Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Министерство образования и науки РФ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
Решение СЛАУ методом Гаусса с LU-разложением матрицы А
Выполнил:
студент гр.1-2
.
Проверил:
.
,2013 год.
Задание: составить программу для вычисления корней системы линейных алгебраических
уравнений методом Гаусса с LU-разложением матрицы А.При этом матрицы L и U
должны хранится на месте матрицы А, необходим выбор ведущего элемента. Программа
должна решать матрицы любой размерности.
LU-разложение-представление матрицы А в виде произведения матриц L и U,где Lнижняя треугольная, а U-верхняя треугольная.LU-разложение ещё называют LUфакторизацией.
После проведения разложения на месте исходной матрицы А записаны элементы нижней
L и верхней U треугольных матриц разложения A=LU.
Прямой ход LU-разложения представляет собой прямой ход метода Гаусса, но в отличие
от него, столбец b не участвует в треугольном разложении матрицы А, так как от него не
зависят L и U.
Обратный ход метода предполагает вычисление двух уравнений:
1. Ly=b
2. Ux=y
Из последнего уравнения получаем ответ.
Спецификация
Входные данные: n – размерность матрицы (количество линейных уравнений), aij –
коэффициенты системы, bi – свободные члены.
Выходные данные: xi – корни системы.
Таблица разработки
Шаги разработки
max →
begin
ввод входных данных
вычисление корней СЛАУ
вывод результата
end.
Ввод данных →
begin
read (n);
for i :=1 to n do
begin
for j :=1 to n do
begin
read(a[i,j]);
end;
read(b[i]);
Примечания
end;
Вычисляем машинный эпсилон:
macheps:=1;
repeat
macheps:=macheps/2;
until (1+macheps)=1;
macheps:=macheps*2;
После окончания масштабирования в
массиве А0 хранятся масштабные
коэффициенты. Матрица А нормализуется
таким образом, что каждый элемент столбца не
превышает по модулю 1.
Полученные треугольные матрицы L и U в
Составляем процедуру разложения матрицы совокупности с массивом целых чисел int
позволяют найти решение СЛУ Ax = b для
А на верхнюю и нижнюю треугольные:
заданных значений правых чисел b,используя
уравнение LUx = b, которое сводится к
Формируем вектор A0-A0[i]=max(aj,i):
последовательному решению уравнений Ly = b,
for i:=1 to n do
Ux=y.
begin
Если в какой-то момент времени алгоритм
A0[i]:=A[1,i];
определит, что А является вырожденной
for j:=2 to n do
матрицей, то разложение прекращается с
begin
выдачей retcode = 1.
if abs (A[j,i]) > A0[i] then
A0[i]:=abs(A[j,i]);
end;
Нормализуем матрицу А:
for j:=1 to n do
A[j,i]:=A[j,i]/A0[i];
end;
for i:=1 to n do
int [i]:=i;
Вычисление элементов к-го столбца:
for k:=1 to n-1 do
begin
Выбор наибольшего элемента к-го столбца:
amax:=abs (A[int[k],i]);
for i:=k+1 to n do
begin
if abs (A[int[k],i])> amax then
amax:=abs (A[int[k],i]);
imax:=i;
end;
if imax <>k then
begin
j:=int [k];
int[k]:=int[imax];
int[imax]:=j;
end;
Проверка на вырожденность:
if abs(A[int[k],k]) < n*macheps then
retcode:=1;
i,j,n,k,imax:integer;
amax:real;
Вычисление элементов к-й строки:
for j:=k+1 to n do
A[int[k],j]:=A[int[k],j]/A[int[k],k];
Вычисление элементов строк k+1…n:
for i:=k+1 to n do
for j:=k+1 to n do
A[int[i],j]:=A[int[i],j]-A[int[k],j]*A[int[i],k];
end;
Составим процедуру для непосредственного
решения заданной СЛАУ:
for i:=1 to n do
Перестановка компонентов правой части b:
x[i]:=b[i];
for i:=1 to n do
begin
if int[i] <>i then
z:=x[i];
x[i]:=x[int[i]];
x[int[i]]:=z;
end;
Решение системы Ly=b:
for i:=1 to n do
begin
summa:=0;
for j:=1 to i-1 do
summa:=summa+A[i,j]*x[j];
x[i]:=(x[i]-summa)/A[i,i];
end;
Решение системы Ux=y:
for i:=n downto 1 do
begin
summa:=0;
for j:=n downto i+1 do
summa:=summa+A[i,j]*x[j];
x[i]:=x[i]-summa;
end;
Переход к реальному масштабу измерений:
for i:=1 to n do
x[i]:=x[i]/A0[i];
Вывод решения и выход из программы:
Если retcode=1, то выводим сообщение о
вырожденности. В противном случае
обращаемся к процедуре решения и выводим
решение:
write('Корни системы: ');
for i:=1 to n do
writeln('x[',i, ']= ',x[i], '');
end.
i,j,n:integer;
z,summa:real;
Текст программы
program max;
type matrica=array[1..100,1..100]of real;
vector=array[1..100]of real;
vector1=array[1..100]of integer;
var A:matrica;
x,b,A0:vector;
i,j,n,retcode:integer;
macheps:real;
Procedure triangul(var A:matrica );
var i,j,n,k,imax:integer;
amax:real;
int:vector1;
BEGIN
//формирование вектора A0-A0[i]=max(aj,i)
for i:=1 to n do
begin
A0[i]:=A[1,i];
for j:=2 to n do
begin
if abs(A[j,i])>A0[i]then
A0[i]:=abs(A[j,i]);
end;
//нормализация матрицы A
for j:=1 to n do
A[j,i]:=A[j,i]/A0[i];
end;
for i:=1 to n do
int[i]:=i;
//вычисление элементов к-го столбца
for k:=1 to n-1 do
begin
//выбор наибольшего элемента к-го столбца
amax:=abs(A[int[k],i]);
for i:=k+1 to n do
begin
if abs(A[int[k],i])>amax then
amax:=abs(A[int[k],i]);
imax:=i;
end;
if imax <>k then
begin
//переставить строки k и imax
j:=int[k];
int[k]:=int[imax];
int[imax]:=j;
end;
//проверка на вырожденность
if abs(A[int[k],k])<n*macheps then
retcode:=1;
//вычисление элементов к-й строки
for j:=k+1 to n do
A[int[k],j]:=A[int[k],j]/A[int[k],k];
//вычисление элементов строк k+1...n
for i:=k+1 to n do
for j:=k+1 to n do
A[int[i],j]:=A[int[i],j]-A[int[k],j]*A[int[i],k];
end;
END;
Procedure reshenie(A:matrica;var x:vector);
var i,j,n:integer;
z,summa:real;
int:vector1;
b:vector;
BEGIN
for i:=1 to n do
//перестановка компонентов правой части b
x[i]:=b[i];
for i:=1 to n do
begin
if int[i] <>i then
z:=x[i];
x[i]:=x[int[i]];
x[int[i]]:=z;
end;
//решение системы Ly=b
for i:=1 to n do
begin
summa:=0;
for j:=1 to i-1 do
summa:=summa+A[i,j]*x[j];
x[i]:=(x[i]-summa)/A[i,i];
end;
//решение системы Ux=y
for i:=n downto 1 do
begin
summa:=0;
for j:=n downto i+1 do
summa:=summa+A[i,j]*x[j];
x[i]:=x[i]-summa;
end;
//переход к реальному масштабу измерений
for i:=1 to n do
x[i]:=x[i]/A0[i];
END;
begin
write('Введите количество уравнений системы:');
read(n);
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to n do
begin
write('a[',i,',',j,']=');
read(a[i,j]);
end;
write('b[',i,']=');
read(b[i]);
end;
//вычисление машинного эпсилон
macheps:=1;
repeat
macheps:=macheps/2;
until(1+macheps)=1;
macheps:=macheps*2;
retcode:=0;
triangul(A );
if retcode=1 then
writeln('Нет решения.Матрица вырожденная')else
begin
reshenie(A,x);
write('корни СЛАУ:');
writeln;
for i:=1 to n do
writeln('x[',i,']=',x[i]);
end;
end.
Экспериментальная часть
Пример1.
Введите количество уравнений системы:5
a[1,1]=1
a[1,2]=5
a[1,3]=6
a[1,4]=9
a[1,5]=84
b[1]=26
a[2,1]=58
a[2,2]=27.7
a[2,3]=89
a[2,4]=6
a[2,5]=5
b[2]=23
a[3,1]=69
a[3,2]=21
a[3,3]=26
a[3,4]=36
a[3,5]=59
b[3]=57
a[4,1]=28
a[4,2]=54
a[4,3]=19
a[4,4]=36
a[4,5]=34
b[4]=98
a[5,1]=67
a[5,2]=46
a[5,3]=58
a[5,4]=32
a[5,5]=16
b[5]=23
корни СЛАУ:
x[1]=-2897.30143315118
x[2]=295.513916190974
x[3]=-1975.46345689773
x[4]=671.024457943531
x[5]=243.760689931734
Пример 2.
Введите количество уравнений системы:2
a[1,1]=2
a[1,2]=4
b[1]=6
a[2,1]=4
a[2,2]=8
b[2]=12
Нет решения.
Пример 3.
Введите число уравнений:4
a[1,1]=2
a[1,2]=3
a[1,3]=6
a[1,4]=5
b[1]=4
a[2,1]=1
a[2,2]=2
a[2,3]=3
a[2,4]=-9
b[2]=7.5
a[3,1]=-8.23
a[3,2]=5
a[3,3]=9
a[3,4]=4
b[3]=6
a[4,1]=4
a[4,2]=6
a[4,3]=7
a[4,4]=6
b[4]=12
Корни системы:
x[1]=0.23577887724
x[2]=2.7999157752
x[3]=-0.5147796791
x[4]=-0.35652540107
Экспериментальная часть заключалась в рассмотрении трёх примеров СЛАУ
разных видов.
В первом и в третьем примерах рассматривались невырожденные СЛАУ.В
результате работы программы мы получили значения корней СЛАУ.
Во втором примере было рассмотрено решение линейно зависимых СЛАУ.
Результатом работы программы стал вывод ответа о том, что СЛАУ не имеет
решения, так как определитель матрицы будет равен 0.
Таким образом, программа работает. Из примеров видно, что программа
решает матрицы любой размерности.