Секция № 5 ВЛИЯНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ ИМПУЛЬСОВ НА

Секция № 5
ВЛИЯНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ ИМПУЛЬСОВ НА КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ ПРОЦЕСС
КОНЕЧНОМЕРНЫХ МНОГОСВЯЗНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Нгуен Фу Туан, аспирант кафедры сопротивления материалов и строительной механики
Национальный исследовательский иркутский государственный технический университет
664074, г Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Tel: 89247085979.
Email: Bennaydaiduong@yahoo.com .
Конечномерные динамические модели построенные на различных принципах
дискретных аппроксимаций являются в настоящее время наиболее популярными в
исследованиях и конструировании систем различного назначения. Решение задач, связанных
с определением и формированием параметров собственных колебаний таких динамических
систем связано с решением проблемы собственных значений, позволяющей в ряде случаев
осуществить разделение дифференциальных уравнений динамики исходной многосвязной
модели. Представление исходной динамической системы в пространстве собственных
векторов, определенных решением проблемы собственных значений позволяет использовать
результаты, полученные при воздействии импульса на одномерную колебательную систему.
Преобразование аналитических выражений, описывающих колебания одномерной системы
при импульсивных воздействиях (обратные преобразования из пространства собственных
векторов в исходное пространство) позволяет анализировать возможности использования
импульсов в подавлениях собственных колебаний исходных многосвязных систем.
В статье рассматриваются колебания конечномерных систем и условия подавления
собственных колебаний при воздействиях мгновенных импульсов. При использовании
конечномерных моделей, в которых инерционные и жесткостные параметры на основе
некоторых аппроксимаций сосредоточены в точках-узлах расчетных схем, возникают задачи
использования импульсов как средства подавления собственных колебаний. Если возможные
перемещения узлов модели представлены некоторым вектором
  ( х1 , х2    хn )T ,
где х j ( j  1  n) –перемещение узла модели по некоторому направлению с номером j .
Рассмотрим колебания многомерной системы без учета внутреннего трения.
Очевидно, что в этом случае результаты решения задачи в минимаксной постановке
являются верхней границей решении задач с присутствием различных видов трения. В
общем случае свободные колебания такой системы могут быть описаны системой
дифференциальных уравнений вида:
r11 x1 (t )  r12 x2 (t )  ...  r1n xn (t )  m1x1 (t )  0
r x (t )  r x (t )  ...  r x (t )  m x (t )  0
 21 1
22 2
2n n
2 2
(1)


rn1x1 (t )  rn 2 x2 (t )  ...  r1n xn (t )  mn xn (t )  0
где rij – элементы матрицы жесткостей линейно-упругой системы;
m j – инерционный параметр перемещения по направлению с номером j ( j  1  n) ;
t – параметр времени.
Рассмотрим воздействие мгновенного импульса на одномерную систему, колебания
которой могут быть описаны уравнением (2)
m  x  rx  f (t ) ;
(2)
где m – масса, r – коэффициент жесткостей, х – перемещение точки сосредоточения
массы, f (t ) – функция воздействия.
Пусть мгновенный импульс S 0 воздействует в некоторой момент времени t =0 (рис
1), t1 и 1 соответствуют момент времени и скорость падания мгновенного импульса для
устранения собственного колебания
Рис 1. График воздействия мгновенного импульса
Известно, что перемещения массы в результате мгновенного импульса достаточно
малы для того, чтобы пренебречь ими в практических расчетах [2], тогда как скорость 
S
после воздействия импульса в момент времени t=0 отлична от нуля 0  0 , где S0 –
m
мощность импульса.
Известно [3], что при воздействии мгновенного импульса на одномерную
динамическую систему, колебания её описываются выражением

x(t )  0 sin( t ) ,

где  – частота собственных колебаний.
Допустим, что в момент времени t1 на массу действует еще один мгновенный
импульс S1 . Начальные условия для определения колебаний после воздействия импульса S1

x(t1 )  0 sin( t1 ) ,

x (t1 )  0 cos(t1 )  1 .
Для подавления колебаний необходимо выполнение условий
0

 x(t1 )   sin( t1 )  0

 0 cos(t1 )  1  0
 x
 t t1
k
Решая систему уравнений (3), получим t1 
( k  1,2...n )
(3)

1  0 cos( k )
Таким образом, для устранения собственных колебаний массы то необходимо
k
осуществлять мгновенный импульс в момент времени t1 
со скоростью 1  0 cos( k )

,( k  1,2...n ).
Теперь рассмотрим конечномерную систему, имеющую матрицу инерционных
параметров M и матрицу жесткости R . После воздействия импульса S 0 по направлению с
номером 1 величина перемещения по некоторому направлению с номером j имеет вид
b
x j (t )   a ji i1 sin( i t ) ;
i
где  i – частота собственных колебаний, aij – элементы матрицы  ; bij – элементы
матрицы  1 ;  – матрица собственных векторов матрицы M 1 R .
Допустим, что импульс S1 воздействует по направлению с номером k со скоростью
1 .
До момента времени t1 имеем
n a b

ji i1
x
(
t
)

 j
  sin( it1 )
i

i 1

n

 x j (t )   a ji bi1 cos(i t1 )
i 1

После воздействия импульса S1 справедливо
n a b

ji i1
sin( i t1 )
 x j (t )  


i
i 1

n


x

 j
 a ji bi1 cos(i t1 ) при j  k
 t  t1 i  1

n
 x

a b cos(i t1 )  1
 k t  t1  ki i1
i 1

Для обеспечения отсутствия колебаний по некоторому направлению с номером j
необходимо
 n a ji bi1
sin( i t1 )  0

i 1 i
n

(4)
  a ji bi1 cos(i t1 )  0 (при j  k )
i 1
n
  a b cos( t )    0
i1
1
i 1 ki i1
Из системы уравнений (4) следует, что для подавления собственных колебаний
момент времени приложения и скорость импульса определяются решениями системы
уравнений (4). В момент времени t1 x j (t ) и x j (t ) при j  k одновременно равны нулю, то
есть по этим направлениям отсутствуют собственные колебания. Однако в работе [4] было
доказано, что при воздействии импульса по направлению с номером j присутствуют
собственные колебания. Таким образом, можно приводит к следующему выводу: при
однократном действии мгновенного импульса по одному направлению не можем устранить
собственные колебания.
БИБЛИОГР АФИЧЕСКИЙ СПИС ОК
1.
Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти т./Ред. совет: В. Н. Челомей (пред.). –
М.: Машиностроение, 1981. – Т. 6. Защита от вибрации и ударов./Под ред. К. В. Фролова.
1981. – 456 с.
2.
Рабинович И.М. Расчет сооружений на импульсное воздействие.– М:
Стройиздат, 1970.– 303 с.
3. Соболев В.И, Нгуен Фу Туан. Конечномерные аппроксимации в моделировании
собственных колебаний упругих систем при воздействии мгновенного импульса//Вестник
ИрГТУ. 2012. T9, С 51-54.
4. Соболев В.И, Нгуен Фу Туан. Проявление кратности частот в собственных
колебаниях конечномерных систем//Вестник ИрГТУ. 2013. T3, С 32-34.