Теоретический материал по теме "Преобразователь Гильберта"

Дискретное преобразование Гильберта.
Преобразование Гильберта (как и преобразование Фурье) играет важную роль в
теории сигналов и систем. На его основе, напр., вводится понятие аналитического
сигнала
^
Zs (t)  S(t)  jS(t) ,
^
с мнимой частью S(t) в виде преобразованного по Гильберту исходного сигнала
S(t) . Такое представление позволяет ставить и решать задачи фильтрации,
модуляции и др. в более общем виде [10].
Здесь ограничимся вопросами реализации этого преобразования. В
идеализированном случае преобразователь по Гильберту (ПГ), условно показанный
на рисунке, можно рассматривать как линейную систему,
КП и ИХ которой – по определению – равны:
 π

K 0 (f)   j  sign(f)  exp  j sign(f)  , f  (- , ),
 2

1
g 0 (t)  , t  (- , ).
πt
(86)
Систему с такими характеристиками во всей области частот называют
идеальным фазовращателем.
1, f  0,
mod K 0 (f)  
0, f  0,
π
argK 0 (f )   sign(f )
2
Действительно, прямые расчеты [3] показывают, что для гармонических сигналов
выполняются равенства
a) S(t)  ACos2πf 0 t,
б) S(t)  ASin2πf 0 t,
^
S(t)  ASin2πf 0 t;
^
S(t)  -ACos2πf 0 t.
Они же справедливы и в более общем случае
S(t)  A(t)Cos(2πf 0 t   (t)),
^
S(t)  A(t)Sin(2πf 0 t   (t)),
если только A(t) и  (t) - функции «медленные» по сравнению с функцией Cos2πf 0 t .
Примечание: Для обратного преобразования Гильберта соответственно имеем
K 0пг (f)  K*0 (f), g0пг (t)  g 0 (-t).
Переходя к реализации ПГ, предварительно определим эталонные
характеристики. Здесь воспользуемся (как и при дифференцировании) правилом
(33). Усечение КП (86) по частоте дает
K F (f)  K 0 (f)  П(f;2F),
1
1  Cos2πFt ,
πt
K F (0)  0, g F (0)  0.
g F (t) 
Здесь F - граничная
преобразование.
частота,
(87)
в
пределах
которой
должно
выполняться
Далее смещаем ИХ g F (t) на отрезок T и усекаем её отрезком 2Т. В результате
получим
1
1  Cos2πF(t  T), t  0,2T ,
π(t-T)
1
K э (f)   j V(f)  exp  j2πfT ,
π
V(f)  2Si(2πfT)  Si(2π(f  F)T)  Si(2π(f  F)T).
g э (t) 
(88)
Здесь Si(x) - интегральный синус. Несложно проверить следующие равенства
K э (-f)  K*э (f); K э (0)  0.
На безразмерной оси частоты (f=xF) эталонный КП равен
1
K э (x)   j V(x)  exp  jπxB ,
π
V(x)  2Si(πxB)  Si(π(x  1)B)  Si(π(x  1)B).
Параметр В, как и выше, задает базу усеченной ИХ (2В=4FT).
(88а)
На рис.18 показан примерный вид эталонных характеристик. ИХ g э (t)
отличается от идеальной (86) и имеет колебательный характер. АЧХ
Aэ (x)  mod K э (x) также имеет пульсации в полосе прозрачности
Рис.18
(пунктиром на рис.18 б и в показаны идеальные АЧХ и ФЧХ ПГ). Граничные
частоты фактически являются частотами среза. Действительно, для значений базы
В>1 получим A э (1) 1/ 2. В этих же точках крутизна АЧХ пропорциональна
'
значению базы: V (1)   πB. ФЧХ, помимо скачка на π/2 , имеет линейную часть. В
полосе прозрачности она равна
π
2
э (x)   Sign(x)  πxB.
Реализовать такие характеристики можно только в дискретном варианте.
В ИХ (88) введем дискретное время ( t  n  Δt ). Полагаем, что на отрезке 2Т
взято целое число (N) отсчетов: 2T  (N  1)  Δt. Это дает
1
1  Cos2πF(n-α)  Δt ,
π(n  α)  Δt
T
N 1
α
 T  fд 
, n  0(1)N-1.
Δt
2
g(n) 
Частоту дискретизации (как и у дифференциатора) выберем минимальной:
f д  2F. Из этого следует, что α  В. Точку n  α включим в общий массив
n  0(1)N  1, т.е., α -целое число. Это позволит в последующем использовать схему
со средней точкой.
Итак, определены все параметры: N- нечетное, α и В- четные или нечетные.
Реализуемая ИХ с нечетной симметрией относительно точки n  α равна
g(n) 
2F
1  (1)n-α  , n  0(1)N -1.
π(n  α)
(89)
В частности, имеем
0, α - четное,
2F 

α
g(0)  
1  (1)    4F
 - , α - нечетное,
πα 
 πα
g(N  1)  g(2α)  g(0),
N 1
g(α)  g(
)  0.
2
Неопределенность
значения
непрерывному времени.
(89а)
g(α) легко раскрывается, если вернуться к
Примерный вид ИХ (для α  5 ) показан на рис.19. Различия ИХ для α - четного
или нечетного заключаются в отсутствии или наличии концевых отсчетов.
Рис.19
Схема дискретного преобразователя Гильберта с ИХ (89) для α - нечетного
показана на рис.20. Парные множители, отличающиеся знаком, объединены.
Рис.20
Параметры схемы задаются следующим образом
2F

0,5  g(0)   πα , m  0,
bm  
g(m)  4F , m  2,4,6,...,α-1.
π(m-α)

(90)
Множителем 0,5 для m=0 учитывается прямоугольное окно с поправкой, см. (39).
Представленная схема со средней точкой «выдает» на своих выходах отсчеты
задержанной копии входного сигнала S(t  T) и его преобразования по Гильберту
^
S(t  T) в совпадающие моменты времени. Преобразование будет тем точнее, чем
больше задержка Т (или параметр сдвига α ). Действительно, с ростом α
расхождение в АЧХ данного преобразователя с идеальным, см. рис. 18б, будет
незначительным. В то же время фазовый сдвиг между двумя выходами составляет
ровно π/2 , как у идеального преобразователя (в данном случае – фазовращателя),
см. рис.18в.
Заметим, что в случае α -четного, необходима незначительная коррекция схемы.
Параметры задаются теперь следующим образом
bm  g(m) 
4F
, m  1,3...α-1.
π(m  α)
(91)
Звено с параметром b 0 будет отсутствовать.
Частотную характеристику дискретного ПГ получим по той же методике, как и
для дифференциатора. Теперь в общую формулу Пуассона (82) для
K (x)
подставим ИХ (89) (с той же частотой дискретизации на безразмерной оси Xд  2 ).
В
рабочей
формуле
учтем
нечетную
симметрию
ИХ
g(α  m)  g(α  m), m  1,2,...α
с условием g(α)  0 , концевые отсчеты
g(0) и g(2α) для α - нечетного введем с весом 0,5, см. (90), устраним различия в
размерностях эталонного и реализуемого КП делением на частоту дискретизации
K пг (x) 
K (x)
fд
, g пг (n) 
g(n)
, f д  2F.
fд
В итоге частотная характеристика дискретного ПГ принимает вид
(92)
1
K пг (x)   j V (x)  exp  jπxα , x  1,
π
 α 1 sinπx(2m  1)
, α-четное,
4 
2m

1
m

0

V (x)  
α2
4   sinπxα  sinπx(2m  1)  , α-нечетное.
 2m  1 
  2α
m 0
Данный
КП
является периодическим
(93)
K пг (x)  K пг (x  x д ), x д  2. Поэтому в
расчетах достаточно ограничиться отрезком x  1. Первое слагаемое в записи
V (x) для α - нечетного учитывает окно с поправкой (для перехода к окну Дирихле
это слагаемое надо удвоить).
В качестве упражнения проверьте следующие равенства
V (0)  V (1)  0, V (0)  2πα, V (1)  2πα.
Заметим, что окно Дирихле (при α - нечетном) дает завышенный результат:
V (1)  2π(α  1).
Сравнение (88а) и (93) показывает, что в обоих случаях переход через нуль
происходит с одинаковой скоростью: V(0)  V (0). С ростом α (напомним, что
α  В ) этот переход асимптотически приближается к скачку, как у знаковой
функции, см. (86).
На рис. 21 показаны примеры перехода через нуль функции
значений α : а) α  10 , б) α  11.
VΔ (x)/π для двух
Итак, определены все характеристики схемы, представленной на рис. 20.
Параметры устанавливаются по формуле (90) с учетом (92). В случае α -четного
схема незначительно меняется, параметры задаются по формуле (91) с учетом (92).
Качество преобразования зависит только от одного параметра α .
Рис. 21
Кратко рассмотрим вариант ПГ по схеме быстрой свертки, см. рис. 9б. Для
коэффициентов K( ),  0(1)L-1, здесь получим (все записи аналогичны, как для
дифференциатора, см. (85))
K( )  K пг (x)
2
x
L
1
  j V ( )  WL  α ,
π
2π

 α1 sin L (2m  1)
, α-четное,
4 
2m

1
m 0

VΔ ( )    2π
2π

(2m  1) 
α  2 sin
  sin L α
L

4 
 , α-нечетное.
2α
2m

1
m

0
 


 
(94)
N >N
L  2r  N  N  1
s . Условие s
Массив данных также задается с запасом:
, где
F F
N
s - число отсчетов сигнала, остается в силе. Заметим, что требование s
,
критичное при дифференцировании сигналов, здесь можно опустить.
В случае гармонического сигнала схема быстрой свертки также (как и при
дифференцировании) вырождается в двухзвенную. Она включает только два
L
n

K(n) и K(L-n) , где n- номер частоты сигнала (
2 ). У такого
множителя
фазовращателя амплитуда сигнала на выходе не зависит от его частоты.