УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА, интегральное исчисление

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
УТВЕРЖДЕНА
Советом
ИФМИЭО
________________А.И. Хасанов
(подпись)
«______»______________ 20___ г.
Обсуждена на заседании кафедры
математического анализа
Протокол № 9 от «17» мая 2012 г.
________________
Е.В. Семенко
(подпись)
ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ
ДС.Ф.5.9 «ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ»
(код по УП)
(наименование дисциплины)
Специальность 050201. 050202. 65 «Математика»
с дополнительной специальностью «Информатика»
Составители: к.п.н., доцент Осипов Федор Леонидович,
к.п.н., доцент Скворцова Оксана Васильевна
Новосибирск 2012
Выписка из ГОС
ДПП.Ф.
01
Элементы интегрального исчисления
Двойной и тройной интегралы, их применение к
вычислению геометрических величин. Криволинейные
интегралы и их приложения.
2. Пояснительная записка
В соответствии с государственным образовательным стандартом подготовка
будущего учителя математики осуществляется в основном на первых 3-х
курсах педагогического университета и состоит из изучения базовых
математических дисциплин.
Курс «Элементы интегрального исчисления» имеет общеобразовательное и
прикладное значение и дает научное обоснование большинства относящихся
к нему понятий, первое представление о которых учащийся (на интуитивном
уровне) получает в школе; он также содержит богатый материал для
формирования диалектического мышления.
Настоящая программа определяет объем знаний по разделам
интегрального исчисления, необходимый для преподавателей математики
образовательных учреждений, приравненных к средней школе. Поэтому
проведение всех видов учебных занятий должно быть подчинено основной
задаче – подготовке учителя математики.
Программа реализуется в соответствии с государственным стандартом
Министерства образования Российской Федерации в рамках объема часов,
отведенного на лекции, практические занятия и самостоятельную работу.
Контрольные мероприятия (контрольные работы, индивидуальные задания,
коллоквиумы, зачеты, экзамены и т.д.) проводятся согласно графику
учебного процесса.
Цели дисциплины
Курс является основополагающим в предметной подготовке учителя
математики и имеет целью:
 ввести
основные
идеи
и
понятия
интегрального
исчисления(криволинейные интегралы, двойные и тройные интегралы и
их
приложения)
и сформировать их у студентов;
 отработать со студентами основные методы интегрального исчисления
и научить применять их к решению задач;
 внести определенный вклад в формирование математической культуры
студентов (в части построения математических моделей, в части
графической культуры и т.д.);
 развить навыки логического мышления, сформировать и научить
пользоваться логическим аппаратом для анализа правильности
рассуждений, применяемых в курсе «Элементы интегрального
исчисления»;
 научить сводить практические и математические задачи к задачам,
решаемым с помощью методов интегрального исчисления;
 научить самостоятельности в решении задач;
 научить отбирать и систематизировать учебный материал;
 сформировать у студентов навыки самостоятельной учебной деятельности,
навыки работы с математической литературой и развить их.
3. Требования к уровню освоения содержания дисциплины
Общие требования
Специалист должен:
 владеть культурой мышления и уметь в письменной и устной речи кратко,
последовательно и логично оформить и изложить изучаемый учебный
материал по математике;
 осуществлять обучение и воспитание учащихся с учетом специфики
преподаваемого предмета;
 уметь использовать разнообразные приемы, методы и средства обучения;
 обеспечивать уровень подготовки обучающихся в соответствии с
требованиями ГОС;
 прививать и развивать навыки и умения самостоятельной учебной
деятельности;
 анализировать собственную деятельность с целью ее совершенствования и
повышения своей квалификации;
 иметь представление о человеке как субъекте образовательного процесса,
его возрастных и индивидуальных особенностях и социальных факторах
развития;
 уметь использовать математический аппарат и математические методы
при изучении и количественном описании реальных процессов и явлений;
 иметь целостное представление о математике как науке, ее месте в
современном мире и системе наук.
Частные требования
Специалист должен:
 уметь связывать знания по интегральному исчислению с целями и
задачами школьного курса математики;
 владеть основными идеями и понятиями интегрального исчисления;
После изучения курса «Элементы интегрального исчисления» студент
а) должен иметь представление:
 об одномерном и многомерном интегралах, их свойствах и приложениях;
 о криволинейных интегралах
 о поверхностных интегралах;

б) должен знать:
 определение интегралов от функции нескольких переменных;
 основные свойства интегралов;
 приложения интегралов к вычислению площадей фигур, объемов тел,
физических и механических характеристик;
 сведения кратного интеграла к повторным;
 формулы Грина, Остроградского, Стокса;
 условие потенциальности векторного поля, восстановление функции по ее
полному дифференциалу;
в) должен уметь:
 вычислять кратные интегралы;
 находить с помощью кратных интегралов площади фигур, объемы,
физические и механические величины и характеристики;
 вычислять криволинейные интегралы;
 восстанавливать функцию по ее полному дифференциалу;
 с помощью криволинейных интегралов вычислять работу, массу, находить
координаты центра масс и т.д.;
 вычислять поверхностные интегралы;
 пользоваться формулами Стокса, Гаусса – Остроградского.
IV семестр
Основными формами проведения занятий являются лекции,
практические занятия и самостоятельная работа студентов.
Текущий контроль в течение семестра осуществляется посредством
оценки выполнения еженедельных домашних работ, защит индивидуальных
заданий, а также при проведении двух аудиторных контрольных работ.
Итоговый контроль предполагает зачет и экзамен в конце семестра.
2. Содержание дисциплины
В четвертом семестре излагается теория
криволинейных и поверхностных интегралов.
двойных,
тройных,
Тематический план
№
Тема
1
Неявные функции. Теорема о неявной функции.
Теорема об обратной функции.
Лек Практ. Сам.
ции
зан.
раб.
4
4
8
2
3
4
5
Определенный интеграл и его основные свойства.
Понятие квадрируемой фигуры. Двойной интеграл,
его свойства и приложения к вычислению
геометрических величин. Понятие кубируемого
тела, тройной интеграл, его свойства и приложения
к вычислению геометрических величин. Замена
переменной в двойном и тройном интегралах.
Приложения определенного интеграла.
Понятие спрямляемой кривой. Криволинейные
интегралы и их приложения.
Понятие поверхности. Касательная плоскость и
нормаль к поверхности. Поверхностные интегралы.
Элементы теории поля. Формула Гаусса –
Остроградского. Площадь поверхности.
Итого
12
10
30
6
8
24
4
4
10
8
8
18
34
34
90
Требования к уровню усвоения дисциплины
Общие требования.
Студент должен освоить основные понятия курса:
двойной интеграл; тройной интеграл, криволинейный и поверхностный
интегралы и связь между ними, приложения интегралов.
Основные виды задач
1. Расстановка пределов интегрирование в двойном интеграле.
Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле.
2. Вычисление двойных интегралов, переход к полярным координатам.
3. Вычисление тройных интегралов, переход к цилиндрическим,
сферическим координатам.
4. Вычисление объемов.
5. Вычисление нормалей к поверхности.
6. Вычисление криволинейных интегралов.
7. Вычисление поверхностных интегралов.
8. Вычисление площади поверхности, длины кривой, массы тела,
центра тяжести тела, работы векторного поля вдоль кривой.
9. Проверка поля на потенциальность, вычисление потенциала.
Более детально требования к уровню освоения материала изложены в
следующей таблице.
Список требований
№
Тема
Основные требования
Студент должен:
1
Неявные функции. Теорема о Знать:
неявной функции. Теорема об – теорему об обратной функции;
обратной функции.
теорему о неявной функции.
2
Определенный интеграл и его
основные свойства. Понятие
квадрируемой фигуры. Двойной
интеграл, его свойства и
приложения к вычислению
геометрии величин. Понятие
кубируемого тела, тройной
интеграл, его свойства и
приложения к вычислению
геометрии величин. Замена
переменной в двойном и
тройном интеграле.
3
4
5
Знать:
– определения, основные свойства
определенного
интеграла
от
функции нескольких переменных;
Уметь:
– находить частные производные
неявной
функции,
обратной
функции;
– уметь сводить кратный интеграл к
повторным
для
вычисления
кратных интегралов;
– уметь
записывать
двойной
интеграл в полярных координатах,
тройной
интеграл
в
цилиндрических и сферических
координатах;
Приложения
определенного Уметь:
интеграла.
– уметь
применять
кратные
интегралы
к
вычислению
площадей фигур, объемов тел,
площадей
поверхностей,
вычислению
физических
и
механических величин;
Понятие спрямляемой кривой. Знать:
Криволинейные интегралы и их – определение
криволинейных
приложения.
интегралов, их свойства, формулу
Грина
и
приложения
криволинейных
интегралов
к
вычислению работы, массы тела и
т.д.;
Уметь:
Понятие
поверхности.
Касательная
плоскость
и
нормаль
к
поверхности.
Поверхностные
интегралы.
Элементы
теории
поля.
– уметь восстанавливать функции по
ее полному дифференциалу;
Знать:
– элементы теории поля;
– поверхностные
интегралы,
формулу Стокса, формулу ГауссаОстроградского.
Формула
Гаусса
– Уметь:
Остроградского.
Площадь – уметь пользоваться формулами
поверхности.
Стокса, Гаусса-Остроградского.
3. Список литературы
Основная литература:
1. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Ч.2.
– Санкт-Петербург : Проспект: МГУ, 2006. – 368 с.
2. В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Основы математического анализа : в 2 ч. : Ч. 2 /.
- Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 464 с.
3. Ильин В.А., Позняк Основы математического анализа. В 2 частях. Часть 2.
М., Физматлит, 2009. – 246 с.
[Электронный ресурс]
http://www.biblioclub.ru/book/83225/
4. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. Том 2.
Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих
переменных. Гармонический анализ. М.: Физматлит, 2007. – 425 с.
[Электронный ресурс]
http://www.biblioclub.ru/book/82818/
5. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – СанктПетербург: Профессия, 2005. – 432 с.
6. Рудой Е.М. Математический анализ: мера Жордана. Кратный интеграл :
теория, примеры, упражнения : учебное пособие / Е. М. Рудой ; Новосиб.
гос. пед. ун-т. - Новосибирск : НГПУ, 2009. - 101 с.
Дополнительная литература:
1. Зорич В.А. Математический анализ т. 1, 2. М: Наука, 1984 г.
2. Решетняк Ю.Г. Курс математического анализа ч. 1, книги 1, 2; ч. 2,
книги 1, 2. Новосибирск, Изд-во института математики, 1999 – 2001 гг.
3. Рудин У. Основы математического анализа. М: Мир, 2001 г.
4.Фихтенгольц Г.М.Курс дифференциального и интегрального
исчисления.Учебник в 3-х т.т.т3.-СПб.:Издательство «Лань»,2009,-656с
4. Ярахмедов Г.Я. Математический анализ. Определенный интеграл.
Новосибирск, 1992 г.
5.Запорожец Г.И.Руководство к решению задач по математическому
анализу:Учебное пособие.-СПб.:Издательство «Лань»,2010,-464с.
Электронные образовательные ресурсы
Сайт ДО ИФМИЭО, курс Математика 1
http://do.nspu.ru/course/view.php?id=129 (теория, интерактивные практикумы,
онлайн-тестирование).
4. Контрольно-измерительные материалы
В четвертом семестре предусмотрены две контрольные работы, зачет и
экзамен в конце семестра.
Контрольная работа №1
Вариант 1
1.
2.
3.
Найти
1 3
 ,
,
2
2


2
2
x  y  2 x  0 . по направлению этой
производную
функции
z  arctg
принадлежащей окружности
окружности.
К поверхности xy  z 2  xz  1 провести
параллельную плоскости x  2 z  y  0 .
Двойной интеграл
 f  x, y  dx dy
y
x
в
точке
касательную
плоскость,
записать в виде повторных двумя
D
способами, если D   x, y  :  x  2 y  x, x 2  y 2  1 . Найти площадь
области D .
4.
5.
1
 y 
cos

 2 
0
1 y
Переменить порядок интегрирования в интеграле  dy
В двойном интеграле
 f  x, y  dx dy

f  x, y  dx .
перейти к полярным координатам и
D
записать
D
 x, y  / x
интеграл
2
в

виде
повторных,
если
 y 2  1, x 2   y  1  1 .
2
6.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми x 2  p y , x 2  g y ,
y  x, y   x, 0  p  g , 0    .
7.
8.
Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями x 2  y 2  a z  h2 .
Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями координат,
x2
y2

плоскостями x  a , y  b и эллиптическим параболоидом z 
.
2 p 2g
Вариант 2
1.
2.
К эллипсоиду x 2  2 y 2  z 2  1 провести касательную плоскость,
отсекающую на положительных полуосях координат равные отрезки.
Найти наибольшую крутизну подъема поверхности z  ln  x 2  4 y 2  , в
точке  6; 4; ln100  .
3.
Двойной интеграл
 f  x, y  dx dy
свести к повторным двумя способами,
D
если
4.
D   x, y  / x 2  y 2  2 x  2 y  1, 1  x  2, 0  y  1 .
область интегрирования и найти ее площадь.
Записать двойной интеграл в виде повторного вторым способом, если
a
a a2  x2
0
2 ax  x
дан повторный интеграл  dx
5.
Нарисовать
Двойной интеграл

f  x, y  dy .
2
 f  x, y  dx dy
свести к повторным в полярных
D
1


координатах, если D   x, y  : x 2  y 2  1, y  2 x  0, y  x  0, x  0  .
2


2
6.
7.
8.
 x2 y 2 
xy
Найти площадь области, ограниченной кривой  2  2   2 .
b  c
a
Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями z  x 2  y 2 ,
z  2 x2  2 y 2 , y  x2 , y  x .
Найти объем тела, ограниченного поверхностью
 x 2  y 2  z 2   a3 z .
Контрольная работа № 2
Вариант 1
1.
Вычислить полную поверхность тела, ограниченного
x 2  y 2  z 2  R 2 и параболоидом x 2  y 2  2az ( z  0 ).
сферой
2.
Для круга D   x, y  / x 2  y 2  2ax с плотностью p  x, y   p0 x 2  y 2
3.
найти массу.
Найти координаты центра масс тела, ограниченного поверхностями
x2  y 2  2 z , x  y  z .
4.
Вычислить
2
2
 x y dx  x y dy ,
L
5.
L
 x, y  : 2 x  y    x  y  
2
от точки
A   0, 2  до точки B   2, 0  .
Проверив, что подынтегральное выражение представляет собой полный
дифференциал, вычислить интеграл
1; 1
 x 1  6 y  dx  y 1  6 x  dy .
2
2
 0; 0 
6.
Найти
функцию
если
задан
u,
2
2
du   2 x cos y  y sin x  dx   2 y cos x  x sin y  dy .
7.
Найти rot F , если F 
8.
9.
ее
дифференциал
y
z
x
i j k.
z
x
y
Проверить, является ли поле F потенциальным, и если да, то найти его
потенциал
F  2 xyi   x 2  1 j .
Найти работу векторного поля F вдоль кратчайшей дуги эллипса
x  a cos t ,
y  b sin t от точки A   a, 0  до точки B   a, b  , если
F   xy, x  y  .
Вариант 2
1.
Вычислить площадь части поверхности x 2  y 2  z 2  R 2 вырезанной
поверхностью  x 2  y 2   R 2  x 2  y 2  .
2
3.
Найти координаты центра масс тела, ограниченного поверхностями
x 2  y 2  z  2c с плотностью p  p0 h  z .
Найти массу пластинки y 2  x  y , y 2  4  x , y  0 ( y  0 ), если p  y .
4.
Вычислить
2.
 ydx   y  x  dy ,
2
L - дуга параболы y  2 x  x 2 от точки
L
5.
A   2, 0  до точки B   0, 0  .
Проверив, что подынтегральное выражение представляет собой полный
дифференциал, вычислить интеграл
1; 0
  3x
 0; 1
6.
7.
8.
2
 2 xy  y 2  dx   x 2  2 xy  dy .
u,
Найти
функцию
если
задан
ее
дифференциал
x
x


 x y
y
du  1  e  dx  1   e dy .


y



Найти работу поля F вдоль кривой L , если F  2 xyi  x 2 j и L есть
наименьшая дуга окружности x 2  y 2  1 от точки A  1, 0  до точки
B   0, 1 .
Найти угол между градиентами функций
u  ln  x 2  y 2  z 2  и v  xy  yz  zx  18 x  6 z  y в точке M  3; 5; 14  .
9.
Найти rot F , если F   x 2  y 2  i   y 2  z 2  j   z 2  x 2  k .
Примерный список вопросов к экзамену
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Теорема об обратной функции.
Теорема о неявной функции.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Огибающие.
Нижние и верхние суммы Дарбу. Свойства нижних и верхних сумм
Дарбу. Определенный интеграл по параллелепипеду в R n от
ограниченной функции.
Критерий
интегрируемости.
Примеры
интегрируемых
и
неинтегрируемых функций.
Интегрируемость функции, непрерывной на параллелепипеде.
Свойства линейности определенного интеграла.
Свойство однородности определенного интеграла.
Свойство монотонности определенного интеграла.
Интегрируемость интегрируемой функции по любому параллелепипеду
разбиения параллелепипеда A .
Если P – произвольное разбиение параллелепипеда A и функция f
интегрируема по любому параллелепипеду разбиения P , то f
интегрируема по параллелепипеду A .
Колебание функции в точке. Характеристика непрерывности функции в
точке в терминах колебания функции в точке.
Характеризация множеств вида x  A / o  f  x     , где f : A  R –


ограниченная функция. A параллелепипед в R n .
Множества меры о и множества объема ноль в R n Свойства множеств
меры ноль.
Связь между множествами меры ноль и множествами объема ноль. При
меры множеств меры ноль, не являющихся множествами объема ноль.
Теорема
Лебега
о
характеризации
ограниченных
функций,
интегрируемых по параллелепипеду, в терминах множества точек
разрыва функции f .
Множества, измеримые по Жордану. Определение интеграла по
множества и более общим, чем параллелепипед.
Теорема Фубини о сведении кратного интеграла по параллелепипеду к
повторным.
Сведения двойного интеграла к повторным. Принцип Кавальери.
21. Замена переменной в кратных интегралах. Полярная, цилиндрическая,
сферическая система координат.
22. Вычисление площадей плоских фигур.
23. Понятие цилиндроида. Измеримость цилиндроида по Жордану.
24. Формула для вычисления объема цилиндроида. Вычисление объема
эллипсоида и объема шара.
25. Понятие площади поверхности. Формула для вычисления площади
поверхности.
26. Вычисление объемов тел.
27. Механические приложения определенного интеграла (центр тяжести,
моменты инерции и т.д.)
28. Физические приложения кратных интегралов.
29. Определение и основные свойства криволинейных интегралов.
30. Формула Грина. Приложения формулы Грина.
31. Восстановление функции по ее полному дифференциалу.
32. Определение поверхностных интегралов и их свойства.
33. Формула Стокса.
34. Формула Гаусса-Остроградского.
35. Элементы теории поля.
Требования к уровню усвоения дисциплины
и формы контроля и отчетность
Студент должен освоить основные определения и понятия,
ориентироваться в материале, решать основные виды задач, знать основные
примеры. Студент в каждом семестре сдает коллоквиумы, выполняет
индивидуальную работу, отчитывается по ней в форме тестирования или
собеседования; выполняет аудиторные контрольные работы; выполняет
аудиторные отсроченные контрольные работы; выполняет домашние
контрольные работы; отчитывается по модулям для самостоятельного
изучения; сдает зачет и экзамен за семестр.
Итоговая оценка учебной деятельности в семестре складывается из
средней по всем видам выше перечисленных отчетов.