а п+1 - Gotovimyrok.com

Урок – лекция по теме :
« Последовательности. Арифметическая и геометрическая
прогрессии»
Распределение часов по теме:
1.
2.
3.
4.
5.
Урок – лекция - 2 часа
Отработка основных понятий и простейших задач – 1 час
Зачёт по теме – 1 час
Решение задач – 6 часов
Контрольная работа – 1 час
План лекции :
1.
2.
3.
4.
5.
Числовая последовательность.
Арифметическая и геометрическая прогрессии.
Формула п-ого члена арифметической и геометрической прогрессий.
Характеристические свойства прогрессий.
Формула суммы п первых членов прогрессий.
1. Понятие числовой последовательности
В повседневной жизни – номера домов на улице, номера счетов в банке,
номера читательских абонентов, - образуют числовые последовательности.
В математике изучают конечные и бесконечные числовые
последовательности:
а1; а2 ; а 3 ;…;ап-1; ап ; ап+1…
а1- первый член последовательности
а2 – второй член последовательности
а3 – третий член последовательности и т.д.
ап- п-ый член последовательности и т.д.
п – номер члена последовательности.
Например:
1) 1 , 2, 3, 4,…,п-1; п, п+1, п+2, …
- последовательность натуральных чисел
2) 1, 4, 9, 16, …, (п-1)2; п2; (п+1)2,… - последовательность квадратов
натуральных чисел
3) 2,4,6,8,…, 2п-2, 2п, 2п+2,…
- последовательность чётных чисел
4)
Способы задания последовательности.
а) формулой п-ого члена последовательности:
ап = 1/п
1, 1/2, 1/3,1/4, …, 1/п…
ап = п(п-2)
-1, 0, 3, 8, 15, … п(п-2)…
б) рекуррентный – формулой, позволяющей вычислить п+1 член
последовательности через предыдущие п членов и дополнительно задаются
один или несколько членов последовательности.
а) вп+1= вп + вп-1 и в1 = 1 в2 = 3
в3 = в2+в1 = 3 + 1 = 4
в4 = в3+в2 = 4 + 3 = 7
в5 = в4+в3 = 7 + 4 = 11 и т.д.
получаем 1,3,4,7,11,…
б) сп+1 = 3сп+ 1 и с1 = 2
с2 = 3*с1 + 1 = 3*2 +1 = 7
с3 = 3*с2 + 1 = 3*7 +1 = 22
с4 = 3*с3 + 1 = 3*22 +1 = 67 и т.д. получаем: 2,7,22, 67, …
2. Арифметическая и геометрическая прогрессии.
Выделяют два вида последовательностей:
1-
1,2,3,4,5, ….
2-1=1;
3-2=1;
4-3=1;
5-4=1
а2-а1=1 а3-а2=1
а4-а3=1
а5-а4=1 и т.д. значит
а4=а3+1
а5=а4+1 и т.д.
а2= а1+1
а3=а2+1
и т.д.
Числовая последовательность а1 а2 а3 а4 ….ап… называется арифметической
прогрессией, если для всех натуральных п выполняется равенство
ап+1 = ап + d , где d – некоторое число, постоянное для данной прогрессии.
Из определения следует, что ап+1 – ап = d
число d называют
разностью арифметической прогрессии.
Например: 1) -1,-2,-3, -4….. –п,….
а2-а1= а3-а2== а4-а3=…..= d d =-1
2) 6,8, 10,12,….
d = 8-6=2, d =2
2 -
2:1=2
1,2,4,8,16,…
4:2=2
8:4=2
16:8=2
и т.д.
В2:в1=2
в3:в2=2
в4:в3=2
в5:в4=2
и т.д.
В2=в1*2
в3=в2*2
в4=в3*2
в5=в4*2
и т.д.
Числовая последовательность в1 в2ва3 в4 ….вп… называется геометрической
прогрессией, если для всех натуральных п выполняется равенство
вп+1 = вп * q, где q – некоторое число, постоянное для данной прогрессии
Из определения следует, что вп+1: вп = q
число q называют
знаменателем геометрической прогрессии.
Например: 1) 2,8,32,128, ….
2) 1,2/3,4/9,8/27,….
В2:в1= в3:в2= в4:в3=….= q , q = 4
q = 2/3:1= 4/9:2/3= 2/3
3. Формула п - ого члена арифметической и
геометрической прогрессий
Для вычисления любого члена последовательности удобно пользоваться
формулой п –ого члена прогрессии.
А) По определению арифметической прогрессии:
а2 = а1 + d
а3 = а2 + d = а1 + 2d
а4 = а3 + 3 d = а1 + 3d
и т.д.
ап = а1 + d( п – 1) – формула п-ого члена арифметической прогрессии
Например: а1 = 5, d = 3 а50 = ?
а50 = а1 + 3( 50 – 1)= 5 + 3*49 = 152
б) По определению геометрической прогрессии:
в2 = в1 * q
в 3 = в2 * q = в1 * q 2
в 4 = в3 * q = в1 * q 3
и т.д.
вп = в1 * qп-1
- формула п-ого члена геометрической прогрессии.
Например: в1 = 7, q = 1/3 в5 = ?
В5 = 7*(1/3)5-1 = 7*(1/3)4 = 7*1/81 = 7/81
4 Характеристическое свойство прогрессий
А) по определению арифметической прогрессии:
ап+1 = ап + d и
ап-1 = ап – d , откуда получаем
ап = ап+1 + ап-1 / 2, п > 1
ап+1 + ап-1 = 2ап
или
т.е.
каждый член арифметической прогрессии , начиная со второго, равен
среднему арифметическому двух соседних с ним членов( этим определяется
название «арифметическая» прогрессия)
б) по определению геометрической прогрессии:
вп+1 = вп * q и вп-1 = вп / q ,перемножив последовательно эти равенства,
получаем :
в2п = вп+1 * вп-1 , п > 1 т.е. если вп>0,
каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен
среднему арифметическому двух соседних с ним членов( этим определяется
название «геометрическая» прогрессия).
Например : а) ап = 3 - 4п - доказать, что это арифметическая прогрессия
ап+1 = 3 – 4(п+1)= 3 – 4п -4 = -1 - 4п , ап-1 = 3 – 4(п-1) = 3- 4п +4 = 7 – 4п ,
ап = 7+4п-1+4п/2 = 6+8п /2 =3-4п, ап =3-4п ч.т.д.
б) вп =3*2п - доказать, что это геометрическая прогрессия
вп-1 = 3*2п-1 , вп+1 = 3*2п+1
вп2 = 3*2п-1 * 3*2п+1 = 9*2п-1+п+1 = 9*22п =( 3*2п)2, вп = 3*2п ч.т.д.
5 Формула суммы п первых членов прогрессий
А) рассмотрим арифметическую прогрессию а1а2а3а4…….ап..
Sп = а1+а2+а3+….+ап
и сумму
,
Sп= а1+а2+а3+….+ап или поменяем местами
Можно записать иначе:
Или
Sп = ап+ап-1+ап-2 +..+а2+а1
Sп=а1+(а1+d)+( а1+2d)+( а1+3d)+…+(а1+(п-1) d)
Sп=ап+(ап- d) +(ап-2 d)+ (ап- 3d)+…+ (ап- (п-1)d)
Сложим эти два равенства почленно, получим: 2Sп=(а1+ап) + (а1+ап)+…+ (а1+ап)
- п слагаемых равных (а1+ап).т.е. 2 Sп= (а1+ап) * п ,значит
Sп= (а1+ап) * п / 2
Если воспользоваться формулой п-ого члена , то формулу суммы можно
Sп=(2а1+(п-1) d)/ 2
записать иначе:
Например :
1) а1 = 5,
ап = 20, п = 10 Найти сумму первых 10 членов прогрессии.
S10 = ( 5 + 20) / 2 * 10 = 25/2 *10 = 125,
2) 9,13,17….
S11=
S11 =
2а1+(п−1)𝑑
2
П =11,
S11= ?
∗ п , а1= 9, d = 13-9 = 4,п = 11
2∗9+(11−1)∗4
2
S10 = 125
*11 =
18+10∗4
58
2
2
*11 =
*11 = 319, S11 = 319,
В)Рассмотрим геометрическую прогрессию.
в1,в2,в3,…,вп,…
S п = в1+в1 q +в1 q 2+…+в1 q п-1 (1) умножим обе
части равенства (1) на q,
Получим: q S п=в q +в1 q 2+в1 q 3+…+в1 q п
(2),
Преобразуем равенства (1) и(2),и вычтем из (1)-(2)
S п = в1+в1 q +в1 q 2+…+в1 q п-1
q S п = в1 q +в1 q 2+в1 q 3+…+в1 q п
S п - q S п= в1- в1 q п отсюда следует S п(1-q) = в1(1-qп), тогда
Sп=
в𝟏(𝟏−𝒒п )
𝟏−𝒒
, q≠1
Eсли раскрыть скобки и воспользоваться формулой п-го члена,то
получим другую формулу;
S п=
В𝟏− Вп𝐪
𝟏−𝒒
=
Вп𝐪−В𝟏
𝒒−𝟏
,q≠1
Например: 1) в1 = 6, q = 2, п = 10, S 10 - ?
S10 =
6∗(1−210 ) 6∗(1−1024)
1−2
=
−1
= -6*(-1023) = 6138
S10=6138,
2)5,10,20,….,
S 7- ?
в1 = 5, q = 10:5 = 2, в7 = в1*q6 = 5*26 = 5*64
S7 =
5−5∗64∗2
1−2
=
5−640
−1
=
−635
−1
=635,
S 7 = 635
Задания к зачёту по теме «Прогрессии»
Вариант 1
1. Последовательность задана рекуррентной формулой ап+1=2ап, а1= 5.
Найти а7. Какой способ задания последовательности ты ещё знаешь?
2. Дайте определение геометрической прогрессии. Приведите пример.
Что называют знаменателем геометрической прогрессии?
3. Формула п-го члена геометрической прогрессии.
4. Характеристическое свойство геометрической прогрессии.
5. Какие ты знаешь формулы нахождения суммы п первых членов
арифметической прогрессии?
6. Последовательность задана формулой вп = 2п2 + 3п. найти в5.
7. В арифметической прогрессии а1=10, d = 4. Найти а12.
8. Найти сумму 10 членов геометрической прогрессии: 2 , 4, 8…
9. Найти разность арифметической прогрессии : 12, 19, 26…
Вариант 2
1. Последовательность задана формулой п-го члена ап = п + (п +1).
Найти а7. Какой способ задания последовательности ещё ты знаешь?
2. Дать определение арифметической прогрессии. Привести пример.
Что называется разностью арифметической прогрессии?
3. Формула п-го члена арифметической прогрессии.
4. Характеристическое свойство арифметической прогрессии.
5. Какие ты знаешь формулы суммы п первых членовгеометрической
прогрессии?
6. Найти первые три члена последовательности: а1=1 ап+1 = ап +1.
7. Найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если
в1=8, q = 1\2.
8. Доказать, что последовательность ап = 5п -1 является
арифметической прогрессией.
9. Найти 23- ий член арифметической прогрессии: -8; -6,5; …