6. - Рубцовский Институт филиал АлтГУ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Алтайский государственный университет»
Рубцовский институт (филиал)
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО ДИСЦИПЛИНЕ
МАТЕМАТИКА
Специальность – 080109.65 Бухгалтерский учет, анализ и аудит
Форма обучения – очная, заочная, очно-заочная
Кафедра – математики и прикладной информатики
Рубцовск - 2011
СОДЕРЖАНИЕ
1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА ......................................................................4
2. ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН ................................................................................6
3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ .................. Error! Bookmark not defined.
4. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОСВОЕНИЮ УЧЕБНОЙ
ДИСЦИПЛИНЫ «Математика» .........................................................................49
5. МАТЕРИАЛЫ К ПРОМЕЖУТОЧНОМУ И ИТОГОВОМУ КОНТРОЛ 54
6.МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ..................................58
7. СПИСОК ОСНОВНОЙ И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ,
ДРУГИЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ИСТОЧНИКИ ............................................58
1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Одной из характерных особенностей современной экономической науки
является широкое использование математического аппарата для решения
возникающих в ней проблем. Применение математики в экономике
определяется, прежде всего, тем, что математические методы и модели
являются универсальным инструментальным средством, позволяющим
осуществлять более высокий уровень формализации и абстрактного описания
наиболее важных и существенных связей при исследовании экономических
явлений и процессов, оценивать форму и параметры зависимостей между ними,
определять наилучшие решения в заданной ситуации. Математический аппарат
- важный инструмент экономического анализа, организации и управления. В
связи с этим математическое образование следует рассматривать как
важнейшую составляющую фундаментальной подготовки студентовэкономистов. Кроме того, на разделе «Линейная алгебра», «Аналитическая
геометрия» базируется курс «Исследование операций в экономике».
Интегральное исчисление будет применяться в теории вероятностей, в
финансовом
менеджменте. Раздел
«Дифференциальное исчисление»,
«Дифференциальные уравнения», «Ряды» применяется в дисциплине
«Эконометрика».
Из значимости математики в подготовке будущих специалистов вытекает
следующая цель:
 Вооружить студентов фундаментальными знаниями высшей
математики, как науки решающей интеграционные задачи между всеми
разделами высшей математики и ее приложениями в экономике.
Задачи курса:
 математическое обеспечение специальной подготовки: вооружение
студентов математическими знаниями и умениями, необходимыми для
изучения специальных дисциплин, разработки курсовых и дипломных
проектов, для профессиональной деятельности;
 развитие математической культуры у студентов, включающую в себя:
понимание необходимости математической составляющей в общем,
университетском образовании, выработку представления о роли и месте
математики в современной цивилизации и в мировой культуре, умение
логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и быть
корректными в употреблении математических понятий и символов для
выражения количественных и качественных отношений.
 привитие навыков математического мышления;
 формирование умениявидеть ситуации использования математических
методов в практической деятельности;
4

формировать у студентов культуру вычислительных работ
Дисциплина «Математика» относится к циклу Е.Н.Ф.01
естественнонаучных дисциплин. Федеральный компонент.
5
Цикл
Лекции
Семинары
Лабораторные
работы
Самостоятельная
работа студентов, час.
Тема 1.Матрицы,
операции над матрицами.
Определители и их
свойства. Обратная
матрица. Собственные
значения матриц.
Тема 2.Системы линейных
алгебраических
уравнений. Матричный
метод решения систем
линейных уравнений.
Метод Крамера. Метод
Гаусса.
Тема 3.Ранг матрицы.
Линейная однородная
система уравнений.
Фундаментальная система
решений.
Итого
Количество
аудиторных часов при
очной форме обучения
4
5
6
7
4
4
2
12
2
4
6
16
4
4
8
2
ДЕ.1 Линейная алгебра
ДЕ 1
30 баллов
1
Наименование тем
Максимальная
нагрузка студентов,
час.
Дидактические
единицы (ДЕ)
2. ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН
(распределение часов курса по разделам и видам работ)
Очная форма обучения
3
10
38
10
12
16
Коллоквиум 15 баллов, контрольная
работа 15 баллов
Промежуточный контроль
6
10
4
2
4
Тема5.Независимость
векторов.
Базис.
Разложение вектора по
ортам. Аксиоматические
построения и системы
аксиом. Длина вектора.
14
2
6
6
Тема
6.Скалярное
произведение
и
его
свойства. Деление отрезка
в данном отношении.
Векторное произведение.
Площадь треугольника.
10
4
2
4
6
4
2
40
14
12
Тема 7. Смешанное
произведение. Объем
Итого
Промежуточный контроль
ДЕ 3
30 баллов
баллов
Тема4.Векторы. Операции
над векторами. Проекция
вектора на ось.
ДЕ
ДЕ2 30 баллов
ДЕ 2. Элементы
векторной алгебры.
ДЕ
3.
Элементы
аналитической
геометрии
Тема 8. Прямая на
плоскости. Расстояние от
точки до прямой.
14
Коллоквиум 15 баллов, контрольная
работа 15 баллов
14
4
6
4
Тема9.Прямая и плоскость
в аффинном пространстве.
12
4
2
6
Тема 10.Выпуклые
множества и их свойства.
Кривые второго порядка
10
4
2
4
7
Итого
Промежуточный контроль
36
12
10
14
Коллоквиум 15 баллов, контрольная
работа 15 баллов
ДЕ 4
10 баллов
ДЕ
4.
Введение
в
математический анализ
Тема11.Числовые
последовательности и их
пределы.
Понятие
функции. Виды функций,
способы их задания.
Тема 12. Предел функции.
Бесконечно малые
функции и их свойства.
Основные теоремы о
пределах
Тема 13. Непрерывность
функции.
Итого
ДЕ 5 (30 баллов)
Промежуточный контроль
Семестровый контроль
Итого часов 1 семестр
ДЕ. 5 Дифференциальное
исчисление
Тема14.Производная,
составление таблицы
производных.
Тема 15.Производная
сложной функции.
Правило Лопиталя
Тема16.Применение
производной к
исследованию функций и
построению графиков.
12
2
4
6
10
4
2
4
10
2
2
6
32
8
8
16
Контрольная работа 10 баллов
экзамен
146
44
42
60
4
2
2
3
2
1
7
4
2
8
1
Тема 17. Функция
нескольких переменных.
Экстремумы функции
нескольких переменных
4
2
2
Итого
18
10
7
ДЕ 6 (30 баллов)
Промежуточный контроль
Коллоквиум 15 баллов, контрольная
работа 15 баллов.
ДЕ
6. Интегральное
исчисление
Тема 18. Первообразная и
неопределенный интеграл.
Свойства.
Таблица
интегралов.
5
2
2
Тема19. Методы
интегрирования:
6
4
2
Тема20. Понятие
определенного интеграла,
его геометрический и
экономический смысл.
Формула Ньютона –
Лейбница.
4
2
2
4
2
2
4
2
2
23
12
10
Тема 21. Свойства
определенного интеграла.
Замена переменной и
формула интегрирования
Тема 22. Геометрические
приложения интеграла.
Несобственные
интегралы.
Итого
Промежуточный контроль
1
1
1
Коллоквиум 15 баллов, контрольная
работа 15 баллов
9
ДЕ7 (30 баллов)
ДЕ 7. Комплексные
числа.
Дифференциальные
уравнения.
Тема 23. Комплексные
числа. Действия над
комплексными числами.
Тема 24. Основные
понятия. Интегральная
кривая. Теорема
существования и
единственности решения
задачи Коши.
Тема 25.
Дифференциальные
уравнения первого
порядка.
Тема26
Дифференциальные
уравнения, допускающие
понижение порядка.
Линейные диф. уравнения
с постоянными
коэффициентами.
.
ДЕ 8 (10 баллов)
Промежуточный контроль
5
2
2
1
6
4
1
1
4
2
2
4
2
2
19
10
7
Контрольная работа 20 баллов
ДЕ
8.
Числовые и
степенные ряды
Тема 27. Числовые ряды.
Сумма ряда. Необходимый
признак
сходимости.
Достаточные
признаки
сходимости.
4
2
2
Тема 28.Знакопеременные
ряды. Признак Лейбница.
Степенные ряды. Область
сходимости.
4
2
2
10
2
Тема 29. Ряд Тейлора.
Применение рядов к
приближенным
вычислениям.
4
2
2
Итого
12
6
6
Промежуточный контроль
Итоговый контроль
Итого часов 2 семестр
Всего часов за курс
Контрольная работа 20 баллов
экзамен
72
38
30
4
218
82
72
64
11
ДЕ 2
Тема 3.Ранг матрицы.
Линейная однородная
система уравнений.
Фундаментальная система
решений.
ДЕ 2. Элементы
векторной алгебры.
Тема4.Векторы. Операции
над векторами. Проекция
вектора на ось.
Тема5.Независимость
векторов.
Базис.
Разложение вектора по
Лабораторные
работы
Самостоятельная работа
студентов, час.
Тема 1.Матрицы,
операции над матрицами.
Определители и их
свойства. Обратная
матрица. Собственные
значения матриц.
Тема 2.Системы линейных
алгебраических
уравнений. Матричный
метод решения систем
линейных уравнений.
Метод Крамера. Метод
Гаусса.
Семинары
2
ДЕ.1 Линейная алгебра
Количество
аудиторных часов при
заочной форме
обучения
Лекции
ДЕ 1
1
Наименование тем
3
4
5
6
7
10
2
2
6
10
2
2
6
Максимальная нагрузка
студентов, час.
Дидактические единицы
(ДЕ)
Заочная форма обучения
6
6
8
2
6
6
6
12
ортам. Аксиоматические
построения и системы
аксиом. Длина вектора.
Тема6.Скалярное
произведение
и
его
свойства. Деление отрезка
в данном отношении.
Векторное произведение.
Площадь треугольника.
ДЕ 4
ДЕ 3
Тема 7. Смешанное
произведение. Объем
параллелепипеда
ДЕ
3.
Элементы
аналитической
геометрии
Тема 8. Прямая на
плоскости. Расстояние от
точки до прямой.
Тема9.Прямая и плоскость
в аффинном пространстве.
Тема 10.Выпуклые
множества и их свойства.
Кривые второго порядка:
окружность, эллипс,
гипербола, парабола
ДЕ
4.
Введение
в
математический анализ
Тема11.Числовые
последовательности и их
пределы.
Понятие
функции. Виды функций,
способы их задания.
6
6
6
6
8
2
6
6
6
6
6
8
2
13
6
Тема 12. Предел функции.
Бесконечно малые
функции и их свойства.
Основные теоремы о
пределах
Тема 13. Непрерывность
функции.
ДЕ 5
ДЕ. 5 Дифференциальное
исчисление
Тема14.Производная,
составление таблицы
производных.
Тема 15.Производная
сложной функции.
Правило Лопиталя
Тема16.Применение
производной к
исследованию функций и
построению графиков.
Тема 17. Функция
нескольких переменных.
Экстремумы функции
нескольких переменных.
ДЕ 6
ДЕ
6. Интегральное
исчисление
Тема 18. Первообразная и
неопределенный интеграл.
Свойства.
Таблица
интегралов.
Тема19. Методы
интегрирования:
Тема20. Понятие
определенного интеграла,
его геометрический и
экономический смысл.
10
2
2
8
6
6
8
2
6
6
6
8
2
6
6
6
8
2
8
6
2
6
6
6
14
ДЕ 7
Формула Ньютона –
Лейбница.
Тема 21. Свойства
определенного интеграла.
Замена переменной и
формула интегрирования
Тема 22. Геометрические
приложения интеграла.
Несобственные
интегралы.
ДЕ 7. Комплексные
числа.
Дифференциальные
уравнения.
Тема 23. Комплексные
числа. Действия над
комплексными числами..
Тема 24. Основные
понятия. Интегральная
кривая. Теорема
существования и
единственности решения
задачи Коши.
Тема 25. Уравнения
первого порядка.
Тема26
Дифференциальные
уравнения, допускающие
понижение порядка.
Линейные диф. уравнения
с постоянными
коэффициентами.
.
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
15
ДЕ 8
ДЕ 8. Числовые и
степенные ряды
Тема 27. Числовые ряды.
Сумма
ряда.
Необходимый
признак
сходимости. Достаточные
признаки сходимости.
Тема 28.Знакопеременные
ряды. Признак Лейбница.
Степенные ряды. Область
сходимости.
6
2
6
6
Тема 29. Ряд Тейлора.
Применение рядов к
приближенным
вычислениям.
Итоговый контроль
Итого часов
6
6
Контрольная работа, экзамен
202
14
14
174
16
ДЕ 2
Тема 3.Ранг матрицы.
Линейная однородная
система уравнений.
Фундаментальная система
решений.
ДЕ 2. Элементы
векторной алгебры.
Тема4.Векторы. Операции
над векторами. Проекция
вектора на ось.
Лабораторные
работы
Самостоятельная работа
студентов, час.
Тема 1.Матрицы,
операции над матрицами.
Определители и их
свойства. Обратная
матрица. Собственные
значения матриц.
Тема 2.Системы линейных
алгебраических
уравнений. Матричный
метод решения систем
линейных уравнений.
Метод Крамера. Метод
Гаусса.
Семинары
2
ДЕ.1 Линейная алгебра
Количество
аудиторных часов при
очно-заочной форме
обучения
Лекции
ДЕ 1
1
Наименование тем
3
4
5
6
7
10
2
2
6
10
2
2
6
Максимальная нагрузка
студентов, час.
Дидактические единицы
(ДЕ)
Очно-заочная (вечерняя) сокращенная на базе СПО, заочная
(сокращенная) на базе ВПО формы обучения
4
4
10
2
17
2
6
Тема5.Независимость
векторов.
Базис.
Разложение вектора по
ортам. Аксиоматические
построения и системы
аксиом. Длина вектора.
Тема6.Скалярное
произведение
и
его
свойства. Деление отрезка
в данном отношении.
Векторное произведение.
Площадь треугольника.
ДЕ 4
ДЕ 3
Тема 7. Смешанное
произведение. Объем
параллелепипеда
ДЕ
3.
Элементы
аналитической
геометрии
Тема 8. Прямая на
плоскости. Расстояние от
точки до прямой.
Тема9.Прямая и плоскость
в аффинном пространстве.
Тема 10.Выпуклые
множества и их свойства.
Кривые второго порядка:
окружность, эллипс,
гипербола, парабола
ДЕ
4.
Введение
в
математический анализ
Тема11.Числовые
последовательности и их
пределы.
Понятие
функции. Виды функций,
способы их задания.
6
6
6
6
4
4
10
2
2
6
6
6
8
2
6
2
18
6
4
Тема 12. Предел функции.
Бесконечно малые
функции и их свойства.
Основные теоремы о
пределах
Тема 13. Непрерывность
функции.
ДЕ 5
ДЕ. 5
Дифференциальное
исчисление
Тема14.Производная,
составление таблицы
производных.
Тема 15.Производная
сложной функции.
Правило Лопиталя
Тема16.Применение
производной к
исследованию функций и
построению графиков.
ДЕ 6
Тема 17. Функция
нескольких переменных.
Экстремумы функции
нескольких переменных.
ДЕ 6. Интегральное
исчисление
Тема 18. Первообразная и
неопределенный интеграл.
Свойства.
Таблица
интегралов.
Тема19. Методы
интегрирования:
Тема20. Понятие
определенного интеграла,
его геометрический и
10
2
2
6
6
6
8
2
6
6
6
8
2
2
6
4
6
8
2
8
6
2
6
2
19
6
4
ДЕ7
экономический смысл.
Формула Ньютона –
Лейбница.
Тема 21. Свойства
определенного интеграла.
Замена переменной и
формула интегрирования
Тема 22. Геометрические
приложения интеграла.
Несобственные
интегралы.
ДЕ 7. Комплексные
числа.
Дифференциальные
уравнения.
Тема 23. Комплексные
числа. Действия над
комплексными числами...
Тема 24. Основные
понятия. Интегральная
кривая. Теорема
существования и
единственности решения
задачи Коши.
Тема 25. Уравнения
первого порядка.
Тема26
Дифференциальные
уравнения, допускающие
понижение порядка.
Линейные диф. уравнения
с постоянными
коэффициентами.
.
6
6
6
6
8
2
6
6
6
6
6
4
4
20
ДЕ 8
ДЕ 8. Числовые и
степенные ряды
Тема 27. Числовые ряды.
Сумма
ряда.
Необходимый
признак
сходимости. Достаточные
признаки сходимости.
Тема 28.Знакопеременные
ряды. Признак Лейбница.
Степенные ряды. Область
сходимости.
Тема 29. Ряд Тейлора.
Применение рядов к
приближенным
вычислениям.
Промежуточный контроль
Итого часов
8
2
6
4
4
6
6
200
21
Контрольная работа
22
18
160
3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
СОДЕРЖАНИЕ ГОС ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»
Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии: операции над
векторами и матрицами; системы линейных алгебраических уравнений;
определители и их свойства; собственные значения матриц; комплексные числа;
прямые и плоскости в аффинном пространстве; выпуклые множества и их
свойства.; математический анализ и дифференциальные уравнения: предел
последовательности и его свойства; предел и непрерывность функции;
экстремумы функций нескольких переменных; неопределенный и определенный
интегралы; числовые и степенные ряды; дифференциальные уравнения первого
порядка;
линейные
дифференциальные
уравнения
с
постоянными
коэффициентами.
СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
(дидактические единицы)
ДЕ 1. Линейная алгебра
Тема 1. Матрицы, действия над ними. Определители
Аудиторное изучение:
Виды матриц. Действия над матрицами. Матричный многочлен.
Определители и их свойства. Обратная матрица. Основные понятия.
Свойства определителей. Алгоритм нахождения обратной матрицы.
Матричные уравнения.
Самостоятельное изучение:
Матрицы и линейныепреобразования, собственные значения матриц,
экономическое приложение матриц.
Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений
Аудиторное изучение:
Системы линейных уравнений. Основные понятия. Теорема существования
решения систем линейных уравнений. Способы решения систем:матричный
метод решения систем линейных уравнений: метод Крамера; метод Гаусса.
Самостоятельное изучение:
Системы линейных алгебраических уравнений, методы решения систем..
Системы линейных алгебраических уравнений в экономике. Решение задач.
Тема 3. Ранг матрицы. Линейная однородная система уравнений
Аудиторное изучение:
22
Ранг матрицы. Линейная однородная система уравнений. Фундаментальная
система решений.
Самостоятельное изучение:
Фундаментальная система решений. Решение задач.
ДЕ 2. Элементы векторной алгебры
Тема 4. Векторы. Операции над векторами. Проекция вектора на ось.
Аудиторное изучение:
Начальные сведения о векторах. Длина вектора, равенство векторов
Прямоугольная система координат в пространстве. Координаты вектора.
Действия с векторами. Проекция вектора на ось и на оси координат. Свойства
проекции.
Самостоятельное изучение:
Векторы на плоскости и в пространстве. Операции над векторами.
Геометрическое и экономическое приложение векторов. Линейная зависимость
векторов.
Тема 5. Линейная зависимость векторов. Базис.
Аудиторное изучение:
Линейная независимость векторов. Аксиоматические построения и
системы аксиом. Базис. Разложение вектора по ортам. Направляющие косинусы
Самостоятельное изучение: Аксиоматические построения и системы
аксиом, n-мерный вектор и векторное пространство. Решение задач.
Тема 6. Скалярное произведение векторов и его свойства. Деление
отрезка в данном отношении. Векторное произведение
Аудиторное изучение:
Определение и основные свойства скалярного произведения. Выражение
скалярного произведения через координаты векторов. Геометрический смысл
скалярного произведения. Деление отрезка в данном отношении. Определение и
основные свойства векторного произведения. Выражение векторного
произведения через координаты векторов. Геометрический смысл векторного
произведения
Самостоятельное изучение: Геометрические и физические приложения
векторного произведения.
Тема 7. Смешанное произведение векторов
Аудиторное изучение:
Определение и основные свойства векторного произведения. Выражение
векторного произведения через координаты векторов. Компланарность
векторов. Объем параллелепипеда.
23
Самостоятельное изучение: Геометрические и физические приложения
смешанного произведения
ДЕ 3Элементы аналитической геометрии
Тема 8. Прямая на плоскости.
Аудиторное изучение:
Уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой с угловым
коэффициентом. Уравнение прямой в отрезках. Уравнение прямой, проходящей
через две данные точки. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и
перпендикулярности двух прямых. Общее уравнение прямой. Нормальное
уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.
Самостоятельное изучение: Прямая в аффинном пространстве.
Уравнения прямой в полярных координатах. Решение задач
Тема 9. Прямая и плоскость в аффинном пространстве
Аудиторное изучение:
Плоскость в пространстве. Различные виды уравнений плоскости. Угол
между плоскостями, условие параллельности и перпендикулярности
плоскостей. Формула расстояния от точки до плоскости.
Самостоятельное изучение: Векторное и параметрические уравнения
плоскости. Замена системы координат.
Тема 10. Выпуклые множества и их свойства. Кривые второго
порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола
Аудиторное изучение:
Парабола. Эллипс. Гипербола (определение, вывод канонического
уравнения, оптическое свойство, касательная).
Самостоятельная работа: Геометрические свойства кривых второго порядка.
Директрисы эллипса и гиперболы.
ДЕ 4Введение в математический анализ
Тема 11. Числовые последовательности и их пределы. Понятие
функции. Виды функций, способы их задания.
Аудиторное изучение:
Понятие числовой последовательности. Ограниченные и неограниченные
числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Понятие
функции. Виды функций, способы их задания.
Самостоятельное изучение:
Числовые последовательности и арифметические действия над ними.
Бесконечно малые и бесконечно большие числовые последовательности и их
24
свойства. Элементарные функции. Сравнение бесконечно больших и
бесконечно малых функций. Непрерывность некоторых элементарных функций.
Решение задач.
Тема 12. Предел функции в точке и в бесконечности
Аудиторное изучение:
Бесконечно малые функции и их свойства. Бесконечно большие функции
и их свойства. Основные теоремы о пределах. Первый и второй замечательные
пределы.
Самостоятельное изучение: Эквивалентность бесконечно малых и
бесконечно больших. Решение задач.
Тема 13. Непрерывность.
Аудиторное изучение:
Понятие непрерывности функции. Свойства функций непрерывных в
точке. Точки разрыва и их классификация.
Самостоятельное изучение: Непрерывность элементарных функций.
Непрерывность в экономике.
ДЕ. 5 Дифференциальное исчисление
Тема 14. Производная, составление таблицы производных.
Аудиторное изучение:
Определение производной, ее геометрический и физический смысл.
Дифференцируемость функции в точке. Связь между понятиями
дифференцируемости и непрерывности. Определение и геометрический смысл
дифференциала
Самостоятельное изучение:
Составление таблицы производных, используя определение производной
функции. Понятие о дифференциалах высших порядков
Тема 15. Производная сложной функции. Правило Лопиталя.
Аудиторное изучение:
Понятие сложной функции и ее производной. Правило Лопиталя.
Самостоятельное изучение:
Производные высших порядков. Приложение производной в
экономической теории.
Составление таблицы производных, используя определение производной
функции
Тема 16. Применение производной к исследованию функций и
построению графиков.
25
Аудиторное изучение:
Основные теоремы дифференциального исчисления. Возрастание и
убывание функций. Экстремумы функций. Наибольшее и наименьшее значение
функции на отрезке. Выпуклость функции. Точки перегиба. Асимптоты графика
функции. Общая схема исследования функций и построения их графиков.
Самостоятельное изучение:
Понятие о дифференциалах высших порядков. Применение производной к
исследованию функций и построению графиков. Производная обратной
функции.
Тема 17.Функция нескольких переменных.
Аудиторное изучение:
Основные понятия. Предел и непрерывность. Частные производные.
Экстремум функции нескольких переменных.
Самостоятельное изучение:
Дифференциал функции нескольких переменных. Функции нескольких
переменных в экономической теории. Решение задач. Экономический смысл
производной.
ДЕ 6. Интегральное исчисление
Тема 18.Неопределенный интеграл
Аудиторное изучение:
Первообразная и неопределенный интеграл.
интегралов
Самостоятельное изучение:
Неопределенный интеграл. Решение задач.
Свойства.
Таблица
Тема 19. Методы интегрирования
Аудиторное изучение:
Метод замены переменной. Метод интегрирования по частям.
Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование некоторых
видов иррациональностей. Интегрирование тригонометрических функций.
Самостоятельное изучение:
Методы интегрирования. Неберущиеся интегралы. Решение задач.
Тема 20. Понятие определенного интеграла
Аудиторное изучение:
Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона - Лейбница.
Самостоятельное изучение:
26
Тема 21. Техника нахождения определенного интеграла
Аудиторное изучение:
Замена переменной в определенном интеграле. Формула интегрирования
по частям.
Самостоятельное изучение: Геометрические и экономические
приложения определенного интеграла.
Тема 22. Несобственные интегралы
Аудиторное изучение:
Несобственные интегралы спеременным и пределами интегрирования.
Несобственные интегралы от разрывной функции
Самостоятельное изучение:
Приложения несобственных интегралов. Решение задач.
ДЕ 7Комплексные числа. Дифференциальные уравнения.
Тема 23.Комплексные числа.
Аудиторное изучение:
Понятие
комплексного
числа.
Геометрическая
интерпретациякомплексного
числа.
Арифметические
операции
над
комплексными числами. Тригонометрическая и показательная формы
комплексного числа.
Самостоятельное изучение:
Элементы теории функции комплексного переменного.
Тема 24.. Дифференциальные уравнения
Аудиторное изучение:
Основные понятия. Интегральная кривая. Теорема о существовании и
единственности решения.
Самостоятельное изучение:
Геометрический смысл уравнения.
Тема 25. Дифференциальные уравнения первого порядка
Аудиторное изучение:
Уравнения с разделяющими переменными. Однородные уравнения.
Линейные уравнения.
Самостоятельное изучение:
Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющими
переменными, однородные, линейные, уравнение Бернулли.
Тема 26.Дифференциальные уравнения второго порядка
Аудиторное изучение:
27
Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие
понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами.
Самостоятельное изучение: Элементы качественного анализа
дифференциальных
уравнений
первого
порядка.
Использование
дифференциальных уравнений в экономической динамике. Решение задач.
ДЕ 8.Числовые и степенные ряды
Тема 27.Ряды.
Аудиторное изучение:
Числовые ряды. Сумма ряда. Необходимый признак сходимости.
Достаточные признаки сходимости.
Самостоятельное изучение:
Применение рядов в приближенных вычислениях.
Тема 28. Знакопеременные ряды
Аудиторное изучение:
Знакопеременные ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная
сходимость рядов
Самостоятельное изучение:
Знакочередующиеся ряды. Решение задач. Приложения рядов.
Тема 29.Степенные ряды.
Аудиторное изучение:
Степенные ряды. Ряд Маклорена. Ряд Тейлора.Интервал сходимости
степенного ряда. Разложение функции в степенные ряды
Самостоятельное изучение:
Интервал сходимости степенного ряда. Разложение функции в степенные
ряды
28
Содержание практических занятий
ДЕ 1.
Занятие 1. Матрицы, действия над ними.
1. Основные понятия: Матрица, виды матриц.
2. Действия над матрицами и их свойства.
3. Решение задач.
Найти значение матричного многочлена f(A)
  2 3
1 f  x   2 x 2  3x  2,

A  
 1 0
  22 21 

 8 
 7
Ответ: 
2. f  x   x 2  3 x  2,
 1  3

A  
0 2 
 0 0

 0 0
Ответ: 
3 f x   2 x 3  3x 2  5,
 1 2

A  
  2 3
Занятие 2. Определители.
1.Определители первого, второго, третьего порядков.
2. Свойства определителей.
3. Определители четвертого порядка.
4. Обратная матрица. Алгоритм нахождения обратной матрицы.
5. Решение задач.
Занятие3. Системы линейных уравнений.
1.Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц.
2.Система линейных уравнений. Решение системы. Равносильность
системы.
3. Теорема Кронекера – Капели.
4. Матричный метод решения системы.
5. Метод Крамера.
6. Решение задач.
Занятие 4-5. Системы линейных уравнений.
1. Метод Гаусса.
2. Исследование системы линейных уравнений.
29
 x  2y  z  4

3x  5 y  3z  1
 2x  7 y  z  8

2 x  4 y  3 z  1

 x  2 y  4z  3
 3x  y  5 z  2

2 x  4 y  3 z  1

 x  2 y  4z  3
 3x  y  5 z  2

2 x  4 y  9 z  28

7 x  3 y  6 z  1
 7x  9 y  9z  5

 2x  y  z  2

3x  2 y  2 z  2
 x  2y  z  1

 x  y  z 1

2 x  2 y  2 z  3
3x  3 y  3z  4

2 x  4 y  9 z  28

7 x  3 y  6 z  1
 7x  9 y  9z  5

 x yz 2

2 x  2 y  2 z  4
 3x  3 y  3z  5

 x  2y  z  4

3 x  5 y  3 z  1
 2x  3y  z  8

 x  2 y  3z  5

4 x  5 y  6 z  8
 7x  8y  2

 x yz 2

3x  2 y  2 z  1
4 x  3 y  3 z  4

ДЕ 2
Занятие 1. Векторы.
1.Вектор. Коллинеарность векторов.
2. Равенство векторов.
3. Линейные операции над векторами.
4. Координаты вектора.
5. Проекция вектора на ось.
6. Модуль вектора.
7. Решение задач.
1. В параллелограмме ABCD даны стороны AB  p, AD  q.
Выразить через p и q векторы BC , CB, CD, AC , BD, DB.
30
2.В Треугольнике ABC проведены меридианы AK, BL и CM. Выразить
AK, BL и CM через векторы BC  a и AB  c .
3.На прямой проходящей через точки А (-3;8;2) и B (1;-2;0) найти точку С,
абсцисса которой xC  2 .Выберите правильный ответ.
4.Найти направляющие косинусы вектора a  8i  4 j  k
5. Даны векторы a   3;4;1, b   1;2;3 и ñ   4;2;1 . Найти
векторы: 4a  3b  2c ;  5a  4b  c .
Занятие
2.Скалярное
произведение
векторов.
Векторное
произведение векторов.
1. Скалярное произведение векторов (определение), свойства.
2. Скалярное произведение в координатной форме.
3. Угол между векторами.
4. Условие перпендикулярности векторов.
5.Определение векторного произведения.
6. Геометрический смысл векторного произведения.
7. Решение задач.
1 Дано a =5, b =6. Найти скалярное произведение векторов a и b , если
угол  между ними равен 120°
2.Найти угол Â в треугольнике с вершинами A(1;2;-1), B(5;5;11),
C(13;18;20)
3. Даны векторы a  2;4;2 , b  0;6;2, c  2;6;5. Найти
проекцию вектора a  c на вектор b  c .
4. Даны векторы a  4; m;6 и b  m;2;7 . При каком значении m
эти векторы перпендикулярны?
5.Даны три последовательные вершины параллелограмма А(-3;-2;0), В(3;3;1) и С(5;0;2). Найти четвёртую вершину D и угол между векторами AC и
BD .
6. Даны векторы a   4;1;4 , b  1;6;8 и c  3;5;2. Найти
проекцию вектора b  c на вектор a  c .
31
7. Даны векторы a  mi  3 j  4k и b  4i  mj  7k . При каком
значении m векторы перпендикулярны?
8 Найти площадь треугольника с вершинами А(2;2;2), В(1;3;3), С(3;4;2).
9 Упростить:
3i  4 j  5k   2i  6 j  k 
10Вычислить площадь треугольника с вершинами А(-3;-2;-4), В(-1;-4;-7),
С(1;-2;2).
11. Вычислить площадь и высоту параллелограмма, построенного на
векторах a  2 j  k , b  i  2k
12
Найти
площадь
параллелограмма,
построенного
a  m  2n и b  2m  n , где m  n  1, m ˆ; n  

6
на
векторах
.
13 Вычислить диагонали и площадь параллелограмма, построенного на
векторах a  k  j и b  i  j  k .
Занятие 3-4. Смешанное произведение векторов.
1. Смешанное произведение векторов (определение) и его свойства.
2. Компланарность векторов.
3.Объем параллелепипеда.
4. Деление отрезка в данном отношении.
5. Тестирование.
Примерные задания для тестирования.
1. Проверить, является ли векторы a  1;1;3, b  0;2;1, c  1;1;4
компланарными?
Да.
Нет.
2. Найти объём тетраэдра с вершинами в точках А(-1;1;0), В(2;-2;1),
С(3;1;-1), D(1;0;-2).
6/25
25/6
3/5
32
3. Вычислить объём параллелепипеда, построенного на векторах
a  3;2;1;, b  1;0;1 и c  1;2;1 .
10 куб. ед.
11 куб. ед.
12 куб. ед.
13 куб. ед.
4. Установить, лежат ли в одной плоскости точки А(4;3;10), В(5;1;5),
С(2;2;5), D(3;4;12).
Да.
Нет.
5. В тетраэдре с вершинами D(-3;-3;-3), A(2;-1;-3), B(-1;2;3) и C(-2;-2;1).
Найти площадь грани АВС и длину высоты, проведённой к этой грани.
3 куб. ед.
3 17 куб. ед.
6 3 куб. ед.
7 3
3
3
2
6 3
5
6.Выяснить,
компланарны
ли
векторы
a  i  j  k, b  i  j  k, c  i  j  k ?
Нет.
Да.
7. Даны векторы a   4;1;4 , b  1;6;8 и c  3;5;2. Найти
проекцию вектора b  c на вектор a  c .
-11/14
-14/11
14/11
11/14
33
8. Даны векторы a  mi  3 j  4k
значении m векторы перпендикулярны?
3
4
и b  4i  mj  7k . При каком
ДЕ 3
Занятие 1. Прямая на плоскости
1. Уравнение линии на плоскости.
2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
3. Уравнение прямой в отрезках.
4. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
5. Нормальное уравнение прямой.
6. Общее уравнение прямой.
7. Решение задач.
1. Проверить, принадлежат ли точки A(3; 14), B(4; 13) прямой 7x-3y+21=0
2. Составить уравнение прямой, пересекающей ось Ox в точке (3; 0), а ось
оринат в точке (0; 5).
Ответ: x/3+y/5=1
3. Вычислить угол наклона прямой 3x  y  6  0 к оси Ox
Ответ: 120°
4. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и
образующей с осью Ox угол 120°
Ответ: 3 x  y  0
5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (3; 4) и
отсекающей на оси Oy отрезок B=2
Ответ: y 
2
x 2
3
6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-3; -2) и
образующей с осью Ox угол arctg2.
Ответ: 2x-y+4=0
7. Составить уравнение прямой, проходящей через точки A(2; -3), B(-1; 4)
Ответ: 7x+3y-5=0
8. Прямая, проходящая через точку A(-2; 3), образует с осью Ox угол 135°.
Составить уравение этой прямой.
Ответ: x+y-1=0
9. Через точку A(1; 2) проведена прямая, отсекающая на положительных
полусях равные отрезки. Составить ее уравнение.
Ответ: x+y-3=0
10. Уравнение прямой привести к нормальному виду. 5x-12y+26=0
34
Ответ: 
5
12
x
y20
13
13
Занятие 2. Угол между прямыми. Условия параллельности и
перпендикулярности прямых. Уравнение плоскости.
1. Угол между прямыми.
2. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.
3. Расстояние от точки до прямой.
4. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и
перпендикулярную вектору . N
5. Общее уравнение плоскости.
6. Решение задач.
1. Найти острый угол между прямыми 5x-y+7=0 и 2x-3y+1=0
Ответ: 45°
2. Найти угол между прямыми 3x-4y=6 и 8x+6y=11
Ответ: 90°
3. Определить точки пересечения прямой с осями координат 3x-2y=12
Ответ: (4; 0) и (0; -6)
4. Найти угол между прямыми 3x+2y=0 и 6x+4y+9=0.
Ответ: 0°
5. Найти расстояние от начала координат до прямой 15x-8y-68=0
Ответ: 4
Занятие 3. Прямая и плоскость в пространстве.
1. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
2. Канонические уравнения прямой.
3. Параметрические уравнения прямой.
4. Общее уравнение прямой.
5. Угол между прямыми в пространстве.
6. Расстояние от точки до плоскости.
7. . Решение задач.
1. Даны точки M1(-3; 7; -5) и M2(-8; 3; -4). Составить уравнение
плоскости, проходящей через точкуM1 и перпендикулярной вектору
N  M 1M 2
Ответ: 5x+4y-z-18=0
2. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки M1(1; -3;
4), M2(0; -2; -1), M3(1; 1;-1)
Ответ: 15x-5y-4z-14=0
3. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M1(-1; -2; 0) и
M2(1; 1; 2) и перпендикулярной плоскости x+2y+2z-4=0
35
Ответ: 2x-2y+z-2=0
4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M(-4; 3; -7)
параллельно плоскости 6x-5y+4z-15=0
Ответ: 6x-5y+4z+67=0
5.
Найти
угол
между
плоскостями
и
x  y  2z  5  0 и x  y  2z  3  0
Ответ: π/3
6. Написать уравнение плоскости, параллельной плоскости x-2y+2z-7=0 и
отстоящей от нее на расстоянии, равном 5.
Ответ: x-2y+2z+8=0 и x-2y+2z-22=0
7. Составить каноничское уравнение прямой, проходящей через точку A(7; -3; 2) и перпендикулярной плоскости x-4y-5z+8=0.
Ответ: (x+7)/2=(y+3)/(-4)=(z+5)/(-5)
8. Написать уравнение прямой l, проходящей через точки A(-1; 2; 3) и B(5;
-2; 1)
Ответ: (x+1)/6=(y-2)/(-4)=(z-3)/(-2)
 x  2 y  3 z  15  0
. Привести ее к
2 x  3 y  4 z  12  0
9. Общее уравнение прямой 
каноническому виду.
Ответ: (x+3)/(-1)=(y-6)/10=z/7
10. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через
точку A(-7; -3; 2) и
перпендикулярной плоскости x-4y-5z+8=0.
Ответ: x=-7+t
y=-3-4t
z=2-5t
11. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M(1; 1; 1) и
перпендикулярной векторам S1  2i  3 j  k и S 2  3i  j  2k .
Ответ: (x-1)/5=(y-1)/(-1)=(z-1)/(-7)
 x  3z  8  0
с осями координат.
x  2 y  5  0
12. Найти углы, образуемые прямой 
Занятие 4. Кривые второго порядка.
1.. Окружность. Уравнение окружности.
2. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса.
3.Гипербола. Уравнение гиперболы.
4. Директрисы эллипса и гиперболы.
5. Решение задач.
36
Занятие 5. Кривые второго порядка.
1. Парабола. Каноническое уравнение параболы.
2. Приведение общего уравнения второго порядка к каноническому виду.
3. Классификация линий второго порядка.
Решение задач:
1. Окружность с центром в точке (12;-5) проходит через начало
координат. Составить уравнение окружности.
2. Проходит ли окружность с центром S(-5;7) и радиусом 10 через точку
М(-11;15).
3. Определить
координаты
центра
и
радиус
окружности
x  y  8x  6 y  0
2
2
4. Окружность, проходящая через точки А(3;-1) и В(-4;-8), имеет радиус
r=13. Написать её уравнение.
( x  8) 2  ( y  5) 2  625
5. Найти центр окружности, касающейся оси ординат и проходящей
через точки А(4;5) и В(18;-9).
6. Составить уравнение эллипса с фокусами на оси Ох, если он проходит
через точки А(6;4) и В(8;3).
7. Составить уравнение эллипса, фокусы которого находится в точках
(0; 3 ) и (0; 3 ) , а большая ось равна 4 7
8. Составить уравнение эллипса, фокусы которого находится в точках (4;0) и (4;0), а эксцентриситет е=2/3.
9. Составить уравнение гиперболы, если известны координаты её
фокусов (-20;0) и (20;0) и эксцентриситет е=5/3
ДЕ 4.
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Занятие 1. Числовые последовательности и их пределы. Предел функции.
1. Числовые последовательности .
2. Ограниченные и неограниченные последовательности.
3. Понятие функции. Виды функций, способы их задания.
4. Предел функции в точке.
5. Решение задач.
37
Занятие 2. Предел функции.
1. Предел функции в точке.
2. Предел функции в бесконечности.
3. Односторонние пределы.
4. Бесконечно малые функции и их свойства.
5. Основные теоремы о пределах.
6 Решение задач.
x2  6 x
x2
x2  4
3x 2  2
2. lim
x  4 x 5  x  1
7 lim x
1. lim
3.
4.
lim
x  

x 2x
2
x 1
x 1
8.

4
lim
x9  1
x2  x
x 
lim  x  x  x 


tgx  sin x
10. lim
x 0
x3
sin x 6
x 0 sin 5 x
9
lim
2x  3 

 2x  1 
2x 2  x  1
6. lim
x 1
x  11

5. lim

x 
 x
2
4x
x  
+ 1/2
x 5

 x  2

11. lim

x 
Занятие 3. Раскрытие неопределенностей.
0
1.Неопределенность
0
2. Неопределенность

.

3. Неопределенность ∞ − ∞.
4. Первый замечательный предел.
5. Второй замечательный предел.
6. Нахождение пределов методом логарифмирования.
7. . Решение задач.
Занятие4. Непрерывность.
1. Понятие непрерывности функции ( два определения).
2.Свойства функций, непрерывных на отрезке.
3.Классификация точек разрыва.
Тестирование:
38
x 1
Найти пределы функций.
lim x  ctg 3x
1. lim x 2  5 x  6
2
x 2
x 0
x  3x  2
1
1
0
3
3
0


2.
3
lim
x 1
x 1
5.
x 1
lim
ln 1  6 x 
x 0
x
2/3
0
1/2
6
e6

3.
lim
n 
0
3n  1

lim
3n 2  1
x 
6.
x 2  3x  1  x 2  3x  3

3
0
3
–– 3
1

2/3

4.
ДЕ 5.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ФУНКЦИЯ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
Занятие 1.Производная функции.
1.Задачи, приводящие к понятию производной.
2. Схема вычисления производной.
3. Основные правила дифференцирования.
4.Нахождение
производной
по
таблице,
дифференцирования.
5.Решение задач.
Занятие 2.Производная сложной функции.
1.Понятие сложной функции.
39
используя
правила
2. Проверка знания таблицы производных и правил дифференцирования.
3. Производная сложной функции.
4. Производная обратной функции.
1
1
 4
5
10 x
4x
sin 2 x
2. y 
cos x
tg 2 x
3. y 
 ln cos x
2
+ tg 3 x
4 y  arcsin 1  4 x
5. y  x x 1
1. y 
Занятие 3.Производная сложной функции.
1.Логарифмическая производная.
2. Производная высших порядков.
3.Решение задач.
Занятие4 Применение производной к исследованию функций.
1. Возрастание и убывание функций.
2. Экстремумы функций.
3. Наибольшее и наименьшее значение функции.
4. Асимптоты.
5. . Решение задач.
Занятие 5. Применение производной к исследованию функций.
1. Выпуклость функции. Точки перегиба.
2. Общая схема исследование функций и построение их графиков.
3.Решение задач.
Занятие 6.Дифференциал.Функция нескольких переменных.
1. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.
2. Частные производные.
3. Дифференциал функции.
4. Решение задач.
Примерные задания теста.
1.Найти производную от функции :
а). y  arccosx 2  1
40
 2x
д) y 
1 x2
2x
x2




1 x2 1
 2x
1 x2 1
1 x
2

x  1 x
4
2

3x 0,5  3 x 2  1


3 x  2 x2 1

2
2
г) y  sin 2 3x 4  1


2 cos 12 x 3  1


12 x  sin 2 3x 4  1
2 sin 3x 4  1  12 x
2. Найти предел, используя правило Лопиталя:
lim tgx 
cos x
ln x
x 0 ctgx
lim
x 

0
1
4 Найти частные производные от функции :

z  ln x 2  y 2
2x
2
x  y2
2y
2
x  y2
2x  2 y
x2  y2
2
x2  1 x2
arcsin e 2 x
е) y  ln3x 2  2 x  5
6x  2
2
3x  2 x  5
1
6x  2
3x  2
2
3x  2 x  5
2
3 x  6x x 2  1

 2e 2 x
2
x 2  2 x 1  x 2 arcsin x
в) y  2 x1,5  x 2  13
3
arcsin x
 e2x
x2
2

0
1

x
x  y2
2y
2
x y
2
ДЕ 6.
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
41
 2e 2 x
Занятие 1.Первообразная и неопределенный интеграл.
1.Первообразная функции. Неопределенный интеграл.
2. Свойства неопределенного интеграла.
3. Таблица интегралов.
4. Непосредственное интегрирование.
5.Решение задач.
dx
5.
 sin 3x
 (e  e )dx
 x( x  1) dx
 (sin 3x  cos 5x)dx
 (2  x ) dx
6.

7.

1.
2.
3.
4.
2
2 x
x
2
3
2
(2  x)dx
x
dx
25  x 2
Занятие 2.Методы интегрирования:
1.Метод замены переменной.
2. Метод интегрирования по частям.
3. Интегрирование простейших рациональных
неопределенных коэффициентов.
4. . Решение задач.
1.

xdx
6.
x2 1
2.  sin 3 cos x * dx
3.

7.
8.
x 4 dx
x10  2
x 1
4.  2
dx
5x  2 x  1
cos x * dx
5. 
2  sin 2 x
9.
42
дробей.
x2
Метод
 x  2 x dx
 ln(1  x ) * dx
 x * sin x * dx
3
2
2
x2
 8  x 3 dx
Занятие 3.Методы интегрирования:
1. Интегрирование некоторых видов иррациональностей.
2.Интегрирование тригонометрических функций.
3. . Решение задач.

2.
 x*
3.
sin 3 x
 4  cos x dx
7.  sin 2 x * cos 2 x * dx
dx
1.
6.
3x 2  6 x  1
x 2  7 dx
e x dx

8.
9  e2x
dx
4. 
3  5 cos x
 4x  3
5. 
dx
4 x 2  8x  9
9.
cos x * dx
 4  sin x
 sin 3x * sin 5 x * dx
2
Занятие 4.Определенный интеграл.
1.Понятие
определенного
интеграла,
его
геометрический
экономический смысл. 2.Формула Ньютона – Лейбница.
3. Свойства определенного интеграла.
4. Замена переменной и формула интегрирования по частям.
5.Геометрические приложения интеграла.
1
4
dx
1 1  2 x 2
1
5.  x  e x dx
0
3
2
2.  x dx 4
0  x  1
6.  x3  x 2  1  dx
1
4
x


4

3
x

e
0 
dx

4
3.
x
6
и
dx
25  x 2
3
7. 

2
8.  sin 2 x  dx
2
sin x
dx
4. 
cos
0
0
Занятие 5.Несобственные интегралы
1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
43
2. Несобственные интегралы от неограниченных функций.
3. Экономические приложения интегралов.
4. . Решение задач.
Занятие 6.Элементы теории функции комплексного
переменного.
1.Комплексные числа. Алгебраические и тригонометрические формы.
2. Действия над комплексными числами.
3. Показательная форма комплексного числа.
Тестирование.
Примерные задания теста.
2 x 2 cos x  c
1 x2
c
1  3x 2
3x  3x 3  ln( 1  x 2 )  c
x  2arctgx  c
cos 2 x  sin 2 x  c
e 3 x * arcsin 2 (1  x)  tg (1  x)  c
3
1  x * sin x * dx
 x cos x  sin x  c
 x 2 * arcsin x  c
x * dx
2 2
2x  2x  5
2
1
ln x * e 2 x  2 x 5  c
3
1
1
2x  1
ln( 2 x 2  2 x  5)  arctg
c
4
6
3
2
1
ln x * e 2 x  2 x 5  c
3
x 2  ln | 2 x 2  2 x  5 | c
3. 
4
dx
x 1 x2
1
1 x2 1
ln
c
2
1 x2 1
1
1 x2 1
sin
c
2
1 x2 1
ln
1 x2 1
1 x2 1
c
1
1 x2 1
arccos
c
2
1 x2 1
3 x
dx
1 x2
2
5.  x * ln xdx
44
x2
(2 * ln x  1)  c
4
2e 2  x 2  c
4 x * ln x  3  c
x2
c
2
x2  6
6. 
dx
x( x  3) 2
3 2 x3
x ln
c
2
x3
e x 
2x 2  6
c
x( x  3) 2  2( x  3) 3
2 x  2 x( x  3)  ln | ( x  3) 2 | c
2
1
5
ln | x |  ln | x  3 | 
c
3
3
x3
e
2
7.  ln x dx
1
x
3/2
1
1/3
0
45
ДЕ 7.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1.
2.
3.
4.
5.
Занятие 1. Дифференциальные уравнения первого порядка.
Основные понятия.
Теорема о существовании и единственности решения.
Уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными.
Неполные дифференциальные уравнения певого порядка.
.Решение задач.
Занятие 2. Решение дифференциальных уравнений первого порядка.
1 Однородные уравнения.
2. Линейные уравнения.
3. Уравнения Бернулли.
4. Решение задач.
Решите уравнения.
1. xy   2 y  2 x 4
2. dy / dx  2 y / x  x 3
3. (2 x  1) y   4 x  2 y
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
y   2 xy  e  x
2
y   ytgx  sec x
xy   2 y  x 3 cos x
x( y   y )  e x
y x ln x  y  3x 3 ln 2 x
y 2  x 2 y  xyy
( x  2 y )dx  xdy  0
Занятие 3. Дифференциальные уравнения высшего порядка.
1. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
2. .Линейные
дифференциальные
уравнения
с
постоянными
коэффициентами.
3. Использование дифференциальных уравнений в экономике.
4. .Решение задач.
5. Тестирование.
Примерные задания теста.
46
1. (1  x 2 ) y   y  arctgx
xy  C  ln x
y  arctgx  1  Ce  arctgx
y  sin x  C cos x
y  e 2 (ln x  C )
2. ( x 2  y 2 ) y  2 xy
y  Ce y / x
y 2  x 2  Cy; y  0
ln( x  y )  x 2  y 2  C
3.
xy sin( y / x)  x  y sin( y / x)
y  eCx
ln( x  y )  x 2  y 2  C
Cx  ecos( y / x )
lg( x  2 y )  Cy  0
4. 1  1  ye y  0
x 2  ln Cx  0
e x  e y  Cx
e y  1 ex  C
 
ln x  1/ e
y
C
ДЕ 8.
РЯДЫ.
Занятие 1. Числовые ряды.
1.Основные понятия. Сумма ряда.
2. Необходимый признак сходимости.
3.Достаточные признаки сходимости.
4. .Решение задач.
Занятие 2 Знакопеременные ряды.
1.Знакочередующиеся ряды.
2. Признак Лейбница.
3. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда.
47
3. Абсолютная и условная сходимость ряда.
4. .Решение задач.
Занятие 3-4. Степенные ряды.
1. Область сходимости степенного ряда.
2. Разложение функций в ряд Маклорена и в ряд Тейлора.
3. Решение задач.
48
4. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОСВОЕНИЮ УЧЕБНОЙ
ДИСЦИПЛИНЫ «Математика»
ДЕ 1.
1. Уясните основные понятия: матрица, виды матриц, обратная
матрица, ранг матрицы, элементарные преобразования матриц,
определители, свойства определителей, система линейных уравнений,
решение системы, совместная система, определенная система.
2. При выполнении действий с матрицами особую сложность
вызывает умножение; сначала определите размер матрицы, которая
получится в результате, умножайте, используя схему    , каждую
строчку на каждый столбец.
3. При решении систем методом Гаусса и при нахождении ранга
матрицы важно хорошо выполнять элементарные преобразования матриц.
4. Помните, основные понятия линейной алгебры имеют широкое
применение в «исследовании операций» (2 курс) и в других разделах
математики.
Рекомендации по обеспечению самостоятельной работы:
Изучите
основательно
теоретический
материал.
Выполните
самостоятельно все рекомендуемые преподавателем задания. Выполните
типовой расчет.Приготовь доклады по темам «Матрицы в экономике»,
«Системы линейных уравнений в задачах с экономическим
содержанием».
ДЕ 2
1. Умейте различать векторные и скалярные величины. Повторите
школьный курс по данной теме, обратите особое внимание на
геометрическую интерпретацию действий с векторами.
2. Уясните геометрический смысл скалярного, векторного и
смешанного произведений векторов.
3. Помните, в математике понятие «вектор» может обозначать
упорядоченный набор не только чисел, но и любых объектов. Этот факт
используется в экономическом приложении.
Рекомендации по обеспечению самостоятельной работы:
Изучите
основательно
теоретический
материал.
Выполните
самостоятельно все рекомендуемые преподавателем задания. Выполните
типовой расчет.
ДЕ 3.
1. Повторите основные сведения о системе координат на плоскости
и в пространстве.

49
2. Выучите все уравнения прямой на плоскости, уравнения прямой
в пространстве, уравнения плоскости, уравнения кривых второго порядка.
3. При решении задач первым делом запишите общий вид того
уравнения, которое подходит к условию данной задачи.
4. Помните, при решении задач широко используется
геометрический и алгебраический материал школьного курса.
Рекомендации по обеспечению самостоятельной работы:
Изучите
основательно
теоретический
материал.
Выполните
самостоятельно все рекомендуемые преподавателем задания. Подготовьте
реферат по теме «Поверхности второго порядка»
ДЕ 4.
1. Уясните понятия числовой последовательности и функции,
хорошо знакомых вам из школьного курса.
2. Повторите виды элементарных функций и их графики.
3. Выучите определения предела функции в точке (2),в
бесконечности, используя геометрическую интерпретацию.
4. Уясните свойства бесконечно малых и бесконечно больших
функций и связанные с ними неопределенности.
5. Помните, нахождение предела функции следует начинать с
подстановки того значения, к которому стремится аргумент, выяснив тем
самым неопределенность, если такая есть.
6. Уясните понятие непрерывности очень важное в следующих
разделах математики.
Рекомендации по обеспечению самостоятельной работы:
Изучите
основательно
теоретический
материал.
Выполните
самостоятельно все рекомендуемые преподавателем задания. Выполните
типовой расчет.Подготовьте сообщение по теме «Предельные величины в
экономике»
ДЕ 5.
1. Уясните определение производной, используя геометрическую
интерпретацию.
2. Выучите таблицу производных и правила дифференцирования.
Помните, что производная от функции - это тоже функция, при
нахождении которой используется таблица производных и правила
дифференцирование.
3. Начните нахождении производной с анализа функции: сложная
или элементарная функция, какие арифметические операции
используются при ее аналитическом задании.
4. Выучите основные теоремы дифференциального исчисления, на
которых базируется использование производных при исследовании
функции.
50
5. Выучите алгоритмы исследования функции на возрастание и
убывание, на экстремумы, на выпуклость; правила нахождения асимптот.
Рекомендации по обеспечению самостоятельной работы:
Изучите
основательно
теоретический
материал.
Выполните
самостоятельно все рекомендуемые преподавателем задания. Подготовьте
выступление по теме «Производная в экономике».
ДЕ 6.
1. Интеграл- одно из важнейших математических понятий, широко
применяемый в технике, экономике. Рассмотрите интегрирование как
обратную операцию дифференцированию.
2. Выучить таблицу основных интегралов. Геометрическое
понимание интеграла. Простейшие правила интегрирования.
3. Рассмотрите основные методы интегрирования, выясните связь
между видом функции и методом ее интегрирования.
4. Обратите особое внимание на определенный и несобственный
интегралы, которые будут применяться в «теории вероятностей» (2 курс).
Рекомендации по обеспечению самостоятельной работы:
Изучите
основательно
теоретический
материал.
Выполните
самостоятельно все рекомендуемые преподавателем задания. Выполните
типовой расчет.
ДЕ 7.
1. Уясните основные понятия.
2. Умейте по внешнему виду уравнения определять его тип.
3. Выучите алгоритм решения уравнений каждого типа.
4. Помните. Успех решения дифференциальных уравнений во
многом зависит как вы умеете находить интегралы.
Рекомендации по обеспечению самостоятельной работы:
Изучите
основательно
теоретический
материал.
Выполните
самостоятельно все рекомендуемые преподавателем задания. Выполните
типовой расчет.
ДЕ 8.
Уясните основные понятия. Успех работы по данной теме зависит от
хорошего знания теории
Рекомендации по обеспечению самостоятельной работы:
Изучите
основательно
теоретический
материал.
Выполните
самостоятельно все рекомендуемые преподавателем задания. Выполните
типовой расчет.
51
Оценочные средства: При оценивании знаний студентов по
дисциплине используются Балльно-рейтинговые технологии, которые
полностью описаны в «Положении о балльно-рейтинговых технологиях в
РИ (филиале) АлтГУ». Студенты, набравшие по итогам изучения
дидактических единиц не менее 60 баллов, получают зачет
«автоматически». Студент может получить экзаменационную оценку
«автоматически», если наберет в течении семестра 61-75 баллов –
«удовлетворительно», 76-93 – «хорошо», 94-100 – «отлично».
На экзамене оценка «отлично» ставится, если студент строит
ответ логично в соответствии с планом, показывает максимально
глубокие знания математических терминов, понятий, категорий,
концепций и теорий. Теоремы представляет с доказательством.
Практические задания выполнены полностью, осознанно. Устанавливает
содержательные межпредметные связи. Демонстрирует
знание
специальной литературы в рамках учебного методического комплекса и
дополнительных источников информации.
Оценка «хорошо» ставится, если студент строит свой ответ в
соответствии с планом. Есть небольшие неточности в доказательстве
теорем или в выполнении практических заданий.. Устанавливает
содержательные межпредметные связи. Речь грамотна, используется
профессиональная лексика. Демонстрирует знание специальной
литературы в рамках учебного методического комплекса и
дополнительных источников информации. Имеет место средний уровень
выполнения контрольных и самостоятельных работ в течение учебного
процесса
Оценка «удовлетворительно» ставится, если ответ недостаточно
логически выстроен, план ответа соблюдается непоследовательно.
Студент представляет теорему без доказательства.Практические задания
выполнены
все,
есть
небольшие
неточности..
Оценка
«неудовлетворительно» ставится при условии недостаточного раскрытия
понятий. Ответ содержит ряд серьезных неточностей. Выводы
поверхностны. Имеет место очень низкий уровень выполнения
контрольных и самостоятельных работ в течение учебного процесса
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ
КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНЫХ ФОРМ
ОБУЧЕНИЯ
Перед выполнением контрольной работы изучите соответствующие
разделы курса “Математика”, используя учебную литературу. Список
рекомендуемой
литературы
приведен
в
методических
указаниях.
52
Можетеиспользовать также учебники и учебные пособия, не включенные в
данный список, если эти пособия содержат соответствующие разделы учебного
курса.
Контрольная работа выполняется в отдельной тетради. На обложке
тетради необходимо указать название учебной дисциплины, номер контрольной
работы, а также полностью фамилию, имя и отчество студента, его адрес,
специальность, номер студенческой группы, шифр (номер зачетной книжки) и
дату отправки работы в институт.
Задачи контрольной работы выбираются в соответствии с указаниями
преподавателя из таблиц вариантов. Вариант определяется двумя последними
цифрами номера зачетной книжки. Предпоследняя цифра номера определяет
таблицу вариантов, последняя цифра номера определяет столбец в выбранной
таблице. Представленная для рецензирования контрольная работа должна
содержать все задачи, указанные преподавателем. Решения задач следует
приводить в той последовательности, которая определена в таблице вариантов.
Условие каждой задачи должно быть приведено полностью перед ее решением.
Контрольная работа должна быть подписана студентом.
Зачет по контрольной работе выставляется по результатам
рецензирования и собеседования. Перед собеседованием студент обязан
исправить в работе ошибки, отмеченные рецензентом.
Зачет по контрольным работам является обязательным для допуска к
сдаче зачетов и экзаменов, которые предусмотрены учебным планом.
53
5. МАТЕРИАЛЫ К ПРОМЕЖУТОЧНОМУ И ИТОГОВОМУ КОНТРОЛЮ
Вопросы к коллоквиуму ДЕ 1.
1.Определение матрицы. Виды матриц.
2. Действия над матрицами и их свойства.
3.Определители .
4. Свойства определителей.
5. Обратная матрица. Алгоритм нахождения обратной матрицы.
6.Ранг матрицы.
7. Элементарные преобразования матриц.
8. Система линейных уравнений. Решение системы. Равносильность
системы.
9 Теорема Кронекера – Капели.
10. Матричный метод решения системы.
11. Метод Крамера.
12. Метод Гаусса.
13. Исследование системы линейных уравнений.
14. Система линейных однородных уравнений.
15.Фундаментальная система решений.
16. Собственные значения матриц.
Вопросы к коллоквиуму ДЕ 5.
1.Определение производной ее геометрический и физический смысл.
2. Таблица производных (любая формула с выводом).
3. Правила дифференцирования (с доказательством).
4. Производная сложной и обратной функций.
5. Основные теоремы дифференциального исчисления.
6. Правило Лопиталя.
7. Возрастание и убывание функции. Необходимое и достаточное
условие. Схема исследование функции на возрастание и убывание.
8. Экстремумы функций. Необходимое и достаточное условие
экстремума. Схема исследование функции на экстремум.
9. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Схема
отыскания наименьшего и набольшего значений.
10.Выпуклость функции. Точки перегиба.
11. Асимптоты графика функции.
12. Общая схема исследования функций.
13. Дифференциал функции. Свойства дифференциала.
14. Функция нескольких переменных.
15.Частные производные.
16. Экстремум функции нескольких переменных.
17. Экономический смысл производной.
54
18. Функции нескольких переменных в экономической теории.
Вопросы к коллоквиуму ДЕ 6.
1. 1.Первообразная функции. Неопределенный интеграл.
2. Свойства неопределенного интеграла.
3. Таблица интегралов.
4. 4.Непосредственное интегрирование.
5. Метод замены переменной.
6. Метод интегрирования по частям.
7. .Понятие определенного интеграла, его геометрический и
экономический смысл. 8.Формула Ньютона – Лейбница.
8. Свойства определенного интеграла.
9. Несобственные
интегралы
с
бесконечными
пределами
интегрирования.
10. Несобственные интегралы от неограниченных функций.
11. Экономические приложения интегралов.
12. Комплексные числа. Алгебраические и тригонометрические формы.
13. Действия над комплексными числами.
14. Показательная форма комплексного числа.
ВОПРОСЫ к экзамену по математике ДО 1 семестр.
1. Матрицы, действия над ними.
2. Определители и их свойства.
3. Обратная матрица. Алгоритм ее нахождения.
4. Собственные значения матриц.
5. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы.
6. Система линейных уравнений. Теорема существования. Решение
системы линейных уравнений.
7. Способы решения линейных уравнений (матричный метод и метод
Крамера).
8. Метод Гаусса.
9. Векторы. Операции над векторами.
10. Проекции вектора на ось. Линейная независимость векторов. Угол
между векторами.
11. Разложение вектора по ортам (Т). Длина вектора.
12. Скалярное произведение векторов и его свойства.
13. Деление отрезка в данном отношении.
14. Векторное произведение и его свойства.
15. Геометрический смысл векторного произведения. Векторное
произведение в координатной форме.
16. Смешанное произведение векторов и его свойства.
55
17. Геометрический
смысл
смешанного
произведения
(объем
параллелепипеда). Компланарность векторов.
18. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
19. Уравнение прямой в отрезках. Общее уравнение прямой на плоскости.
20. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.
21. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
22. Взаимное расположение прямых. Угол между прямыми.
23. Плоскость. Общее уравнение плоскости.
24. Уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной

вектору N .
25. Прямая в пространстве. Общее уравнение прямой.
26. Канонические уравнения прямой.
27. Параметрические уравнения прямой.
28. Угол между прямыми в пространстве.
29. Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Угол между
прямой и плоскостью.
30. Кривые второго порядка. Окружность.
31. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола (одно уравнение
с выводом).
32. Числовые последовательности. Действия над ними.
33. Предел числовой последовательности.
34. Понятие функции. Способы задания.
35. Элементарные функции их графики.
36. Предел функции. Теоремы о пределах (одна с доказательством).
37. Бесконечно малые функции. Бесконечно большие функции и их
свойства.
38. Абсолютная величина и его свойства.
39. Теорема о предоставлении функции в виде суммы ее предела и
бесконечно малой.
40. Первый замечательный предел.
41. Второй замечательный предел.
0
.
0

43. Раскрытие неопределенности .

42. Раскрытие неопределенности
ВОПРОСЫ к экзамену ДО 2 семестр.
1. Производная. Таблица производных.
2. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной.
3. Правила дифференцирования.
4. Теоремы дифференциального исчисления (Ролля, Ферма, Лагранжа).
56
5. Правило Лопиталя.
6. Применение производной к исследованию функций.
7. Функция нескольких переменных.
8. Первообразная. Свойства неопределенного интеграла.
9. Таблица интегралов.
10. Метод интегрирования (замена переменной, по частям).
11. Понятие определенного интеграла. Формула Ньютона – Лейбница.
12. Свойства определенного интеграла.
13. Геометрические приложения определенного интеграла.
14. Комплексные числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы.
15. Действия над комплексными числами.
16. Дифференциальные
уравнения
(понятие).
Уравнения
с
разделяющимися переменными.
17. Однородные
дифференциальные
уравнения,
линейные
дифференциальные уравнения.
18. Дифференциальные уравнения второго порядка.
19. Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
20. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами.
21. Числовые ряды. Сумма ряда. Необходимый признак сходимости.
22. Достаточные признаки сходимости.
23. Знакочередующиеся ряды.
24. Признак Лейбница.
25. Абсолютная и условная сходимость рядов.
26. Степенные ряды.
27. Ряд Маклорена.
28. Ряд Тейлора.
57
6 . Материально-техническое обеспечение
1.
2.
3.
Применеие видеопроектора
Системное программное обеспечение: Excel 2010, Word 2010
PowerPoint 2007
7. СПИСОК ОСНОВНОЙ И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ,
ДРУГИЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ИСТОЧНИКИ
Основная литература
1. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах В 2ч. :
Ч.2: Учебное пособие для вузов / П.Е. Данко. - 6-е изд.- М.:: ООО
"ИздательствоОникс", 2005 - 416c.
2. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах : В
2ч.ч.1 / П.Е. Данко. - испр.- М: Оникс; Мир и Образование, 2008 368c.
3. Высшая математика для экономистов: практикум для студентов
вузов, обучающихся по экономическим специальностям /
Н.Ш.Кремер [и др.]; под ред. проф. Н.Ш.Кремера. - 2-е изд.,
перераб. и доп.- М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007 - 479c.
4. Высшая математика для экономических специальностей: Учебник
и практикум/Под ред. Н.Ш. Кремера. - 3-е изд., перераб и доп.М.: Юрайт, 2010 - 909c.
Дополнительная литература.
5. Белько, И.В. Высшая математика для экономистов. 1 семестр :
Экспресс - курс / И.В. Белько, К.К. Кузьмич. - М.: Новое знание,
2002 - 140c
6. Белько, И.В Высшая математика для экономистов. 3 семестр :
Экспресс - курс / И.В. Белько, К.К. Кузьмич. - М.: Новое знание,
2002 - 144c.
7. Колесников, А.Н. Краткий курс математики для экономистов :
Учебное пособие / А.Н. Колесников. - М.: ИНФРА-М, 1997 208c.
8. Кудрявцев Л.Д.. Курс математического анализа. М., Высш. шк., Т.
1-3, 1988.
9. Колесников, А.Н. Краткий курс математики для экономистов :
Учебное пособие / А.Н. Колесников. - М.: ИНФРА-М, 1997 208c.
10. Малыхин, В.И. Математика в экономике: Учебное пособие / В.И.
Малыхин. - М.: ИНФРА-М, 1999 - 356c.
58
11. Математика, математический анализ для экономистов : Учебник /
Под ред. Гриба А.А., Тарасюка А.Ф.. - М.: Филинъ, 2001 - 360c.
12. Солодовников, А.С. Математика в экономике : Учебник,В2-х
ч.Ч.2 / А.С. Солодовников. - М.: Финансы и статистика, 1999 376c.
13. Ряды: Учебно-методическое пособие / Сост.И.В.Калашникова. Барнаул: АлтГУ, 2006 - 74c.
Базы данных, Интернет-ресурсы,
информационно-справочные и поисковые системы
14. Единое окно доступа к образовательным ресурсам. Электронная
библиотека [Электронный ресурс]: инф. система. – М.: ФГАУ
ГНИИ ИТТ "Математика", 2005-2012. – Режим доступа: //www.
http://window.edu.ru, свободный. – Загл. с экрана (дата обращения
11.04.2012)
15. Единое окно доступа к образовательным ресурсам. Электронная
библиотека [Электронный ресурс] Университетская библиотека
on-line . Режим доступа://
http://www.biblioclub.ru/collection.php?id=24– Загл. с экрана (дата
обращения 11.10.2012).
16. Единое окно доступа к образовательным ресурсам. Электронная
библиотека [Электронный ресурс] Издательство Лань. Режим
доступа:// http://e.lanbook.com/– Загл. с экрана (дата обращения
15.10.2012).
17. Интернет-университет информационных технологий –
дистанционное образование – INTUIT.ru [Электронный ресурс]:
офиц. сайт. – М.: Открытые системы, 2003-2011. - Режим доступа:
http://www.intuit.ru, свободный. - Загл. с экрана (дата обращения:
17.05.2012).
59