Лекция 14 Гироскопы

Лекция 14
Гироскопы
Силы трения сцепления. Сила трения скольжения. Сила трения качения. Гироскоп.
Гироскопический эффект, гироскопические силы. Свободная и вынужденная прецессии гироскопа. Нутации. Гироскопический маятник.
При качении на твердое тело могут действовать три типа сил трения. Это – силы трения сцепления, скольжения и качения.
Сила трения сцепления представляет проявление силы трения покоя при качении тел. Мы
знаем, что поставленное на шероховатую наклонную плоскость симметричное тело катится в низ.
Если бы со стороны наклонной плоскости на тело действовала лишь сила реакции опоры N, то совместно с силой тяжести mg, они сообщили бы телу поступательное движение, так как моменты этих
сил относительно оси, проходящей через центр инерции тела, равны нулю. Следовательно, со стороны наклонной плоскости на тело действует и другая сила – Fсц , момент которой отличен от нуля и
может сообщить телу вращение (рис. 14.1). Это – сила трения сцепления, обеспечивающая качение
тела без скольжения, когда скорость его поступательного движения пытают менять. Очевидно, на
тело, скатывающего по горизонтальной плоскости без скольжения, сила трения сцепления не действует. Сила трения сцепления не совершает механическую работу, так как всегда приложена на
мгновенную ось вращения.
Рис. 14.1
Как и сила трения покоя, сила трения сцепления имеет предельное значение, определяемое законом Амонтона –
Fсцmax   N , и направлена противоположно скатывающей силе. Если же величи-
на скатывающей силы превосходит этот предел, то качение тела происходит со скольжением, при
котором на тело действует уже сила трения скольжения, определяемая законом Кулона-
Fскmax   N , и направлена противоположно скорости скольжения, определяемая форvск  vc  R . В примере качения тела по наклонной плоскости существует критическое
Амонтона –
мулой
значение угла наклона, равное (см. задачу 14.1)
tg k   1  mR 2 / I c  , свыше которого качение
тела без скольжения становится не возможным.
Сила трения качения.
До сих пор деформации тела и плоскости мы считали упругими. При качении тела по горизонтальной поверхности по инерции нет не силы трения сцепления, ни скольжения. Казалось, тело
должен продолжить движение по инерции бесконечно долго. Однако опыт показывает, что тело рано или поздно останавливается, причем, нагреваются как само тело, так и поверхность. Это подсказывает, что здесь имеет место некий диссипативный процесс. Таковым могут быть пластические
деформации тела и поверхности. Соответствующих расчетов в теории нестационарных неупругих
деформаций, из-за их большой сложности, не проведены. Здесь мы приведем простейшие качественные соображения, с целью трактовки рассматриваемого явления. Причем, будем учитывать
лишь неупругие деформации поверхности, считая скатывающее тело абсолютно твердым. В любой
момент времени, из-за остаточных деформаций поверхности, на тело будут действовать несимметрично распределенные относительно оси ОС силы (рис. 14.2а).
Рис. 14.2а
Рис. 14.2 б
Точка приложения равнодействующей силы Q будет смещенной от точки О на некоторое малое
расстояние s
R (рис. 14.2б). Что касается направления силы Q , то, очевидно, оно не может пересечь ось ОС ниже точки С (так как момент силы
Q
относительно оси, проходящей через точку С,
ускорил бы вращение тела(!)) и самой точки С (при этом не создался бы момент вращения). С целью объяснения эксперимента предполагают, что сила Q пересекает ось ОС с незначительным
смещением в верх от точки С (рис. 14.2б). Горизонтальная составляющая этой силы всегда направлена против движения тела. Предполагается, что она имеет диссипативный характер, и является
собственно, силой трения качения. В рассматриваемом приближении можно писать:
Mg  cos   Q; Fкач  Q sin   Qs / R ,
Откуда
Fкач  mgs / R .
(14.1)
Величина s называется коэффициентом трения качения, которая зависит от материала соприкасающихся тел. В отличие от коэффициента трения  , который не имеет размерности, коэффициент трения качения имеет размерность длины.
Сила трения качения несравнимо мала силы трения скольжения. Поэтому при качении тела со
скольжением ею, как правило, пренебрегают.
Гироскоп.
Гироскоп – быстровращающееся симметричное тело, ось вращения которого может
свободно ориентироваться в пространстве. Гироскоп, особенно если он подвергается действию
внешних сил, может совершить неожиданные и удивительные, на первый взгляд, движения. Простейшим примером гироскопа является юла. Все явления, обусловленные быстрым движением гироскопа, называются гироскопическими.
Рис. 14.3.
Часто одна из точек О оси гироскопа бывает закреплена, которую называют точкой опоры гироскопа. При этом гироскоп совершает сферическое движение. В общем случае движение гироскопа слагается из движения точки опоры О и вращения вокруг мгновенной оси, проходящей через
эту точку. Гироскоп обычно помещают в карданном подвесе (рис. 14.3)
Вся теория гироскопа построена на уравнении моментов относительно точки опоры О:
L  M вш .
Прецессия свободного гироскопа.
Если момент внешних сил относительно точки опоры равен нулю, то гироскоп называется свободным. Момент импульса свободного гироскопа сохраняется. В общем случае мгновенная
ось, вдоль которой направлена вектор  , не совпадает с осью фигуры гироскопа (рис.14.4). Как
уже знаем, при этом векторы L и  тоже имеют разные направления. Разложим эти вектора на две
составляющие: направленные вдоль оси гироскопа Причем
L  I   , L  I    ,
 , L и
перпендикулярные к ней
  , L .
где - моменты инерции гироскопа относительно соответствующих
осей. Так как момент импульса свободного гироскопа сохраняется:
Рис. 14.4
L  I    I    const ;
(14.2)
То
L2  I 2 2  I 2 2  const .
Кинетическая энергия свободного гироскопа также сохраняется:
(14.3)
K  12 ( I  2  I  2 )  const .
(14.4)
Из последних двух соотношений следует, что во время движения гироскопа остаются постоянными как проекции угловой скорости, так и момента импульса. Следовательно, неизменны также
углы α между векторами L и  , и  – между осью гироскопа и вектором L . Но так как направление L не меняется в пространстве, то в общем случае свободный гироскоп совершает следующее
движение: ось фигуры гироскопа и мгновенная ось  равномерно вращаются в пространстве вокруг фиксированного направления L , описывая конусы. Описанное движение называется свободной прецессией гироскопа. Прецессия происходит отличной от  угловой скоростью
 пр , для определения которой следует разложить 
вдоль направлений оси гироскопа и мо-
мента импульса. Последняя составляющая и является угловой скоростью прецессии. Из рис.14.4
видно, что
пр sin    , и так как   L sin  / I
то
пр  L / I   2  2 I 2 / I 2
.
(14.5)
Гироскопический эффект. Гироскопические силы.
Пусть гироскоп вращается вокруг горизонтальной оси. Если приложить к точкам
A, A
пару сил
F ,  F , пытаясь повернуть ось гироскопа вокруг оси D, D , то она поворачивается вокруг перпендикулярной оси B, B (рис. 14.5). Это явление называется гироскопическим эффектом.
Рис. 14.5
Описанное поведение гироскопа полностью объясняется уравнением моментов. Дело в том, что
ось гироскопа является физической осью, по которой направлен вектор момента импульса. Поэтому
изменение ориентации оси гироскопа связано с изменением вектора L , а последнее описывается
уравнением моментов. За элементарный промежуток времени dt момент импульса гироскопа полу-
dL = Ldt , направленное по моменту пары сил, т.е. вдоль оси D, D . Так что через время dt момент импульса будет L  t + dt  = L  t   Mdt , который повернут вокруг оси B, B
на угол d  Mdt \ L . Вместе с ним поворачивается и ось гироскопа. Заметим, что из-за гироскочает приращение
пического эффекта ось гироскопа стремится ориентироваться вдоль направления момента внешних
сил, если он имеет фиксированное направление в пространстве. Это и является физической основой действия гироскопического компаса. Земля, заставляя всем предметам на ее поверхности
участвовать в суточном вращении, действует на них моментом сил, направленном на север. Поэтому, свободная ось гироскопа на Земле всегда ориентируется на север. Гирокомпасы широко используются в кораблях, так как из-за намагниченности их металлических корпусов, магнитные компасы
становятся непригодными.
Рис. 14.6
С гироскопическим эффектом связано появление, так называемых, гироскопических сил. Если
пытаться ось быстровращающего гироскопа со скоростями v, v повернуть в горизонтальной плоскости (рис.14.6), то он стремится повернуться вокруг оси
B, B , действуя на руки силами
Fгир ,  Fгир . Эти силы, которые, собственно, называются гироскопическими, всегда перпендикулярны перемещению оси и не совершают работу. Отсюда и исходит название класса сил, не совершающих работу. С возникновением гироскопических сил особо считаются в кораблестроении и самолетостроении, массивные электродвигатели и турбины в которых, фактически являются гироскопами.
Рис. 14.7
Количественно гироскопические силы могут быть оценены рассмотрением равномерного качения
цилиндрического бегуна на опорную плиту (рис. 14.7). Если качение катка происходит без скольжения, то угловые скорости связаны соотношением
 r    R,
(14.6)
R и r – длина легкого стержня и радиус катка соответственно. С этими вращениями связаны соответствующие компоненты момента импульса катка:
L  I   , L  I  .
(14.7)
В процессе движения первая из них остается неизменной, а вторая вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью
  . Согласно гироскопическому эффекту, такое движение оси катка
должно привести к появлению гироскопической силы, увеличивающей давления бегуна на гори-
зонтальную плиту. Вычислим эту силу. За элементарный промежуток времени
лы FRdt приводит к следующему приросту момента импульса катка:
dt
FRdt  dL  dL  L  dt  I 2
момент этой си-
r
dt ,
R
(14.8)
где были учтены две предыдущие формулы. Принимая для катка Iıı = mr2/2, где - ее масса, окончательно получим
mr 3 2 1
F
  mr  2 .
2
2R
2
(14.9)
Эти силы используются в дисковых мельницах, где они растирают и измельчают материал, подсыпаемый под каток. При рабочей скорости 1оборот в секунду, т.е. при    2 рад / с и
r = 50см
эта сила равна весу тела и полная сила давления катка на плиту становится вдвое больше силы тяжести катка:
Fдав  m( g  2 r / 2)  2mg .
Вынужденная прецессия гироскопа.
Если момента внешних сил все время остается перпендикулярным оси гироскопа, то гироскоп
совершает вынужденную прецессию с угловой скоростью   d / dt  M \ L . Поподробнее
рассмотрим это явление на примере вращения волчка. Пусть ось быстро вращающегося волчка
наклонена и образует с вертикалью угол  (рис.14.8). Сила тяжести создаст относительно точки
опоры О перпендикулярно вектору
L
момент
M  mgl sin  , где l
– расстояние центра масс
волчка от точки О. За элементарное время dt , в результате гироскопического эффекта ось волчка
переместится вокруг вертикальной оси на угол
Рис. 14.8
d 
Mdt
mg

dt ,
L sin 
L
откуда для угловой скорости прецессии получаем

mg
Ic 
(14.10)
где
I c -момент инерции волчка относительно его оси симметрии. Заметим, что скорость прецессии
m ), ни от угла наклона  и зависит от угловой скорости
не зависит ни от массы волчка ( I c
 , геометрической формы и размеров волчка.
Нутации.
На первый взгляд может показаться, что при регулярной прецессии гироскопа нарушается закон
сохранения энергии, так как появляется добавочное прецессионное вращение. При внимательном
наблюдении за ходом прецессионного движения вы обнаружите, что оно сопровождается малыми
колебаниями вершины гироскопа, которые называются нутациями. Дело в том, что в начальный
момент прецессии вершина гироскопа несколько опускается. За счет уменьшения потенциальной
энергии и обеспечивается энергетическая сторона прецессионного движения. В процессе колебания вершины гироскопа в вертикальной плоскости, прецессионное движение то ускоряется, то замедляется. Вершина гироскопа при этом описывает кривую, представленную на рис. 14.9а. Если в
начальный момент гироскопу сообщить небольшую скорость в сторону, или в обратном направлении
прецессии, то вершина гироскопа при этом опишет кривые, изображенные на рис 14.9б,в.
Рис. 14.9
Гироскопический маятник.
Точка опоры гироскопа может находиться как ниже его центра масс (как в случае волчка), так и
выше центра масс. В последнем случае гироскоп называется гироскопическим маятником (таковым является гироскоп в горизонтальном положении, подвешенный от вертикальной нити - рис.
14.10). В обоих случаях угловая скорость прецессии выражается формулой (14.6). Для периода
прецессии, который называется периодом гироскопического маятника, получаем:
Рис. 14.10
T
2 2 I c

,

mga
(14.11)
где
a - расстояние центра инерции гироскопа от вертикальной нити.
Длина математического маятника, имеющего такой же период, что и (14.11), называется приведенной длиной гироскопического маятника. Она равна
пр

I c2 2
.
m2 a 2 g
При больших  и малых a приведенная длина гироскопического маятника может быть сделана
очень большой, а его период довести до десятков минут. Очевидно, такой маятник мало подвержен влиянию кратковременных сил и толчков. Поэтому их применяют в самолетах и судах для создания искусственного горизонта (или вертикали).
Здесь мы приводили приближенную теорию гироскопа, которая справедлива лишь для быстро.
вращающегося волчка, т.е. когда 
Контрольные вопросы:
 Когда возникают силы трения сцепления?
 Совершают ли они работу?
 В каких условиях качение происходит со скольжением?
 Как возникают силы трения качения?
 Что такое гироскоп?
 В чем заключается гироскопический эффект?
 Когда возникают гироскопические силы?
 Что такое прецессионное движения?
 Когда возникает она?
 Что такое приведенная длина гироскопического маятника?
Задача
14.1. Гироскоп состоит из двух одинаковых маховиков, свободно насаженных на общую горизонтальную ось с точкой опоры О в центре инерции системы. На расстоянии ℓ от точки опоры на
ось гироскопа приложена постоянная сила (подвешен груз массы m). Какое будет поведение
системы, если до подвески груза полный момент импульса маховиков L был равен: а) нулю;
б) IΩ, где I – момент инерции маховиков относительно горизонтальной оси (рассмотреть
случай быстрого вращения).
Литература
1. Абрамян М.Г. Физические основы механики. Изд. ЕГУ, 1997 – 370 стр. (на армянском яз.).
2. Сивухин Д.В. Обший курс физики. Механика. М., Наука, 1979 – 520 стр.
3. Китель Ч., Найт У., Рудерман М. Берклеевский курс физики, том 1, Механика. М., Наука,
1975 -480 с. (БКФ, Механика).
4. Абрамян М.Г., Бадалян Э.С. Задачник по общему курсу физики. «Эдит-принт», 2002 – 220
стр.
5. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. M., Наука, 1979; «Лань», 2001 – 416 стр.