Случайный эксперимент:

Случайный эксперимент: повторяемый в одинаковых условиях.
Исходы эксперимента:
(элементарные, фиксируемые), непредсказуемые, независимые от предыдущих исходов.
События эксперимента: фиксированные наборы исходов.
Мера событий вероятностная: неотрицательная, конечная (ограниченная 1).
Модель случайного эксперимента: (Ω, A, P).
Ω:
A:
совокупность (множество, пространство) всех элементарных исходов.
алгебра событий (подмножеств Ω) :
совокупность всех событий, замкнутая относительно операций:
объединения (ᴜ) – «сложения» и пересечения (∩) – «умножения»
(конечного или счетного числа событий).
Если А и В события ( А ∈ 𝑨 и В ∈ 𝑨 ), то события (А ᴜ В) ∈ 𝑨 и (А ∩ В) ∈ 𝑨 .
Как следствие, для A определены события: «достоверное» Ω; «невозможное» ∅ ;
(А ᴜ Ω) = Ω ; (А ᴜ ∅) = А ; (А ᴜ А) = А ; (А ∩ Ω) = А ; (А ∩ ∅) = ∅ ; (А ∩ А) = А ;
̅;
операции: «дополнения или отрицания» события А до Ω, обозначаемое А
̅ ) = Ω. (А ∩ А
̅ ) = ∅; и «вычитания событий»:
(А ᴜ А
P:
(А ⃥ В) = (А ∩ В̅ ) .
вероятность, вероятностная мера событий:
неотрицательная P(А) ≥ 0, P(∅)= 0;
нормированная единицей P(А)≤ 1, P(Ω)=1;
аддитивная – вычисляется по формуле сложения вероятностей
P(А ᴜ В) = P(А) + P(В) - P(А ∩ В) ;
если P(А ∩ В) = 0,
то P(А ᴜ В) = P(А) + P(В).
Условная вероятность.
P(В|А) =
Р(А ∩ В)
Р(А)
, P(А) > 0,
вероятность события В при условии что в эксперименте произошло событие А.
Следствие (формула умножения вероятностей)
P(А ∩ В) = Р(А) · Р(В|А).
Если P(В|А) = P(В), то на вероятность события В не влияет событие А.
Независимые события.
Если P(В|А) = P(В) и P(А| В) = P(А), то на вероятность одного события не влияет другое.
Такие события называют независимыми.
Критерий независимости событий
P(А ∩ В) = P(А) · P(В).
1
Примеры простых случайных экспериментов
1. Модель Бернулли В(p),
друг друга) исходами.
( 0 < p <1 ); с двумя альтернативными (исключающими
Ω = {ω1 , ω2 }.
A = { Ω, ω1 , ω2, ∅ }.
P:
Р(Ω) = 1;
Р(ω1) = p;
Р(ω2) = q = 1- p ;
Р(∅) = 0.
Примеры: 1. Бросание монеты.
Модель Бернулли В(0,5), p = 0,5.
ω1 = герб; ω2 = решетка.
2. Стрельба по мишени. Модель Бернулли В(p). ω1 = попадание; ω2 = промах.
3. Регистрация выполнения задания в срок для регулярно проводимой процедуры.
Модель Бернулли В(p), ω1 = задание выполнено в срок; ω2 = в срок не выполнено.
4. Извлечения шара из урны с n шарами двух цветов (n = n1 + n2).
Модель Бернулли В(p), p =
n1
n
.
2. Полиномиальная модель В(p 1 , p 2 ,… , p m) , {p k > 0 , k = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚 }, p 1 + p 2 +… + p m = 1;
c m альтернативными (исключающими друг друга) исходами.
Ω = {ω1 , ω2, … , ωm }. Р(ωk) = p k , k = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚;
Пример. Извлечения шара из урны с n шарами m различных цветов. Элементарный
исход ω – цвет извлеченного шара.
(n = n1 + n2 + … + nm ).
Ω = {ω1 , ω2 ,… , ωm }. Случайный эксперимент с m различных несовместных исходов.
Р(ωk) = pk =
nk
n
; Р((ωk ᴜ ωr) = pk + pr , k ≠ r.
Геометрические модели случайного эксперимента.
Если Ω можно представить как геометрическое множество, на котором определена
конечная мера 𝝁 (длина l , площадь s, объем v), то удобно рассматривать вероятность
событий, как нормированную единицей меру событий: А ∈ 𝑨 , А ⊆ Ω;
P(А) =
𝝁(А)
𝝁(𝛀)
.
Примеры:
1. Ω = [a; b]. А = [c; d ], a ≤ c ≤ d ≤ b;
𝝁(А)
тогда
P(А) = 𝝁(𝛀) =
𝒍(А)
𝒍(𝛀)
=
𝒅−𝒄
𝒃−𝒂
.
2. Ω = {(x; y) : a ≤ x ≤ b ; c ≤ y ≤ d }; A = {(x; y) : a ≤ aA ≤ x ≤ bA ≤ b ; c ≤ cA ≤ y ≤ dA ≤ d }.
Тогда
P(А) =
𝝁(А)
=
𝝁(𝛀)
𝒔(А)
=
𝒔(𝛀)
(bA−aA )·(dA−cA)
(𝒃−𝒂)·(d− c)
.
Или Ω = {(x; y) : 0 ≤ x ≤ 3 ; 1 ≤ y ≤ 5 }; A = {(x; y) : 1 ≤ x ≤ 2 ; 2 ≤ y ≤ 3 ≤ d }.
Тогда
P(А) =
𝒔(А)
𝒔(𝛀)
=
(𝟐−1 )·(3−2)
(𝟑−𝟎)·(5− 1)
𝟐
𝟏
= 𝟏𝟐 = 𝟔.
2