Теорема Пифагора и ее доказательства

Министерство образования и науки Российской Федерации
Муниципальное образовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа № 37
РЕФЕРАТ
по математике
«Различные доказательства теоремы Пифагора»
Выполнила:
Учащаяся 8а класса
Числова Светлана
Научный руководитель:
Форсова Ольга Борисовна
2012 год
1
Содержание:
1)Введение
3 стр.
2)Жизнь и творчество Пифагора
5 стр
3) История теоремы Пифагора
8 стр.
4)Доказательство Евклида
10 стр.
5)Древнекитайское доказательство
11 стр.
6)Древнеиндийское доказательство
13 стр.
7)Доказательство с помощью листка бумаги и ножниц
14 стр.
8) Доказательство Дж. Гардфилуа
15 стр.
9) Занимательные задачи по теореме Пифагора
16 стр.
10) Вывод
20 стр
9)Литература
21 стр.
2
Введение:
«Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой
геометрии,
устанавливающая
соотношение
между
сторонами
прямоугольного треугольника» Это всем давно известная теорема, многие
знают её и все прекрасно знают, что её открыл Пифагор. Все прекрасно
знают и самого Пифагора и теорему, но не многие знают биографию
Пифагора, а также различные способы доказательства этой непростой
теоремы. Моя работа и поможет поближе познакомиться с ними.
Даже те, кто не понимают математику, или она не пригодилась им в жизни,
знают о «пифагоровых штанах». Теорема Пифагора очень популярна и
причина такой популярности является её простота. В самом деле, теорема
проста, но не очевидна.
В геометрии эту теорему используют на каждом шагу, именно поэтому
существует более 500 различных способов доказательств этой теоремы.
Некоторые из них мы и рассмотрим с вами.
Если дан нам
треугольник
И притом с прямым
углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдём:
Катеты в квадрат
возводим,
Сумму степеней находим
–
3
И таким простым
путём
К результату мы придём.
Цель: Изучить биографию Пифагора и понять, как же он пришёл к этой
теореме, а также разобрать несколько способов доказательства теоремы.
Задачи:
o Выяснить существуют ли другие доказательства этой теоремы?
o Каково значение этой теоремы в жизни людей?
o Какую роль сыграл Пифагор в развитии математики?
4
Жизнь и творчество Пифагора:
Родители Пифагора были Мнесарх и Партенида с острова Самос. Пифагор
родился в Сидоне Финикийском (по записям Ямвлиха*) примерно в 570 г.до
нашей эры. Отец Пифагора как, говорил Порфирий**, был богатым купцом
из города Тира, который получил гражданство за раздачу хлеба в
неурожайный год. Есть версия, что жрица-прорицательница из храма
Аполлона в Дельфах-Пифия предсказала о рождении Пифагора, не случайно
его имя расшифровывается, как «тот о ком объявила Пифия». Пифия сказала
Мнесарху, что его сын принесёт очень много пользы и добра людям, столько
сколько не приносил никто и никогда. Мнесарх так обрадовался этому, что
дал новое имя своей жене и матерее Пифагора –Пифаида.
Пифагор действительно стал великим, и как утверждают античные авторы,
он получил кучу человеческих знаний благодаря известным мудрецам той
эпохи - грекам, персам, халдеям, египтянам. В своей юности он отправился в
Египет набираться мудрости и тайных знаний у египетских жрецов. Диоген и
Порфирий писал, что самосский тиран Поликрат порекомендовал Пифагора
фараону Амасису и Пифагор был допущен к обучению, а также посвящён в
таинства, запретных для прочих чужеземцев.
По записям Ямвлиха в свои 18 Пифагор покинул родной остров и объехав
мудрецов в разных краях света, добрался до Египта, где прожил 22 года,
5
далее его забрал в плен в Вавилон царь Камбиз***. В Вавилоне Пифагор был
12 лет там он общался с магами, пока наконец не смог вернуться домой. В
свои 56 лет его соотечественники признали его мудрым человеком.
По записям Порфирия Пифагор снова покинул Самос в 40 лет, так как был
не согласен с тиранической властью Поликрата(эти сведения считаются
относительно достоверными).Также считается, что Пифагор переехал в
Италию, когда была 62-ая Олимпиада, то есть 532—529 гг. до н. (утверждает
Ямвлих). Это совпадает со сведениями Порфирия, но также противоречат
источникам самого Ясвлиха. Но всё же точно неизвестно посещал ли
Пифагор Египет, Вавилон, Финикию, где он набрался легендарными
знаниями и мудростями.
*-Античный философ -неоплатоник, ученик Порфирия, глава Сирийской
школы неоплатонизма в Апамее.
**-Философ (представитель неоплатонизма), теоретик музыки, астролог,
математик. Ученик Плотина, автор его жизнеописания, издатель его
сочинений. Критик христианства.
***-Персидский царь, правил в 530-522 годах до н.э., завоевавший Египет в
525 годудо н.э.
Многие учёные считают что разногласия с тираном вряд ли послужило
отъезду Пифагора и утверждают, что он путешествовал исключительно
чтобы набрать знаний и ещё он не мог своё учение воплотить в жизнь, так
как это было сложно сделать в Ионии и материковой Элладе., где было полно
различных философов и политических людей. Ямвлих писал:
«Его философия распространилась, вся Эллада стала восхищаться им, и
лучшие и мудрейшие мужи приезжали к нему на Самос, желая слушать его
учение. Сограждане, однако, принуждали его участвовать во всех
6
посольствах и общественных делах. Пифагор чувствовал, как тяжело,
подчиняясь законам отечества, одновременно заниматься философией, и
видел, что все прежние философы прожили жизнь на чужбине. Обдумав всё
это, отойдя от общественных дел и, как говорят некоторые, считая
недостаточной невысокую оценку самосцами его учения, он уехал в Италию,
считая своим отечеством страну, где больше способных к обучению людей.»
Позже Пифагор стал проживать в греческой колонии Кротоне в Южной
Италии, там он нашёл много единомышленников. Их привлекала не только
мистическая
философия,
которую
он
убедительно
излагал,
но
и
предписываемый им образ жизни с элементами здорового аскетизма и
строгой морали. Пифагор проповедовал нравственное облагораживание
невежественного
народа.
Он
предполагал,
что
достигнуть
этого
нравственного облагораживание можно лишь там, где власть принадлежит
мудрым и знающим людям, и которым повинуется народ, как дети
родителям, но и также сознательно повинуются нравственному авторитету.
Когда
Пифагора появились ученики, они образовали своего рода
религиозный орден, или по-другому братство посвящены, где были одни
единомышленники, которые обожествляли основателя ордена и своего
учителя-Пифагора.
Так Пифагор прожил 39 лет, возглавляя своё тайное общество. Диоген*,
ссылаясь на Гераклида**, говорит, что Пифагор мирно умер где-то в 80 или
90 лет (по неофициальным источникам).Евсевий Кесарийский*** в своей
хронографии обозначил 497 до н.э., как год смерти Пифагора.
*-Позднеантичный историк философии.
**-Древнегреческий философ и астроном.
***-Римский историк, отец церковной истории.
7
Знаменитая теорема Пифагора:
В настоящее время известно, что эта
теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что именно
Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают
ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство,
которое Евклид приводит в первой книге своих "Начал". С другой стороны,
Прокл утверждает, что доказательство в "Началах" принадлежит самому
Евклиду.
Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных
конкретных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности.
Зато легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие
открытие теоремы. Многим известен сонет немецкого писателя-романиста
Шамиссо:
Пребудет вечной истина, как скоро
Ее познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
Верна, как и в его далекий век.
Обильно было жертвоприношенье
Богам от Пифагора. Сто быков
Он отдал на закланье и сожженье
За света луч, пришедший с облаков.
Поэтому всегда с тех самых пор,
Чуть истина рождается на свет,
Быки ревут, ее почуя, вслед.
Они не в силах свету помешать,
8
А могут лишь, закрыв глаза, дрожать
От страха, что вселил в них Пифагор.
Первый раз упоминается о теореме Пифагора в древнекитайской книге Чупей.
Там
говорится
о
треугольнике
со
сторонами
3,
4
и
5.
Чу-пей 500—200 лет до нашей эры. Слева надпись:
сумма квадратов длин высоты и основания есть
квадрат длины гипотенузы.
Но Мориц Кантор* считает, что 3 ² + 4 ² = 5² это равенство было открыто
намного ранее египтянами около 2300 г. до н.э. Но всё же никто так и не
знает, где же на самом деле зародилась эта теорема Пифагора.
Вот несколько видов формулировок теоремы Пифагора:
Теорема Пифагора: Сумма площадей квадратов,
опирающихся на катеты (a и b), равна площади
квадрата, построенного на гипотенузе (c).
1. Геометрическая формулировка.
В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного
на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
2. Алгебраическая формулировка.
В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме
квадратов длин катетов.
То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через , а длины катетов
через
и :
9
Доказательство Евклида:
Евклид доказывал, что половина площади квадрата, построенного на
гипотенузе, равна сумме половин площадей квадратов, построенных на
катетах, а тогда площади большого и двух малых квадратов равны.
Чертеж к доказательству Евклида
Дано
Доказать: Что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, слагается из
площадей квадратов, построенных на катетах.
Доказательство: Рассмотрим чертёж => построены квадраты на сторонах
прямоугольного треугольника и провели из вершины прямого угла С луч S ⊥
гипотенузе АВ и рассекает квадрат ABIK, построенный на гипотенузе, на два
прямоугольника-BHJI и HKAJ=> площади данных прямоугольников равны
площадям квадратов, построенных на соответствующих катетах.
Рассмотрим квадрат DECA и прямоугольник AHJK=> Площадь треугольника
с той же высотой и основанием, что и данный прямоугольник, равна
половине площади заданного прямоугольника. Это следствие определения
площади треугольника как половины произведения основания на высоту =>
площадь треугольника ACK равна площади треугольника AHK (не
10
изображённого на рисунке), которая, в свою очередь, равна половине
площади прямоугольника AHJK.
Рассмотрим треугольник ACK и квадрат DECA=> ACK=BDA (по 1 признаку)
=>AB=AK, AD=AC
Рассмотрим CAK и BAD=> повернём треугольник CAK на 90° против
часовой стрелки, тогда очевидно, что соответствующие стороны двух
рассматриваемых треугольников совпадут (ввиду того, что угол при вершине
квадрата — 90°).
Равенство площадей квадрата BCFG и прямоугольника BHJI доказывается
точно также.
Тем самым мы доказали, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе,
слагается из площадей квадратов, построенных на катетах.
Данное доказательство также получило название «Пифагоровы штаны». Не
зря говорят: «Пифагоровы штаны во все стороны равны».
Древнекитайское доказательство:
Дано: Четыре равных прямоугольных треугольника с катетами а, b и
гипотенузой с. Эти треугольники уложены так, что их внешний контур
образует квадрат со стороной а+b, а внутренний — квадрат со стороной с,
построенный на гипотенузе.
Доказать: Что образовавшаяся пустота, с одной стороны, равна с2, а с
другой — а2+Ь2, т.е. с2=а2+Ь2.
Доказательство:
1)четыре равных прямоугольных треугольника со сторонами а и b и
гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со
11
стороной а+b, а внутренний - квадрат со стороной с, построенный на
гипотенузе;
2)вырежем квадрат со стороной с;
3)уложим оставшиеся 4 треугольника более темного цвета в два
прямоугольника;
4)видим, что образовавшаяся "пустота" с одной стороны равна c2, а с другой a2+b2,значит a2+b2=c2.
Как мы можем предположить, древнекитайские математики имели другое
доказательство. Именно если в квадрате со стороной с два заштрихованных
треугольника (рис. 2, б) отрезать и приложить гипотенузами к двум другим
гипотенузам (рис. 2, г), то легко обнаружить, что полученная фигура,
которую иногда называют “креслом невесты”, состоит из двух квадратов со
сторонами а и b, т. е. с2=а2+Ь2. На рисунке 3 воспроизведен чертеж из
трактата “Чжоу-би.... ”. Здесь теорема Пифагора рассмотрена для египетского
треугольника с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 единиц измерения. Квадрат на
гипотенузе содержит 25 клеток, а вписанный в него квадрат на большем
катете—16. Ясно, что оставшаяся часть содержит 9 клеток. Это и будет
квадрат на меньшем катете.
12
Древнеиндийское доказательство:
Математики Древней Индии заметили, что для доказательства теоремы
Пифагора достаточно использовать внутреннюю часть древнекитайского
чертежа. Первый индийский чертёж был написан на пальмовых листьях
трактате*
«Сиддханта
широмани»
(«Венец
знания»)
крупнейшего
индийского математика XII в. Бхаскары помещен чертеж (рис. а).
Доказательство:
1)имеется 2 равных квадрата, длина сторон каждого равна а+b;
2)разобьем
каждый
квадрат
на
части,
состоящие
из
квадратов
и
прямоугольных треугольников;
3)вычтем из площади квадрата площадь прямоугольного треугольника со
сторонами а и b,увеличенную в 4 раза;
4)получаем, что в каждом из этих квадратов остаются фигуры, имеющие
равные площади.
13
Обратим внимание, что построение квадрата, площадь которого вдвое
больше площади данного квадрата встречаются в древнеиндийском трактате
«Сульва
сутра»
(VII
—V
вв.
до
н.э.).
*- 1) Научное сочинение, содержащее обсуждение какого-л. отдельного
вопроса.
Доказательство с помощью листка бумаги и ножниц:
Перигэл открыл свой способ разрезания квадрата где-то около 1830 года, но
опубликовал его лишь в 1873 году. Он был в таком восторге от своего
открытия, что приказал отпечатать схему разрезания квадрата на своей
визитной карточке и изготовил и роздал сотни головоломок, в которых из
пяти частей нужно было сложить два квадрата.
Доказательство: Для начала нужно разделить большой квадрат (или любой
из квадратов, если прямоугольный треугольник равнобедренный) на четыре
одинаковые части, затем надо провести через центр квадрата две взаимно
перпендикулярные прямые, одна из которых параллельна гипотенузе
треугольника => из листа бумаги нужно, вырезать части большего квадрата и
меньший квадрат => не меняя их ориентации на плоскости, вырезанные
части можно передвинуть так, что они составят один большой квадрат (на
рис. этот квадрат показан пунктиром), построенный на гипотенузе.
14
Доказательство Дж. Гардфилда (1882 г.)
Расположим два равных прямоугольных треугольника так, чтобы катет
одного из них был продолжением другого.
Площадь рассматриваемой трапеции находится
как
произведение полусуммы оснований на
высоту
S=
аb
ab
2
C другой стороны, площадь трапеции равна
сумме площадей полученных треугольников:
S=
ab
c2
 2
2
2
Приравнивая данные выражения, получаем:
15
2
a

2
abc
b
 
2 2
2
2
или
с2 = a2 + b2
Занимательные задачи по теореме Пифагора
1. Древнеиндийская задача
Над озером тихим
С полфута размером
Высился лотоса цвет.
Он рос одиноко,
И ветер порывом
Отнёс его в сторону. Нет
Боле цветка над водой.
Нашёл же рыбак его
Ранней весною
В двух футах от места, где рос.
Итак, предложу я вопрос:
“Как озера вода здесь глубока?”
Какова глубина в современных единицах длины (1 фут приближённо равен
0,3 м)?
Решение.
Выполним чертёж к задаче и
обозначим глубину озера АС =Х,
тогда AD = AB = Х + 0,5 .
16
Из треугольника ACB по теореме Пифагора имеем AB2 – AC2 = BC2,
(Х + 0,5)2 – Х2 = 22 ,
Х2 + Х + 0,25 – Х2 = 4,
Х = 3,75.
Таким образом, глубина озера составляет 3,75 фута.
3, 75 • 0,3 = 1,125 (м)
Ответ: 3,75 фута или 1, 125 м.
2.Задача индийского математика XII в. Бхаскары.
На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал.
И угол прямой с теченьем реки его ствол составлял.
Запомни теперь, что в том месте река
в четыре лишь фута была широка.
Верхушка склонилась у края реки,
осталось три фута всего от ствола.
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:
у тополя как велика высота?
Решение.
Пусть CD – высота ствола.
BD = АВ. По теореме Пифагора имеем
АВ = 5
. CD = CB + BD,CD = 3 + 5 =8. Ответ: 8 футов.
17
3. Задача арабского математика XI в
На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота
одной 30 локтей, другой – 20 локтей. Расстояние между их основаниями – 50
локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы
заметили рыбу, выплывшую к поверхности воды между пальмами. Они
кинулись к ней разом и достигли её одновременно. На каком расстоянии от
основания более высокой пальмы появилась рыба?
Решение:
Итак, в треугольнике АDВ: АВ2 =ВD2 +АD2
АВ2=302 +Х2
АВ2=900+Х2;
в треугольнике АЕС: АС2= СЕ2+АЕ2
АС2=202+(50 – Х)2
АС2=400+2500 – 100Х+Х2
АС2=2900 – 100Х+Х2.
18
Но АВ=АС, так как обе птицы пролетели эти расстояния за одинаковое
время.
Поэтому АВ2 =АС2 ,
900+Х2 =2900 – 100Х+Х2,
100Х=2000,
Х=20,
АD=20.
Значит, рыба была на расстоянии 20 локтей от большой пальмы.
Ответ: 20 локтей.
19
Вывод:
Теорема Пифагора - это одна из самых важных теорем геометрии.
Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести
большинство теорем геометрии.
Возникла целая наука тригонометрия («тригон» - по-гречески означает
«треугольник»).
Эта наука нашла применение в землемерии.
Но еще раньше с ее помощью научились измерять воображаемые
треугольники
тригонометрию
на
небе,
вершинами
применяют
даже
которых
для
были
измерения
звезды.
расстояний
Сейчас
между
космическими кораблями.
Также мы познакомились с биографией такого замечательного
философа математика, как Пифагор. Интересна личность самого учёного,
память о котором неслучайно сохранила эта теорема. Пифагор –
замечательный оратор, учитель и воспитатель, организатор своей школы,
ориентированной на гармонию музыки и чисел, добра и справедливости, на
знания и здоровый образ жизни. Он вполне может служить примером для
нас, далёких потомков.
Подробно рассмотрели теорему Пифагора, а также одни из многих
способов её доказательства. Все эти способы совсем не похожи друг на
друга, но все они ведут к одному-
.
20
Литература:
1. А.В. Волошинов «Пифагор» М. 1993.
2. http://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Пифагора
3. Сигачёв А. А. Пифагор (научно-популярный очерк) // Электронный
журнал «Знание. Понимание. Умение». — 2010. — № 6 - История.
4. В.Литцман. Теорема Пифагора – государственное издательство
физико-математической литературы, Москва, 1960, с.7-16
21