1. Теплоход затратил 5 часов на путь вниз по течению реки от

Содержание
1. Введение ______________________________________________________3
2. Текстовые задачи_________________________ _______________________5
3. Задачи на движение
3.1. Теоретический справочник__________________________________7
3.2. Примеры решения задач ___________________________________8
3.3 Задачи для самостоятельного решения _______________________15
4. Список использованной литературы _______________________________17
2
1. Введение
Единый государственный экзамен (ЕГЭ) по математике совмещает два
экзамена - выпускной школьный и вступительный в высшее учебное
заведение и среднее специальное учебное заведение . В связи с этим
материал, усвоение которого проверяется при сдаче ЕГЭ, значительно шире
материала, проверяемого при сдаче выпускного экзамена. Наряду с
вопросами содержания школьного курса алгебры и начала анализа 10 - 11
классов проверяется усвоение ряда вопросов курсов алгебры 7 - 9 классов и
геометрии 7 - 11 классов, которые традиционно контролируются на
вступительных экзаменах.
«Первый экзамен» — это базовая часть В. По сути это выпускной
экзамен за курс средней школы. Здесь проверяются все навыки и умения,
полученные на уроках математики, начиная с третьего класса. И если у
ученика проблемы, например, с арифметикой, если в пятом или седьмом
классе он что-то недопонял — все эти пробелы немедленно проявятся уже на
базовом уровне ЕГЭ .
Поэтому начинать надо даже не с решения типовых вариантов ЕГЭ, как
делают многие школьники, а с повторения всего базового курса школьной
математики.
«Второй экзамен» — это часть С. Данный раздел ЕГЭ играет роль
вступительного экзамена по математике в технические и экономические
ВУЗы. Здесь представлены сложные, комбинированные задачи, требующие
творческого подхода, логики и, конечно же, внимания. Для успешного
решения этих задач требуется углублённая и фундаментальная подготовка.
3
Экзамен не должен стать для выпускника (абитуриента) испытанием
на прочность нервной системы. Чем раньше начнется подготовка к экзамену,
тем легче пройдет сдача экзамена. Подготовка к экзамену — это не
«натаскивание» выпускника на задания, аналогичные заданиям прошлых
лет. Подготовка означает изучение программного материала с включением
заданий в формах, используемых при итоговой аттестации. Кроме того,
необходимо ликвидировать пробелы в знаниях и постараться решить общие
проблемы, они хорошо известны каждому учителю: отсутствие культуры
вычислений и несформированность приемов самопроверки.
ЕГЭ 2012 года по математике включает в себя 20 заданий: 14 заданий
базового уровня и 6 заданий повышенной трудности. В сравнении с ЕГЭ 2011
года в части В появились два новых задания: одно по геометрии
(стереометрии) и одно практическое задание на использование
вероятностных моделей. Также без изменения сложности несколько
расширена тематика задания С3 – в этом задании может присутствовать
система неравенств.
Создание открытого банка, содержащего задания, из которых будут
формироваться варианты ЕГЭ, улучшили ситуацию по успешной подготовке и
сдаче Единого Государственного Экзамена.
Одной из важных составляющих для успешной сдачи ЕГЭ является
умение решать текстовые задачи.
В данной работе будут рассмотрены приемы решений некоторых
видов текстовых задач.
4
2. Текстовые задачи
Текстовые задачи условно можно разбить на следующие основные
группы:
- задачи на части и проценты;
- задачи с целочисленными данными;
- задачи на движение;
- задачи на работу;
- задачи на сплавы растворы и смеси.
Методы решения этих задач имеют много общего и одновременно
некоторые специфические особенности.
Алгоритм решения текстовых задач:
- ввод переменных, то есть обозначение буквами x, y, z… величин, которые
требуется найти по условию задачи;
- перевод условий задачи на язык математических соотношений, то есть
составление уравнений, неравенств, введение ограничений;
- решение уравнений или неравенств;
- проверка полученных решений на выполнение условий задачи.
Некоторые указания к решению текстовых задач:
- набор неизвестных должен быть достаточным для перевода условий
задачи на язык математических соотношений (как правило, за неизвестные
следует принимать искомые величины);
5
- выбрав неизвестные, в процессе перевода условий задачи в уравнения или
неравенства необходимо использовать все данные и условия задачи;
- при составлении уравнений или неравенств необходимо исходить из
требования о решении задачи в общем виде;
- в составленных уравнениях надо проверить размерность членов
уравнений;
- в процессе решения задачи надо избегать результатов, противоречащих
физическому смыслу.
6
3. Задачи на движение
3.1. Теоретический справочник
При решении задач на движение принимают такие допущения:
- движение считается равномерным, если нет специальных оговорок;
- изменение направления движения и переходы на новый режим движения
считаются происходящими мгновенно;
- скорость перемещения лодки по воде V при скорости течения реки Vр
и собственной скорости движения Vл выражается:
V = Vл + Vр - при движении лодки по течению реки,
V = Vл - Vр - при движении лодки против течения реки.
Основные соотношения:
- V=
𝑆
𝑡
- скорость движущегося объекта прямо пропорциональна пути S и
обратно пропорциональна времени t.
- t=
𝑆0
𝑉1+ 𝑉2
– время, за которое два объекта, движущиеся навстречу друг другу
со скоростью соответственно V1 и V2 , преодолевают начальное расстояние
S0 .
- t=
𝑆0
𝑉1− 𝑉2
– время, за которое два объекта, движущиеся в одном
направлении со скоростью соответственно V 1 и V2 (V 1 > V2 ), преодолевают
начальное расстояние между ними, равное S0 , и первый объект догонит
второго.
7
Задачи, связанные с движением двух тел, удобно решать, если занести
исходные данные в таблицу:
Скорость V
1-ый объект
V=
Время t
𝑆
t=
𝑡
Путь S
𝑆
S = V∙t
𝑉
2-ой объект
После внесения данных нужно составить уравнения, содержащие
искомую величину, исходя из условий задачи.
3.2. Примеры решения задач
Задача 1. Из деревни в город вышел турист. Первую половину пути он
шел со скоростью 5 км/ч, а затем оставшуюся часть ехал на автобусе. Найти
среднюю скорость движения туриста на всем маршруте, если скорость
автобуса равна 45 км/ч.
0,5𝑆
Решение. Пусть S - расстояние от деревни до города, тогда :
𝑆
10
𝑆
90
5
часов - время, которое затратил турист на первую половину пути;
часов
=
0,5𝑆
45
=
- время, которое затратил турист на вторую половину пути.
Из этого следует, что время прохождения всего пути равно
То есть средняя скорость туриста равна
𝑆
𝑆 ⁄9
𝑆
10
+
𝑆
90
𝑆
= часов.
9
= 9км/ч.
Ответ: 9км/ч.
Задача 2. Ученик шел от дома до школы со скоростью 3 км/ч и опоздал
на урок на одну минуту. В другой раз он шел со скоростью 4 км/ч и пришел
за три минуты до начала урока. С какой скоростью ему нужно идти в
следующий раз, чтобы прийти в точности к началу урока?
8
Решение. Пусть S – расстояние в километрах от дома до школы, t –
время в часах от выхода ученика из дома до начала урока в школе, V –
скорость, с которой должен идти ученик, чтобы прийти точно к началу урока.
Согласно условию задачи, имеем следующую систему:
𝑆
1
,
4
𝑆= ,
60
5
<=>
{3𝑆
{
1
1
𝑡= ;
=𝑡− ;
4
4
=𝑡+
𝑆
16
𝑡
5
=> V= =
= 3,2 км/ч.
20
Ответ: 3,2 км/ч.
Задача 3. На велотреке, имеющем форму окружности, из
диаметрально противоположных точек одновременно стартуют два
велосипедиста со скоростями 775 и 800 метров в минуту соответственно.
Сколько полных кругов проедет первый велосипедист к моменту, когда его
догонит второй, если длина одного круга велотрека равна 250 метров?
Решение.
Каждую минуту второй велосипедист сокращает расстояние до первого на
800-775=25 метров.
Так как изначально между велосипедистами было расстояние 125 метров
(половина длины круга велотрека), то второй велосипедист догонит первого
за 125:25=5 минут.
За это время первый велосипедист проедет расстояние, равное 775∙5=3875
метров, то есть 3875:250=15,5 кругов.
Ответ: 15 полных кругов.
9
Задача 4. Баржа в 10:00 вышла из пункта А в пункт В,
расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 20 минут, баржа
отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00. Определите (в км/час)
скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна
7 км/ч.
Решение. Пусть х км/ч скорость течения реки. Время, которое баржа
1
2
3
3
находилась в пути 16 – 10 - 1 = 4 часа.
Учитывая, что собственная скорость баржи 7 км/ч, получим уравнение:
15
7+х
+
15
7−х
=4
2
3
=> 14х2 = 56.
Положительный корень данного уравнения х=2, следовательно
скорость течения реки - 2 км/ч.
Ответ: 2 км/ч.
Задача 5. Пункты А, В и С расположены на реке в указанном порядке
вниз по течению. Расстояние между А и С равно 4 км, а между В и С - 14 км.
В 12 часов из пункта В отплыла лодка и направилась в пункт А. Достигнув
пункта А, она сразу же повернула назад и в 14 часов прибыла в пункт С.
Скорость течения реки равна 5 км/ч. Найти скорость лодки в стоячей воде.
Решение. Пусть х км/ч – скорость лодки в стоячей воде, тогда (х+5)
км/ч скорость лодки по течению ( из А в С), а (х-5) км/ч – скорость лодки
против течения (из В и А).
Учитывая, что расстояние от В до А – 4 км, от А до С – 18 км, а время в
пути 2 часа, получим уравнение:
10
4
х−5
18
+
х+5
= 2 => х2-11х+10=0.
Корни полученного квадратного уравнения 1 и 10. 1 – не
удовлетворяет условию задачи, следовательно, скорость лодки в стоячей
воде будет 10 км/ч.
Ответ: 10 км/ч.
Задача 6. Подъем в гору турист прошел за два часа. На спуск с горы,
который на 18 км длиннее подъема, турист затратил вдвое больше времени,
чем на подъем в гору. Найти общую длину пройденного туристом пути, если
каждый километр при спуске турист проходил на 10 минут быстрее, чем при
подъеме.
Решение. Пусть S км – длина подъема, тогда (S + 18) км – длина спуска.
Пусть V1 км/ч – скорость туриста на подъеме, а V2 км/ч – скорость туриста
при спуске.
Учитывая, что при спуске турист один километр проходил на 10 минут
( 1/6 часа) быстрее, чем на подъеме, и время затраченное на подъем – 2
часа, а на спуск – 4 часа, имеем следующую систему:
𝑉1 =
𝑉2 =
1
{𝑉1
−
𝑆
2
𝑆+18
1
𝑉2
4
=
1
=>
2
𝑆
−
4
𝑆+18
=
1
6
<=> S2+30S-216=0.
6
Положительный корень полученного квадратного уравнения есть S=6.
Значит, общая длина пройденного туристом пути равна S+S+18=30 км.
Ответ: 30 км.
11
Задача 7. На проезд через мост длиной 4 км у машины с грузом ушло
на 2 минуты больше, чем на проезд без груза через мост в обратном
направлении. Каковы скорости движения машины с грузом и без груза, если
они отличаются на 20 км/ч?
Решение. Пусть V км/ч – скорость машины с грузом, тогда
V+20 км/ч - скорость машины без груза. Учитывая, что через мост без груза
машина проходит на 2 минуты (1/30 часа) быстрее, имеем следующее
уравнение:
4
𝑉
−
4
𝑉+20
=
1
30
<=> V2 + 20V -2400 = 0.
Положительный корень полученного квадратного уравнения , равный
40, и есть скорость машины с грузом. Следовательно, скорость машины без
груза будет 60 км/ч.
Ответ: 40 км/ч; 60 км/ч.
Задача 8. Из пунктов А и В, расположенных на расстоянии 100 км,
навстречу друг другу одновременно выехали два велосипедиста. Через 4
часа они встретились. После встречи скорость первого велосипедиста,
едущего из А в В, возросла на 5 км/ч, а скорость второго, едущего из В в
А, возросла на 10 км/ч. Известно, что первый велосипедист прибыл в пункт В
на 1 час раньше, чем второй прибыл в пункт А. Определите первоначальную
скорость первого велосипедиста.
Решение. Пусть V1 и V2
- скорости соответственно первого и
второго велосипедиста. А t - время, за которое первый велосипедист
проделал весь путь от А до В. Тогда (t+1) - время, за которое второй
12
велосипедист доехал от В до А.
Так как к моменту встречи оба велосипедиста в сумме проехали
расстояние 100 км, имеем уравнение:
4(V1 + V2) = 100.
Согласно графику движения первого велосипедиста, получим
4V1 + (t – 4)(V1 + 5) = 100.
11
Аналогично, для второго велосипедиста имеем
4V2 + ((t + 1) – 4)(V2 + 10) = 100.
Составим и решим систему уравнений:
𝑉1 + 𝑉2 = 25,
𝑉1 + 𝑉2 = 25,
{ 4𝑉1 + (𝑡 − 4)(𝑉1 + 5) = 100, <=>
4𝑉2 + (𝑡 − 3)(𝑉2 + 10) = 100;
𝑉1 + 𝑉2 = 25,
=> {100−4𝑉2
𝑉2 +10
−
100−4𝑉1
𝑉1 +5
= 1;
<=>
{
𝑡−4=
{𝑡 − 3 =
100−4𝑉1
𝑉1 +5
100−4𝑉2
𝑉2 +10
=>
;
𝑉2 = 25 − 𝑉1
4𝑉1
35−𝑉1
−
100−4𝑉1
𝑉1 +5
= 1;
=>
=> 𝑉12 + 230𝑉1 − 3675 = 0.
Положительный корень полученного квадратного уравнения –
первоначальная скорость первого велосипедиста.
Ответ: 15 км/ч.
13
Задача 9. Из городов А и В навстречу друг другу одновременно
вышли два товарных поезда. Они двигались без остановок, встретились
через 24 часа и продолжали свой путь, причем первый прибыл в пункт В на
20 часов позднее, чем второй поезд прибыл в А. Сколько времени был в
пути первый поезд.
Решение.
Путь
Время
1-ый поезд
S
t + 20
2-ой поезд
S
T
Скорость
?
V1
V2
12
Учитывая, что поезда двигались без остановок , встретились через 24
часа и продолжили движение, получим систему:
24(𝑉1 + 𝑉2 ) = 𝑆,
{
𝑆
𝑡+20
𝑆
𝑡
=>
= 𝑉1 ,
=> (
𝑆
𝑡+20
𝑆
24
𝑡
𝑡+20
+ ) ∙ 24 = 𝑆 =>
+
24
𝑡
= 1 =>
= 𝑉2 ;
t2 - 28t – 480 = 0.
Положительный корень полученного квадратного уравнения t=40.
Следовательно, первый поезд был в пути 40+20=60 часов.
Ответ: 60 часов.
14
3.3. Задачи для самостоятельного решения
1. Теплоход затратил 5 часов на путь вниз по течению реки от пункта А
до пункта В. На обратный путь против течения он затратил 8 часов 20 минут.
Найти скорость теплохода, если путь от А до В равен 100 км.
Ответ: 16 км/ч.
2. Один турист преодолевает расстояние 20 км на 2,5 часа быстрее,
чем другой. Если бы первый турист уменьшил свою скорость на 2 км/ч, а
второй увеличил свою скорость в 1,5 раза, то они затратили бы на тот же путь
одинаковое время. Найти скорость второго туриста.
Ответ: 4 км/ч.
3. Два поезда вышли из города А в город В и весь путь каждый из
поездов прошел с постоянной скоростью. Второй поезд вышел на 5 часов
позже первого и прибыл в В одновременно с первым поездом. За один час
до прибытия в В расстояние между поездами составляло 30 км, а когда
первый поезд находился в середине пути, второй отставал от него на 225 км.
Определить скорости поездов и расстояние между городами.
Ответ: 60 км/ч; 90 км/ч; 900 км.
4. Катер и яхта, отправляющиеся из портов А и В навстречу друг
другу в 9 часов, встречаются в 13 часов. Катер и теплоход, отправляющиеся
из тех же портов навстречу друг другу в 10 часов, также встречаются в 13
часов. Определить, на сколько километров отстанет к 19 часам яхта от
теплохода, если они выйдут из порта А в 10 часов в одном направлении.
Расстояние между портами А и В равняется 104 км.
Ответ: на 78 км.
15
5. Из пункта А по реке отправляется плот. Одновременно, навстречу
ему отправляется катер из пункта В, расположенного ниже по течению, чем
пункт А. Встретив плот, катер сразу поворачивает и идет вниз по течению.
Найти, какую часть пути от А до В пройдет плот к моменту возвращения
катера в пункт В, если скорость катера в стоячей воде вчетверо больше
скорости течения реки.
Ответ: 2/5.
6. Расстояние между городами А и В равно 80 км. Из А в В
выехала машина, а через 20 минут - мотоциклист, скорость которого равна
90 км/ч. Мотоциклист догнал машину в пункте С и повернул обратно. Когда
машина прибыла в В, мотоциклист проехал половину пути от С до А. Найти
расстояние от С до А.
Ответ: 60 км.
7. Интервалы движения морских катеров по трем маршрутам,
начинающимся на общей пристани, составляют 30, 36 и 45 минут
соответственно. Сколько раз с 7 часов 40 минут до 17 часов 35 минут того же
дня на этой пристани одновременно встречаются катера всех трех
маршрутов, если одна из таких встреч происходит в 11 часов 15 минут.
Ответ: 4 раза.
8. Согласно расписанию, автобус курсирует по маршруту из пункта А в
пункт В и обратно с постоянной скоростью и без остановок. На пути из А в В
он был вынужден на некоторое время остановиться, поэтому на обратном
пути увеличил скорость на 25%. Приехав в пункт А с 10-минутным
отклонением от расписания, он уменьшил свою последнюю скорость на 24%
и прибыл в пункт В вовремя. Какова была продолжительность вынужденной
остановки?
Ответ: 28 минут.
16
4. Список использованной литературы
1. Черкасов О.Ю. Математика. Интенсивный курс подготовки к
экзамену/ О.Ю. Черкасов, А.Г. Якушев.-12-е изд.-М.: Айрис-пресс, 2007.(Домашний репетитор)
2. Садовничий Ю.В. Математика. Тематическая подготовка к ЕГЭ.-М.:
Илекса, 2011.
3. Ким Н.А. Математика 10-11 классы. Технология подготовки учащихся
к ЕГЭ. Волгоград: УЧИТЕЛЬ, 2010
4. Глазков Ю.А. Математика ЕГЭ: Сборник заданий и методические
рекомендации/ Ю.А.Глазков, И.К.Вршавский, М.Я.Гоишвили.-2-е изд.,
исправл. и дополн.- М.: Издательство «Экзамен», 2009.
5. Кочагин В.В. ЕГЭ 2010. Математика; Сборник заданий/В.В. Кочагин,
М.Н. Кочагина.-М.: Эксмо, 2009.
6. Семенов А.В. ЕГЭ 2012. Оптимальный банк заданий для подготовки
учащихся. Математика. Учебное пособие./Семенов А.В., Трепалин А.С.,
Ященко И.В., Захаров П.И.; под ред. Ященко И.В.; Московский центр
непрерывного математического образования.-М.: Интелект-Центр,2012.
7. Семенов А.Л. ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все
задания группы В/А.Л. Семенов, И.В. Ященко, И.Р. Высоцкий, Д.Д. Гущин,
М.А. Посицельская, С.Е. Посицельский, С.А. Шестаков, Д.Э. Шноль, А.В.
Семенов, В.А. Смирнов; под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко.-М.:
Издательство «Экзамен», 2012.
17