок, возможно позиционного типа. Введение новой операции в технологию мебельного производства позволит существенно повысить прочность и надежность изделий, конкурентноспособность готовой продукции.
7.5. Сравнение расчетных и нормативных показателей пиломатериалов
Приведенные расчёты позволяют сравнить существующие нормативные
сопротивления изгибу с определяемыми по рекомендуемому нами базовому уравнению связи σизг = 7,85Е0,75 (при доверительной вероятности 0,95).
Сравнение проведём с нормативами, рекомендуемыми для сортов конструкционных пиломатериалов К30, К24, К19 согласно ТУ 1-844-85. Эти
сорта соответствуют сортам М10, М8, М6 по британскому стандарту BS
4978 – 1973 «Сорта древесины для конструкционных целей». Здесь цифры
в обозначении сортов К30, К24, К19 показывают нормативное сопротивление в МПа досок изгибу по кромке, а цифры в обозначении сортов М10,
М8, М6 – нормативные модули упругости в ГПа при изгибе также по
кромке.
7.8 . Сравнение существующих нормативных сопротивлений с расчитанными по
базовому уравнению связи для пиломатериалов хвойных пород, изгиб по пласти.
Сорт пиломатеМодуль упругости,
Нормативное сопротивление, МПа
По ТУ 1-844-85
Рекомендуемое
риалов
ГПа, не менее
К 30 (М10)
7,0
33,0
33,8
К 24 (М8)
6,2 (6,1)
27,0
30,8
К 19 (М6)
5,3 (5,2)
21,0
27,4
Сравнение показывает, что рекомендуемые уровни напряжений существенно выше нормируемых сегодня. Это происходит потому, что в основе
их лежит уравнение связи с меньшей погрешностью, чем использованное
ранее. Это означает, что конкретной величине модуля упругости доски
нужно прогнозировать более высокие нормативные пределы прочности
при изгибе, чем рекомендуют сегодняшние документы. Особенно заметна
разница для пиломатериалов с низким модулем упругости. Это означает,
что в самом практически важном случае, то есть когда нужно отсортиро-
вать наиболее слабые доски в партии пиломатериалов, нижняя граница
оказывается необоснованно завышенной. Это приводит к переводу в брак
досок, которые по своим характеристикам (главным образом, по прочности
при изгибе) соответствуют заданным нормативам.
Для того чтобы оценить возможный экономический эффект, который может дать использование нового уравнения связи σизг(Е), предположим, что
нам нужно от партии хвойных пиломатериалов отделить доски, прочность
которых ниже чем у сорта К24, то есть имеющих предел прочности при изгибе менее 24 МПа. По действующим техническим условиям это должны
быть доски с модулем упругости ниже 6,2 ГПа. По нашему уравнению связи σизг = 7,85Е0,75 для обеспечения условия σизг> 24 МПа на уровне 95%-ной
достоверности модуль упругости должен быть не менее величины
1
24 0 ,75
E (
)
 4 ,44 ГПа
7 ,85
Как видим, нижняя допустимая граница модуля упругости при изгибе
существенно снизилась. Предположим далее, что объектом сортировки является партия пиломатериалов со средним модулем упругости Еср.= 8,0
ГПа при квадратичном отклонении в 1,6 ГПа (вариационный коэффициент
20%). При этих условиях выше границы в 6,2 ГПа находятся 86,8% всех
испытанных досок, то есть будет отбраковано 13,2% материала. Если же
допустимой считать нижний уровень модуля упругости в 4,44 ГПа, то в
брак уйдет всего 1,4% от числа всех испытанных пиломатериалов.
Для практического использования предлагаемых зависимостей необходимо решить еще одну важную задачу - определить взаимосвязь между
машинным модулем упругости, то есть показателем, определяемым на
данной сортировочной машине, с лабораторным модулем упругости, на
основе которого построено наше базовое уравнение связи. Функция Елаб =
f(Емаш) может служить характеристикой добротности используемого оборудования. Чем меньше погрешности измерений, тем выше достоверность
апроксимации между двумя модулями упругости. Взаимосвязь между ними зависит от множества факторов и должна определяться отдельно для
каждой сортировочной машины. Ниже, на рис. 7.13, показана взаимосвязь
между параллельными замерами модулей упругости пиломатериалов различных сечений при изгибе досок по пласти в лабораторных условиях и на
машине Computermatic (данные из «Справочника по древесине» [9]).
Computermatic, ГПа
14
Рис.7.13. Корреляция
между параллельными
замерами
модулей
упругости в лабораторных условиях и на
машине Computermatic
(по данным [9]).
12
10
8
6
4
R 2 = 0,0135
2
0
0
2
4
6
8
10
12
Лабораторный модуль, ГПА
14
Рисунок показывает, что, к сожалению, в представленном варианте не
наблюдается сколько-нибудь значимой взаимосвязи между машинным и
лабораторным модулями упругости. Это очень тревожный результат. Он
показывает, насколько серьёзной является проблема аттестации сортировочных машин. Дело в том, что условия испытаний пиломатериалов в лабораторной установке и в промышленной сортировочной машине очень
различны. В первом случае испытания проводятся в хорошо контролируемой среде, в статических условиях изгиба неподвижных образцов, свободно лежащих на двух опорных площадках. В промышленной сортировочной
машине доски подвергаются изгибу в условиях их непрерывной подачи с
большой скоростью. При этом один или оба конца доски защемлены, а вся
система подвержена большим динамическим возмущениям, которые отнюдь не способствуют повышению точности измерения усилия реакции
доски на заданный прогиб. Именно эта величина фиксируется измерительной системой машины Computermatic и затем служит основой для расчета
модуля упругости, по которому и прогнозируется вероятная прочность
доски при изгибе. (В последние годы появились машины и других конструкций, в том числе
использующие ультразвук, жесткое гаммаизлучение, измерение резонансной частоты возбужденных колебаний и
т.п. Однако, мы не рассматриваем в данной книге взаимосвязь динамических характеристик древесины с ее прочностными характеристиками. Это
является отдельной сложной проблемой, достойной внимания будущих исследователей).
7.5. Прогнозирование других показателей пиломатериалов
В нормативной документации на конструкционные пиломатериалы помимо предела прочности при изгибе нормируются и другие показатели пределы прочности при сжатии, скалывании и растяжении вдоль волокон.
Постараемся оценить надежность прогнозирования этих показателей по
модулю упругости пиломатериалов при изгибе.
В "Справочнике по древесине" [9] приведены сведения по уравнениям
связи модуля упругости с пределом прочности при сжатии для хвойных
пиломатериалов. Эти данные для наглядности отражены в табл. 7.9 и на
рис. 7. 11.
7.9. Данные по взаимосвязи модуля упругости пиломатериалов при изгибе с их
пределом прочности при сжатии вдоль волокон, по [9]
№№ Порода
Сечение, h х b, мм
Уравнение связи
R2
1
Сосна
38 х 100
σсж = 0,702 Е+12,1
0,414
2
Сосна
38х150
σсж = 1,44 Е+ 15,8
0,368
3
Сосна
50х150
σсж = 1,53 Е+ 12,0
0,356
4
Ель
50х150
σсж = 1,16E + 17,9
0,209
Рис. 7.11 Графики уравнений
связи между модулем упругости при изгибе и пределом
прочности при продольном
сжатии для хвойных пиломатериалов (номера на рисунке
соответствуют позициям
табл. 7.9 )
Мы видим, что уравнения связи очень различны, хотя характеризуют
древесину одного района произрастания - Архангельскую область. Достоверность апроксимации также находится на низком уровне - только 2040% прочности при сжатии может быть связано с модулем упругости при
изгибе. Так происходит потому, что согласно действующему стандарту для
определения минимальной прочности образец на сжатие должен содержать
в своем среднем сечении сортообразующий порок. Наличие крупной
структурной неоднородности в образце на сжатие принципиально меняет
всю картину распределения напряжений по сравнению с чистым образцом.
В этом случае трудно ожидать хорошей корреляции между достаточно да-
лекими показателями, какими являются модуль упругости при изгибе и
предел прочности при продольном сжатии. Следовательно, на основании
имеющихся результатов можно сделать вполне определенный вывод о том,
что по модулю упругости при изгибе нельзя прогнозировать минимальный
предел прочности пиломатериалов при продольном сжатии.
Вместе с тем, как показали наши расчеты приведенные в табл. 2.1, модуль упругости при изгибе коррелирует с пределом прочности чистой древесины при сжатии вдоль волокон на уровне R2 = 0,6-0,7, что лишь немного уступает корреляции с пределом прочности при изгибе (R2 = 0,7-0,8).
Поэтому замеренный модуль упругости пиломатериалов вполне можно
использовать как основу для оценки прочности чистой древесины в данной
доске при продольном сжатии. Для хвойных пород США и влажности древесины 12% уравнение связи (для образцов размером 51 х 51 х 208 мм)
имеет вид σcж = 3,05 Е + 10,1 МПа при R2 = 0,67 и вариационном коэффициента Vу = 17,6%. Для пиломатериалов сечением 50 х 100 мм пересчетный коэффициент на увеличение объёма образца при определении модуля
упругости составит
51* 51* 714 0 ,024
Kx  (
)
 1,021
50 * 100* 900
Такой же коэффициент для предела прочности при сжатии составит
51 * 51 * 208
Ky (
)  1 ,013
50 * 100 * 250
В соответствие с этим уравнение связи между модулем упругости при
изгибе, определенном на образце размером 50 х 100 х 900 мм и пределом
прочности при сжатии, определенном на образце размером 50 х 100 х 250
мм, примет вид
 сж * 1,013  3 ,05 E * 1,021  10 ,14
 сж  3 ,07 E  10 ,0
По этому уравнению мы можем прогнозировать прочность чистой древесины на сжатие вдоль волокон при влажности 12%. Понижающий коэффициент для данной совокупности составит
Vy
17 ,6
K  1  1 ,64
1  R 2  1  1 ,64 *
* 1  0 ,67  0 ,834
100
100
Для партии пиломатериалов вариационный коэффициент может быть выше, а достоверность апроксимации несколько ниже, поэтому мы рекомен-
дуем принимать понижающий коэффициент К=0,8 и рассчитывать нормативное сопротивление продольному сжатию по формуле
σcж = (3,07E +10,0) * 0,8
Соответственно этому уравнению получаем такие нормативные значения прочности чистой древесины при продольном сжатии (табл. 7.9) :
7.9. Существующие и рекомендуемые значения нормативных сопротивлений конструкционных пиломатериалов продольному сжатию
Сорт пиломатериалов Модуль упругости Нормативное сопротивление сжатию, МПа
существующее
рекомендуемое*)
Е,ГПа.
КЗО (М10)
7
25
25
К24 (М8)
6,2 (6,1)
22 (21)
23
К 19 (Мб)
5,3 (5,2)
19 (17,5)
21
*) для образцов без видимых пороков древесины.
Для предела прочности при скалывании вдоль волокон прогноз по модулю упругости при изгибе невозможен, так как даже для чистой древесины
достоверность апроксимации находится на уровне 0,3 - 0,4 (см. табл. 2.1).
Прочность чистой прямослойной древесины при растяжении вдоль волокон можно достаточно надежно прогнозировать, как это уже показано в
главе 2, по пределам прочности при изгибе и сжатии.
 (
  изг )
 р  сж cж
3 сж   изг
Однако нужно иметь в виду, что для образцов в виде отрезков пиломатериалов с сортообразующим пороком в зоне разрушения эта зависимость
недействительна. Прогнозировать же прочность реальных пиломатериалов
при продольном растяжении по модулю упругости при изгибе также затруднительно - достоверность апроксимации между этими показателями
согласно [9] составляет не выше 0,5.
Выводы по главе VII
1. Разница в уравнениях связи между модулем упругости и пределом
прочности при изгибе образцов с сучками и без сучков тем больше, чем
меньше сечение образцов. Для реальных пиломатериалов толщиной 40-50
мм эта разница практически отсутствует. Это позволяет считать, что пороки древесины примерно в равной степени снижают оба показателя.
2. Рассмотрение уравнений связи между модулем упругости и пределом
прочности при изгибе для пиломатериалов различных хвойных пород показало, что для всех хвойных пород различных районов произрастания
может быть использовано единое уравнение связи. В частности для пиломатериалов сечением 100 х 50 мм, испытанных по стандартной методике,
при влажности древесины 18% уравнение имеет вид σизг =5,32Е+4,77.
3. Расчеты показали близкое совпадение этого уравнения с аналогичным
уравнением для образцов чистой древесины хвойных пород, произрастающих в США и Канаде (после учета всех поправочных коэффициентов на
влажность, размеры образцов и схему нагружения).
4. При использовании предлагаемой методики определения двух показателей за одну установку образца коэффициент корреляции между модулем
упругости и пределом прочности пиломатериалов при изгибе составляет не
ниже 0,8.
5. В качестве базового уравнения связи между модулем упругости и пределом прочности хвойных пиломатериалов при изгибе предлагается следующее уравнение для пиломатериалов сечением 100 х 50 мм, изгибаемых по
трехточечной схеме нагружения на пролете l=18h, где h - высота образца,
при влажности древесины 12%
σизг = 11,1E0,75
где Е - модуль упругости в ГПа.
6. Рассчитана погрешность предлагаемого уравнения связи. Нормативное
сопротивление изгибу с доверительной вероятностью 0,95 должно рассчитываться по формуле
σизг = 7,85E0,75 МПа
а при вероятности 0,99 по формуле
σизг = 6,68E0,75 МПа
7. Для практического использования данной зависимости необходимо исследовать для каждой сортировочной машины взаимосвязь машинного модуля упругости с лабораторным, определенным по предлагаемой методике,
и рассчитать понижающий коэффициент как характеристику добротности
данного оборудования.
8. Нормативные сопротивления изгибу, рассчитанные по предлагаемому
базовому уравнению связи, выше, чем нормируемые сегодня. Это означает, что для указанных сегодня сортов для обеспечения той же гарантированной прочности можно применять доски с более низкими модулями
упругости и повысить выход высших сортов конструкционных пиломатериалов.
9. По модулю упругости пиломатериалов при изгибе можно также прогнозировать предел прочности чистой древесины при продольном сжатии.
Прогнозирование других показателей (прочности при растяжении, скалывании, местном смятии) с необходимой достоверностью невозможно.