Математическая регата — задания 2015

Зональный фестиваль интеллектуальных игр "Математические бои"
Математическая регата для 6-7 классов
20.10.2015г., г.Геленджик
1 этап (задачи по 8 баллов)
1. На прямой расположены пять точек - А, В, С, D, Е (именно в таком порядке).
Известно, что АВ=19см, СЕ=97 см, АC=ВD. Найдите длину отрезка DE.
Обоснуйте ответ.
2. Расставьте по кругу числа 14, 27, 36, 57, 178, 467, 590, 2345 так, чтобы любые
два соседних числа имели общую цифру.
3. К числу 20152015 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы
полученное число делилось на 36.
2 этап (задачи по 10 баллов)
4. Решить уравнение 1-(2-(3-(4-...(2015-х))))=2015
5. Юра задумал натуральное число, умножил его на 13, зачеркнул последнюю
цифру результата, полученное число умножил на 7, опять зачеркнул
последнюю цифру результата и получил 21.
6. На математическом конкурсе было предложено несколько простых и
несколько сложных задач. Участнику давали 3 очка за решение сложной
задачи и 2 очка за решение простой задачи. Кроме того, за каждую
нерешенную простую задачу списывалось 1 очко. Рома решил 10 задач и
набрал 14 очков. Сколько было простых задач?
3 этап (задачи по 12 баллов)
7. Компании "Очаково" проводит акцию. В крышку каждого из напитков: квас
"Очаковский" и напиток "Ах" вложена одна фишка. Все фишки одинаковые.
За 5 фишек в любом магазине можно получить полную бутылку кваса, а за 10
фишек - бутылку "Ах". Сережа собрал с семьей 60 фишек и понес в магазин.
Получая при обмене бутылку напитка, он ее выпивал, а фишку использовал в
последующих обменах. В конце этой деятельности у него осталась одна
фишка. Сколько обменов совершил Сережа?
8. Сколько существует способов расставить на шахматной доске 8x8 белую
ладью и черного короля так, чтобы ладья била короля, но король не бил ладью?
Способы расстановки, получающиеся друг из друга поворотом доски,
считаются разными.
9. 200 лет тому назад в средневековом замке за круглым столом сидели 1815
рыцарей. Каждый из них - либо из клана рыцарей, всегда говорящих правду,
либо из клана лжецов, которые всегда лгут. Каждый из сидящих за столом
заявил: "Оба моих соседа - из одного клана". Определите, сколько рыцарей
могло быть за столом?