1 Схемы для уравнения переноса

1
Разностные схемы для уравнений гиперболического типа
1 Схемы для уравнения переноса
Рис. 1
Для простейшего уравнения переноса
ut  u x  0,   const ,   0 ,
все
множество
явных
линейных
схем
на
5-точечном
(см. рис. 1; dx  dt — характеристика уравнения (1)) с узлами:
(m,n+1), (m–2,n), (m–1,n), (m,n), (m+1,n)
имеет вид:
сеточном
(1)
шаблоне
(2)
umn1     um  ,
n 
(3)
 ,
0
0
с 4-мя неопределенными коэффициентами (рис. 1):  2
,  1
, 00 , 10 . Из них, после
удовлетворения условий аппроксимации первого порядка
0  1      0, 1     (     )   0,
(4)
 ,
 ,
0
— число Куранта) два коэффициента, например,  2
, 00
(    / h
остаются
свободными, а два другие, например,  ,  выражаются через эти свободные
0
коэффициенты. Принимая  2
, 00 за координаты линейного пространства с евклидовой
метрикой, в котором каждой точке соответствует некоторая схема 1-го порядка аппроксимации,
можно найти все множество устойчивых схем (при 0<  <1 — область B1 , B2 , C, B3 , B4 , A3 , A4 , A0
(голубой цвет) на рис. 2), все монотонные схемы (положительные по Фридрихсу, то есть такие,
у которых все коэффициенты 
 неотрицательны, (при 0<  <1 — зеленый четырехугольник
0
1
0
1
A0 , A1 , A3 , A4 на рис. 2), однопараметрическое семейство схем 2-го порядка аппроксимации
 2   2   (     ) 2    0,
(5)
 ,
(отрезок B1  B4 на рис. 2 — устойчивые при 0<  <1 схемы с порядком аппроксимации выше
первого), единственную на этом шаблоне схему 3-го порядка аппроксимации:
 3   3   (     )3   0,
(6)
 ,
(при 0<  <1 точка C на рис. 2)
На основе этих множеств можно строить оптимальные в том или ином смысле схемы,
например, "наиболее точную из монотонных схем" — точка A1 , "наименее осциллирующую на
разрывных решениях схему 2-го порядка аппроксимации" — точка B2 на рис. 2, гибридные
схемы (схемы с переменным порядком аппроксимации — первым вблизи разрывов и вторым
2
или третьим в области гладкого повеления решения) и т.д. Красный треугольник A1B2C на рис. 2
есть множество наиболее удачных схем (по соотношению точности и устойчивости).
Рис. 2
Аналогичные рис. 2 построения могут быть выполнены при 1<  <2 и при –1<  <0. В
частности, при  <0 аналогичные рис. 2 разностные схемы получаются заменой  на –  и
коэффициентов   на    . Например, если для т. A1 (при  >0) имеем:
 02   20  10  0 ,  01   ,  00  1   , то для аналогичной точки при  <0  02   20   01  0 ,
10   ,  00  1   .

Для построения гибридных схем каждый из коэффициентов   вектора   { 02 ,  00 ,  20 }
можно задавать в виде линейной комбинации двух опорных схем – монотонной схемы 1-го

порядка 1 – одной из точек многогранника A0 , A1 , A3 , A4 (при 0<  <1) – и немонотонной

схемы 2-го или 3-го порядка аппроксимации  2 – одной из точек отрезка B1  B4 :



 ( , g )  g1 ( )  (1  g ) 2 ( )
(7)
При этом g(u) выбирается в зависимости от поведения решения так, чтобы вблизи разрывов g=1,
а в области гладкого поведения g=0, например, “по Ван-Лиру”:
g (umn 1 , umn , umn 1 )  (1  ( 2q  1)(| 2q  1 | 10 6 ) (1/ k 1) ) / 2 ,
q | dp  dm | /( dp  dm  10 6 ) ,
dp || umn 1 |  | umn || , dm || umn |  | umn 1 || , k=2÷10.
(8)
2 Схемы для линейных систем уравнений гиперболического типа
Система может быть задана в следующей (недивергентной) форме
Vt  AVx  0 , V  {v1 ,..., vI } , A  {aij }  1 , aij  const , i,j=1,…,I,
(10)
где   {i } – диагональная матрица из собственных значений i , i=1,...,I матрицы A,
определяемых из характеристического уравнения PI ( )  Det ( A   E )  0 , E – единичная

матрица,   {i } – неособенная матрица, строками которой являются линейно-независимые

левые собственные векторы матрицы A  i  { i1 ,...,  iI } , для каждого i , с точностью до длины
определяемые из линейных однородных систем уравнений i ( A  i E )  0 ).
Тогда аналоги разностных схем (3), сохраняющие все описанные выше свойства (порядок
аппроксимации, устойчивость, монотонность и т.д.), имеют вид:
Vmn 1 



,
1
n 
A Vm  ,
(11)
где
A
 {

i }
– диагональные матрицы, элементы которых 
3
 i ) ,  i  i / h

i (
0
соответствуют рассмотренным выше построениям (т. A0 , A1  A4 , B1  B6 , C при  i >0,  
2 =0
на рис.2). Для разных i и значений  i набор коэффициентов  i
может соответствовать
разным точкам.
Для квазилинейной системы гиперболического типа в дивергентной форме
Wt (V )  Fx (V )  0 , W  {w1 ,..., wI } , F  { f1 ,..., f I } , Det (W / V )  0 ,
которой соответствует недивергентная форма типа (10):
Wt  R(W )Wx  0
(12)
(13)
R  F / W  (F / V )(V / W )  (F / V )(W / V ) 1   1
или
(14)
Vt  A(V )Vx  0 , A  (W / V ) 1 (F / V ) =  1 ,
на том же сеточном шаблоне, что и на рис.1, используя интегро-интерполяционный метод,
можно построить семейство консервативных разностных схем с тем же числом свободных
параметров, что и в случае линейной системы (10) (трехпараметрическое – 1-го порядка
аппроксимации, двухпараметрическое – 2-го и т.д.). Например, можно построить семейство
двухшаговых схем с неустойчивым предиктором
~
Wmn 1 = Wmn -  ( Fmn1 - Fmn1 )/(2h),
(15)
и корректором
~
~
~
~
~
Wmn 1 = Wmn 1 +(  1C ) m 1 / 2 ( Wmn11 - Wmn 1 )-(  1C ) m 1 / 2 ( Wmn 1 - Wmn11 )+ (  1 B ) m 1 / 2 ( Wmn1 - Wmn ) –
~
~
– (  1 B ) m 1 / 2 ( Wmn - Wmn1 )+(  1 D ) m 1 / 2 (( Wmn11 + Wmn 1 ) – ( Wmn1 + Wmn )) –
(16)
~
~
– (  1 D ) m 1 / 2 (( Wmn 1 + Wmn11 )- ( Wmn + Wmn1 )),
где B  diag{bi } , C  diag{ci } , D  diag{d i } - диагональные матрицы.
Если в (12) положить W=V, F=AV и сопоставить (15),(16) с (11), то можно установить взаимно
однозначную связь коэффициентов bi , ci , d i из (16) с  02i ,  00i ,  20i из (11), а значит и из (3):
bi  0.5(1  00i  (20i (2   i )   02i (2   i )) /  i )
(17)
ci  ( 02i  20i ) /  i , di  ( 02i  20i ) /  i
и, тем самым, получить консервативные аналоги разностных схем, соответствующих точкам A0
(схема Лакса), A1 - A1' (аналог схемы Куранта-Изаксона-Риса), B3 - B3' (аналог схем ЛаксаВендроффа и Маккормака) и т.д., если соответствующим образом выбирать коэффициенты
 02i ,  00i ,  20i .
Пример системы уравнений гиперболического типа – одномерные уравнения газодинамики:
 u


 
 2





Переменные V  u ; для дивергентной формы системы W (V )   u ; F (V )    u  p  ,
 


 
 E 
 u(  E  p ) 
 




2
u
где  – плотность, u – скорость,  – удельная внутренняя энергия, E   
- удельная
2
полная энергия, p   (  1) – давление,   1.4 - показатель адиабаты воздуха. Для этой
системы хорошо исследована «задача о распаде разрыва» в области 0  t  T , 0  x  1 с
VL  {10,0,1}, 0  x  0.5
начальными условиями вида V (0, x )  
и граничными условиями
VR  {1,0,1}, 0.5  x  1
V (t , x  0) / t  0, V (t , x  1) / t  0 .
4
3 Примеры разностных схем
1 Схемы 1-го порядка
1.1 наиболее точная при значениях числа Куранта 0<  <1 монотонной схеме (т. А 1 :
 00  1   ,  02  0 )
1.2 схема Лакса, для которой 00   02  0 (т. A0 )
1.3  00 =1–  /2, 02 =  /2 (т. A3 )
1.4  00 =0, 02 =(  +1)/3 (т. A4 )
2 Схемы 2-го порядка
2.1 наименее осциллирующая на разрывных решениях схема (  02 =3  (  –1)/10 — т. B2 )
2.2 схема Лакса-Вендроффа, у которой  02 =0 (т. B3 ),
2.3 схема Бима-Уорминга, у которой  02 =  (  –1)/2 (т. B5 )
2.4 схема Фромма, у которой  02 =  (  –1)/4 (т. B6 )
2.5  02 =(  2 –1)/4 (т. B 1 ; граница множества устойчивых схем)
2.6  02 =(  2 –1)/4 и  02 =  2 /4 (т. B 4 ; граница множества устойчивых схем)
3 Схема 3-го порядка аппроксимации (т. C: a 02 =  (  2 –1)/6; коэффициент a 00 =3a 02 +1–  2
вычисляется в соответствии с (5)).