Document 441828

4 Mетрика на поверхности. Теория кривизны
13 Первая квадратичная форма
Пусть задана поверхность r  r (u, v), r  ( x, y, z) . Риманова метрика
определялась следующим образом: пусть задана кривая u = u(t), v = v(t). Её
b
 du dv 
длина     t dt,  t   ,  – есть вектор скорости в криволинейных
 dt dt 
a
2
координатах (u, v).  (t )  g ij ( x i )' ( x j )' , здесь x1 = u, x2 = v; g ij  g ij (u, ) .
Набор этих функций мы определяли как риманову метрику в криволинейных координатах (u, v). Этот набор определяет длину кривой и углы
между двумя кривыми в точке их пересечения. Чему равны g ij  g ij (u, ) ,
где u = x1, v = x2? Пусть кривая u = u(t), v = v(t) записана через координаты
(u, v) и лежит на поверхности в пространстве R3 с координатами (x, y, z).
Длиной кривой u(t), v(t) на поверхности мы назовём длину этой кривой в
трёхмерном евклидовом пространстве.
Пусть х = х(u(t), v(t)) = x(t); y = y(u(t), v(t)) = y(t); z = z(u(t), v(t)) = z(t).
b
Найдём длину    x'2  y '2  z '2 dt .
a
Так как x  xuu  xv v ; y  yu u  yv v ; z   zu u   zv v , то
2
2
2
x2  y2  z2   xu u  xv v   yu u  yv v   zu u  zv v 
 xu xu  yu yu  zu zu u2  2xu xv  yu yv  zu zv uv   xv xv  yv yv  zv zv v2 


 
 
E
F
G
= Eu   2 Fuv  Gv , где g11  E , g12  g 21  F , g 22  G , здесь u = x1, v = x2.
2
2
Если теперь векторы r u  xu e1  yu e 2  zu e3 ; r  x e1  y e 2  z e3 , где
e1 , e2 , e3 – базисные векторы, то мы можем записать gij  rx i rx j , x1 = u, x2 = v.
Функции gij (u, )  ( E, F , G) определены в координатах на поверхности.
Определение. Выражение 1  gij dxi dx j = E(du)2 + 2Fdudv + G(dv)2 называется первой квадратичной формой или римановой метрикой на поверхности.
Пусть теперь поверхность задана уравнением F(x ,y, z) = 0. Тогда риманова метрика на поверхности dx2 + dy2 + dz2 имеет вид: Fxdx + Fydy + Fzdz = 0
Fy
F
Предположим, что Fz ≠ 0, тогда dz   x dx 
dy . Итак, dx2 + dy2 + dz2 =
Fz
Fz
 Fy2  2
Fy  
Fx Fy
 Fx
Fx2  2
= dx + dy +  dx  dy  = 1  2 dx + 2 2 dxdy + 1  2 dy 
Fz  
Fz 
Fz
 Fz
 Fz 
2
2
2
53
Fx Fy
Fy2
Fx2
2
, u  x  x, v  x  y .
 g11  E  1  2 , g 22  1  2 , g12  F 
2
Fz
Fz
Fz
Пусть поверхность задана уравнением z = f(x, y). Тогда g11  1  f x2 ;
g12  g 21  f x f y ; g 22  1  f y2 .
Имея риманову метрику, мы можем измерить на поверхности длину
любой кривой u = u(t) и v = v(t), а также угол между двумя кривыми в точке
пересечения (угол между двумя пересекающимися кривыми есть угол
между их касательными в точке пересечения) (рис. 33).
r

ℓ1
dr
ℓ2
Рисунок 33
Пусть d r ,  r есть касательные векторы данных кривых.
 
dr d  d r
d r  ru du  r d ;  r  ryu  r  ; cos    ;
 ;
dr d d
d r 2  d2  ru2du2  2ru r dud  r2d 2  1 .
Итак, d r  d  Edu2  2 Fdud  Gd 2 ;
 r    Eu 2  2 Fu  G 2 .
Найдём скалярное произведение:







d r r  ru du  rv dv ruu  rvv   ru2 duu  ru rv duv  udv   rv2 dvv 
 Eduu  F duv  dvu   Gdvv ;
Eduu  F duv  dvu   Gdvv
.
cos 
2
2
2
2
Edu  2 Fdud  Gd Eu  2 Fu  G
Площадь поверхности находится по следующей формуле:
S   EG  F 2 dud .
D
Тема 14 Вторая квадратичная форма
Определение. Проекция вектора кривизны линии на нормаль поверхно54
сти в точке, через которую проходит эта кривая, называется нормальной
1
d2r
кривизной этой кривой. Обозначается kn    n 2 , Rn 
– радиус
kn
d
нормальной кривизны. Так как нормаль n заранее ориентирована, то проекция на неё может быть как положительной, так и отрицательной. Вычисdr
2 r
2 r
2 r
лим нормальную кривизну:
 ru u ' r ' ;
 ruu ;
 r ;
 ru .
d
u 2
 2
u
d2r
Найдём 2  ru u" r " ruuu '2 2ru u ' ' r '2 . Вспомним, что
d
ab  a П  a b .
"
Итак, k n  r  n  nruuu '2 2nru u ' ' nr '2  b11u '2 2b12u ' 'b22 '2 ,
где b11  L  n' ruu ; b12  b21  M  nru ; b21  N  n' r , ru  n , r  n .
d2r
Выражение  2  2 ndt 2  bij dxi dx j  Ldu 2  2Mdud  Nd 2 , u  x1 ,
d
2
  x называется второй квадратичной формой. Итак,
Ldu2  2Mdud  Nd 2 2
– нормальная кривизна. Так как
kn 

Edu2  2 Fdud  Gd 2 1
| [ru , rv ] | EG  F 2 , то n 
r , r   r , r 
r , r  EG  F
u
L  nruu 
ru , r , ruu

u
u

; M  nru 
ru , r , ru

2
. Тогда
; N  nr 
ru , r , r
.
EG  F 2
EG  F 2
EG  F 2
Зависимость между кривизной и нормальной кривизной можно получить, если ввести угол между нормальным вектором поверхности и вектором главной нормали кривой. Угол между векторами n и  обозначим через  .  – единичный вектор главной нормали.
1
1
kn  , k  .
Rn
R
1
d2r
cos
 n 2  nk  k n 
Тогда k n 
. Следовательно, R  Rn cos  .
Rn
d
R

 ,
2
который совпадает с углом между касательной плоскостью поверхности и
соприкасающейся плоскостью кривой. Если соприкасающаяся плоскость
кривой на поверхности в данной её точке задана, то она определяет своим
пересечением с касательной плоскостью поверхности и касательную прямую этой кривой. Теперь, зная направления касательной прямой, можно
найти нормальную кривизну. И так как угол  известен, то можно опредеТаким образом, кривизна зависит от нормальной кривизны и угла
55
лить полную кривизну. Следовательно, все кривые поверхности, имеющие
общую точку и общую соприкасающуюся плоскость в этой точке, имеют в
ней одинаковые кривизны.
Тема 15 Индикатриса Дюпена
Изучение кривизны всех линий на поверхности сводится к рассмотрению плоских сечений. Кривизна произвольного сечения, как мы видели,
связана с кривизной нормального сечения. Таким образом, вопрос о кривизне линий на поверхности сводится к изучению кривизны нормальных
сечений. Через данную точку поверхности можно провести бесчисленное
множество нормальных сечений. Как же изменяется нормальная кривизна
при переходе от одного такого сечения к другому? Возьмём на поверхности некоторую точку М и будем откладывать от неё на касательной к каждому нормальному сечению отрезок равный R , где R – кривизна нормального сечения (рис. 34).
n
R1
R3
М
R2
Рисунок 34
Определение. Множество концов этих отрезков есть некоторая плоская
кривая, расположенная в касательной плоскости поверхности, которая
называется индикатрисой Дюпена, соответствующей данной точке.
Найдём её уравнение. За начало координат, которое расположим в касательной плоскости, примем точку прикосновения М. Масштабные векторы пусть будут ru и r , r  r (u , ) . Пусть    1 ,  2  – есть радиус-вектор
произвольной точки индикатрисы, то есть    1 ru   2 r . С другой стороны, вектор  можно записать в таком виде:   RV , где V – единичный
вектор касательной некоторого нормального сечения, а R – радиус его кри
 dr  du  dv
 ru
 rv , где r  r (u , ) – радиус-вектор
визны в точке М. Но v 
d
d
d
точки нормального сечения.
Мы можем приравнять эти выражения:
56
d 
 du
 r
 . Отсюда следует, что
d 
 d
2
2
1
du d
du
d
 du 
 d 
1
2
 L   2 M
 N
.
Но kn 
  R ,   R
 .
Rn
d d
d
d
 d 
 d 
Умножим обе части этого равенства на R.
2
2
R 
du 
du 
d 
d 


  R  L  2 M  R  R
Имеем
  N R
 .
Rn 
d 
d 
d 
d 


Но R  Rn cos  . Это значит, что кривизна нормального сечения и нормальная кривизна поверхности, соответствующая направлению этого сечения, могут отличаться только знаком, так как в этом случае векторы главной нормали и нормали поверхности равны и могут отличаться только
направлением, то есть   00 , либо    . Таким образом, R   Rn .
   1 ru   2 r  RV  R  ru
Имеем L 1   2M 1 2  N  2   1 – уравнение индикатрисы Дюпена. Знак “ + ” соответствует случаю вогнутого, а знак “ – ” случаю выпуклого нормального сечения, так как вектор главной нормали всегда
указывает в сторону вогнутости плоской кривой. Упростим это уравнение. Приведём некоторые сведения из алгебры. Рассмотрим на плоскости пару квадратичных форм, одна из которых положительна. И пусть
их матрицы имеют вид: G  gij , B  gij . Составим уравнение:
2
2
det( B  G)  0 , (b11  g11) (b22  g 22 )  (b12  g12 )2  0 . Корни этого уравнения называются собственными числами пары квадратичных форм.
1
2

(b11  i g11)i  (b12  i g12 )i  0
Составим систему: 
, где  i1 и i2 неиз1
2

(b12  i g12 )i  (b22  i g 22 )i  0
вестные. Если 1 и 2 – собственные числа, то система имеет нетривиаль-
ные решения c1  11 , 12 , c2   21 ,  22  . Направления векторов c1 и c2 назы-
ваются главными направлениями пары квадратичных форм. Вектор c1 соответствует 1 , а c2 соответствует 2 . Известно также, что если собственные числа пары квадратичных форм различны, то главные направления ортогональны.
Определение. Собственные числа этой пары квадратичных форм называются главными кривизнами в данной точке. Произведение главных кривизн называется гауссовой кривизной, а их сумма – средней кривизной поверхности.
Упростим теперь уравнение индикатрисы Дюпена за счёт выбора системы координат. В нашем случае система декартовых координат в касательной плоскости связана с системой криволинейных координат на поверхности. Выберем систему координат на поверхности так, чтобы сделать
возможным упрощение. Поместим начало прямоугольных координат про57
странства в данную точку М поверхности и совместим плоскость XOY с её
касательной плоскостью, не выбирая пока направления осей OX и OY.
Пусть задана поверхность z = f(x, y). Параметризуем эту поверхность.
Пусть x = u, y = v, тогда поверхность z = f(u, v). Такая система криволинейных координат называется нормальной в точке М. Координатные векторы,
соответствующие этой параметризации имеют вид:
 f
f
f
ru  i  k , rv  j  k , так как r ( x, y, z)  r (u, v, f (u, v)) , ru  (1, 0, ) ,
u
v
u





 f
f
rv  (0, 1, ) , ru  xu i  yu j  zu k  1  i  0  j  k ;
v
u





 f
rv  xv i  yv j  z v k  0  i  1  j  k .
v
В начале координат, которое совпадает с данной точкой М, эти векторы
ru , r должны лежать в плоскости XOY, которая касательна поверхности.
 f 
 f 
Таким образом, для точки О    0 , 
  0 , а ru 0  i , r 0  j . Т. е.,
   0
 u  0
декартова система координат здесь превращается в обычную прямоугольную, где  1  x ,  2  y . Выберем теперь направление осей ОХ и ОY. Совместим эти оси с главными направлениями индикатрисы Дюпена. Известно, что если координатные оси идут по главным направлениям кривой второго порядка, то в её уравнении отсутствует член с произведением координат, то есть М0 = 0. И уравнение принимает вид: L0 x 2  N0 y 2  1 –
уравнение индикатрисы Дюпена.


Тема 16 Формула Эйлера
Получим формулу Эйлера, которая устанавливает зависимость между
нормальной кривизной любого направления и нормальными кривизнами
главных направлений индикатрисы. Обозначим через  угол между главным направлением и направлением произвольного сечения (рис. 35).
y
R
R2
(x, y)

x
R1
Рисунок 35
58
Тогда для координат точки индикатрисы имеем, что х = R cos ,
y = R sin  , где R – радиус кривизны соответствующей этой точке нормального сечения. Подставив эти значения в уравнение L0 x 2  N0 y 2  1 ,
1
1
1
получаем L0 cos2   N 0 sin 2   1   
. Главными кривизнами k1 
R Rn
R1
1
и k2 
поверхности в данной точке называются нормальные кривизны,
R2
соответствующие главным направлениям индикатрисы Дюпена. В нашем
случае эти направления определятся значениями 0 и
разом, k1  L0 , k2  N 0 и уравнение перепишем в виде:

угла  . Таким об2
kn  k1 cos2   k2 sin 2  – формула Эйлера.
Вычислим главные кривизны. Пусть на поверхности заданы две системы криволинейных координат. Первая из этих систем является нормальной в данной точке, а вторая произвольная, но такова, что по отношению к этой системе данная точка
является
неособой. Если координатные


векторы нормальной системы i и j идут по главным направлениям поверхности в этой точке, то первая квадратичная форма имеет вид:
1  dx2  dy2 , а вторая квадратичная форма – 2  k1dx2  k2 dy2 , где
2  k1 , k2 – главные кривизны поверхности. Запишем теперь выражения
этих квадратичных форм в произвольной системе криволинейных координат и приравняем к данной.
(1)
Ldu2  2Mdud  Nd 2  k1dx2  k1dy2
(2)
Edu2  2Fdud  Gd 2  dx2  dy2
Умножим обе части уравнения (2) на k1 и почленно вычтем из (1):
( L  k1E )du2  2(M  k1F )dud  ( N  k1G)d 2  (k2  k1 )dy2
При переходе от произвольных координат к нормальным имеем:
dy 
y
y
du 
dv  adu  bdv .
u
v
Итак:
( L  k1E )du2  2(M  k1F )dud  ( N  k1G)d 2  (k2  k1 )dy2 
 (k 2  k1 ) (a 2 du 2  2abdud  b 2 d 2 ) , то есть
 L  k1E  a 2 (k2  k1 )

M  k1F  ab(k2  k1 )

2
 N  k1G  b (k2  k1 )
Из этой системы, выражая k2  f (k1 ) , можно получить
L  k1E N  k1G   M  k1F 2  0 .
К аналогичному выражению, содержащему k 2 , мы придём, если ис59
ключить подобным образом dy2 . Таким образом, главные кривизны поверхности в каждой точке являются корнями характеристического уравне2
ния L  sE  N  sG   M  sF   0 . Раскрыв скобки и произведя соответствующие преобразования, получаем:
LN  ENs  LGs  EGs2  M 2  2MFs  F 2 s 2  0 ;
EG  F 2 s 2   EN  2MF  LGs  LN  M 2  0 ;
s2 
EN  2 MF  LG
LN  M 2
s

 0;
2
2
EG

F
EG

F
 

2H
K
s  2 Hs  K  0 ;
K  k1k 2 – полная (гауссова) кривизна;
k1  k2  2 H – средняя кривизна.
2
60