Лекция №6 Тех Мех_2015

Тема 5
Напряженное и деформированное состояние в точке.
Лекция №6
Объемное напряженное состояние.
5.7 Главные напряжения и главные площадки.
5.8 Площадки экстремальных касательных напряжений.
5.9 Деформированное состояние в точке.
Основные понятия.
Направляющие косинусы внешней нормали к площадке, решение системы
линейных однородных алгебраических уравнений (СЛОАУ), вычисление
определителя третьего
порядка, главные напряжения и главные площадки,
инварианты напряженного состояния, экстремальные касательные напряжения,
деформированное состояние в точке, главные деформации.
5.7 Главные напряжения и главные площадки.
Рассмотрим
некоторое тело, нагруженное системой сил, удовлетворяющей
условиям равновесия (рис. 5.9 а). Тремя парами параллельных плоскостей выделим в
окрестности точки A элементарный параллелепипед (рис. 5.9 б).
Рис. 5.9 Объемное напряженное состояние (а). Главные площадки (б)
Напряжения, действующие на гранях элементарного параллелепипеда в общем случае
объемного напряженного состояния (рис. 5.9 б), сведем в матрицу (тензор напряжений)
 x  yx  zx 


T   xy  y  zy 


 xz  yz  z 
(5.22)
Если записать уравнения равновесия параллелепипеда: сумма моментов всех сил
относительно осей x,y,z, то получим численные равенства закона парности касательных
напряжений:
(5.23)
 yx   xy ,  zy   yz ,  zx   xz
В двух взаимно перпендикулярных площадках составляющие касательных
напряжений, перпендикулярные общему ребру, равны друг другу и направлены обе либо
T симметрична. Меняя
к общему ребру, либо от ребра. Поэтому матрица
ориентировку параллелепипеда (рис. 5.9 в), можно найти такое его положение, когда на
всех гранях касательные напряжения будут равны нулю. Такие площадки и действующие
на них нормальные напряжения называются главными напряжениями и главными
площадками.
Рассмотрим способ их определения. Предположим, что нам известен наклон какойлибо главной площадки, определяемой нормалью γ (рис.5.10 а). Направляющие косинусы
нормали:
l  cos(x, )
m  cos(y, )
n  cos(z, )
l 2  m 2  n 2  1 (5.24)
Сечением, параллельным этой площадке, выделим из исходного параллелепипеда
тетраэдр (рис 5.10 б).
Рис. 5.10 Наклонная площадка (а) и равновесие тетраэдра, выделенного главной
площадкой (б)
Примем площадь наклонной грани тетраэдра dA=1, тогда площади других граней
будут равны:
(5.25)
dA  1
dAx  l
dAz  n
dAy  m
Напряжение, действующее на главной площадке, обозначим  гл   . Составим условия
равновесия тетраэдра в виде суммы проекций действующих на него сил на ось x:
(5.26)
l   xl   yx m   zx n  0
Аналогичные уравнения будут для осей y,z. Запишем эти уравнения в виде
системы линейных однородных алгебраических уравнений (СЛОАУ) относительно
неизвестных направляющих косинусов l , m, n :
( x   )l   yx m   zx n  0
 xyl  ( y   )m   zy n  0
(5.27)
 xz l   yz m  ( z   )n  0
Решение СЛОАУ l  0, m  0, n  0 нам не подходит, т.к. должно выполняться
условие (5.3): l  m  n  1 .
Поэтому найдем решение (5.27) отличное от нуля. Для этого, потребуем, чтобы
определитель системы равнялся нулю, т.е.
2
2
2
( x   )
 yx
 zx 


det   xy
( y   )
 zy   0
 
 yz
( z   )
xz

(5.28)
Раскрываем определитель (5.28) получаем:

3
 I1  2  I 2   I 3  0
(5.29)
Из симметрии матрицы определителя (5.28) следует, что все три корня
уравнения (5.8) будут действительные числа:
1   2 ,   3
(5.30)
Коэффициенты уравнения (5.29) с учетом закона парности касательных
напряжений (5.23) вычисляются по формулам:
I1  ( x   y   z )
I 2   x y   x z   y z   xy   xz   yz
2
2
2
(5.31)
I 3   x  yz   y  xz   z  xy   x y z  2 xy xz yz
2
2
2
Коэффициенты (5.31) не зависят от выбора осей координат, так как при любых
исходных площадках уравнение (5.29) должно давать одни и те же корни:  1 ,  2 ,  3 .
Поэтому величины I1 , I 2 , I 3 называются первым, вторым и третьим инвариантами
напряженного состояния (тензора напряжений).
Если площадки элементарного параллелепипеда, выделенного в окрестности
точки, являются главными, то для инвариантов напряженного состояния имеем
следующие формулы:
(5.32)
I 2  1 2  1 3   2 3
I 3   1 2 3
I1  (1   2   3 )
Для определения l , m, n , соответствующих одному из трех главных напряжений,
значение этого напряжения надо подставить в уравнение (5.27) вместо σ. Совместное
решение (5.29) и (5.27) даст искомые направляющие косинусы l , m, n .
Пример 5.1 Предположим, что рассматривая напряженное состояние в точке, мы
выделили в ее окрестности элементарный параллелепипед и на его гранях обнаружили
систему нормальных и касательных напряжений, обладающих тем свойством, что все
компоненты оказались равными друг другу τ (рис. 5.11 а). Определим главные
напряжения и установим, что же это за напряженное состояние.
Рис. 5.11 Напряжения на гранях параллелепипеда (а). Выделение элементарного
параллелепипеда исходного состояния (б)
Вычислим инварианты по формулам(5.31), уравнение (5.29) примет вид, корни
которого равны:
I1  3 , I 2  0, I 3  0

3
 3  2  0
 1  3 ,  2   3  0
Таким образом, на рис. 5.11,а представлено одноосное напряженное состояние с
напряжением 3 (Рис 5.11 б). На рис 5.3, б показана тройка взаимно перпендикулярных
секущих площадок имеющих равный наклон к оси растянутого стержня.
Пример 5.2 Предположим, что рассматривая напряженное состояние в точке, мы
выделили в ее окрестности элементарный параллелепипед и на его гранях обнаружили
систему только равных касательных напряжений τ (рис.5.12,а).
Рис. 5.12 Напряженное состояние в точке (а), главные площадки исходного состояния (б)
Вычислим инварианты по формулам(5.31), уравнение (5.29) примет вид, корни
которого равны:
I1  0, I 2  3 2 , I 3  2 3

3
 3 2   2 3  0
 1  2 ,  2   3  
Следовательно, рассматриваемое состояние является трехосным (рис. 5.12 б).
5.8 Площадки экстремальных касательных напряжений.
Максимальное касательное напряжение для данной точки равно полуразности
максимального и минимального главных напряжений и действует на площадке,
наклоненной к ним под углом 450 (  1 3 ).
 max   13 
1   3
2
 12 
1   2
2
 23 
2 3
2
(5.33)
Рис 5.13 . Площадки экстремальных касательных напряжений (оси 1,2,3 параллельны
главным напряжениям  1   2 ,   3 )
5.9 Деформированное состояние в точке.
Рассмотрим особенности деформирования материала в окрестности точки М
деформированного тела (рис.5.14,а). Выделим элемент dx, dy, dz в окрестности этой
точки
Рис. 5.14 Совокупность деформаций для всевозможных осей, проведенных через точку М,
представляет деформированное состояние в точке (а); деформации элемента в плоскости
x-y (б)
Линейные  и угловые  деформации (углы сдвига) элемента в трех ортогональных
плоскостях представим в виде тензора деформаций (см. 5.14,б):

 x
1
T    xy
2
1 
 2 zx
1
 yx
2
y
1
 zy
2
1 
 xz
2 
1 
 yz 
2 
z 

(5.34)
Если мысленно вращать вокруг точки М оси x, y, z, переводя их во всевозможные
'
'
'
положения x , y , z ,то деформации (5.34) будут непрерывно изменяться (рис. 5.14 а).
Совокупность относительных удлинений и углов сдвига для всевозможных
направлений осей, проведенных через данную точку, называется деформированным
состоянием в точке.
Деформации  1 ,  2 ,  3 в направлениях, для которых отсутствуют углы сдвига,
называются главными деформациями в точке и определяются по формулам (формулы
обобщенного закона Гука):
(5.35)
(   (   ))
(   (   ))
(   (   ))
1 
1
2
E
3
2 
2
1
E
3
3 
3
1
E
2