2. Комплексные числа

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Майкопский государственный технологический университет»
Факультет
Инженерно-экономический
Кафедра
Высшей математики и системного анализа
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
___________Л.И. Задорожная
«_____»___________ 20____г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
по дисциплине
Б.2.1. Высшая математика
по направлению
подготовки бакалавров 280700.62 Техносферная безопасность
по профилю подготовки Охрана природной среды и ресурсосбережение
Квалификация (степень)
выпускника
Бакалавр
МАЙКОП
Рабочая программа составлена на основе ФГОС ВПО и учебного плана МГТУ по
направлению 280700.62 Техносферная безопасность
Составитель рабочей программы:
кандидат педагогических наук, доцент
(должность, ученое звание, степень)
Чуяко Е.Б.
(Ф.И.О.)
_____________
(подпись)
Рабочая программа утверждена на заседании кафедры
Высшей математики и системного анализа________________________________________
(наименование кафедры)
Заведующий кафедрой
«___»________20__г.
Одобрено учебно-методической комиссией факультета
(где осуществляется обучение)
Председатель
учебно-методического
совета направления (специальности)
(где осуществляется обучение)
Декан факультета
(где осуществляется обучение)
«___»________20__г.
СОГЛАСОВАНО:
Начальник УМУ
«___»________20__г.
Зав. выпускающей кафедрой
по направлению (специальности)
Дёмина Т.И..
(Ф.И.О.)
_____________
(подпись)
«___»_______20___г.
_____________ ______________
(подпись)
(Ф.И.О.)
_____________ Сухоруких Ю.И.
(подпись)
(Ф.И.О.)
___________
(подпись)
___________
(подпись)
Гук Г.А.
(Ф.И.О.)
Кулова Д.Д.
(Ф.И.О.)
1. Цели и задачи освоения дисциплины
Математика является не только мощным средством
решения прикладных задач и
универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры. Поэтому
математическое образование
следует рассматривать как важнейшую составляющую
фундаментальной подготовки специалиста.
Современная математика характеризуется интенсивным проникновением в другие науки.
Математические методы применяются для решения самых разных задач – технических,
физических, механических и т.д. Особенно возрастает роль математики в настоящее время,
когда широко используются компьютерные технологии. Изучение математики
совершенствует общую культуру мышления, дисциплинирует ее, приучает человека
логически рассуждать, воспитывает у него точность и обстоятельность аргументации.
Цель преподавания математики в высших учебных заведениях:
 формирование личности студентов, развитие их интеллекта и способности к логическому
и алгоритмическому мышлению;
 обучение основным математическим методам, необходимым для анализа и
моделирования технических процессов при поиске оптимальных решений;
 формирование у будущих специалистов твердых теоретических знаний и практических
навыков по использованию современных математических методов и моделей при анализе,
расчете, прогнозировании и принятии решений .
Математика – общепрофессиональная дисциплина. Знания, полученные при ее изучении,
требуются для успешного овладения таких дисциплин как «Информатика», « Теоретическая
механика», «Физика».
2. Место дисциплины в структуре ОП по направлению подготовки 280700.62
Дисциплина входит в перечень курсов базовой части профессионального цикла ООП. В ходе
изучения дисциплины ставятся задачи научить студентов:
 использовать в своей практической деятельности математические методы и модели;
 ориентироваться в выборе наиболее подходящего математического инструментария при
решении стоящих перед ними управленческих задач
(изучение методов сбора и обработки статистической информации, а также оценка состояния
и перспективы развития технических и технологических процессов).
Задачей математики является обучение студентов применению различных способов
использования полученной информации – от простого логического анализа до составления
сложных математических моделей и разработки математического аппарата их исследования.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
- знать: основные количественные математические методы и законы математики;
математико-статистические показатели, используемые при оценке технологических
процессов; (способностью использовать законы и методы математики, естественных,
гуманитарных и экономических наук при решении профессиональных задач (ОК-11));
- уметь: решать простейшие математические задачи и делать математические
вычисления; (способностью разрабатывать и использовать графическую документацию (ПК-2);
способностью принимать участие в инженерных разработках среднего уровня сложности в
составе коллектива (ПК-3);)
- владеть: методами постановки задач с применением математического аппарата.
(способностью использовать методы расчетов элементов технологического оборудования по
критериям работоспособности и надежности (ПК-5)).
4. Объем дисциплины и виды учебной работы. Общая трудоёмкость дисциплины
4.1. Объём дисциплины и виды учебной работы по очной форме обучения
Общая трудоемкость дисциплины составляет 8 зачетных единицы (288 часов).
Вид учебной работы
Всего
часов/з.е.
121/3.4
1
34/0,95
2
36/1
3
51/1.45
52/1,5
69/1,9
167/4,6
17/0,5
17/0,5
40/1,1
18/0,5
17/0,5
18/0,5
34/0,9.
50/1,4
77/2,1
-
-
-
-
59/1,6
72/2
18/0,5
22/0,6
18/0,5
32/0,9
23/0,6
18/0,5
Форма промежуточной аттестации:
Экзамен
Зачёт
36/1
+
+
36/1
Общая трудоемкость
288/8
74/2,1
86/2,3
128/3,6
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции (Л)
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные работы (ЛР)
Самостоятельная работа студентов (СРС)
(всего)
В том числе:
Курсовой проект (работа)
Расчетно-графические работы
Реферат
Другие виды СРС (если предусматриваются,
приводится перечень видов СРС)
1. Составление плана-конспекта
2. Подбор и анализ примеров
3. Проведение мониторинга, подбор и анализ
статистических данных
4.2. Объём дисциплины и виды учебной работы по заочной форме обучения
Общая трудоемкость дисциплины составляет 8 зачетных единицы (288 часов).
Вид учебной работы
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции (Л)
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные работы (ЛР)
Самостоятельная работа студентов (СРС)
(всего)
В том числе:
Курсовой проект (работа)
Расчетно-графические работы
Реферат
Другие виды СРС (если предусматриваются,
Всего
часов/з.е.
30/0,9
1
10/0,3
2
10/0,3
3
10/0,3
10/0,3
20/0,6
2/0,06
8/0,22
4/0,12
6/0,18
4/0,12
6/0,18
258/7,2
76/2,2
72/2
110/3
-
-
-
-
приводится перечень видов СРС)
1.) Составление плана-конспекта
2.) Подбор и анализ примеров
3) Проведение мониторинга, подбор и анализ
статистических данных
Форма промежуточной аттестации:
экзамен
зачёт
Общая трудоемкость
100/2,7
122/3,5
36/1
40/1,2
30/0,8
54/1,5
34/0,9
28/0,8
36/1
+
82/2,3
+
288/8
+
86/2,4
120/3,3
5. Структура и содержание дисциплины
5.1. Структура дисциплины для очной формы обучения
№
п/п
Раздел дисциплины
Неделя
семестра
Виды учебной работы,
включая самостоятельную и
трудоемкость
(в часах)
Л
С/ПЗ
ЛР
СРС
Формы
текущего
контроля
успеваемости
(по неделям
семестра)
Форма
промежуточной
аттестации
(по семестрам)
Семестр 1
1.
2.
3.
4.
1.
2.
3.
1-5
6
6
10
Контрольная
работа
5-12
4
4
14
Дифференциальное
исчисление функции
одной переменной .
Промежуточная
аттестация
ИТОГО по
первому семестру
12-17
7
7
16
Контрольная
работа
Контрольная
работа
Интегральное
исчисление
Дифференциальное
исчисление функций
нескольких
переменных
Дифференциальные
уравнения.
Промежуточная
аттестация
ИТОГО по второму
семестру
1-6
Линейная алгебра и
аналитическая
геометрия.
Предел функции.
зачёт
17
17
40
6
6
15
7-12
6
6
15
13-18
6
6
20
Семестр 2
Контрольная
работа
Контрольная
работа
Контрольная
работа
зачёт
18
18
50
Семестр 3
7.
8.
9.
10.
Теория
вероятностей.
Математическая
статистика.
Основные понятия и
методы дискретной
математики.
Теория
математической
физики.
Промежуточная
аттестация
ИТОГО по
третьему семестру
Итого
1-4
4
8
15
Контрольная
работа.
5-10
6
12
14
Контрольная
работа
11-17
7
14
12
Контрольная
работа
36
экзамен
52
17
34
77
52
69
167
5.2 Структура дисциплины для заочной формы обучения
№
п/п
Раздел дисциплины
1.
Линейная алгебра и
аналитическая
геометрия.
Предел функции.
2.
3.
4.
1.
2.
3.
7.
Дифференциальное
исчисление функции
одной переменной .
Промежуточная
аттестация
ИТОГО по
первому семестру
Интегральное
исчисление
Дифференциальное
исчисление функций
нескольких
переменных
Дифференциальные
уравнения.
Промежуточная
аттестация
ИТОГО по второму
семестру
Теория
вероятностей.
Математическая
статистика.
Неделя
семестра
Виды учебной работы, включая
самостоятельную и трудоемкость
(в часах)
Л
С/ПЗ
ЛР
СРС
20
2
2
26
2
4
30
2
8
76
2
2
20
2
24
2
2
28
4
6
72
2
30
8.
9.
10.
Основные понятия и
методы дискретной
математики.
Теория
математической
физики.
Промежуточная
аттестация
ИТОГО по
третьему семестру
Итого
2
2
36
2
2
44
4
6
110
10
20
258
5.3. Содержание разделов дисциплины «Высшая математика», образовательные технологии
Лекционный курс
№
п/п
Наименование
Трудоемтемы дисциплины кость (часы/
зач. ед.)
ОФО
Формиру
емые
компетен
ции
Результаты освоения
(знать, уметь, владеть)
Образователь
ные
технологии
1. Матрицы, действия с матрицами.
2. Определители 2 и 3 порядков.
3.
Системы
линейных
уравнений.
4. Векторы. Линейные операции
над векторами.
5.
Скалярное,
векторное
и
смешанное произведение векторов.
6.
Простейшие
задачи
аналитической геометрии. Кривые
второго
порядка.
Поверхности
второго порядка.
7.
Понятие
линейного
пространства.
ОК-11
ПК-2
Лекции, слайдлекции
8.
Числовые
последовательности.
9. Предел функции в точке.
10.
Бесконечно
малые
ОК-11
ПК-3
Знать: основные понятия и
теоремы линейной алгебры и
аналитической геометрии
Уметь: складывать, перемножать
матрицы, находить обратную
матрицу.
Вычислять
определители
2,3,…,n-го
порядков. Решать СЛУ методом
Крамера, матричным методом,
методом
Гаусса.
Решать
однородные
СЛУ.
Уметь
использовать
полученную
информацию, для решения задач
геометрии
Владеть: решением СЛУ с
помощью
компьютерных
программ, навыками сбора и
анализа
информации,
для
решения задач повышенной
трудности.
Знать: Основные определения и
теоремы теории пределов.
Уметь:
находить
пределы
функции в точке, в ∞, при
Содержание
ЗФО
Семестр 1.
Тема
1.
Линейная алгебра.
Аналитическая
геометрия.
Тема
2.
Предел функции.
6/0,17
4/0,11
2/0,06
и
Лекции, слайдлекции
бесконечно большие функции.
11.
Понятие
непрерывности
функции.
Свойства
функций,
непрерывных на отрезке.
Тема
3.
Тема
1.
Дифференциальное 7/0,22
исчисление
функции
одной
переменной.
ИТОГО
за
первый семестр
17/0,5
Интегральное
исчисление.
6/0,17
12.
Производная
функции.
Производная сложной и обратной
функции.
13.
Понятие дифференцируемости
функции.
14.
Основные
теоремы
дифференциального исчисления.
15.
Формула
Тейлора
с
остаточным
членом
в
форме
Лагранжа.
16.
Исследование
поведения
функции.
Отыскание
точек
локального экстремума функции.
Исследование выпуклости функции.
17.
Общая схема
построения
графиков функций.
ОК-11
ПК-5
различных
видах
неопределённостей, вычислять 1ый и 2-ой замечательные
пределы,
определение
непрерывности
функции,
определение точек разрыва.
Владеть: навыками сбора и
анализа информации .
Знать: основные понятия и Лекции, слайдтеоремы дифференцируемости лекции
функции одной переменной,
правила
дифференцирования,
таблицу производных, таблицу
дифференциалов.
Уметь: применять полученные
знания
для
вычисления
производных
функций,
для
построения графиков функций.
Владеть: навыками решения
прикладных задач.
2/0,06
Семестр 2
2/0,06 18.
Первообразная
и
неопределенный
интеграл.
19.Основные
методы
интегрирования.
20. Интегрирование рациональных
функций.
21.Определенный
интеграл
как
предел интегральных сумм.
ОК-11
ПК-5
Знать: понятие первообразной, Лекции, слайдсвойства
интегрирования, лекции
таблицу интегралов, определение
определённого
интеграла,
несобственного интеграла.
Уметь: применять полученные
знания
для
интегрирования
различными
методами,
для
Тема
2.
Дифференциальное 6/0,17
исчисление
функций
нескольких
переменных.
Тема
3.
Дифференциальные уравнения.
22.Интеграл и переменным верхним
пределом.
23.Вычисление
определенных
интегралов.
24.Некоторые
физические
и
геометрические
приложения
определенного интеграла.
25.Несобственные интегралы.
26.
Функции
нескольких
переменных. Частные производные и
дифференцируемость
функций
нескольких переменных.
27. Частные производные и полные
дифференциалы высших порядков.
28.
Экстремумы
функции
нескольких переменных. Условный
экстремум.
29.
Метод множителей Лагранжа
6/0,17
2/0,06
ИТОГО за второй 18/0,5
семестр
4/0,12
30.
Дифференциальные уравнения
1-го порядка. Основные понятия. .
31.
Дифференциальные уравнения
высших порядков.
32.
Уравнения, высших порядков
допускающие понижения порядка.
33.
Линейные
однородные
дифференциальные уравнения.
34. Линейные однородные уравнения
2
порядка
с
постоянными
коэффициентами.
Линейное
неоднородные
дифференциальные
уравнения..
решения
определённого
несобственного интегралов..
Владеть: навыками решения
прикладных задач.
ОК-11
ПК-5
ОК-11
ПК-5
и
Знать: основные
понятия,
теоремы
теории
функции
нескольких переменных.
Уметь:
находить
частные
производные
1-го
и
2-го
порядков, смешанные частные
производные,
экстремум
функции.
Владеть: навыками описания
зависимостей, существующих в
природе, с помощью теории
ФНП.
Знать: основные понятия и
теоремы
теории
дифференциальных уравнений..
Уметь: решать ДУ 1-го порядка
с
разделёнными
и
раздедяющимися переменными,
однородные ДУ, линейные ДУ.
ДУ 2-го порядка, ДУ 2-го
порядка,
допускающие
понижение степени, линейные
ДУ высших порядков.
Владеть: навыками постановки и
решения прикладных задач.
Лекции, слайдлекции
Лекции, слайдлекции
Тема
1.
Теория
вероятностей.
Математическая
статистика.
Тема
2.
Основные понятия 6/0,19
и
методы
дискретной
математики.
4/0,11
Семестр 3.
35.
Вероятность события.
36.
Основные
формулы
для
вероятности событий.
37.
Дискретные
случайные
величины.
38.
Непрерывные
случайные
величины.
39.
Основные
виды
распределений:
равномерное,
экспоненциальное, нормальное
40.
Системы случайных величин.
Предельные
теоремы
теории
вероятностей.
41.
Выборка и ее распределение.
42.
Статистические
оценки.
Проверка статистических гипотез.
43.
Корреляционнорегрессионный анализ.
2/0,06 44.
Построение логики. Основные
определения
исчисления
высказываний.
Категорические
высказывания.
Логический квадрат.
Табличное
определение
логических связок.
Понятие формулы в
логике,
логического закона и логического
следования.
45.
Основные схемы логически
правильных
рассуждений.
Алгоритм
Квайна
проверки
выводимости
модуса.Алгоритм
метода редукций, который проверяет
выводимость модуса.
Алгоритм
метода
резолюций,
который
ОК-11
ПК-5
Знать:
классическое Лекции-беседы
определение
вероятности.
Формулы
комбинаторики,
теоремы сложения и умножения
вероятностей,
условную
вероятность. Формулы полной
вероятности, Байеса, Бернулли,
Пуассона,
виды
случайных
величин,
основные
виды
распределений.
Уметь: применять полученные
знания при решении задач.
Владеть: приёмами решения
нестандартных задач.
ОК-11
ПК-5
Знать: основные понятия и Лекции, слайдметоды дискретной математики. лекции
Уметь: применять полученные
знания, для решения задач.
Владеть:.
Тема
3.
Теория
математической
физики.
7/0,2
проверяет выводимость модуса.
46.
Основные
определения
алгебры логики.
Существенные,
несущественные переменные. Булевы
функции. Суперпозиция алгебры
логики. Равносильные формулы
алгебры
логики.
Основные
равносильности.
47.
Равносильные
формулы
алгебры логики. Равносильности
выражающие одни связки через
другие.
Равносильные
формулы
алгебры логики. Равносильности
выражающие
основные
законы
алгебры.
Нормальные
формы
логических
функций.
Способы
нахождения СДНФ. Нормальные
формы
логических
функций.
Способы нахождения СКНФ.
48.
Двойственные
функции.
Теорема о связи между СДНФ и
СКНФ.
Полиномы
Жегалкина.
Способы нахождения СПНФ.
2/0,06 49.
Понятие дифференциального
уравнения
с
частными
производными.
50.
Классификация
линейных
дифференциальных уравнений с
частными производными второго
порядка.
51.
Решение
одномерного
волнового уравнения.
52.
Некоторые
специальные
функции.
53.
Решение
трёхмерного
ОК-11
ПК-3
ПК-5
Знать: задачи приводящие к д.у. Лекции, слайдс
частными
производными. лекции
Телеграфные
уравнения.
Краевые условия. Метод Фурье.
Метод
Даламбера.
Понятие
специальных функций. Формулы
приведения
для
функций
Бесселя.
Асимптотическую
формулу для функций Бесселя
при больших значениях |𝑥|.
Ортогональность
функций
Бесселя.
однородного волнового уравнения.
ИТОГО за третий
семестр
Итого:
17/0,5
4/0,12
52/1,5
10/0,3
Уметь: применять полученные
знания при решении задач.
Владеть: приёмами решения
задач.
5.4. Практические и семинарские занятия, их наименование, содержание и объем в часах
№
п/
п
№ раздела дисциплины
Наименование практических и
семинарских занятий
Объем в
часах/трудое
мкость в з.е.
ОФО
ЗФО
Семестр 1.
1.
Линейная
1
алгебра.
Аналитическая геометрия.
Матрицы.
Действия
с
матрицами. 6/0,13
Определители. Решение СЛУ методом
Крамера, матричным методом, методом
Гаусса,
решение
однородных
СЛУ.
Координаты вектора, длина вектора, угол
между векторами, скалярное, векторное,
смешанное
произведение
векторов.
Различные виды уравнений прямой,
плоскости, угол между плоскостями.
Кривые второго порядка.
2/0,06
2.
Предел функции.
Предел
числовой
последовательности. 4/0,12
Существование
предела
монотонной
ограниченной
последовательности.
Свойства пределов. Предел функции в
бесконечности.
Свойства
функции,
имеющей предел. Бесконечный предел.
Замечательные пределы. Их свойства Связь
между бесконечно большими и бесконечно
малыми функциями. Сравнение бесконечно
малых функций. Эквивалентные бесконечно
малые, их использование при вычислении
пределов.
Различные
определения
непрерывности
функции
в
точке.
Непрерывность основных элементарных
функций. Классификация точек разрыва
функций.
2/0,06
3.
Дифференциальное
Различные определения непрерывности 7/0,25
исчисление функции одной функции в точке. Непрерывность основных
переменной.
элементарных функций.
Классификация
точек разрыва функций.
Определение
производной.
Ее
геометрический
и
механический
смысл.
Правила
дифференцирования суммы, произведения,
частного. Таблица производных. Понятие
сложной функции. Производная сложной
функции. Понятие обратной функции.
Производная
обратной
функции.
Производные
обратных
тригонометрических функций. Производная
параметрически
заданной
функции.
Дифференциал
функции.
Связь
4/0,11
производной
и
дифференциала.
Геометрический смысл дифференциала.
Инвариантность формы дифференциала.
Производные и дифференциалы высших
порядков.
Формула
Лейбница.
Неинвариантность формы дифференциалов
порядка
выше
первого.
Разложение
x
функций e , sin x, cos x, ln (1 + x), (1 + x)α по
формуле Тейлора. Применение формулы
Тейлора.Условия монотонности функций.
функций. Экстремумы. Необходимое и
достаточное
условие
возрастания
и
убывания функций. Необходимое условие
экстремума.
Достаточные
признаки
существования экстремума. Отыскание
наибольшего и наименьшего значений
непрерывных на отрезке функций. Общая
схема построения графиков функций.
Исследование выпуклости функции.
Итого за первый семестр
17/0,5
8/0,22
Понятие
первообразной
функции. 6/0,17
Неопределенный интеграл и его свойства.
Таблица основных формул интегрирования.
Непосредственное
интегрирование.
Интегрирование по частям и замена
переменной.
Использование
методы
разложения
на
простейшие
дроби
разложения
на
простейшие
дроби.
Интегрирование выражений, содержащих
тригонометрические
функции.
Интегрирование
некоторых
иррациональных
выражений.
Интегрирование по частям и замена
переменной. Формулы прямоугольников,
трапеций
и
Симпсона.
Вычисление
площадей криволинейной трапеции. Длина
дуги кривой. Объем тела вращения. Работа
переменной
силы.
Несобственные
интегралы с
бесконечными пределами
интегрирования. Несобственные интегралы
от неограниченных функций. Их основные
свойства.
Абсолютная
и
условная
сходимость. Признаки сходимости.
2/0,06
Дифференциальное
Понятие функции нескольких переменных. 6/0,17
исчисление
функций Область
определения.
Геометрическое
нескольких переменных
изображение функции двух переменных
Предел
функции
двух
переменных.
Непрерывность функции двух переменных.
Инвариантность
формы
полного
дифференциала. Геометрический смысл
2/0,06
Семестр 2
1.
2.
Интегральное исчисление.
полного дифференциала. Градиент и
производная по направлению. Частные
производные
высших
порядков.
Дифференциалы
высших
порядков.
Формула Тейлора для функций двух
переменных. Определение экстремума.
Необходимое
условие
экстремума.
Достаточное
условие
существования
экстремума. Метод наименьших квадратов.
Условный экстремум. Метод множителей
Лагранжа.
3.
Дифференциальные
уравнения.
Итого за второй семестр
Дифференциальные уравнения 1-го порядка. 6/0,17
Основные классы уравнений 1-го порядка,
интегрируемых в квадратурах. Задача Коши.
Теорема существования и единственности
задачи Коши. Понятие об особых решениях
дифференциальных уравнений. Приложения
дифференциальных уравнений 1-го порядка
в
различных
областях
науки.
Дифференциальные уравнения высших
порядков,
допускающие
понижение
порядка.
Линейные однородные дифференциальные
уравнения.
Линейные
однородные
уравнения 2 порядка с постоянными
коэффициентами
Линейная зависимость и независимость
решений.
Определитель
Вронского
Структура
общего
решения.
Характеристическое
уравнение.
3
возможных
случая.
Линейные
неоднородные
дифференциальные
уравнения. Метод Лагранжа вариации
произвольных постоянных. Линейные не
однородные уравнения с постоянными
коэффициентами. Уравнения с правой
частью специального вида.
2/0,06
18/0,5
6/0,18
Семестр 3
1.
2.
Теория вероятностей.
Математическая
статистика.
Вероятность события.
Основные формулы для вероятности
событий..
Дискретные случайные величины.
Непрерывные случайные величины.
Основные
виды
распределений:
равномерное,
экспоненциальное,
нормальное
Системы случайных величин..
Предельные
теоремы
теории
вероятностей.
Выборка и ее распределение.
Статистические
оценки..
Проверка
статистических гипотез. Корреляционнорегрессионный анализ.
8/0,2
2/0,06
Основные
методы
математики.
Построение
логики.
Основные 12/0,3
определения исчисления высказываний.
Категорические
высказывания.
Логический квадрат.
Табличное
определение
логических связок.
Понятие формулы в логике, логического
закона
и
логического
следования.
Основные схемы логически правильных
рассуждений.
Алгоритм Квайна
проверки выводимости модуса. Алгоритм
метода редукций, который проверяет
выводимость модуса.
Алгоритм
метода резолюций, который проверяет
выводимость модуса.
Основные
определения
алгебры
логики.
Существенные,
несущественные
переменные.
Булевы
функции.
Суперпозиция
алгебры
логики.
Равносильные формулы алгебры логики.
Основные равносильности. Равносильные
формулы алгебры логики. Равносильности
выражающие одни связки через другие.
Равносильные формулы алгебры логики.
Равносильности выражающие основные
законы алгебры. Нормальные формы
логических
функций.
Способы
нахождения СДНФ. Нормальные формы
логических
функций.
Способы
нахождения
СКНФ.
Двойственные
функции. Теорема о связи между СДНФ и
СКНФ. Полиномы Жегалкина. Способы
нахождения СПНФ.
Понятие
предиката.
Основные
логические
операции над предикатами. Кванторы
операции. Равносильные формулы логики
предикатов.
2/0,06
понятия
и
дискретной
9.
Теория математической
физики.
Понятие дифференциального уравнения с 14/0,4
частными производными. Классификация
линейных дифференциальных уравнений с
частными производными второго порядка.
Решение
одномерного
волнового
уравнения.
Некоторые
специальные
функции.
Решение
трёхмерного
однородного волнового уравнения.
2/0,06
34/0,9
69/1,9
6/0,18
20/0,6
Итого за третий семестр
Итого:
5.5. Лабораторные занятия, их наименование и объем в часах
№ п/п
№ раздела дисциплины
Наименование лабораторных работ
-
-
-
5.6. Примерная тематика курсовых проектов (работ)
Курсовой проект (работа) учебным планом не предусмотрен.
5.7. Самостоятельная работа студентов
5.7.1. Содержание и объем самостоятельной работы студентов для ОФО
Разделы и темы рабочей
Перечень домашних
Сроки
программы самостоятельного
заданий и других вопросов выполнения
изучения
для самостоятельного
изучения
Объем в
часах/тр
удоемко
сть в з.е.
-
Объем в
часах/трудое
мкость в з.е.
Семестр 1
1. Метод Жордано-Гаусса.
Самостоятельная работа
4 неделя
5/0,14
2. Комплексные числа
Составление
конспекта.
Самостоятельная работа.
5 неделя
5/0,14
5неделя
14/0,39
14 неделя
16/0,44
3. Множества. Действительные числа. Составление конспекта.
Функция.
4. Решение прикладных задач.
Самостоятельная работа.
Промежуточная аттестация
зачёт
Итого за первый семестр
40/1,1
Семестр 2.
1. Двойные и тройные интегралы.
Составление
конспекта.
Самостоятельная работа.
2. Наибольшее и наименьшее значения Составление конспекта.
функции в замкнутой области.
3. Системы дифференциальных
уравнений.
Самостоятельная работа.
4 неделя
15/0,4
10 неделя
15/0,4
16 неделя
20/0,6
Промежуточная аттестация
зачёт
Итого за второй семестр
50/1,4
1. Основы теории случайных процес - Составление
конспекта.
сов. Т-тест.
Самостоятельная работа.
2. Понятие предиката.
Основные Составление конспекта.
логические
операции
над
предикатами.
Кванторы
операции.Равносильные
формулы Составление конспекта
3.
Цилиндрические функции
логики предикатов.
.
Промежуточная аттестация
4 неделя
15/0,42
8 неделя
14/0,38
14 неделя
12/0,3
экзамен
36/1
Итого за третий семестр
77/2,1
Итого:
167/4,6
5.7.2. Содержание и объем самостоятельной работы студентов для ЗФО
Разделы и темы рабочей
Перечень домашних
Сроки
программы самостоятельного
заданий и других вопросов выполнения
изучения
для самостоятельного
изучения
Объем в
часах/трудое
мкость в з.е.
Семестр 1
1. Метод Жордано-Гаусса.
Самостоятельная работа
Сентябрь
10/0,3
2. Комплексные числа
Составление
конспекта.
Самостоятельная работа.
Октябрь
10/0,3
3. Множества. Действительные числа. Составление конспекта.
Функция.
Ноябрь
26/0,7
4. Решение прикладных задач.
Декабрь
30/0,9
Самостоятельная работа.
Промежуточная аттестация
зачёт
Итого за первый семестр
76/2,2
Семестр 2.
1. Двойные и тройные интегралы.
Составление
конспекта.
Самостоятельная работа.
2. Наибольшее и наименьшее значения Составление конспекта.
функции в замкнутой области.
3. Системы дифференциальных
уравнений.
Самостоятельная работа.
Промежуточная аттестация
Итого за второй семестр
1. Основы теории случайных процес - Составление
конспекта.
сов. Т-тест.
Самостоятельная работа.
20/0,5
24/0,7
28/08
зачёт
72/2
30/0,8
2. Понятие предиката.
Основные Составление конспекта.
логические
операции
над
предикатами.
Кванторы
операции.Равносильные
3.Цилиндрические
функции формулы Составление конспекта
логики предикатов.
.
Промежуточная
аттестация:
экзамен
44/1,2
Итого за первый семестр
110/3
Итого:
36/1
258/7,2
6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения
6.1.Контрольные вопросы и задания для проведения текущего контроля для студентов
ОФО
Семестр 1.
1.
Что называется матрицей, матрицей-столбцом, матрицей-строкой?
2.
Какие матрицы называются прямоугольными? Квадратными?
3.
Что называется главной диагональю матрицы?
4.
Какая матрица называется единичной?
5.
Что значит транспонировать матрицу?
6.
Что называется суммой матриц?
7.
Что называется произведением матриц?
8.
В чём состоит обязательное условие существования произведения матриц?
9.
Что называется определителем матрицы?
10.
Как вычислить определитель второго порядка?
11.
Как вычислить определитель третьего порядка?
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
Что называется минором?
Что называется алгебраическим дополнением?
Какая матрица называется обратной?
Как записать простейшее матричное уравнение?
Записать формулы Крамера.
Объяснить алгоритм решения СЛУ матричным методом.
Описать метод Гаусса.
Как найти длину вектора, заданного двумя точками?
Каким свойством обладают координаты коллинеарных векторов?
Записать формулы деления отрезка в данном отношении.
Что называется скалярным произведением векторов?
Как вычисляется скалярное произведение векторов заданных своими координатами?
Чему равно скалярное произведение двух перпендикулярных векторов?
Чему равно скалярное произведение двух коллинеарных векторов?
Что называется векторным произведением векторов?
Приложения векторного произведения векторов.
Что называется смешанным произведением векторов?
Приложения смешанного произведения векторов.
Каким уравнением описывается прямая на плоскости?
Сформулировать условие параллельности прямых.
Сформулировать условие перпендикулярности прямых.
Как найти угол между прямыми?
Каким уравнением описывается кривая на плоскости?
Записать каноническое уравнение эллипса.
Что называется эксцентриситетом эллипса?
Чему равен эксцентриситет окружности?
Записать каноническое уравнение гиперболы.
Записать каноническое уравнение параболы.
Какая функция называется элементарной? Сложной?
Как прочитать запись lim 𝑓(𝑥) = 𝑏. Дать определение предела функции в точке.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
Дать определение предела функции на бесконечности.
Сформулировать и записать первый и второй замечательный пределы.
Как вычислить угловой коэффициент касательной к кривой в данной точке?
Производные элементарных функций.
Геометрический смысл производной.
Механический смысл производной.
Как найти наибольшее и наименьшее значения функции?
Как найти экстремум функции?
Что называется точкой перегиба функции?
Рекомендуемая схема исследования и построения графика функции.
Семестр 2.
Что является задачей интегрального исчисления?
Какая функция называется первообразной для данной функции?
Что называется неопределённым интегралом?
В чём заключается правило интегрирования алгебраической суммы функций?
Написать основные формулы интегрирования.
Методы интегрирования.
Как проверить результаты интегрирования?
Что такое определённый интеграл?
В чём заключается геометрический смысл определённого интеграла?
Сформулируйте основные свойства определённого интеграла.
Метод замены переменной в определённом интеграле.
Формула интегрирования по частям в определённом интеграле.
Дать определение функции 2-ух переменных.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
𝑥→𝑎
14.
Частные производные 1-го порядка.
15.
Частные производные 2-го порядка.
16.
Раскрыть сущность применения полного дифференциала к приближённым
вычислениям.
17.
Сформулировать алгоритм нахождения экстремума функций нескольких
переменных.
18.
Какое уравнение называется дифференциальным?
19.
Какая функция является решением дифференциального уравнения?
20.
Что такое порядок дифференциального уравнения?
21.
Сколько произвольных постоянных имеет дифференциальное уравнение первого
порядка?
22.
Назовите известные вам типы дифференциальных уравнений.
23.
Каков общий вид дифференциального уравнения с разделёнными переменными? С
разделяющимися переменными?
24.
Как решается уравнение с разделёнными переменными?
25.
Как отличаются уравнения с разделёнными переменными от уравнений с
разделяющимися переменными?
26.
В какой последовательности решают дифференциальное уравнение с
разделяющимися переменными?
27.
В чём заключается задача Коши.
28.
Каков общий вид дифференциальных уравнений первого порядка?
29.
Каков общий вид однородного дифференциального уравнения первого порядка?
30.
Каков общий вид линейного дифференциального уравнения первого порядка?
31.
Методы интегрирования линейного дифференциального уравнения первого
порядка.
32.
Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение степени.
Три типа. Сформулировать.
33.
Что такое характеристическое уравнение?
34.
Какой вид имеет общее решение линейного дифференциального уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами, если его корнями являются а) два действительных
различных корня, б) два действительных равных корня, в) два комплексных сопряжённых
корня.
Семестр 3.
1.
Что называется n!
2.
Что называется размещениями?, перестановками?, сочетаниями?
3.
Какие события называются достоверными?, невозможными?, случайными?
4.
Что называется относительной частотой события?
5.
Какие события называются несовместными?
6.
Какие события называются противоположными?
7.
Как формулируется теорема сложения вероятностей?
8.
Что называется условной вероятностью?
9.
Объяснить применение формулы Байеса.
10.
Записать формулу Бернулли.
11.
Какая величина называется случайной.
12.
Какая случайная величина называется дискретной?
13.
Что называется законом распределения случайной величины?
14.
Какой закон распределения называется биномиальным?
15.
Что называется математическим ожиданием дискретной случайной величины?
16.
Что называется дисперсией случайной величины?
17.
Дать определение выборки.
18.
Что такое размах выборки?
19.
Дать определение статистического ряда.
20.
Перечислить числовые характеристики эмпирического распределения.
21.
Что называется доверительным интервалом?
Что называется статистической гипотезой?
Сформулируйте критерий согласия 𝜒 2
Что такое корреляционная зависимость?
Что такое регрессия?
Типовые контрольные работы
Семестр 1.
Контрольная работа №1
1.
Выполнить над матрицами указанные действия: AB-C, AC+𝐵 2, AC-AB, 𝐴2 +5,
7B+AC, 𝐴𝑇 B+3C
−2 1 3
4 1 2
1 2 4
A=( 5 4 0),
B=(−2 2 −1), C=(5 4 2)
−1 1 1
3 1 1
3 1 5
2.
Вычислить определитель четвёртого порядка
2 1
0
1
0 1
2 −2
∆=|
|
1 −1 −1 1
1 2
1
3
3.
Решить системы линейных уравнений
а) методом Крамера
б) матричным методом
7𝑥1 − 3𝑥2 + 5𝑥3 = 32
{ 5𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 11
2𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 = 14
4.
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 +
2𝑥4 = 5
𝑥2 − 3𝑥3 − 2𝑥4 = −7
{ 𝑥1 +
2𝑥1 − 2𝑥2 + 4𝑥3 − 3𝑥4 = −9
5.
Решить однородную систему линейных уравнений.
𝑥1 −
3𝑥2 + 2𝑥3 + 𝑥4 + 2𝑥5 = 0
−3𝑥
+
2𝑥2 + 𝑥3 +
𝑥4 −
𝑥5 = 0
{
1
2𝑥1 +
𝑥2 − 5𝑥3 + 4𝑥4 + 3𝑥5 = 0
6.
По координатам вершин пирамиды 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4 найти:
1)
длины рёбер 𝐴1 𝐴2 , 𝐴1 𝐴3 и 𝐴1 𝐴4
2)
угол между рёбрами 𝐴1 𝐴3 и 𝐴1 𝐴4
3)
площадь грани 𝐴1 𝐴2 𝐴3
22.
23.
24.
25.
проекцию вектора 𝐴1 𝐴4 на вектор 𝐴1 𝐴2
объём пирамиды
уравнения прямых 𝐴1 𝐴2 и 𝐴1 𝐴3
уравнения плоскостей 𝐴1 𝐴2 𝐴4 и 𝐴2 𝐴3 𝐴4
угол между этими плоскостями
высоту пирамиды, опущенную из вершины 𝐴4
4)
5)
6)
7)
8)
9)
𝐴1 (−1,5,4), 𝐴2 (3,1,6), 𝐴3 (0,2, −3), 𝐴4 (−2,1,5)
7.
Стороны AB и BC ромба ABCD равны соответственно 3x-10y+37=0 и 9x+2y-17=0.
Уравнения одной из его диагоналей равно 3x-2y-19=0. Найти уравнения двух других
сторон ромба и второй его диагонали.
Контрольная работа №2
1.
Вычислить пределы функций
а) lim
𝑥 2 +3𝑥−10
𝑥→𝑥0 𝑥 2 −5𝑥+6
4−√𝑥
б) lim
𝑥→16 6−√2𝑥+4
𝑡𝑔 3𝑥 cos 𝑥
в) lim
𝑥→0
sin 4𝑥
,
где
𝑥0 = 0, 𝑥0 = 2, 𝑥0 = ∞
𝑥 2 +6
г) lim (𝑥 2 +3)
𝑥 2 −2
𝑥→∞
2.
Исследовать функцию на непрерывность, выяснить характер точек разрыва и
построить её график.
1
, 𝑥<0
𝑥
𝜋
𝑓(𝑥) = cos 𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤
2
𝜋
𝑥, 𝑥 >
{
2
Контрольная работа №3
1. Найти производные функций.
𝑥
𝑥 − √5
𝑦 = √5 (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
+ ln
)
𝑥 + √5
√5
1 + 𝑒 2𝑥
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑒 2𝑥 + ln √ 2𝑥
𝑒 −1
3
2.
Используя дифференциал функции вычислить приближённо √28
3. Найти производную неявно заданной функции
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑦 + 𝑥𝑦 2 = 0
4.
Найти производную функций, предварительно её прологарифмировав.
𝑦 = (𝑥 2 + 2𝑥)𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥
′′
5. Найти производные 𝑦𝑥′ и 𝑦𝑥𝑥
функций, заданных параметрически
2
𝑥 = 2𝑡 − 𝑡
{
𝑦 = 3𝑡 − 𝑡 3
2−(𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 ) cos 𝑥
6. Вычислить пределы функций, используя правило Лопиталя
lim
𝑥4
𝑥→0
7. Методами дифференциального исчисления исследовать функцию y=𝑓(𝑥), и используя
результаты исследования построить её график.
𝑥4
𝑦 = 𝑥 3 −1
Семестр 2
Контрольная работа №1
Вычислить неопределённые интегралы
1.
а) ∫ 𝑒 𝑥 (1 +
𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥
𝑒 −𝑥
𝑥3
) 𝑑𝑥
б) ∫ 1+𝑥 2
в) ∫ 𝑥 2 sin 𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑥
г) ∫ 𝑥 2 +6𝑥+25
𝑑𝑥
д) ∫ 𝑥 5 −𝑥 2
𝑑𝑥
е) ∫ 4 sin 𝑥+3 cos 𝑥+5
2. Вычислить определённый интеграл
3
а) ∫1 𝑥 3 √𝑥 2 − 1
0
б) ∫−1 𝑥𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥𝑑𝑥
3. Вычислить несобственный интеграл
+∞
∫
0
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥
𝑑𝑥
1 + 𝑥2
3. Найти площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и линиями 𝑦 = (𝑥 − 4)2 и
𝑦 = 16 − 𝑥 2 .
Контрольная работа №2
Показать, что функция 𝑧 = ln(𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑦 ) удовлетворяет уравнению
1.
𝜕2 𝑧
𝜕2 𝑧
+ 2 ∙ 𝜕𝑥𝜕𝑦 +
𝜕𝑥 2
𝜕2 𝑧
+ 𝜕𝑦 2 = 0
2.
1,02
Вычислить приближённо 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 0,95
3.
Найти экстремум функции 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 − 3𝑥 − 6𝑦
4.
Найти наименьшее и наибольшее значения функции 𝑧 = 𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 𝑦 2 − 4𝑥 в
замкнутой области, ограниченной прямыми 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 2𝑥 + 3𝑦 − 12 = 0
Контрольная работа №3
1. Решить уравнение с разделяющимися переменными
𝑦 ′ + 2𝑥 2 𝑦 ′ + 2𝑥𝑦 − 2𝑥 = 0
2. Решить однородное дифференциальное уравнение (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 = 0
𝑑𝑦
2𝑦
3. Решить линейное дифференциальное уравнение 𝑑𝑥 − 𝑥+1 = (𝑥 + 1)2
4. Решить дифференциальное уравнение, предварительно понизив его порядок 𝑦 ′′ = 4𝑥
5. Решить дифференциальное уравнение
𝑦 ′′ + 𝑦 ′ − 2𝑦 = 6𝑥 2
Семестр 3.
Контрольная работа №1
1.
В урне 3 белых и 7 чёрных шаров. Из урны наудачу вынимают 2 шара. Какое
событие более вероятно: а) шары одного цвета; б) шары разных цветов?
2.
Найдите вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным
либо 2, либо 5.
3.
Имеется 3 ящика деталей, причём бракованных в 1-ом, 2-ом и 3-ем ящиках
соответственно 25٪, 20٪ и 15٪ . Наудачу взятая деталь из наудачу взятого ящика оказалась
бракованной. Найти вероятность того, что эта деталь извлечена из 1-го ящика.
4.
Требуется найти вероятность того, что в 5 независимых испытаниях событие
появится более 3 раз, зная, что в каждом испытании вероятность появления события равна
0,7.
5.
400 станков работают независимо друг от друга, причём вероятность бесперебойной
работы каждого из них в течении смены равна 0,6. Найти вероятность того, что в течении
смены бесперебойно проработают: а) 260 станков; б) от 230 до 250 станков.
6.
Завод отправил на базу 1000 доброкачественных изделий. Вероятность повреждения
каждого изделия при транспортировке равна 0,0003. Найти вероятность повреждения при
транспортировке: а) одного изделия; б) от 2 до 3 изделий.
7.
Мишень разделена на зоны 1,2,3. За попадание в зону 1 даётся𝑎1 очков, в зону 2𝑎2 очков, в зону 3-𝑎3 очков. Для данного стрелка вероятность попадания в зоны 1,2,3 равны
соответственно р1 , р2 , р3 . Найти закон распределения числа X очков, получаемых стрелком
при двух независимых выстрелах и функцию распределения F(x), построить её график.
a1 =8, 𝑎2 =5, 𝑎3 =3, 𝑝1 =0,2, 𝑝2 =0,4, 𝑝3 =0,4.
8.
Найти: а) математическое ожидание, б) дисперсию, в) среднее квадратическое
отклонение дискретной случайной величины X по закону её распределения, заданному рядом
распределения ( в первой строке таблицы указаны возможные значения, во второй строкевероятности возможных значений).
𝑥𝑖
𝑝𝑖
44
0,6
52
0,1
60
0,1
73
0,1
82
0,1
9.
Случайная величина Xзадана функцией распределения F(x). Найти плотность
распределения вероятностей, математическое ожидание, дисперсию случайной величины,
вероятность попадания случайной величины в интервал (1;2) и построить графики f(x), F(x).
0, 𝑥 ≤ 0
𝑥2
F(x) ={ , 0 < 𝑥 ≤ 2
4
1, 𝑥 > 2
10.
Заданы математическое ожидание a и среднее квадратическое отклонение ϭ
нормально распределённой случайной величины. Найти: а) вероятность того, что Xпримет
значение, принадлежащее интервалу (α,β); б) вероятность того, что абсолютная величина
отклонения |𝑋 − 𝑎|окажется меньше δ.
a=12, ϭ=5, α=8, β=18,δ=10.
11.
Дана плотность распределения непрерывной случайной величины X
0,
𝑥≤0
2
f(x) ={3𝑥 , 0 < 𝑥 < 1
0,
𝑥>1
Найти функцию распределения F(x).
Контрольная работа №2
Задание 1. а) Сколько слов длины 3 можно составить из букв слова «диффузия», если в каждом
слове все буквы разные?
Задание 2. Сколькими способами можно расположить на шашечной доске черную и белую
шашки, если ни одно из четырех крайних полей не занимать?
Задание 3. В n -ичной системе счисления используется n цифр. Сколько в ней натуральных
чисел, записываемых k знаками?
Задание 4. Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. В скольких случаях окажется, что
среди вынутых карт ровно два туза.
Задание 5. Решить сравнение 39 x  15(mod 57) .
Задание 6. При помощи сравнений решить в целых числах неопределенное уравнение
17 x  19 y  5 .
n  35 7 в системе счисления с основанием g  8 .
Задание 7. Запишите числа m  54326 9 ;
Выполните m  n; m  n; m  n; m : n; m ; n .
Задание 9. Представьте с помощью кругов Эйлера отношения между объектами имён:
Человек – филолог – математик – человек, знающий английский язык – человек, знающий
логику.
Задание 10. Построить множество В всех его подмножеств и множество С всех подмножеств
множества В. Какую мощность (размерность) имеют множества А, В, С.
2
2
A  1, 1,2
Задание 11. На множестве чисел М определено отношение
.
Задать матрицами отношения и
определить свойства  ,  ,  ,  ,   ,  . Если М  1, 2, 3, 4, 5, 6 и  -«быть меньше».
Задание 12. Исследуйте отношение  .
Отношение  на множестве целых положительных чисел. xy  число x предшествует
числу y в последовательности:
2,1,4,3,6,5,…;
Задание 13. Найти дополнения, разности, произведение, симметрическую разность, прямое
произведение и квадраты двух промежутков. Изобразить.
1

0
2;5, 
.
2 ;3
Задание 14. Докажите методом математической индукции
1  21 2  2 2 3  2 3
n  2n
2 n1



 1
1.
;
n  2!
n  2!
3!
4!
5!
2.
5
n

 3 n  2n  4 .
Контрольная работа №3
Задание 1.
Решить уравнение с частными производными первого порядка
𝜕𝑧
𝜕𝑥
- 2xy = 0 (z = z(x,y))
Задание 2.
Найти область гиперболичности, эллиптичности и параболичности уравнения
𝑢𝑥𝑥 +y𝑢𝑦𝑦 =0
Задание 3.
Найти решение уравнения 𝑢𝑡𝑡 - 𝑢𝑥𝑥 =1, удовлетворяющее начальным условиям
u(x,0)=0, 𝑢𝑡 (x,0)=1 и граничным условиям u(0,t)=0, и u(1,t)=0
6.2. Контрольные вопросы и задания для проведения промежуточной аттестации.
Примерный перечень вопросов к экзамену по дисциплине «Высшая математика»
Семестр 1
1. Матрицы. Вид матриц. Основные операции над матрицами, их свойства.
2. Определители второго и третьего порядков. Их свойства.
3. Миноры, алгебраические дополнения. Теорема о разложении определителя по строке
(столбцу).
4. Обратная матрица. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы.
5. Ранг матрицы. Базисный минор. Элементарные преобразования матрицы.
6. Системы линейных уравнений: совместимость, определенность и т.д.
7. Правило Крамера.
8. Матричная запись системы линейных уравнений и матричное решение.
9. Теорема Кронекера-Капелли.
10.
Векторы и основные понятия: коллинеарность, равенство векторов, длина вектора,
компланарность.
11.
Линейные операции над векторами и их свойства.
12.
Декартовы системы координат. Деление отрезка в данном отношении, условие
коллинеарности векторов.
13.
Понятие базиса на прямой, плоскости и в пространстве. Вычисление координат
вектора.
14.
Скалярное произведение векторов, его свойства.
15.
Теорема о выражении скалярного произведения через координаты векторов.
16.
Векторное произведение векторов, его свойства. Теорема о выражении векторного
произведения через координаты векторов.
17.
Смешанное произведение векторов, его свойства. Теорема о выражении смешанного
произведения через координаты векторов.
18.
Понятие об уравнении линии. Уравнение окружности.
19.
Общее уравнение прямой. Каноническое и параметрическое уравнение прямой.
20.
Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение прямой в отрезках.
21.
Уравнение прямой с условным коэффициентом. Расстояние от точки до прямой.
22.
Исследование общего уравнения прямой.
23.
Взаимное расположение прямых. Угол между прямыми. Условие параллельности и
перпендикулярности прямых.
24.
Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Вывод канонического
уравнения для кривых второго порядка.
25.
Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости в отрезках. Уравнение
плоскости, проходящей через три точки.
26.
Различные уравнения прямой в пространстве.
27.
Исследование общего уравнения плоскости. Взаимное расположение плоскостей:
угол между плоскостями, условие параллельности и перпендикулярности.
28.
Различные виды уравнений прямой в пространстве.
29.
Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между прямыми,
условие параллельности и перпендикулярности.
30.
Понятие числовой последовательности. Предел числовой последовательности.
31.
Свойства сходящихся последовательностей.
32.
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, связь между ними.
Основные свойства бесконечно малых последовательностей.
33.
Арифметические операции над сходящимися последовательностями.
34.
Монотонные последовательности. Теорема о существовании предела монотонной
последовательности. Число е.
35.
Понятие функции одной переменной. Способы задания функций. Классификация
функций. Основные элементарные функции и их графики.
36.
Предел функции в точке. Геометрический смысл предела.
37.
Односторонние пределы. Предел функции на бесконечности.
38.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
39.
Основные теоремы о пределах: единственность предела, арифметические операции
над функциями, имеющими предел и т.д.
40.
Замечательные пределы и их следствия.
41.
Определение непрерывности функции. Свойства функций, непрерывных в точке.
42.
Непрерывность некоторых элементарных функций (многочлена, дробнорациональной, тригонометрических).
43.
Определение и классификация точек разрыва.
44.
Свойства функций, непрерывных на отрезке.
45.
Задачи, приводящие к понятию производной (о скорости и касательной).
46.
Определение производной, ее геометрический, физический и экономический смысл.
47.
Производные некоторых элементарных функций (x2, sin x, cos x, tg x).
48.
Основные правила дифференцирования.
49.
Связь между существованием производной и непрерывностью функции в точке.
50.
Производная сложной функции.
51.
Производная обратной функции. Производные функций у = arcsin x,
у=
arccos x, у = arctg x.
52.
Неявная функция и ее производная.
53.
Производная параметрических заданных функций.
54.
Определение дифференцируемости функции в данной точке. Критерий
дифференцируемости функции в точке.
55.
Дифференциал функции, его геометрический смысл. Применение дифференциала
для приближенных вычислений.
56.
Производные высших порядков. Вторая производная параметрически заданной
функции.
57.
Теоремы Ферма и Ролля. Их геометрический смысл.
58.
Теоремы Лагранжа и Коши. Их геометрический смысл.
59.
Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей вида 0   , 00, 10,  0 .
60.
Исследование функций с помощью производной. Необходимое и достаточное
условие возрастания и убывания. Критические точки.
61.
Экстремумы функции. Необходимое и достаточное условия экстремума.
62.
Исследование функции на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба.
63.
Асимптоты графика. Исследование и построение графиков функций.
64.
Неопределенный интеграл и его основные свойства.
65.
Основные методы интегрирования: замена переменной и интегрирование по частям.
66.
Интегрирование рациональных функций.
67.
Интегрирование некоторых иррациональных и тригонометрических функций.
68.
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Необходимое условие
существования определенного интеграла.
69.
Основные свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
70.
Геометрические приложения определенного интеграла: а) площадь плоской фигуры;
б) длина плоской кривой.
71.
Приближенные методы вычисления определенного интеграла.
72.
Несобственные интегралы первого и второго рода.
Семестр 2
1. Понятие функции двух переменных. Область определения и геометрическое изображение
некоторых функций двух переменных.
2. Частные приращения и частные производные функции двух переменных.
3. Полное приращение функции двух переменных. Дифференциал функции двух
переменных.
4. Частные производные высших порядков функции двух переменных.
5. Экстремумы функции двух переменных.
6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
7. Метод наименьших квадратов.
8. Дифференциальные уравнения первого порядка. Общее и частное решение. Задача Коши и
ее геометрический смысл.
9. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделенными и разделяющимися
переменными; однородные и линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
10.
Дифференциальные уравнения высших порядков. Общее решение. Начальные
условия.
11.
Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение
порядка.
12.
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков, однородные и
неоднородные.
13.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.
14.
Структура общего решения линейного неоднородного уравнения с постоянными
коэффициентами.
Семестр 3
1. Понятие события, виды событий.
2. Классическое определение вероятностей события, его свойства.
3. Основные формулы комбинаторики.
4. Алгебра событий. Теоремы сложения вероятностей, следствия их них.
5. Независимые события. Теоремы умножения вероятностей, следствия их них.
6. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
7. Независимые повторные испытания. Формула Бернулли.
8. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Теорема Пуассона.
9. Виды случайных величин. Закон распределения вероятностей дискретной случайной
величины. Многоугольник распределения.
10.
Числовые характеристики дискретных случайных величин и их свойства.
11.
Начальные и центральные теоретические моменты.
12.
Функция распределения вероятностей и ее свойства. График функции
распределения.
13.
Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины и ее
свойства.
14.
Числовые характеристики непрерывных случайных величин и их свойства.
15.
Виды дискретных распределений: биномиальные и др.
16.
Виды непрерывных распределений: равномерное и показательное.
17.
Нормальное распределение. Кривая Гаусса. Влияние параметров нормального
распределения на формулу нормальной кривой.
18.
Вычисление вероятности заданного отклонения. Правила трех сигм.
19.
Теорема Ляпунова. Центральная и предельная теоремы.
20.
Оценка отклонения теоретического распределения от нормального. Асимметрия и
эксцесс.
21.
Функция двух случайных величин. Распределение суммы двух случайных величин.
22.
Понятие о системе нескольких случайных величин. Законы распределения
вероятностей дискретной двумерной случайной величины.
23.
Функция распределения двумерной случайной величины и ее свойства.
24.
Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник.
25.
Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной
случайной величины и ее свойства.
26.
Условные законы распределения составляющих системы дискретных случайных
величин.
27.
Зависимые и независимые случайные величины. Корреляционный момент.
Коррелированность и зависимость случайных величин.
28.
Линейная регрессия.
29.
Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности.
30.
Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка. Способы отбора.
31.
Статистические распределения выборки. Эмпирическая функция распределения.
32.
Полигон и гистограмма.
33.
Статистические оценки параметров распределения. Несмещенные, эффективные и
состоятельные оценки.
34.
Генеральная и выборочная средние.
35.
Генеральная и выборочная дисперсии.
Оценка генеральной дисперсии по
исправленной выборочной.
36.
Групповая, внутригрупповая, межгрупповая и общие дисперсии. Сложение
дисперсий.
37.
Интервальные оценки. Доверительная вероятность и доверительный интервал.
38.
Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального
распределения при известном σ.
39.
Метод моментов для точечной оценки параметров распределения.
40.
Метод наибольшего правдоподобия.
41.
Характеристики вариационного ряда.
42.
Начальные и центральные эмпирические моменты.
43.
Метод произведений для вычисления выборочной средней и дисперсии.
44.
Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости.
45.
Выборочные уравнения регрессии. Отыскание параметров выборочного уравнения
прямой линии среднеквадратичной регрессии методом наименьших квадратов.
46.
Выборочный коэффициент корреляции.
47.
Статистическая гипотеза. Виды гипотез.
48.
Ошибки первого и второго рода.
49.
Статистический критерий проверки нулевой гипотезы.
50.
Критическая область принятия гипотезы. Критические точки.
51.
Отыскание правосторонней, левосторонней и двусторонней критической области.
52.
Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности.
Критерий согласия Пирсона.
53.
Построение логики. Основные определения исчисления высказываний.
54.
Категорические высказывания. Логический квадрат.
55.
Табличное определение логических связок.
56.
Понятие формулы в логике, логического закона и логического следования.
57.
Основные схемы логически правильных рассуждений.
58.
Алгоритм Квайна проверки выводимости модуса.
59.
Алгоритм метода редукций, который проверяет выводимость модуса.
60.
Алгоритм метода резолюций, который проверяет выводимость модуса.
61.
Основные определения алгебры логики.
62.
Существенные, несущественные переменные.
63.
Булевы функции.
64.
Суперпозиция алгебры логики.
65.
Равносильные формулы алгебры логики. Основные равносильности.
66.
Равносильные формулы алгебры логики. Равносильности выражающие одни связки
через другие.
67.
Равносильные формулы алгебры логики. Равносильности выражающие основные
законы алгебры.
68.
Нормальные формы логических функций. Способы нахождения СДНФ.
69.
Нормальные формы логических функций. Способы нахождения СКНФ.
70.
Двойственные функции. Теорема о связи между СДНФ и СКНФ.
71.
Полиномы Жегалкина. Способы нахождения СПНФ.
72.
Понятие предиката.
73.
Основные логические операции над предикатами.
74.
Кванторы операции.
75.
Равносильные формулы логики предикатов.
76.
Понятие дифференциального уравнения с частными производными.
77.
Классификация линейных дифференциальных уравнений с частными производными
второго порядка.
78.
Решение одномерного волнового уравнения.
79.
Некоторые специальные функции.
80.
Решение трёхмерного однородного волнового уравнения
6.3. Тематика контрольных работ для студентов ЗФО
Контрольные работы учебным планом не предусмотрены.
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература
1. . Курс высшей математики: учебник. Ч. 1/ М.К. Беданоков М.К. и др. – Майкоп: Магарин
О.Г., 2013. – 384 с.
2. . Курс высшей математики: учебник. Ч. 2/ М.К. Беданоков М.К. и др. – Майкоп: Магарин
О.Г., 2013. – 279 с.
3. ЭБС «Айбукс» Балдин К.В. Высшая математика: учебник. — М. : Флинта : МПСИ,
2010. - — 360 с. -Режим доступа: http://ibooks.ru/
б) дополнительная литература:
4. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие/ В.Е,
Гмурман. – М.: Юрайт, 2010. – 479 с.
5. Куижева, С.К. Основы теории вероятностей и математической статистики : учеб.
пособие/ С.К. Куижева, Л.Ж. Паланджянц, О.П. Шевякова. - Майкоп : Магарин О.Г., 2010. 138 с.
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы
5. http//www.exponenta.ru-Образовательный математический сайт Exponenta.ru
6. http//www.matclub.ru- Лекции, примеры решения задач, интегралы и производные,
дифференцирование. Электронные учебники.
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Материально-техническое обеспечение дисциплины включает:
1) библиотечный фонд ГОУ ВПО «МГТУ»;
2) мультимедийное оборудование для чтения лекций-презентаций.
Дополнения и изменения в рабочей программе
за ________/________ учебный год
В рабочую программу____________________________________________________
(наименование дисциплины)
для направления (специальности) ___________________________________________________
(номер направления (специальности)
вносятся следующие дополнения и изменения:
Дополнения и изменения внес _______________________________________________
(должность, Ф.И.О., подпись)
Рабочая программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры
_____________________________________________________________________________
(наименование кафедры)
«____»___________________200_г.
Заведующий кафедрой
__________________
(подпись)
_____________
(Ф.И.О.)