Введение Само название нашего курса «Тепло и... видимому, не требует пояснений. Значение тепловых...

Введение
Само название нашего курса «Тепло и теплотехника», повидимому, не требует пояснений. Значение тепловых и холодильных
процессов в технологии, да и вообще в природе, понятно каждому
современному человеку (пусть даже и весьма молодому, как Вы). В
течение одного учебного семестра Вы прослушаете лекционный курс в
объёме 34-х часов и проведёте лабораторные занятия. В конце семестра
предстоит сдать экзамен.
Лекционный курс состоит из двух основных разделов –
технической термодинамики и теплопередачи. В связи с чрезвычайно
сжатым объёмом лекций, вопросы устройства и работы тепловых и
холодильных установок рассматриваются кратко в рамках технической
термодинамики при изучении соответствующих термодинамических
циклов.
1 ЧАСТЬ
Техническая термодинамика
Общая или физическая термодинамика является разделом
теоретической физики и представляет собой науку о превращениях
различных видов энергии друг в друга.
Термодинамика базируется на двух основных началах:
Первым началом является закон сохранения энергии в различных
процессах.
Второе начало устанавливает протекания и направленность
макроскопических процессов в системах, состоящих из большого числа
частиц.
В ходе развития общей термодинамики и её приложений в
области других наук постепенно сформировались два направления:
техническая термодинамика и химическая термодинамика.
Химическая термодинамика изучает взаимные превращения
различных видов энергии в химических процессах и является разделом
физической химии.
Техническая термодинамика изучает закономерности взаимного
превращения теплоты и работы в различных тепловых и холодильных
машинах и аппаратах.
1. Основные термодинамические параметры состояния
Процессы преобразования "теплоты" в работу, протекающие в
различных тепловых машинах, или преобразования работы в "холод",
протекающие в холодильных установках, осуществляются с участием
рабочего тела. Например, в паровых турбинах рабочим телом является
водяной пар, в поршневых двигателях и газотурбинных установках газообразные продукты сгорания топлива, в компрессорах - газ или пар, в
холодильных установках - хладоагент (аммиак, фреоны и др. вещества).
Физическое
состояние
термодинамическими
любого
параметрами.
В
тела
характеризуется
качестве
основных
термодинамических параметров принимают удельный объём, абсолютное
давление и абсолютную температуру.
Удельным объёмом тела

называется величина, равная
отношению объёма тела V к его массе m:

V
m
(1)
В системе СИ удельный объём имеет размерность м 3 / кг .
Величина, обратная удельному объёму  
m 1
 , кг / м 3 ,
V 
называется плотностью.
Абсолютным давлением p называется отношение нормально
направленной силы F к площади поверхности S, на которую действует
эта сила:
p
F
, H / м2
S
(2)
В системе СИ единицу измерения давления принят паскаль
(1Па=1 H / м 2 ).
В практических расчетах применяют и другие единицы измерения
давления, например:
более удобная единица, так как близка атмосферному давлению и
кратная Па
бар - 1бар =100000 Па = 10 5 H / м 2 ;
техническая атмосфера 1 ат = 1 кгс / см 2 = 98100 Па;
физическая атмосфера при t=0˚С=273,15K 1 атм = 760 мм рт. ст. = 101325 Па.
Не
следует
путать
физическую
атмосферу
(как
единицу
измерения давления) с атмосферным давлением.
Атмосферное
давление
(барометрическое)
ратм
измеряют
барометрами. Оно не является постоянной величиной и зависит от
состояния атмосферы, высоты над уровнем моря и географических
координат. Обычно находится в пределах 730 - 770 мм рт. ст.
Избыточное
давление
(манометрическое)
р изб
измеряют
манометрами
ризб   атм  
Величину разряжения
р в ак
рвак   атм  
(при р > р атм ).
измеряют вакуумметрами
(при р < ратм ).
Необходимо подчеркнуть, что термодинамическим параметром
является только абсолютное давление р .
Абсолютная температура Т представляет собой меру средней
кинетической энергии (теплового) движения молекул тела.
В качестве единицы измерения абсолютной температуры принят
Кельвин.
Абсолютная температура, соответствующая тройной точке воды
(при которой лёд, жидкая вода и водяной пар находятся в равновесии)
равна 273,15 К.
Широкое практическое применение имеет также температурная
шкала Цельсия, в которой за начало отсчёта принята температура
тройной точки воды. Абсолютная температура связана с температурой по
Цельсию уравнением
Т, К = t, ˚С + 273,15
Между
температурными
шкалами
(3)
Кельвина
и
Цельсия
существует различие только в выборе начала отсчета. Сами же единицы
измерения температур, т.е. К и ˚С, одинаковы.
Термодинамическим параметром является только абсолютная
температура, измеряемая по шкале Кельвина.
2. Термодинамическая система
При термодинамическом изучении различных явлений в качестве
объекта исследования выделяется какое-либо тело или группа тел,
называемых термодинамической системой. Все другие тела, не входящие
в эту систему, называют окружающей средой.
В общем случае система может обмениваться с окружающей
средой веществом и энергией (в виде работы и теплоты). Такая система
называется открытой.
Если исключено всякое взаимодействие термодинамической
системы с окружающей средой, говорят, что система полностью
изолирована или замкнута.
Если исключена только возможность теплообмена системы с
окружающей средой, говорят, что система теплоизолирована или
адиабатна.
Система, имеющая во всех своих частях одинаковый химический
состав и одинаковые физические свойства, называется однокомпонентной
и гомогенной (например, лёд или вода или насыщенный водяной пар,
взятые в отдельности).
Система, состоящая из нескольких макроскопических частей,
одинаковых по химическому составу, но отличающихся по физическим
свойствам, называется однокомпонентной гетерогенной (например,
влажный водяной пар, смесь воды со льдом). Части такой системы, в
пределах которых физические свойства одинаковы, называются фазами
(твёрдая, жидкая, газообразная).
Система, состоящая из смеси нескольких химически различных
веществ, находящихся в одинаковом фазовом состоянии (т.е. только в
твёрдом или только в жидком, или только в газообразном) называется
многокомпонентной однофазной (например, воздух, представляющий
собой смесь газов - азота, кислорода и др.).
И, наконец, система, состоящая из нескольких различных
химических веществ, находящихся в разных фазовых состояниях,
называется многокомпонентной многофазной (например, запыленный
воздух).
Простейшими
для
термодинамического
анализа
являются
однокомпонентные гомогенные системы.
3. Термодинамический процесс
Термодинамическое состояние однокомпонентной однофазной
системы полностью определяется всего лишь двумя из трёх основных
параметров состояния. Это обстоятельство математически выражается
уравнением состояния
F ( p, , T )  0 ,
(4)
из которого можно получить частные зависимости любого параметра от
двух других в виде уравнений:
p  p( , T );   ( p, T ); T  T ( , p)
(5)
Равновесным состоянием системы называется такое, при котором
во всех точках объёма системы все термодинамические параметры
одинаковы, т.е. не зависят от пространственных координат.
Равновесным процессом называется такой процесс, в котором все
термодинамические
параметры
системы
изменяются
во
времени
одинаково и одновременно во всех точках её объёма.
Строго говоря, все реальные процессы неравновесны. Однако,
при определённых условиях, реальные процессы очень близки к
равновесным.
Равновесные
процессы
сравнительно
просто
описываются
математически и графически. В самом деле, если известен конкретный
вид уравнения состояния (4), пользуясь этим уравнением можно
построить в координатах р,  , Т некоторую поверхность, которая
называется термодинамической поверхностью.
Каждая
точка
этой
поверхности
соответствует
вполне
определённому равновесному состоянию системы, а любая линия,
расположенная на этой поверхности, изображает равновесный процесс.
4. Идеальные газы
Идеальными
называют
такие
газы,
для
которых
можно
пренебречь размерами молекул и силами взаимодействия между
молекулами.
Все реальные газы в определенной области температур и
давлений обладают свойствами, близкими к идеальным газам.
Состояние идеального газа описывается уравнением Клапейрона
p  RT
(6)
где R - постоянная для данного газа.
Это уравнение записано для 1 кг газа, т.к. в него входит удельный
объём  . Для произвольной массы m идеального газа уравнение
состояния имеет вид
pV  mRT ,
здесь V - объём занимаемый газом.
Для одного киломоля газа уравнение состояния будет
p  R y T ,
где  - объём киломоля газа (молярный объём),
R  Ry / 
(7)
R y =8314 Дж/(кмоль·К) - универсальная газовая постоянная,
 - молярная масса газа, кг/кмоль.
Протекающие процессы при постоянном значении одного из
параметров и при изменении 2-х остальных имеют специальные
названия:
а) изобарный (при p=const);
б) изохорный (при  =const);
в) изотермный (при Т=const).
Графические изображения этих процессов для идеальных газов
показаны на рис.1.
Рис. 1
Изобара и изохора являются прямыми линиями, а изотерма
представляет собой гиперболу (в этом легко убедиться, рассматривая
уравнение Клапейрона).
Для реальных газов эти же процессы описываются более
сложными зависимостями, которые будут рассмотрены в дальнейшем.
5. Смесь идеальных газов
Помимо основных термодинамических параметров р,  и Т
состояние газовой смеси характеризуется её составом.
Состав газовой смеси из n компонентов может быть задан
массовыми или объёмными долями.
Массовой долей i-го компонента называется отношение его массы
mi к общей массе смеси m
g i  mi / m .
Поскольку сумма масс всех компонентов равна массе смеси, т.е.
n
m
i 1
m,
i
очевидно, что сумма всех массовых долей равна 1, т.е.
n
g
i 1
Объёмной
долей
i-го
i
 1.
компонента
называется
отношение
парциального объёма данного компонента Vi к общему объёму смеси V
ri  Vi / V .
Под парциальным объёмом
Vi
имеется в виду такой объём,
который занимал бы данный компонент при отсутствии других
компонентов, если бы его температура и давление равнялись температуре
и давлению газовой смеси.
Для смеси идеальных газов сумма парциальных объёмов всех
компонентов равна общему объёму смеси
n
V
V ,
i
i 1
поэтому сумма объёмных долей всех компонентов равна 1, т.е.
n
r
i 1
i
1
Эти уравнения справедливы только для идеальных газов.
Массовые и объёмные доли связаны очевидным соотношением
g i  ri /  i ,
где  ,  i - удельные объёмы смеси и отдельных компонентов.
Для смеси идеальных газов справедлив закон Дальтона, согласно
которому общее давление смеси газов равно сумме парциальных
давлений компонентов
n
p   pi .
(9)
i 1
Парциальным давлением компонента
pi
называется такое
давление, которое имел бы один этот компонент, занимая весь объём V
при той же температуре. Парциальное давление определяется формулой
pi  ri p
(10)
Для смеси идеальных газов также справедливо уравнение
Клапейрона
p  RT ,
где R - газовая постоянная смеси,  - её удельный объём.
В зависимости от того, как задан состав смеси, величина R
вычисляется по одному из следующих уравнений
n
n
i 1
i 1
R   g i Ri  1 /  (ri / Ri )
где
Ri
(11)
- газовая постоянная отдельных компонентов.
Газовую постоянную можно определить также по формуле
R  Ry /  ,
где  - средняя молярная масса смеси газов
n
n
i 1
i 1
  1 /  ( g i / i )   ri   i ,
(13)
 i - молярные массы компонентов.
6. Реальные газы. Уравнение Ван-дер-Ваальса
Отличие
реальных
газов
от
идеальных
обусловлено
существованием сил электродинамического взаимодействия между
молекулами.
Рассмотрим
реальный
газ,
молекулы
которого
являются
одноатомными (как например, молекулы инертных газов). Из курса
физики и химии известно, что атом состоит из расположенного в центре
положительно заряженного ядра и окружающей его отрицательно
заряженной электронной оболочки. Между ядрами и электронными
оболочками соседних молекул действуют силы взаимного притяжения и
отталкивания, зависящие от расстояния между центрами молекул (рис.2)
.
Рис. 2
И те и другие силы убывают с увеличением расстояния r. Силы
отталкивания убывают быстрее, чем силы притяжения (рис.3).
F
F0
Идеальный газ
Fот
F
0
r
r0
Fпр
F=Fот+Fпр
Рис. 3
Значение r  r0 можно условно изменять в качестве размера
молекулы. При
r  r0
результирующая сила F>0, т.е. является
отталкивающей. При r  r0 результирующая сила F<0, т.е. является
притягивающей.
При малых давлениях газа молекулы расположены друг от друга
на очень больших расстояниях по сравнению с размерами самих молекул,
и силы притяжения между ними очень малы.
Запишем это математически
при r  r0 имеем r0  0, F  0
(14)
Условие (14) соответствует рассматриваемой ранее простейшей
модели газа, т.е. идеальному газу, состояние которого как мы уже знаем,
описывает уравнение Клапейрона. p  RT
Рассмотрим теперь, какие поправки необходимо ввести в это
уравнение в связи с изложенными выше отличием реальных газов от
идеальных.
Наличие размера r0  0 эквивалентно тому, что молекулы газа
сами занимают некий объем . Поэтому свободный объем, доступный
для перемещения молекул в реальном газе и входящий в уравнение
Клапейрона, будет меньше на величину .
Внесем соответствующую поправку в уравнение Клапейрона,
решив его относительно p.
p
RT
  
(15)
Силы взаимного притяжения между молекул приводят к
снижению давления газа на величину  p . С учетом этой поправки
запишем:
p
RT
 p
  
(16)
Нетрудно сообразить, что величина p пропорциональна как
числу притягивающих, так и притягиваемых молекул в единице объема,
т.е. пропорциональна квадрату плотности газа и, следовательно, обратно
пропорциональна квадрату его удельного объема. Запишем это:
p  a
2
,
где a - коэффициент пропорциональности.
Обозначая первую поправку   b и подставляя обе поправки в
уравнение (16), получим уравнение Ван-дер-Ваальса:
(p  a
2
)(  b)  RT
(17)
7. Анализ уравнения Ван-дер-Ваальса.
Уравнение
Ван-дер-Ваальса
запишем
в
виде,
решаемом
относительно давления
p
RT
a
 2
 b 
(18)
При известных значениях постоянных R, a и b с помощью этого
уравнения можно построить ряд изотерм, т.е. зависимостей p от  при
постоянных температурах (Рис. 4).
Р
Идеальный газ
T>Tк
К
Рк
T=Tк
D
А
В
А С
T<Tк
Площади
равновелики
0


'
к
к

 

''
Рис. 4
Из рис. 4 видно, что при достаточно низких температурах
изотермы имеют «волнообразный» участок между точками А и B. С
повышением температуры длина этого участка сокращается и при
некоторой температуре Tk точки А и В совмещаются в одну точку К. При
более
высоких температурах,
чем
Tk
изотерма
уже не
имеет
волнообразного участка.
Как видим, точка А и В, лежащая на одной изотерме и
соответствующая одному и тому же давлению, в тоже
время
соответствует двум различным значениям удельного объема   и   .
Cлева от точки А изотерма имеет значительно более крутой наклон к оси
абсцисс, чем справа от точки В.
Физическая интерпретация такого характера изотерм состоит в
следующем. Участки изотерм расположенные слева от штриховой линии
АК, соответствует жидкому состоянию, а расположенные справа от
штриховой линии КВ, соответствуют газообразному состоянию. Участок
изотермы АС соответствует состоянию перегретой жидкости а участок
DB – состоянию переохлажденного пара. Участок СD не имеет
физического смысла.
Значение
p k , k , Tk , соответствующие точке К, называются
критическими параметрами. При температурах ниже критической
переход из жидкого состояния в газообразное, и обратный переход,
осуществляется через двухфазное состояние системы. При температурах
выше критической не существует принципиального различия между
жидкостью и газом.
Уравнение Ван-дер-Ваальса качественно правильно описывает
поведение реальных газов. Однако в него входят величины a и b,
которые необходимо определять для каждого вещества индивидуально.
RT K
2a
 p 
 3  0,

 
2
( k  b)
k
   TK
(19)
2 RT K
6a
 p 
 4 0

 
3
   TK ( k  b)  k
(20)
Уравнения (19) и (20) перепишем в виде:
RT k k3  2a ( k  b) 2 ,
(21)
2 RT k k4  6a( k  b) 3
(22)
Разделим уравнение (22) на уравнение (21), получим
2 k  3( k  b),
откуда следует
 k  3b
(23)
Подставим полученное значение  k в уравнение (21) найдем:
TK  8a /( 27 Rb)
(24)
Подставляя значения  k и Tk в уравнение (18) получим:
p k  a /( 27b 2 )
(25)
Вместо параметров p, , T введём приведенные (безразмерные)
параметры:
p*  p / pk ;*   /  k ; T *  T / Tk ,
(26)
а уравнение Ван-дер-Ваальса запишем в виде:

a 
 pk  p *  2 2  k * b   RT K T * .
k * 

Подставляя в это уравнение значения критических параметров из
формул (23)-(25), запишем
a 
8a
 a
p *  2 2 3b * b  
T *.

2
27b
9b  * 
 27b
После очевидных преобразований получим уравнение Ван-дерВаальса в приведенных ниже параметрах
p *  3 * 3 * 1  8T *
2
(27)
В
этом
уравнении
отсутствуют
какие-либо
величины,
характеризующие данное вещество, поэтому оно справедливо (по
крайней мере, теоретически) для любых веществ.
Следует, однако, иметь в виду, что использование уравнения (27)
дает лишь приближенные результаты.
На основании формул (23)-(25) вычислим соотношение:
K
Величина K называется
RTk
 8  2,67
3
pk Vk
критическим коэффициентом. Сравнивая
теоретическое значение K=2,67 с экспериментальными значениями
можно судить о том, на сколько точно уравнение Ван-дер-Ваальса
описывает поведение реальных веществ.
Табл. 1
Вещество
К
H2O
4.37
CO2
3.62
NH3
4.19
O2
3.46
Как видно из таблицы 1, действительные значения критического
коэффициента К отличаются от теоретического значения.
Теория Ван-дер-Ваальса оказала большое влияние на развитие
термодинамики, поскольку способствовала открытию и правильному
пониманию критических состояний веществ. До открытия критических
состояний пытались превратить кислород (и другие газы) в жидкость
путем сильного сжатия при комнатной температуре. Теперь мы знаем, что
эти попытки были обречены на неудачу, поскольку критическая
температура для кислорода равна Тк=154 К=-119oC, то есть значительно
ниже комнатной температуры. Превращение газов в жидкое состояние
возможно только при температурах ниже критической.
При
выполнении
точных
термодинамических
расчетов
в
настоящее время вместо уравнения Ван-дер-Ваальса используют более
точные уравнения, которые можно найти в специальной литературе,
включающие так называемые вириальные коэффициенты. Эти уравнения
мы не будем рассматривать.
8. Термические коэффициенты (Для всех тел)
Коэффициент
термического
расширения
характеризует
относительное изменение объема тела при изменении его температуры
под постоянным давлением

Изотермический

1 

T
 , 1K
(28)
p
коэффициент
сжатия
характеризует
относительные изменения объема тела при изменении давления при
постоянной температуре
2
1
     p  , м Н или Па-1
T

(29)
Коэффициент тепловой упругости характеризует относительное
изменение давления при изменении температуры тела при постоянном
объеме
 
1  p  1

 ,
p  T  K
(30)
Установим связь между термическими коэффициентами. Для
этого уравнение состояния запишем в виде, явно выражающем удельный
объем
    p, T 
и найдем полный дифференциал объема
  
  
 dp  
d  
 dT
 T  p
 p  T
(31)
При постоянном объеме тела d  0 , поэтому на основании (31)
запишем
    p 
  
  
  

 T  p
 p  T  T 
(32)
Из формул (28)-(30) найдем частные производные и подставим их
в уравнение (32), получим искомую связь в виде формулы

   p
(33)
Формула (33) позволяет вычислить значение любого из 3-х
термических
коэффициентов,
если
известны
экспериментальные
значения 2-х из них.
Для идеальных газов из уравнения Клапейрона
p  RT
выразим   RT
p
и p  RT

Найдем частные производные:
 T 
p
R ;
p
     RT
;
p2
 p  T
 p   R .

 T 
Подставляя их в формулы (28)-(30), получим:
  R p  1T ;
  RT
p 2
 1 ;
p
  Rp  1T   .
9. Внутренняя энергия (удельная)
В
технической
термодинамике
внутренней
энергией
тела
называют сумму кинетической энергии теплового движения молекул и
потенциальной энергии взаимодействия между молекулами
U  U k  U n , Дж
(34)
кг
Кинетическая энергия полностью определяется температурой
тела, то есть
U k  f k T  ,
а
потенциальная
(поскольку
силы
энергия
(35)
определяется
межмолекулярного
расстояния между молекулами), т. е.
удельным
объемом
взаимодействия
зависят
тела
от
U п  f п  
(36)
U  f T , 
Таким образом
Так как при заданных двух параметров T и  однозначно
определяется и третий параметр p, т. е. термодинамическое состояние
тела вполне определено, то внутренняя энергия является однозначной
функцией состояния, то есть можем записать
U  f1  , T ; U  f 2  p,T ; U  f 3  p,  .
(37)
В идеальном газе отсутствуют силы взаимодействия между
молекулами, поэтому
U п  0 и U  U k T 
(38)
т. е. внутренняя энергия идеального газа равна кинетической энергии
теплового движения его молекул и определяется только температурой.
10. Первый закон термодинамики
Внутреннюю
энергию тела
можно изменить следующими
способами:
1) путем подвода к телу или отвода от тела теплоты  dq ;
2) путем совершения самим телом механической работы
против внешних сил (работа расширения), либо совершения
внешними силами механической работы сжатия dl.
Первое начало термодинамики является по существу законом
сохранения энергии применительно к двум ее видам – тепловой и
механической, и записывается так
dq  dU  dl
(39)
работа dl, связанная с изменением объема тела на величину d равна
dl  p  d ,
поэтому первое начало термодинамики записывается в виде уравнения
dq  dU  pd
(40)
11. Энтальпия (удельная)
Удельной энтальпией тела i называется величина, определяемая
уравнением
i  U  p  f  p, , Дж
кг
(41)
Поскольку внутренняя энергия тела U является однозначной
функцией состояния, то согласно уравнению (41) удельная энтальпия
тоже является однозначной функцией состояния тела, то есть мы можем
записать
i  f1  , T ; i  f 2  p,T  ; i  f 3  p, 
(42)
первый закон термодинамики, выраженный через энтальпию:
dq  dU  pd  d i  p   pd  di  pd  dp  pd  di  dp
Удельная энтальпия идеального газа полностью определяется
только его температурой. Действительно, ранее было показано, что
внутренняя энергия идеального газа есть функция только температуры, т.
е. U  U k T  , а поскольку согласно уравнению Клайперона p  RT ,
получим
i  U k T   RT  f T 
(43)
12. Удельные теплоемкости
Удельной массовой теплоемкостью тела в данном процессе
называется отношение теплоты, подведенной к телу или отведенной от
тела в этом процессе, к массе тела и изменению его температуры
C  dQ
где dq 
dQ
m
mdT  
dq
dT
, Дж
кг  град  ,
(44)
- удельная теплота, Дж/кг
Теплоемкость, отнесенную к 1 кмолю тела, называют мольной
теплоемкостью
C   C , кДж
кмоль  град 
(45)
Важно подчеркнуть, что удельные теплоемкости зависят не
только от физических свойств данного тела, но и от характера самого
процесса подвода или отвода теплоты. Это замечание особенно
существенно для газов.
В термодинамических расчетах наиболее часто используют
изохорную теплоемкость
C 
dq
dT
(при   const )
(46)
и изобарную теплоемкость
Cp 
dq p
dT (при p=const)
(47)
Для изохорного процесса d  0 , поэтому из уравнения первого
закона термодинамики следует
dq  dU
С учетом (46) получим

C  U
T

(48)

Для изобарного процесса dp=0, поэтому
dq p  di
На основании (47) запишем

C p  i
T

(49)
p
Для идеального газа согласно формулам (38) и (43) внутренняя
энергия и энтальпия зависят от температуры, причем, как
было
установлено ранее
iT   U T   RT
(50)
Поэтому в формулах (48) и (49) частные производные можно
заменить на обыкновенные, т. е. можем записать
C  dU
C p  di
(51)
dT
(52)
dT
Дифференцируя уравнения (50) по Т, получим
di
dT
 dU
dT
R
откуда следует
C p  C  R ,
(53)
т. е. для идеального газа изобарная теплоемкость больше изохорной
теплоемкости на величину газовой постоянной.
Теплоемкости реальных тел зависят от параметров состояния, в
частности от температуры. Приведенные выше формулы определяют так
называемые истинные значения теплоемкостей, относящиеся к вполне
определенным температурам.
При проведении тепловых расчетов процессов, протекающих с
изменением температур в конечных пределах от t1 до t2 используют
средние значения теплоемкостей
t
C
1 2
C t dt
t 2  t1 t1
(54)
В тех случаях, когда зависимость истинной теплоемкости от
температуры линейна, т. е.
C t   C0  bt ,
(55)
где Со – истинная теплоемкость при 0 оС, b – коэффициент температурной
зависимости теплоемкости, средняя теплоемкость вычисляется по
формуле
1
C  C0  bt 2  t1 
2
(56)
Теплоемкости смеси идеальных газов вычисляются по формулам:
n
C   g i Ci
(57)
i 1
n
C    ri C i
i 1
где С i и C i - массовые теплоемкости компонентов.
(58)
13. Элементы кинетической теории теплоемкости газов
Из кинетической теории одноатомного идеального газа известно
U
3
RT
2
(59)
откуда следует
C  dU

dT
3
5
R; C p  C  R   R
2
2
Мольные теплоемкости одноатомного идеального газа будут
C   C 
3
3
 R y   8.314  12.5 кДж
кмоль  град
2
2
Cp  C  Ry  12.5  8.314  20.8 кДж
кмоль  град
Молекула одноатомного газа имеет 3 поступательных ступени
свободы движения. Согласно уравнению (59) на каждую степень свободы
приходится 1/3 внутренней энергии, то есть
1
1
U j  U  RT
3
2
Молекула
2-х
атомного
поступательного движения
движения.
Принимая,
и
что
газа
имеет
3
степени
2 степени свободы
внутренняя
энергия
свободы
вращательного
равномерно
распределяется по всем поступательным и вращательным степеням
свободы, можно записать для 2-х атомного газа
U  5U j 
откуда следует:
5
RT
2
C 
5
7
R ; Cp  R
2
2
С   20.8 кДж / кмоль  град ;
С p  29.1 кДж / кмоль  град
Приведенные
теоретические
значения
теплоемкостей
для
одноатомных и 2-х атомных газов удовлетворительно согласуются с
экспериментальными данными.
Однако
теплоемкостей
для
дает
многоатомных
газов
значительные
такой
погрешности.
метод
расчета
Оказывается
необходимым помимо поступательных и вращательных степеней свободы
учитывать также колебательные степени свободы атомов в молекуле.
Ситуация осложняется тем, что колебательные движения атомов
возбуждаются не всегда, а при достижении достаточно высоких
температур.
Точные значения теплоемкостей многоатомных газов и других тел
следует принимать по справочным данным.
В термодинамических расчетах часто используется отношение
теплоемкостей
k  C p C  C p C 
Приближенные значения k таковы:
k  1.66 – для 1-атомных газов;
k  1.4 – для 2-атомных газов;
k  1.33 – для многоатомных газов.
(60)
14. Энтропия.
При любом равновесном процессе перехода тела из состояния 1 –
( 1 , p1 , T1 ) в состояние 2 – (  2 , p2 , T2 ) величина интеграла
dq
T
 S 2  S1
не зависит от самого процесса, а зависит только от начального и
конечного состояний тела.
Это значит, что стоящая под знаком интеграла величина является
полным дифференциалом однозначной функции параметров состояния,
то есть
dq
 dS , Дж /( кг  К )
T
(61)
Сама эта функция
S  f1 ( p, ); S  f 2 ( p, T ); S  f 3 ( , T )
называется удельной энтропией данного тела.
Выражая из формулы (61)
dq  TdS
(62)
и подставляя в уравнение первого закона термодинамики, получим
термодинамические тождества для равновесных процессов
dq  TdS  du  pd ,
(63)
dq  TdS  di  dp.
(64)
15. Исследование равновесных процессов в идеальных газах.
Задача исследования состоит в определении теплоты и работы,
которыми обменивается тело с окружающей средой в том или ином
процессе, а также изменения основных термодинамических функций, то
есть
внутренней
энергии,
энтальпии
и
энтропии
тела
(q; l; u2  u1 ; i2  i1 ; S 2  S1 ) .
Эта задача решается путем интегрирования дифференциального
уравнения первого закона термодинамики в виде (63) или (64) совместно
с уравнением состояния идеального газа.
Выпишем
общие
расчетные
уравнения,
вытекающие
из
предыдущего анализа:
T2
q   cdT ;
(65)
T1
2
 pd;
(66)
u2  u1  q  l;
(67)
l
1
i2  i1  u2  p22  u1  p11  u2  u1  R(T2  T1 ); (68)
( 2)
T
dq 2 C
S 2  S1  

dT .
T T1 T
(1)
Изохорный процесс (   const ) ( C  C ).
Из уравнения (65) находим
q  c (T2  T1 ).
Поскольку d  0 , на основании уравнения (66) получим
l  0,
а на основании (67)
(69)
u2  u1  q  c (T2  T1 ).
Из формулы (68) получим
i2  i1  u 2  u1   ( 2  p1 )  c p (T2  T1 ).
На основании уравнения (69) вычисляем
S 2  S1  c  ln( T2 / T1 )
Из полученных результатов видно, что работа изохорного
процесса равна 0, а теплота изохорного процесса равна изменению
внутренней энергии газа.
Изобарный процесс (p=const) (c=cp).
Аналогично предыдущему, используя уравнения (65)-(69), найдем
q  c p (T2  T1 );
l  p( 2  1 );
u 2  u1  c p (T2  T1 )  p( 2  1 )  c (T2  T1 );
i2  i1  u 2  u1  p( 2  1 )  c p (T2  T1 )  q;
S 2  S1  c p  ln( T2 / T1 ).
Теплота изобарного процесса равна изменению энтальпии газа.
Изотермный процесс (T=const), (cT=  ).
Поскольку внутренняя энергия и энтальпия идеального газа
зависят только от температуры, то в изотермном процессе они не
изменяются, то есть
u2  u1  0; i2  i1  0.
С учетом этого из уравнений (66) и (67) найдем:
ql 
2
 pd 
1
2


R T
1

d  R  T  ln(  2 / 1 );
S2  S1  q / T  R  ln( 2 / 1 ).
Как видим, в изотермном процессе энтальпия так же, как и
внутренняя энергия, не изменяются, а вся подводимая к газу теплота
превращается в работу.
Адиабатный процесс (q=0) (cs=0).
Адиабатный процесс протекает без подвода и отвода тепла,
поэтому термодинамические тождества (63), (64) примут следующий вид
du   pd ,
di  dp.
Так как для идеальных газов
c  du / dT , c p  di / dT ,
(см. формулы (51), (52)), запишем
c dT   pd ,
c p dT  dp.
Разделим эти уравнения друг на друга, получим
c
p d
,

cp
 dp
отсюда следует
dp
d
 k
, где k  c p / c .
p

Проинтегрируем это уравнение

2
dp
d


k
p p
  ,
1
1
p2
ln( p2 / p1 )  k  ln(  2 / 1 ),
p2 / p1  (1 /  2 ) k ,
Уравнение адиабатного процесса
p11k  p2 2k  p k  const.
(70)
Пользуясь уравнением адиабаты (70), найдем работу этого
процесса
2
l   pd  p 
k
1 1
1

2

k
d  p 
k
1 1
1
 1k
2
1 k 
p11k 1k

( 2  11k ) 
1 k
1
p
1
1
1
R
( k 1  k 1 ) 
( p11  p2 2 ) 
(T1  T2 ).
k  1 1
k 1
k 1
2
k
1 1
Пользуясь формулами (67)–(69), найдем:
u 2  u1  l 
i2  i1  (
R
(T2  T1 );
k 1
R
kR
 R)(T2  T1 ) 
(T2  T1 );
k 1
k 1
S2  S1  0.
Последнее равенство означает, что равновесный адиабатный
процесс является изоэнтропным.
Политропные процессы (cn=const).
Политропным называется всякий процесс изменения состояния
идеального газа, при котором теплоемкость является постоянной
величиной в данном процессе. Согласно этому определению запишем
dq  cn dT , cn  const.
На основании первого закона термодинамики
dq  du  pd ,
dq  di  dp,
с учетом того, что для идеальных газов
du  c dT и di  c p dT ,
запишем
cn dT  c dT  pd ,
cn dT  c p dT  dp.
Отсюда найдем
cn  c p
cn  c

dp
.
pd
Обозначим постоянную величину
cn  c p
cn  c
 n,
(71)
тогда
n
d


dp
.
p
Интегрируя, найдем
n  ln( 2 /1 )  ln( p1 / p2 ),
откуда
( 2 / 1 ) n  p1 / p2
p11n  p2 2n  p n  const.
(72)
Это уравнение называется уравнением политропного процесса, а
величина n называется показателем политропы.
Рассмотренные
выше
процессы:
изохорный,
изобарный,
изотермный и адиабатный являются частными случаями политропного
процесса. Найдем для них значения n по формуле (71):
1) изохорный
cn  c , n   ;
2) изобарный
cn  c p , n  0 ;
3) изотермный
cn   , n  lim
4) адиабатный
cn  0 , n  k .
cn 
cn  c p
cn  c
 1;
Теплота политропного процесса будет равна:
T2
dq  cn dT   q   cn dT  cn T2  T1 
T1
Уравнение политропы (72) аналогична уравнению адиабаты (70)и
отличается от него лишь величиной показателя степени.
Поэтому
l
R
T1  T2   c  cn T1  T2 
n 1
На основании (71) показать, что
Rcn  c  Rcn  c 
R
R



 C  Cn
n  1 cn  c p
c  c p
R
1
cn  c
Пользуясь уравнением (67)-(69) найдем:
u 2  u1  cn T2  T1  
R
T2  T1   C T2  T1 
n 1
i2  i1  c T2  T1   RT2  T1   C p T2  T1 
s 2  s1  cn  ln T2 T1  .
T
2
dT
dq cn dT
, s 2  s1  c n 
 c n  ln T2 T1 
ds 

T
T
T
T1
16. Цикл Карно. Второе начало термодинамики
Допустим, что мы располагаем источником теплоты с постоянной
температурой T1=const и теплоприемником с температурой T2=const,
причем T1>T2 Построим тепловую машину преобразующую теплоту в
работу. В полости цилиндра находится идеальный газ. Машина действует
следующим образом.
В
точке
соответствующей
А,
крайнему
левому положению поршня,
газ приводится в контакт с
источником T1. Происходит
равновесный процесс изотермического расширения газа вследствие
подвода к нему теплоты q1.
В точке В устраняется тепловой контакт между газом и
источником, и дальнейшее расширение газа происходит адиабатно, то
есть за счет уменьшения внутренней энергии газа. При этом температура
газа уменьшается. Процесс адиабатного расширения проводится до тех
пор, пока температура газа станет равной температуре теплоприемника
T2.
В точке С газ приводится в тепловой контакт с теплоприемником.
Происходит процесс изотермического сжатия газа с передачей теплоты q2
от газа к теплоприемнику.
В точке D устраняется контакт между газом и теплоприемником, и
дальнейшее сжатие газа происходит адиабатно. Температура газа
возрастает, пока не достигает значения T1, а газ придет в исходное
состояние, соответствующее точке А.(Сказать о работе расширения и
сжатия газа)
Описанный выше цикл, называемый циклом Карно, замечателен
тем, что имеет наибольший термический к.п.д., по сравнению со всеми
другими возможными циклами при тех же T1 и T2.
Термическим к.п.д. любого цикла называется отношение работы,
произведенной за один цикл, к количеству теплоты, отнятой из
источника:
  l q1
Определим к.п.д. цикла Карно. Пользуясь полученными ранее
формулами для изотермического и адиабатного процессов, запишем:
q AB  l AB  RT1 ln  B  A 
AB
q BC  0 ; l BC 
B C
R
T1  T2 
k 1
CD
qCD  lCD  RT2 ln  D  C    RT2 ln  C  D 
DA
qDA  0 ; l DA 
R
T2  T1    R T1  T2 
k 1
k 1
Работа, производимая за цикл, равна алгебраической сумме работ
на отдельных участках цикла:
l  l AB  l BC  lCD  l DA  RT1 ln  B  A   RT2 ln  C  D 
Поскольку q1  q AB  RT1 ln  B  A  ,
то   1 
T2  ln  C  D 
T 1 ln  B  A 
Покажем далее, что  C  D   B  A .
Так как процесс BC адиабатный, то p B Bk  pC Ck ,
следовательно p B pC  C  B  .
k
Запишем также уравнения состояния для точек В и С:
pB B  RT1 ; pC C  RT2 ,
откуда следует p B pC   C  B T1 T2  .
Сравнивая с предыдущим результатом, получим
 C  B  T1 T2  k 1 .
1
Аналогично этому для адиабатного процесса DA найдем
 D  A  T1 T2  k 1 .
1
Отсюда следует, что
С  B   D  A ;
С  D   B  A ,
поэтому
  1  T2 T1
(73)
Отсюда видно, что к.п.д. цикла Карно зависит только от
температур источника тепла и приемника. К.п.д. тем больше, чем меньше
величина отношения T2 к T1 . При конечных значениях T1 и T2 к.п.д.
цикла всегда меньше единицы.
Поскольку из всех возможных циклов рассмотренный выше цикл
Карно обладает наибольшим к.п.д., причем всегда меньшим единицы,
можно сделать следующий вывод.
Принципиально невозможно построить такую машину, которая
бы превращала в работу всю теплоту, отнятую у теплового источника, без
передачи части этой теплоты теплоприемнику.
Это утверждение является одной из формулировок второго начала
термодинамики.
Из сказанного следует, что между преобразованием работы в
теплоту и, наоборот, преобразованием теплоты в работу существует
глубокое различие. Работа всегда может быть полностью преобразована в
теплоту, а теплота может быть преобразована в работу лишь частично.
Другая формулировка второго начала термодинамики состоит в
следующем утверждении – невозможно построить вечный двигатель
второго рода. При этом имеется в виду, что окружающая нас среда –
земля, воздух, вода морей и океанов, обладает огромным запасом
внутренней энергии. Если бы второе начало термодинамики не являлось
законом природы, то можно было бы использовать эту энергию для
превращения ее в работу, не нарушая закона сохранения энергии, то есть
первого начала термодинамики. Так как энергия окружающей среды
столь велика, что её можно считать практически неисчерпаемой, то до
открытия второго закона термодинамики предпринимались попытки
построения вечного двигателя второго рода. Теперь нам ясно, что
построить такой двигатель принципиально невозможно.
17. Обратный цикл Карно
Представим себе машину, осуществляющую цикл Карно в
обратном направлении.
От начальной точки А газ расширяется по адиабате AD, при этом
его температура снижается от T1 до T2 . Дальнейшее расширение газа
происходит по изотерме D-C с подводом теплоты q 2 от источника с
низкой температурой T2 .
Далее следует адиабатное
сжатие
C-B
с
увеличением
температуры газа от T2 до T1 , а
затем изотермное сжатие ВА с
отводом теплоты q1 к теплоприемнику с температурой T1 > T2 .
Осуществляя обратный цикл Карно, мы отнимаем теплоту q 2 от
источника с низкой температурой T2 и отдаем теплоту q1  q2  l
теплоприемнику с высокой температурой T1 .
Величина l представляет собой работу, которую необходимо
затратить для осуществления обратного цикла Карно. Эта работа по
абсолютной величине равна работе прямого цикла, но имеет обратный
знак.
Машина, осуществляющая обратный цикл Карно, называется
холодильной машиной.
Эффективность работы холодильных машин характеризуется так
называемым холодильным коэффициентом
  q2 l ,
представляющим собой отношение количества теплоты, отнимаемой у
охлаждаемого тела, к количеству затрачиваемой на это работы.
Для определения холодильного коэффициента 
используем
результаты, полученные при рассмотрении прямого цикла Карно. С
учетом того, что теперь:
q2  q DC  qCD
запишем

R  T2  ln  C  D 
R  T1  ln  B  A   R  T2  ln  C  D 
Поскольку  B  A   C  D , получим

T2
.
T1  T2
Холодильный коэффициент обратного цикла Карно зависит
только от абсолютных температур теплоисточника и теплоприемника и
имеет наибольшую величину по сравнению с другими холодильными
циклами при тех же значениях температур T1 и T2 . Поэтому он может
рассматриваться как эталон совершенства практически осуществляемых
холодильных циклов (для которых   3  6 )
Более подробные сведения о холодильных машинах Вы получите
в специальном курсе по хладотехнике.
18. Агрегатные состояния. Фазовые равновесия и фазовые
переходы.
В термодинамике различают три агрегатных состояния: твердое
(Т), жидкое (Ж), газообразное (Г). Все вещества при определенных
условиях могут находиться в любом из трех агрегатных состояний.
Процессы превращения веществ из одного агрегатного состояния
в другое называют фазовыми переходами. В зависимости от начального и
конечного состояний эти процессы имеют следующие названия:
плавление (твердое  жидкое)
кристаллизация (жидкое  твердое)
испарение (жидкое  газообразное)
конденсация (газообразное  жидкое)
сублимация (возгонка) (твердое  газообразное)
десублимация (газообразное  твердое)
При определённых условиях одно и тоже вещество может
находиться одновременно в двух и даже в трёх агрегатных состояниях. В
таких случаях говорят, что вещество находиться в 2-х фазном или 3-х
фазном состоянии. Если массы каждой из фаз не изменяются с течением
времени, то говорят о фазовом равновесии.
Для любого вещества можно построить фазовую pT- диаграмму.
P
B'
B
K
Pk
ЖИДКОЕ
A
PA
C
0
ГАЗООБРАЗНОЕ
TA
Tk
T
Слева от линий AC и AB расположена область твёрдого состояния
вещества.
Справа от линий AC и AK расположена область газообразного
состояния вещества. Между линиями AB и AK – область жидкого
состояния.
Из диаграммы видно, что равновесию между твёрдым и
газообразным состояниями соответствует линия AC, равновесию между
твёрдым и жидким состояниями – линия AB, и равновесию между
жидким и газообразным состояниями – линия AK.
Точка A соответствует равновесному состоянию всех 3-х фаз
одновременно, и поэтому она называется тройной точкой.
Точка K (нам уже знакома) отвечает критическому состоянию
вещества. В области, расположенной выше критической точки и справа
от линии AB нет различия между жидким и газообразным состояниями.
Эту область назовём областью надкритического состояния.
Для различных веществ фазовые pT- диаграммы похожи друг на
друга, но отличаются значениями параметров для тройной и критической
точек, т.е. pA, TA, pk, TK.
Почти для всех веществ линия равновесия между твёрдым и
жидким состояниями, т.е. линия AB, имеет наклон вправо от точки A.
Однако, существуют аномальные вещества, для которых эта линия имеет
наклон влево от точки А, как показано на рисунке линией AB'. К таким
аномальным веществам относится вода.
Располагая фазовой pT- диаграммой, можно определить давления
или температуры различных фазовых превращений:
по линии AC – при сублимации и десублимации;
по линии AB – при плавлении и затвердевании;
по линии AK – при кипении и конденсации;
Рассмотрим фазовую p - диаграмму.
P
C
E
7
K
1
2
3
4
5
A''
A
A'
6
0
D
V
Эта диаграмма замечательна тем, что она изображает не только
области основных агрегатных состояний, но и области двухфазных
состояний вещества. Области, обозначенные цифрами и выделенные
различной штриховкой, соответствуют следующим состояниям:
1 – твёрдое; 2 – твёрдое + жидкое; 3 – жидкое; 4 – жидкое + газообразное;
5 – газообразное; 6 – твёрдое + газообразное; 7 – надкритическое;
Линия AA'A'' соответствует равновесному состоянию всех 3 фаз.
Точка K – соответствует критическому состоянию вещества.
Пользуясь фазовой
p
– диаграммой, можно определить
следующие параметры.
1. При заданном давлении:
по линии AB – удельный объём твёрдого тела при сублимации и
десублимации;
по линии AC – удельный объём твёрдого тела при плавлении и
затвердевании;
по линии A'E – удельный объём жидкости при плавлении и
затвердевании;
по линии A'K – удельный объём жидкости при кипении и
конденсации;
по линии A''K – удельный объём газа при кипении и конденсации;
по линии A''D – удельный объём газа при сублимации и
десублимации.
2.
При
заданном
удельном
объёме
определяются
давления,
соответствующие указанным фазовым превращениям.
Фазовая Ts- диаграмма имеет вид, аналогичный p - диаграмме.
Эта
диаграмма
удобна
тем, что в ней изотермические
процессы
изображаются
прямыми
линиями,
параллельными оси абсцисс, а
адиабатные
(изоэнтропные)
процессы
прямыми
ординат. Поэтому цикл
прямоугольником.
Ts-
изображаются
параллельными
оси
Карно в этой диаграмме изображается
диаграмма
особенно
удобна
для
термодинамического анализа различных циклов, если на ней нанесены
линии изохорных и изобарных процессов, а также линии постоянной
сухости пара в области 4.
Помимо рассмотренных выше, в технической термодинамике
широко
используется
также
–
is
диаграммы,
с
которыми
мы
познакомимся в следующем разделе.
19. Вода и водяной пар.
Из множества различных веществ вода и водяной пар находят
наибольшее применение в теплотехнике. Поэтому их термодинамические
и теплофизические свойства хорошо изучены и приведены в специальной
литературе в виде таблиц и диаграмм. Для выполнения теплотехнических
расчётов необходимо уметь пользоваться этими данными.
Дадим основные определения, относящиеся не только к воде и
водяному пару, но и к другим веществам.
Пар, находящийся в равновесии с жидкостью и не содержащий
внутри
себя
мельчайших
капелек
жидкости,
называют
сухим
насыщенным (или просто насыщенным) паром. Состояние насыщенного
пара определяются всего лишь одним из параметров P или T или  . (Это
видно, например из фазовых pT- или p - диаграмм).
Смесь насыщенного пара со взвешенными в нём мельчайшими
каплями жидкости называют влажным паром. Состояние влажного пара
характеризуется степенью сухости:
х
М НП
,
М НП  М Ж
где М НП , М Ж – массы насыщенного пара и жидкости.
Пар, температура которого выше температуры насыщения
приданном давлении, называется перегретым паром.
Удельной теплотой парообразования r называется количество
тепла, которое необходимо подвести к 1 кг кипящей жидкости для
полного превращения её в насыщенный пар.
Параметры тройной точки воды таковы:
р А  0,0061 бар;  А  0,001 м 3 / кг ; t А  0,01 0 С
В технической термодинамике энтальпию и энтропию воды в
тройной точке условно принимают равным 0, т.е.
i A  0, S A  0, rА  2503 кДж / кг
Критические параметры водяного пара:
р К  221 бар;  К  3,15  10 3 м 3 / кг ; t К  374 0 С;
i К  2095,2 кДж / кг ; S К  4,424 кДж /( кг  град); rК  0.
Параметры р Н и TН характеризуют равновесное состояние
кипящей воды и водяного пара. Они для обеих фаз одинаковы. Удельные
объёмы, энтальпии и энтропии для воды и пара на линии насыщения
имеют различные значения.
Их обозначают так:
 ' , i ' , S ' – для кипящей воды;
 " , i" ,
S '' – для насыщенного пара.
Указанные величины связаны уравнениями:
i"  i '  r
S"  S' 
r
TН
Параметры влажного пара определяются аддитивно:
 Х  1  х  '  х '' ;


i Х  хi''  1  х i '  х i "  i '  i '  хr  i ' ;
S Х  хS ''  1  х S '  хS "  S '   S '  х
r
 S'
TН
Параметры перегретого пара:
T
iT   i '  r   c p dT  i '  r  c p T  TН ;
TН
T
r
dT
r
S T   xS 
  cp
 S' 
 c p ln T / TН ;
TH TН
T
TH
''
Подробные
таблицы
для
определения
термодинамических
параметров воды, насыщенного и перегретого пара имеются, например ,
в книге Вукаловича М.П., Ривкина С.Л., Александрова А.А. «Таблицы
теплофизических свойств воды и водяного пара» , 1969г.
is-диаграмма водяного пара строится на основании таблиц
термодинамических свойств. За начало отсчета принимаются энтальпия и
энтропия воды в тройной точке i' A =0 и S' A =0.
На диаграмму наносят прежде всего пограничные кривые
кипящей жидкости (х=0) и насыщенного пара (х=1),т.е. линии A'К и КА''.
Затем наносят изобары, которые в области
влажного пара являются
наклонными прямыми линиями. Нижняя изобара А'А'' соответствует
давлению в тройной точке рА=0,0061 бар.
Поскольку процесс кипения при постоянном давлении протекает
также и при постоянной температуре, то в области влажного пара
изобары одновременно являются и изотермическими.
В этой области наносят также линии постоянной сухости пара (
для различных значений х ), которые сходятся в критической точке К.
В области перегретого пара, расположенной выше линии КА'',
изобары представляют собой кривые линии, обращенные выпуклостью
вправо, а изотермы имеют выпуклости вверх.
Помимо этого на is-диаграмму наносят изохоры (на нашем
рисунке они не показаны), представляющие собой кривые линии с более
крутым наклоном , чем изобары.
В справочной литературе обычно приводят лишь верхнюю часть
is-диаграммы, представляющую наибольший практический интерес для
теплотехнических расчетов.
Первый закон термодинамики для стационарного газового потока.
До сих пор при анализе различных термодинамических процессов
мы не учитывали кинетическую энергию перемещения газа как целого и
потенциальную энергию положения газа во внешнем силовом поле.
Внутренняя энергия газа определена нами как сумма кинетической
энергии теплового (беспорядочного) движения молекул относительно их
общего центра масс и потенциальной энергии силового взаимодействия
между молекулами. Предполагалось отсутствие внешнего силового поля,
действующего на всю массу газа в целом, и отсутствие упорядоченного
перемещения этой массы в пространстве.
Рассмотрим теперь газ, находящийся во внешнем силовом поле
(например, в поле земного притяжения) и движущийся как целое со
скоростью  . Полная энергия массы m движущегося газа, очевидно,
состоит из внутренней энергии (определенной выше), а также
кинетической энергии перемещения и потенциальной энергии положения
в поле сил тяжести ,т.е.
E  mu  m
2
2
 mgh ,
где g – ускорение силы тяжести, м/с2; h-расстояние от центра масс
рассматриваемого газа до нулевого уровня, м.
Для 1 кг движущегося газа имеем
eE
m
 u 
2
2
 gh .
Допустим, что газ течет по трубе с переменным (по направлению
потока) сечением f. Допустим также, что поток газа стационарный, т. е.
массовый расход газа G (кг/с) не изменяется во времени и одинаков в
любом поперечном сечении трубы.
G=const.
Выделим некоторый объем газа, заключенный между сечениями
11 и 22; весь остальной газ, находящийся слева от сечения 11 и справа от
сечения 22 будем рассматривать как окружающую среду.
Удельная энергия газа в сечении 11 составит
e1  u1  1
2
 gh1 ,
e2  u 2   2
2
 gh2 .
2
а в сечении 22
2
Проходя этот участок канала, газ обменивается с окружающей
средой энергией в виде теплоты q и работы l' .
На основании энергетического баланса запишем
e2  e1  q  l 
или
e1  q  e2  l 
или
u1  1
2
 gh1  q  u 2   2
2
2
2
 gh2  l 
Работу l  найдем из следующих соображений. Рассмотрим такой
промежуток времени, в течение которого через сечения 11 и 22 протекает
1 кг газа (Ясно, что для стационарного потока этот промежуток времени
одинаков для обоих сечений). В сечении 11 окружающая среда вытесняет
объем газа  1 при постоянном давлении р1 и, следовательно, совершает
работу над газом, равную (  p11 ). В сечении 22, наоборот, сам газ
вытесняет объем  2 окружающей среды при постоянном давлении р2 и,
значит, за то же время совершает работу p 2 2 .
Результирующая этих двух работ равна:
l   p2 2  p11
Таким образом, уравнение первого закона термодинамики для
стационарного газового потока будет
u1  p11  1
2
 gh1  u 2  p 2 2   2
2
2
2
 gh2  q .
С учетом того, что
u  p  i ,
получим
i1  1
2
 gh1  i2   2
2
2
 gh2  q
2
Ввиду малой плотности газа во многих случаях можно
пренебречь потенциальной энергией положения и ее изменениями .Тогда
получим
i1  1
2
 i2   2
2
2
q
2
или в дифференциальной форме
di  d (
2
2
)  dq
Именно в таком виде обычно и применяется первый закон
термодинамики для газовых потоков.
При
отсутствии
внешнего
теплообмена
течение) имеем
i1  1
2
 i2   2
2
2
2
или
di  d (
2
2
)  0.
dq=0
(адиабатное
Адиабатное истечение идеального газа через суживающиеся сопло.
Допустим, что истечение газа
происходит
из
резервуара
с
достаточно
постоянным
большого
давлением
р1=const в среду с давлением р2=const,
p1>p2. Рассмотрим два сечения 11 и 22.
Ввиду больших размеров резервуара, скоростью перемещения газа в
сечении 11 пренебрегаем. На основании предыдущего запишем
i1  i2  
2
2
,
откуда следует формула для скорости газа на выходе из сопла (в сечении
22)
  2(i1  i2 )
Изменение энтальпии идеального газа при адиабатном процессе
нам известно
i1  i2 
kR
k
k
(T1  T2 ) 
( p11  p 2 2 ) 
p11 (1  p 2 2
).
p11
k 1
k 1
k 1
Из уравнения адиабаты
p11k  p2 2k
найдем
2
поэтому
1
 ( p2
p1
)
1
k
,
i1  i2 
k 1


k
p11 1  ( p 2 ) k 
p1
k 1


и

где  
p2
k 1


2k
p11 1  ( p 2 ) k  
p1
k 1


2k
p11 (1  
k 1
k 1
k
),
p1 .
Обозначив f – площадь сечения на выходе из сопла, найдем
массовый расход газа
G  f
Поскольку  2  1 (
p2
p1
)
1
k
2
, кг/с.
 1 
1
k
,
получим
G f
2
k 1

2k p1  p 2
p
k
2
(
) (
) (
) k  f
1
p1
p1
k 1


2
2k p1 k
 (  
k  1 1
k 1
k
)
Введем обозначение
  p2 p
1
и построим зависимость G от  по
предыдущему уравнению. Эта зависимость
имеет вид кривой с максимумом при
некотором значении =k.
Как
показывает
опыт,
действительная
зависимость
G( )
совпадает с расчетной только в области  k    1 , а в области
0     k действительный расход газа остается постоянным и равным
максимальному значению Gmax.
Найдем величину  k , для этого вычислим производную G
приравняем ее к 0, получим:
G
 f

2k

p
( 1 ) 

1
k 1

1
 2
k 1
2

  k   k   
 

 

2 k 1 k  1 k
 

k
) k
;
2

1
f
2
2k
 ( p1
1
k 1
2

k
1
2
k
 
2
1
k
k
k 1
k
k 1 k
k
k
 0;
1

2
k 1
 kk   k k
при значениях  от 0 до 1.
Знаменатель этой дроби имеет конечное значение, поэтому
должен быть равен нулю, числитель, следовательно:
2 2 1 k  1 1
k k 
k k
k
k
k 1
2
 k k
k 1
k
 2  k 1
k  

 k 1

и
Отсюда видно, что величина  k зависит только от показателя
адиабаты k 
Cp
Cv
, т.е. от природы газа.
Для однородного газа k=1,66 и  k  0,488 ;
для двухатомного газа k=1,4 и  k  0,528 ;
для многоатомного газа k=1,33 и  k  0,546 .
Соответствующее давление на выходе из сопла называется
критическим:
p k   k p1 .
Подставим значение  k в формулу для скорости истечения,
получим критическую скорость:
k  kpk k
Из газодинамики известна формула Лапласа для скорости звука:
a  kp .
Теперь понятно, почему в суживающемся сопле газ не может
расширяться до давления меньше критического, а скорость не может
превышать критическую. До тех пор, пока скорость истечения остается
меньше критической, т.е.
меньше
скорости звука,
«сигнал» об
уменьшении давления среды p2 успевает передаваться навстречу потоку
газа внутрь сопла, и давление по длине сопла перераспределяется. В
результате в выходном сечении сопла устанавливается давление, равное
давлению среды p2. Как только скорость истечения достигает скорости
звука, «сигнал» о дальнейшем уменьшении давления среды p2 не может
проникнуть внутрь сопла. При этом в выходном сечении устанавливается
постоянное давление, равное критическому рк, и никакое дальнейшее
снижение давления среды не может повлиять на скорость истечения газа.
Условия стационарного адиабатного течения идеального газа
по каналам переменного сечения.
Массовый расход при стационарном потоке газа определяется
уравнением:
G  f
  const ,
откуда следует
G  f  ,
(1)
Дифференцируя, получим
Gd  fd  df .
(2).
Разделив уравнение (2) на (1), получим
df
f
 d  d

.
Продифференцируем уравнение адиабаты
p k  const ,
получим
d ( p k )  const ,
 k dp  pd ( k )   k dp  kp k 1d   k 1 dp  kpd   0,
следовательно
dp  kpd  0, ,
(3)
откуда найдем
d
dp
   (kp)
(4)
Так как для адиабатного процесса
dq  di  dp  0,
dq  di  d (
2
2
)  0,
то
d (
2
)  dp,
2
d  dp,
отсюда получим
d
  
dp
(5)
2
Подставляя выражения (4) и (5) в (3) получим:
df
f
  dp
2
 dp
kp  
 dp  2  1   dp
kp
kp
 

 2 kp
2
(6)
Уравнение (6) позволяет проанализировать различные случаи
течения газа по каналам с переменным сечением, в частности, для сопла
и диффузора.
Соплом
называют
устройство,
предназначенное
для
преобразования внутренней энергии сжатого газа в кинетическую
энергию струи. Согласно сказанному, в соплах происходит расширение
газа с уменьшением давления (dp<0) и увеличением скорости. Из
уравнения (6) сразу видно, что для разгона газа до скорости, не
превышающей звуковую (   a ), сопло должно быть суживающимся
(df<0); при необходимости разгона газа до сверхзвуковой скорости сопло
должно иметь на входе суживающийся участок, в котором газ
приобретает звуковую скорость (   a ), а затем расширяющийся участок
(df>0), где газ приобретает сверхзвуковую скорость (   a ).
Такое комбинированное сопло называется соплом Лаваля.
Диффузором
называется
устройство
для
преобразования
кинетической энергии газовой струи в энергию сжатого газа, т.е.
назначение диффузора обратно назначению сопла. Если на входе в
диффузор скорость газа меньше скорости звука (   a ), то для того,
чтобы
проходило
сжатие
газа
(dp>0)
диффузор
должен
быть
расширяющимся (df>0). Это видно из уравнения (6). Если же скорость на
входе превышает звуковую (   a ), то диффузор должен иметь сначала
суживающийся участок (df<0), в котором газ тормозится до звуковой
скорости (   a ), а затем расширяющийся участок, где происходит
дальнейшее торможение газа. Такой комбинированный диффузор
подобен соплу Лаваля, повернутому другим концом.
Истечение газов с учетом трения.
До сих пор при рассмотрении процессов истечения газов мы не
учитывали потери кинетической энергии на трение. С учетом этих потерь
действительная скорость  A оказывается меньше теоретической  .
Величина
ск   A / 
называется коэффициентом скорости, который определяется
экспериментально
и
для
хорошо
обработанных
каналов
имеет
значение 0,96  0,98 .
Кинетическая энергия потока, затраченная на преодоление
трения, переходит в теплоту и, следовательно, увеличивает энтальпию
газа на выходе из канала. Потеря кинетической энергии составит
2
2
qтр  (   II )
2

( 2   ск2  2 )
2
 
2
2
где   1   ck2 называется коэффициентом потери энергии на
трение.
Отношение действительной кинетической энергии газа на выходе
из канала к теоретической называется к.п.д. канала:
k 
 II2

2   II   2
ck
2
2
2
2
Согласно

сказанному выше,
формулой (с учетом   2i1  i2  ):
теплота
трения
определяется
qтр   
2
2
  i1  i2 ,
где i1, i2 – энтальпии газа в начале и в конце адиабатного процесса
истечения без трения.
Расчет истечения водяного пара через суживающийся
насадок.
Исходными данными для расчета обычно являются начальные
параметры сжатого пара p1, T1 и конечное давление p2.
Нужно определить скорость истечения  ?.
Прежде всего, определяют режим истечения. Для этого, пользуясь
уравнением:
k
k 
pk
 2  k 1
,

pi  k  1 
и приближенным значением  k  0,546 (для многоатомного
газа), вычисляем критическое давление рк ≈ 0,546р1.
Если р2>рк, скорость истечения пара будет дозвуковой и ее
вычисляют по формуле   2i1  i2  .
При этом значение i1 находится по справочным таблицам или с
помощью is-диаграммы по заданным значениям p1 и T1. Значение i2 для
обратимого адаптивного процесса находят по величине p2, исходя из
условия S1=S2 (как показано на рисунке).
При р2<рк наблюдается критический режим истечения, при этом:
  k  2i1  ik 
Величину ik находится методом последовательных приближений.
В первом приближении k≈1,33 и вычисляют (как для идеального газа)
k
 2  k 1
pk  p1 
  0,546 p1 (это мы уже сделали)
 k 1
Затем по величинам рк и Sk=S1 с помощью таблиц водяного пара
находят удельный объем  k .
Далее из уравнения адиабаты
p11k  p k kk
Находят новое значение показателя:
ln  p1 
pk 
k 

ln  k 
 1 
(вместо принятого в первом приближении k=1,33). Затем расчёты
повторяют до тех пор, пока очередное значение pk будет достаточно точно
совпадать с предыдущим.
После этого по величинам pk и Sk=S1 находят энтальпию ik и
вычисляют критическую скорость  k .
При необходимости вводят поправку на трение, тогда
 II   ск 
Такой процесс является необратимым и условно изображается на
is–диаграмме в виде наклонной кривой 1-2II.
Процессы дросселирования.
Адиабатным изоэнтальпийным дросселированием называется
необратимый
процесс
расширения,
протекающий
без
внешнего
теплообмена, без совершения внешней работы и без изменения
энтальпии рабочего тела.
Такие процессы приближённо осуществляются, например, при
протекании газов или жидкостей через местные сопротивления на
трубопроводок (вентили, задвижки, клапаны, диафрагмы и т.п.). В
результате дросселирования давление рабочего тела уменьшается (p2<p1),
энтропия возрастает (S2>S1), энтальпия не изменяется (i2=i1), а
температура
может
уменьшаться,
увеличиваться
или
оставаться
постоянной (T2<>T1).
На
is–диаграмме
такие
процессы
условно
изображают
горизонтальными прямыми линиями.
Например, процесс дросселирования перегретого водяного пара
показан линием 1-2, а дросселирование влажного пара – линией 3-4-5. Из
рисунка видно, что при дросселировании температура пара понижается, а
степень сухости влажного пара возрастает.
20. Компрессоры.
Компрессорами называются машины, предназначенные для
сжатия газов. В зависимости от принципа действия компрессоры
разделяют на поршневые и турбинные.
Принцип действия одноступенчатого поршневого компрессора
состоит в следующем:
В
цилиндре
поршень
2
1
совершает
возвратно-поступательное
движение от приводного вала
3. При ходе поршня вправо
впускной
клапан
открывается
и
заполняется
газом
4
цилиндр
при
исходном давлении p0. При
ходе поршня влево впускной
клапан
закрывается
и
происходит сжатие газа. В
момент,
когда
давление
в
цилиндре
достигнет
давления
p1
в
нагнетательной линии, открывается выпускной клапан 5, и газ
выталкивается из цилиндра в резервуар для сжатого газа. В дальнейшем
описанный цикл работы повторяется.
Термодинамический расчёт компрессора производится с целью
определения работы, затрачиваемой на получение 1 кг сжатого газа. Это
позволяет определить мощность приводного двигателя, обеспечивающего
заданную производительность компрессора.
Примем следующие допущения:
1) объём газа в цилиндре при нахождении поршня в крайнем левом
положении (объём вредного пространства) равен 0;
2) всасывание и нагнетание газа происходит при постоянных давлениях
p0 и p1 и при отсутствии потерь давления в клапанах;
3) трение поршня о стенки цилиндра отсутствует.
При этих допущениях теоретическая индикаторная диаграмма
цикла работы компрессора имеет вид, показанный на рисунке. Линия АВ
соответствует процессу всасывания, линия ВС – процессу сжатия, а
линия СD – процессу нагнетания газа.
При наполнении цилиндра газом, газ сам совершает работу
всасывания
l вс  p0 0 .
При сжатии газа по кривой ВС затрачивается работа
lсж 
1
0
0
1
 pd   pd ,
а при вытеснении сжатого газа затрачивается работа нагнетания
l наг   p11 .
Таким образом, работа теоретического цикла равна
0
l  lвс  lсж  lнаг  р00  p11   pd .
1
На индикаторной диаграмме эта работа определяется площадью
ABCD. При одних и тех же значениях  0 , p0 и p1 величина работы цикла
зависит от характера процесса сжатия. Линия ВС соответствует
изотермному, линия BC  – адиабатному, а линия BC  – политропному
сжатию. Из рисунка видно, что работа l, затрачиваемая на осуществление
цикла, минимальна при адиабатном сжатии.
Для того, чтобы приблизить процесс сжатия к изотермному
применяют воздушное или водяное охлаждение цилиндра компрессора.
При изотермном сжатии:
l сж  RT ln(
1
p1
 0 )   RT ln(
p 0 0  RT , p11  RT
p 0 0  p11
1 p 0

 0 p1
p0
),
qсж  l сж .
l  p 0 0  p11  RT ln( p1
p0
).
В реальных компрессорах осуществляется процесс сжатия газа
близкий
к
политропному
с
показателем
политропы
т.е. отличается от изотермного (для которого n=1).
Поскольку для политропного сжатия газа имеем
n  1,2 ,
l сж 
R
(T0  T1 ),
n 1
то
l  p 0 0  p11 
R
(T0  T1 ).
n 1
Учитывая, что p0 0  RT0 и p11  RT1 , запишем
l  R(T0  T1 ) 
R
n
(T0  T1 ) 
R (T0  T1 ).
n 1
n 1
Неизвестную температуру Т1 выразим через заданные параметры
Т0, p0 и p1. Из уравнения политропы p0 0  p11 найдём
n
0
1
 ( p1
n
1
p0
) n,
а из уравнений состояния p0 0  RT0 , p11  RT1 следует
0
T0
p1
1  ( p0 ) T1 .
Поэтому
( p1
p0
)
1
n
 ( p1
p0
)
T0
Отсюда найдем
T1
p
( 1)
T0
p0
n 1
n
и, следовательно
T1  T0 (
p1
)
p0
n 1
n
.
T1
Подставляя
найденное
значение
Т1
в
уравнение
для
теоретической работы компрессорного цикла с политропным сжатием,
получим
n 1


n
p
1
l
RT0 1  (
) n .
p0
n 1


Количество отводимой теплоты будет q  C n (T1  T0 ) .
Согласно формуле
Сn  C p
C n  C
n
Cn
C
C
nk
 k  n( n  1)  n (n  1)  n  k  C n  C
C
C
C
n 1
C n  C 
R
,
n 1
поэтому
n 1
n 1
 p


R
n  k  p1
n
1
q  (C 
)T0 (
)  1  C
T0 (
) n  1
p0
p0
n 1 
n 1 


Реальная индикаторная диаграмма одноступенчатого поршневого
компрессора отличается от теоретической вследствие наличия вредного
пространства, а также потерь на трение (дросселирование) газа в
клапанах.
Дросселирование приводит к снижению давления газа в цилиндре
при всасывании и к повышению давления при нагнетании по сравнению
с давлениями во всасывающем и нагнетательном трубопроводах p0 и p1.
Из диаграммы видно, что эффекты дросселирования приводят к
увеличению
площади
цикла
и,
следовательно,
к
увеличению
затрачиваемой работы и снижению к.п.д. компрессора.
Вследствие наличия вредного пространства, объём которого
обозначен VD, часть сжатого газа остаётся в этом объёме в конце
нагнетательного хода поршня.
Поэтому при всасывающем ходе поршня наполнение цилиндра
новой порцией газа начинается не сразу, а лишь после того, как
оставшийся во вредном пространстве сжатый газ расширяется на
некоторый объём ΔV. В результате этого объём всасываемой порции газа
V оказывается меньше рабочего объёма цилиндра Vp на величину ΔV.
Отношение
 об  V V ,
p
называется объёмным к.п.д.
Vp  S  H ,
где Н – рабочий ход поршня, то есть расстояние проходимое поршнем от
л.к.п. до п.к.п.
Из диаграммы видно, что с увеличением давления сжатия p1
объёмный к.п.д. уменьшается. При некотором давлении pмах точки С и D
сольются в одну точку Е, и объёмный к.п.д. станет равным нулю, то есть
нагнетание сжатого газа прекратится.
Необходимо также учесть, что при наполнении цилиндра новой
порцией газа происходит его нагревание, так как стенки цилиндра имеют
более
высокую
температуру.
Если
обозначить
Т0
температуру

всасываемого газа, а T0 - температуру газа в конце процесса всасывания,
то, согласно уравнению состояния, фактический объём порции Vф будет
меньше V, а именно
Vф  V
T0
T0
.
Общее уменьшение производительности компрессора вследствие
вредного
пространства
и
нагревания
коэффициентом наполнения.
 нап   об T0
T0
.
газа
характеризуется
При расчёте мощности привода компрессора необходимо учесть
необратимость
(неравновесность)
действительного
политропного
 н , а также потери
процесса, характеризуемую коэффициентом
мощности на трение, характеризуемые механическим к.п.д.  м ех . Их
значения определяются экспериментально.
Мощность привода вычисляется по формуле:
N
Gl
( н   м ех   нап )
,
где G – массовая производительность компрессора,
G  U н  н , (кг/сек).
Производительность компрессора обычно задаётся величиной Uн
– объёмная производительность по газу при нормальных условиях,
(м3/сек);
ρн – плотность газа при нормальных условиях, кг/м3.
Одноступенчатые поршневые компрессоры применяются обычно
для сжатия газов до 10 бар. Для более высоких давлений такие
компрессоры
не
применяют
вследствие
значительного
снижения
производительности за счет уменьшения коэффициента наполнения ηнап.
Для
больших
давлений
используют
многоступенчатые
компрессоры с промежуточным охлаждением газа. Теоретическая
индикаторная
диаграмма
трехступенчатого
промежуточным охлаждением имеет следующий вид:
компрессора
с
В 1-й ступени газ с
исходным
давлением
р0
сжимается до давления р1,
охлаждается и поступает во
ступень.
2-ю
Здесь
газ
сжимается до давления р2,
снова
охлаждается
и
подается в 3-ю ступень, в
которой газ сжимается до
конечного давления р3.
Если бы сжатие газа от давления р0 до р3 производилось в одной
ступени, т.е. по политропе В-С", то затрачиваемая работа определялась
бы площадью фигуры АВС"D. При 3-х ступенчатом сжатии работа цикла
равна
площади
АВ12345D,
одноступенчатом
сжатии,
т.е.
и
существенно
приближается
меньше,
к
работе
чем
при
наиболее
экономичного изотермического процесса АВСD.
21. Двигатели внутреннего сгорания (ДВС)
Машины, в которых теплота сгорания топлива преобразуется в
механическую
работу,
непосредственно
в
внутреннего сгорания.
а
сам
рабочем
процесс
цилиндре,
сгорания
осуществляется
называют
двигателями
Принцип
поршневого
действия
четырехтактного
двигателя состоит в следующем.
При
поршня
1
из
левого
крайнего положения в правое в
цилиндр 2 через выпускной
клапан 3 всасывается горючая
смесь (например, смесь паров
бензина
процесс
с
воздухом).
изображается
индикаторной
Этот
на
диаграмме
линией 0-1.
При обратном ходе поршня выпускной клапан закрывается, и
происходит сжатие горючей смеси, изображаемое кривой 1-2. В точке 2,
вблизи крайнего левого положения поршня, происходит воспламенение
горючей смеси от электрической свечи 4. Сгорание смеси происходит
очень быстро. В результате сгорания температура и давление газа в
цилиндре резко возрастают. Этот процесс изображается линией 2-3.
Затем газообразные продукты сгорания расширяются, перемещая
поршень в правое крайнее положение, чему соответствует кривая 3-4 на
индикаторной диаграмме. В точке 4. открывается выпускной клапан 5,
происходит сброс давления в цилиндре и выталкивание продуктов
сгорания из цилиндра при движении поршня в левое крайнее положение.
Этот процесс изображается линией 4-0. Далее описанный цикл работы
повторяется.
При осуществлении одного цикла коленчатый вал 6 совершает два
оборота, а поршень совершает 4 хода – впуск, сжатие, расширение и
выпуск (именно поэтому такие двигатели называются 4-х тактными). Ход
расширения называют также рабочим ходом поршня , т.к. только при этом
ходе поршень сообщает коленчатому валу вращательное движение. При
остальных трех ходах поршня механическая работа не сообщается
коленвалу, а наоборот отнимается от него, однако, отнимается в меньшем
количестве, так что в итоге двигатель совершает положительную работу.
Рассмотрим идеальные термодинамические циклы поршневых
ДВС.
1) Цикл с изохорным подводом теплоты.
Идеальный
газ
с
начальными параметрами р1,
1 и Т1 сжимается по адиабате
1-2. Далее к газу подводится
теплота q1 при постоянном
объеме  2 , т.е. осуществляется
изохорный процесс 2-3. Затем
происходит
адиабатное
расширение газа 3-4, после чего по изохоре 4-1 от газа отводится теплота
q2 и газ возвращается в исходное состояние.
Такой цикл характеризуется степенью сжатия
  1 
2
и степенью повышения давления
  p3 p .
2
Термический к.п.д. цикла равен
t 
q1  q2
1
 1   1k  1  k 1
q1

и зависит от степени сжатия ε и показателя адиабаты k.
По такому циклу работают бензиновые ДВС. С увеличением
степени сжатия к.п.д. цикла возрастает. Однако при больших степенях
сжатия вследствие очень высокой температуры смеси происходит ее
преждевременное самовоспламенение и слишком быстрое сгорание,
называемое детонацией, что может привести к поломке двигателя. В
бензиновых ДВС   5  10 .
2) Цикл с изобарным подводом теплоты (цикл Дизеля).
Цикл включает: адиабатное сжатие
1-2, изобарное расширение 2-3 с подводом
теплоты q1; адиабатное расширение 3-4;
отвод теплоты q2 по изохоре 4-1.
В
двигателях,
работающих
по
этому циклу, в цилиндре сжимается не
горючая смесь, а воздух. Жидкое топливо
вводится в цилиндр отдельно через форсунку путем распыления
воздухом,
сжатым
в
специальном
компрессоре.
Подача
топлива
начинается в т. 2. Благодаря высокой степени сжатия и, следовательно,
высокой
температуре
сжатого
в
цилиндре
воздуха,
топливо
самовоспламеняется и сгорает при постоянном давлении (процесс 2-3).
Характеристиками
этого
цикла
являются
степень
сжатия
  1  и степень предварительного расширения    3  .
2
2
Термический к.п.д. цикла равен
t  1 
 k 1
k k 1 (   1)
Достоинствами такого двигателя являются высокий к.п.д. (за счет
высокой
степени
сжатия
  10  20 ),
а
также
возможность
использования более дешевого топлива.
Недостатком двигателя, работающего по циклу Дизеля, является
необходимость применения компрессора для подачи и распыления
топлива.
3) Цикл со смешанным подводом теплоты.
В таком двигателе топливо
подается через форсунку с помощью
топливного насоса. Такой двигатель
работает по смешанному циклу: 1-2
–
адиабатное
сжатие;
2-3
–
изохорный подвод части теплоты
q1 ; 3-4 – изобарный подвод части
теплоты q1 ; 4-5 – адиабатное расширение; 5-1 – изохорный отвод
теплоты q2.
Характеристиками
этого
цикла
являются:
степень
сжатия
  1  (обычно   10 15 ); степень повышения давления   p3 p
2
2
и степень предварительного расширения  
4
3 .
При рассмотрении различных типов поршневых ДВС мы видели,
что
после
адиабатного
расширения
газа
в
цилиндре
(после
осуществления рабочего хода поршня) производится изохорный отвод
тепла от газа (соответствующий выхлопу). При этом остаточное давление
газа сбрасывается до атмосферного, и не производится никакой работы,
что является недостатком поршневых ДВС. Кроме того, вследствие
возвратно-поступательного движения поршней возникают большие
инерционные нагрузки на коленчатый вал и детали поршневой группы,
что ограничивает скорость вращения вала двигателя.
Указанных недостатков лишены газотурбинные усановки.
22. Газотурбинные установки (ГТУ)
Принцип действия простейшей ГТУ с изобарным подводом
теплоты состоит в следующем.
В камеру сгорания 1 с помощью турбокомпрессора 2 и топливного насоса
3 непрерывно подается сжатый воздух и топливо. Из камеры сгорания
через сопла 4 газ направляется на лопатки газовой турбины 5 и приводит
во вращение ее ротор. Отработавший газ из турбины направляется в
теплообменник для подогрева сжатого воздуха, поступающего в камеру
сгорания, или используется для получения горячей воды или пара.
Термодинамический
рассмотренной
установки
поршневого
цикл
газотурбинной
отличается
от
двигателя
цикла
внутреннего
сгорания с изобарным подводом тепла
тем,
что
расширения
процесс
газа
адиабатного
в
турбине
производится почти до атмосферного
давления, а отвод теплоты осуществляется при постоянном давлении.
Характеристиками цикла являются: степень повышения давления
  p2 p
1
и степень изобарного расширения
  3 
2
Термический к.п.д. цикла равен
t  1  
1 k
k
 1
1

k 1
k
Существуют также ГТУ с изохорным подводом тепла. Исходя из
технико-экономических
установках
соображений,
в
реальных
часто применяют трехступенчатое
газотурбинных
сжатие
воздуха
и
двухступенчатое расширение газа. Циклы таких установок имеют
больший к.п.д.
23.Паротурбинные установки (ПТУ)
В паротурбинных установках рабочим телом являются не
газообразные
продукты сгорания
топлива,
как
в
газотурбинных
установках, а пар какой-либо жидкости, чаще всего – водяной пар.
Теплота сгорания топлива передается вода в паровом котле 1.
Образующийся влажный пар проходит через пароперегреватель 2 и
направляется в паровую турбину 3. Паровая турбина приводит во
вращение ротор электрического генератора 4. Из паровой турбины
отработавший пар поступает в конденсатор 5, туда же подается
охлажденная вода. С помощью насоса 6 конденсат направляется в
питательный бак 7, из которого вода насосом 8 возвращается через
подогреватель 9 в паровой котел 1.
За основной цикл паротурбинной установки принят идеальный
цикл Ренкина.
Линия 4–5 соответствует процессу парообразования в котле. В
пароперегревателе
влажный
пар
подсушивается
(линия
5–6)
и
перегревается (линия 6–1) при постоянном давлении p1.
В турбине пар расширяется по адиабате 1–2 до давления p2 . В
конденсаторе при давлении p2
превращается в воду (линия
пар полностью конденсируется и
2  2 ). Линия 2  3 соответствует
повышению давления воды от p2 до p1 в насосах 6 и 8, а линия 3–4 –
нагреванию воды в подогревателе и паровом котле до температуры
кипения при давлении p1
Термический к.п.д. цикла Ренкина равен
 t  q1  q 2  q ,
1
где: q1 – суммарная теплота, подведенная в процессе подогрева воды до
температуры кипения в котле (линия 3–4), при парообразовании (линия
4–6) и перегреве пара (линия 6–1);
q2 – теплота, отведенная в конденсаторе (линия 2  2 ).
Для 1 кг перегретого пара
q1  i1  i3
q2  i2  i2
t 
i1  i2  i3  i2' 
i1  i3
Изменением удельного объема воды в питательном насосе, то есть
в процессе 2  3 , можно пренебречь. Для адиабатного процесса 2  3
p1
i3  i2'   dp    p1  P2 
p2
С учетом этих уравнений получим
t 
i1  i2    p1  p 2  i1  i2

i1  i2'    p1  p 2  i1  i2'
К.п.д. цикла Ренкина увеличивается при повышении температуры
и давлении перегретого пара и снижении давления в конденсаторе. В
современных
паротурбинных
установках
начальные
параметры
перегретого пара достигают значений T1 до 600 C, p1 до 300 бар, а
o
давление в конденсаторе p2 – до 0,05 бар.
Как видно из p – диаграммы цикла Ренкина, на выходе из
турбины пар является влажным (степень его сухости x2  1 ), то есть пар
содержит капельки воды. Ударяясь о лопатки турбины, капли воды
разрушают поверхность лопаток.
Это явление устраняют путем промежуточного перегрева пара.
После первой ступени расширения пара в турбине (линия 1  1 ) до
некоторого промежуточного давления p1 насыщенный пар направляют в
дополнительный пароперегреватель, где он перегревается (линия 1  1 ),
а затем направляется во вторую ступень турбины, в которой пар
расширяется до конечного давления в конденсаторе p2 (линия 1  2 ).
Таким образом, конечная степень сухости пара повышается x2  x2 .
Иногда применяют несколько промежуточных ступеней перегрева пара.
24. Теплоэлектроцентрали (ТЭЦ)
Действительный к.п.д. паротурбинных установок, работающих по
циклу Ренкина, не превышает 30-35%. Отводимая в конденсаторе теплота
бесполезно теряется, так как конечная температура охлаждающей воды
слишком низка для того, чтобы её можно было использовать, например,
для отопления, горячего водоснабжения и других хозяйственных нужд.
Если же конечное давлений пара на выходе из турбины повысить
до 2 бар, то его можно использовать для перечисленных выше целей, а
отработавший в турбине пар с давлением 5 бар пригоден и для
производственных нужд фабрик и заводов, то есть для проведения
различных технологических процессов. Конечно, при этом уменьшится
доля
теплоты,
расходуемой
на
выработку
электроэнергии,
зато
существенно возрастёт степень использования всей теплоты, получаемой
при сжигании топлива.
Такое комбинированное получение электроэнергии и теплоты для
производственных и бытовых нужд осуществляется в теплофикационных
установках,
называемых
теплоэлектроцентралями.
Коэффициент
использования теплоты топлива в этих установках достигает 80%.
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
1.Механизмы теплопереноса
Перенос теплоты от более нагретого тела или участка тела к
менее нагретым телам или участкам осуществляется следующими
способами:
теплопроводностью,
конвекцией,
излучением
или
их
совокупностью.
Теплопроводность тел обусловлена взаимными столкновениями
соседних молекул, в результате чего происходит выравнивание средней
кинетической энергии их беспорядочного движения. Теплопроводность
металлов обусловлена, главным образом, столкновениями свободных
электронов. Теплопроводность является основным механизмом переноса
тепла в твердых телах.
Конвективный теплообмен обусловлен текучестью жидкостей и
газов и происходит не только за счет столкновения соседних молекул, но
и
за
счет
перемещения
макроскопических
участков
этих
тел
относительно друг друга. Это перемещение, называемое конвекцией,
может
быть
свободным
и
вынужденным.
Свободная
конвекция
происходит вследствие того, что более нагретые участки жидкости или
газа обладают меньшей плотностью и при наличии гравитационного поля
вытесняются вверх менее нагретыми и более плотными участками.
Вынужденная конвекция обусловлена работой насоса, вентилятора,
перемешивающего устройства и т. п.
Лучистый теплообмен обусловлен способностью
всех тел
излучать и поглощать энергию в виде электромагнитных колебаний.
Более нагретые тела излучают больше энергии, чем поглощают, и
наоборот. В результате происходит выравнивание температур различных
тел даже при отсутствии между ними непосредственного контакта или
какой-либо промежуточной среды.
2. Основной закон теплопроводности
Необходимым
условием
осуществления
любого
вида
теплопереноса, в том числе и теплопроводности, является неравномерное
распределение температур в теле или в системе тел. Пространственное
распределение температур называется температурным полем. В общем
случае оно может быть описано математически в виде функции
координат x, y, z и времени  , т.е.
t  f ( x, y , z ,  )
Такое поле называется нестационарным. Если температурное поле не
изменяется во времени, т.е. dt
d
 0 , то его называют стационарным.
Поверхности, все точки которых имеют одинаковую температуру,
называются изотермными.
Наибольшее
изменение
температуры
имеет
место в направлении,
нормальном
изотермной
поверхности.
к
Градиент температуры в данной точке А определяется так:

t t
gradt  lim

n
n0 n
Температурный градиент является вектором, направленным по
нормали
к
изотермической
поверхности
в
сторону
возрастания
температуры.
Вектор теплового потока в рассматриваемой точке А направлен
противоположно градиенту температуры.
Основной закон теплопроводности, установленный французским
ученым Фурье, формируется так:

q    grad t   (t
n
), Вт/м2
(1)
где: q  dQ / Fd – плотность теплового потока, т.е. количество теплоты,
переносимой через единицу площади за единицу времени;
 - коэффициент теплопроводности, зависящий от физических свойств
тела и имеющий размерность Вт/(м·К).
Величины  определяются экспериментально и приводятся в
справочной литературе. Наименьшими значениями  обладают газы, а
наибольшими – металлы. Для одного и того же вещества величина 
зависит от температуры.
3. Дифференциальное уравнение теплопроводности.
Выделим в однородном и изотропном теле элементарный
параллелепипед с рёбрами dx, dy , dz .
Согласно закону
Фурье,
теплоты,
количество
входящей
параллелепипед
в
через
левую его грань за время
d , будет
dQ x  
t
dydzd .
x
Количество теплоты, выходящей из параллелепипеда через
правую его грань за то же время d , будет
dQx  dx  

t
t
 2t
(t  dx)dydzd   dydzd   2 dxdydzd .
x
x
x
x
Рассматривая аналогично тепловые потоки через заднюю и
переднюю, а также через нижнюю и верхнюю грани параллелепипеда,
запишем:
dQ y  
dQ y  dy  
t
dxdzd ,
y
t
 2t
dxdzd   2 dydxdzd ;
y
y
dQ z  
dQz  dz  
t
dxdyd ,
z
t
 2t
dxdyd   2 dzdxdyd .
z
z
Полное приращение теплоты в параллелепипеде составит:
dQ  dQ x  dQ x  dx  dQ y  dQ y  dy  dQ z  dQ z  dz 
 d 2t d 2t d 2t 
   2  2  2 dxdydzd .
dy
dz 
 dx
Учитывая, что dxdydz  dV –объем параллелепипеда, и обозначая
сокращённо:
d 2t d 2t d 2t
 2  2   2 t , (оператор Лапласа)
2
dx
dy
dz
(2)
запишем
dQ   2 tdVd .
(3)
Накопление теплоты dQ приводит к изменению температуры в
рассматриваемом элементарном объеме dV на величину dt , причем
dQ  cdVdt
(4)
где c и  – удельная теплоемкость и плотность тела.
Приравнивая правые части уравнений (3) и (4), сокращая на dV ,
получим:
 2 t  c
или
t

a 2 t 
t
,

(5)
где a   / c – называется коэффициентом температуропроводности,
м2/с.
Уравнение
(5)
теплопроводности,
называется
или
дифференциальным
уравнением
Фурье,
для
уравнением
трехмерного
нестационарного температурного поля.
Для решения уравнения (5) относительно функции t ( x, y, z , ) в
каждом конкретном случае должны бать заданы начальное и граничные
условия:
Начальное условие – распределение температуры в начальный
момент времени   0
t ( x, y, z,0) ;
Граничные условия, т.е. условия на границах рассматриваемого
тела, могут быть заданы тремя способами.
Граничное условие I рода задается распределением температуры
на поверхности тела для любого момента времени  t ( xn , y n , z n , )
Граничное условие II рода задается плотностью теплового потока
в
каждой
точке
поверхности
тела
для
любого
момента
времени  q( xn , y n , z n , )
Граничное условие III рода задаётся температурой среды,
окружающей тело, и законом теплообмена между поверхностью тела и
окружающей средой.
Например, в случае конвективного теплообмена твердого тела с
жидкой
или
газообразной
средой
граничное
условие
III
рода
записывается в виде
  (dt
) П   (t c  t П ),
dn
(6)
где:
α – коэффициент теплоотдачи, Вт/м²К;
t П – температура поверхности тела;
tc – температура в объеме среды.
Для стационарного поля dt

 0 . Принимая во внимание, что
a  0 на основание (5) получим уравнение
 2 t  0.
(7)
В этом случае достаточно иметь только граничные условия.
4. Теплопроводность плоской стенки
Рассмотрим задачу стационарной теплопроводности однородной
плоской стенки с граничными условиями 1-го рода.
Будем считать, что температуры t0 и t1 не изменяются во времени,
постоянны по всей площади обеих поверхностей стенки и заданы.
Необходимо найти распределение температур внутри стенки и плотность
теплового потока через стенку.
Очевидно, что температура внутри стенки будет изменяться
только по координате x и тепловой поток будет направлен вдоль оси x, а
координаты y и z выпадают из рассмотрения.
Уравнение (7) примет вид:
d 2t
 t  2  0,
dx
2
cледовательно
dt
A
dx
Интегрируя, получим
t ( x)  Ax  B ,
где A и B – постоянные интегрирования.
Подставляя сюда значения
t=t0 при x=0 и t=t1 при x=δ,
получим
t 0  B, t1  A  t 0 ,
откуда найдем A  (t1  t 0 ) /  и,
следовательно,
профиль
температурный
внутри
описывается
стенки
линейным
уравнением
t ( x) 
t1  t 0

Плотность
x  t0 .
теплового
потока через стенку будет
q   dt
dx


(t 0  t1 )

(8)
Отношение 
отношение 
 является тепловой проводимостью стенки, а
 называется термическим сопротивлением стенки.
Если стенка состоит из n
слоев, то для каждого слоя можем
записать:
q1 
1
t 0  t1  ;
1
q2 
2
t1  t 2  ;
2
………………….
qn 
n
t n1  t n  .
n
Для стационарного режима, очевидно, что
q1  q2  ...  qn  q  const
поэтому:
 t  t  q1 ;
0 1
1

 t  t  q 2 ;
 1 2
2
.......... .......... .....

n
 t n1 t n  q n .
t0 t n  q
n
 i i
i 1
Отсюда следует
q
(t 0  t n )
n
i
(
i 1
(9)
i
)
т.е. термическое сопротивление многослойной стенки является суммой
термических сопротивлений всех слоев.
5. Теплопроводность цилиндрической стенки
Если
внутренняя
и
наружная
поверхность трубы имеют постоянные
температуры
t 0 и t1 ,то изотермные
поверхности
концентричные
представляют
собой
цилиндрические
поверхности, а температура стенки
трубы изменяется только в радиальном
направлении. В этом случае задачу
удобно решать в цилиндрических координатах, так как в них задача
становится одномерной. Оператор Лапласа записывается в виде:
 2t 
d 2 t 1 dt

,
dr 2 r dr
а дифференциальным уравнением стационарной теплопроводности
будет
d 2 t 1 dt

 0.
dr 2 r dr
(10)
Обозначим первую производную
dt dr   r ,
уравнение (10) запишем в виде
d

 .
dr
r
Разделяя переменные и интегрируя, получим
d    dr r,
ln    ln r  ln A  ln  A r  ,
откуда следует:
Ar
где A - постоянная интегрирования.
Возвращаясь от  к t , запишем
dt dr  A r,
dt  A dr r .
(11)
Интегрируя, найдем
t  A ln r  B,
(12)
Где B - вторая постоянная интегрирования.
Для определения А и В используем граничные условия в виде
t  t 0 при
r  r0 ,
t  t1 при
r  r1 ,
запишем
t 0  A ln r0  B

t1  A ln r1  B
t 0  t1  A ln r0 r1 ,
откуда
A  t 0  t1  ln r0 / r1  ,
B  t0 
(13)
t 0  t1
ln r0 .
ln( r0 / r1 )
Из уравнения (12) видно, что внутри цилиндрической стенки
имеет место логарифмический профиль распределения температур.
Плотность теплового потока через стенку будет зависеть от
координаты r и определяется из уравнения
q   dt dr  
С учетом этого получим:
 t 0  t1 
r ln r0 r1 
.
для внутренней поверхности стенки
 (t 0  t1 )
q0 
r0 ln( r1 / r0 )
;
(14)
для наружной поверхности стенки
q1 
 (t0  t1 )
r1 ln( r1 / r0 )
.
(15)
Полный тепловой поток через стенку будет
Q  2r0 lq 0  2r1lq1  2l
(t 0  t1 )
ln( r1 / r0 )
(16)
где l - длина трубы.
Полный тепловой поток через многослойную цилиндрическую
стенку найдем из условия, что
Q  Q1  Q2      Qn
На основании формул (14) – (17) запишем
Q1 
2l1 (t 0  t1 )
;
ln( r1 / r0 )
Q2 
2l2 (t1  t 2 )
;
ln( r2 / r1 )
………………
Qn 
откуда следует
2ln (t n1  t n )
,
ln( rn / rn1 )
(17)
Q

t 0  t1  2l ln( r1 / r0 ),
1

Q

ln( r2 / r1 ),
t1  t 2 
2l 2

......................................

Q

t n 1  t n  2l ln( rn / rn 1 )
n

t0  tn 
Q
Q n 1
 ln( ri / ri 1 )
2l i 1 i
2l (t 0  t n )
.
1
 ln( ri / ri 1 )
(18)
n
i 1
i
6. Теплопередача через плоскую стенку
Рассмотрим задачу стационарного теплообмена между двумя
жидкими или газообразными средами с температурами t ' и t" через
плоскую стенку при условии, что
теплообмен между каждой средой и
стенкой описывается уравнением
Ньютона-Рихмана
(граничные
условия III рода), то есть
q'   ' (t 't 0 )
(19)
q"   " (t1  t" ) (20)
где:
q' , q" -плотности
x
теплового
потока на обеих поверхностях стенки;
 ' ,  " - коэффициенты теплоотдачи.
Согласно уравнению (8) плотность теплового потока внутри стенки будет
q

t 0  t1 .

(21)
Учитывая, что при стационарном режиме
q'  q  q" ,
на основании формул (19)-(21) запишем
t 't 0  q /  ' ,

 t 0  t1  q /  ,
t  t"  q /  "
1
1 
1 
t 't"  q   .
  '  " 
Отсюда следует
q  k t 't",
(22)
где величина
k
1
 1
 
 '  "
1
, Вт/м2·град
(23)
называется коэффициентом теплопередачи, а величина обратная k
R
1 1  1
  
, м2град/Вт
k  '  "
(24)
называется общим термическим сопротивлением теплопередачи через
плоскую стенку.
Тепловой поток через стенку площадью F будет
Q  kFt 't"
(25)
Из аналогичных рассуждений нетрудно получить формулы для
многослойной плоской стенки
k
1

1
 i 
 ' i 1 i  "
1
R
1
'
n
,
(26)
i 1
 .
"
i 1 i
n

Отсюда найдем
t 't 0  Q /  '2r0 l ,

n
1

 t 0  t n  Q / 2l  ln ri / ri 1 ,
i 1 i

t n  t"  Q /  "2rn l
t 't" 
Q
n
Q  1
1
1 

ln ri / ri 1  
,


2l  ' r0 i 1 i
 " rn 
2l t 't"
.
n
1
1
1
  ln ri / ri 1  
 ' r0 i 1 i
 " rn
(29)
7.Тепловая изоляция трубопроводов
Для снижения теплового потока через стенки труб применяют
различные виды изоляции – асбест, шлаковату, пенопласт и др.
материалы.
На основании формулы(29) тепловой поток для изолированного
трубопровода будет
Qиз 
2l t 't"
1
1
1
1
 ln r1 / r0   ln r2 / r1  
 ' r0 1
2
 " r2
где 2 , r2 – коэффициент теплопроводности и наружный радиус слоя
изоляции.
Тепловой поток для неизолированного трубопровода
Qнеиз 
2l t 't"
1
1
1
 ln r1 / r0  
 ' r0 1
 " r1
Для того, чтобы изоляция действительно снижала теплообмен, т.е.
для того, чтобы
Qиз  Qнеиз ,
очевидно, должно выполняться неравенство
ln r2 / r1  
1
2
1
1

 " r2  " r1
или
f r2  
1
2
ln r2 / r1  
1  1 1
    0.
 "  r2 r1 
Следовательно, необходимо выяснить, при каких условиях
f r2   0 .
Сразу видно, что f r2   0 при r2  r1 . Для того, чтобы функция
f r2  была >0 в области r2  r1 необходимо, чтобы производная этой
функции f / r2 была положительной при r2  r1 , т.е. должно быть
f / r2 r  r
2
1
 1
1 
1 1
1 

  0,
 

  
 2 r2  " r2  r2  r1 r1  2  " r1 
Следовательно
1
2

1
 " r1
или
2  "r1
Неравенство
(30)
используют
(30)
при
выборе
изоляционного
материала по заданным значениям радиуса трубы r1 и коэффициента
теплоотдачи " .
8.Конвективный теплообмен.
Конвективным теплообменом называется процесс совместной
передачи теплоты конвекцией и теплопроводностью от поверхности
стенки к потоку омывающей её жидкости или в обратном направлении.
Формально этот процесс описывается уравнением НьютонаРихмана
Q  F tc  t .
(31)
Для применения этого уравнения необходимо знать численные
значения коэффициента теплоотдачи α для каждой конкретной задачи.
Обычно для этого пользуются так называемыми критериальными
уравнениями
(уравнение
(36)),
связывающими
определяемый
безразмерный критерий Нуссельта
Nu  l / 
(32)
с определяющими безразмерными критериями Рейнольдса
Re  l /
(33)
Pr   / a
(34)
Gr  gl 3t / 2
(35)
Прандтля
и Гросгофа
Обобщенное критериальное уравнение имеет вид
Nu  C Re m Pr n Gr p ,
(36)
где численные значения коэффициента С и показателей степени m,n,p
устанавливаются
из
решения
дифференциальных
уравнений
гидродинамики и конвективного теплообмена, а чаще всего на основании
экспериментальных исследований.
В формулы (32)-(35) входят:
α – искомый коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2град)
l - характерный линейный размер, м
λ - коэффициент теплопроводности жидкости или газа, Вт/(м·град)
ω - средняя скорость потока жидкости или газа относительно стенки, м/с
 - кинематический коэффициент вязкости жидкости или газа, м2/с;
g - ускорение силы тяжести, м/сек2;
β - коэффициент термического расширения, 1/град (в термодинамике мы
обозначали его буквой α);
Δt-
температурный
напор,
т.е.
разность
между
определяющими
температурами жидкости и стенки, град ( t  tc  t )
a- коэффициент температуропроводности жидкости или газа, м2/сек.
Поскольку величины λ,  , а зависят от температуры, а она не
одинакова в различных точках объёма жидкости или газа, возникает
вопрос - для какой, конкретно, температуры следует принимать эти
величины. В качестве определяющей чаще всего принимают среднюю
температуру потока жидкости или газа, к которой и относят указанные
величины, а также рассчитанные на их основе критерии Pr, Re, Gr и Nu.
Для
того,
теплофизических
чтобы
свойств
учесть
жидкости,
температурную
вводят
в
зависимость
уравнение
(36)
эмпирическую поправку в виде множителя Pr/ Prc  4 , так что
1
Nu  C Re m Pr n Gr p Pr/ Prc  4 ,
1
(37)
где Prc – критерий Прандтля при температуре стенки.
Численные значения C , m, n, p находят из опытов.
9.Теплообмен при течении жидкости в трубах и каналах.
Средняя скорость течения жидкости определяется формулой
  U / S,
где
U - объемный поток (или расход) жидкости в трубе, м3/с;
S-площадь живого сечения потока, м2.
В качестве характерного размера l принимается внутренний
диаметр трубы
l  d вн
Если труба некруглая, то
l  d экв  4S / П ,
где
d экв - эквивалентный диаметр, м;
П - смоченный периметр сечения, м.
При ламинарном режиме течения жидкости в трубе, которому
соответствует область 0  Re  2300 , коэффициент теплоотдачи α
определяется из уравнения
Nu  0.15 L Re 0.33 Pr 0.43 Gr0.1 Pr/ Pr0 
0.25
где
(38)
 L - поправочный коэффициент, учитывающий особенности
теплообмена в начальном участке трубы и зависящий от величины
отношения длины трубы к её диаметру, т.е.  L  f L / d экв 
L / d экв
L
1
5
10
20
30
≥50
40
1.9 1.44 1.28 1.13 1.05 1.02
1
Для переходного режима течения при 2300  Re  10 4 нет
достаточно надежных формул. Для приближенных расчетов можно
пользоваться уравнением
Nu  0.008 Re 0.9 Pr 0.43
(39)
Для турбулентного режима при Re  10 4 справедлива формула
Nu  0.021 L Re 0.8 Pr 0.43 Pr/ Pr0 
0.25
,
(40)
где  L  f L / d экв , Re .
Для определения  L
в справочной литературе приводятся
таблицы.
Для изогнутых труб, например, змеевиковых теплообменников, в
правую часть формулы (40) вводится поправочный множитель
 R1  3.6d экв / D,
где D - диаметр змеевика.
Помимо рассмотренных выше, в инженерной практике встречаются
самые разнообразные задачи конвективного теплообмена между твердой
стенкой и жидкостью или газом. Перечислим некоторые из них:
теплообмен при поперечном и продольном обтекании одиночной трубы
или пучка труб при свободной и вынужденной конвекции; теплообмен
при обтекании горизонтальной и вертикальной плоской стенки и т.д.
Многие из таких случаев исследованы экспериментально и в результате
получены соответствующие критериальные уравнения, которые можно
найти в специальной литературе по теплообмену.
11. Теплообмен при кипении жидкости и конденсации пара.
При подводе теплоты к кипящей жидкости через твердую стенку
наблюдаются два режима кипения: пузырьковый и плёночный.
При пузырьковом кипении в отдельных точках на поверхности
стенки происходит образование, рост, отрыв и всплытие пузырьков пара.
При увеличении температурного напора
t  tc  ts
т.е разности между температурой стенки tc и температурой кипения ts ,
скорость образования пузырьков возрастает. За счёт этого увеличивается
и
коэффициент
теплоотдачи
 , и плотность теплового
потока q .
Однако
значении
напора
при
некотором
температурного
tкр
образования
скорость
пузырьков
становится столь велика, что
они сливаются друг с другом и
образуют вблизи поверхности
стенки сплошную плёнку пара. При дальнейшем увеличении
t толщина
этой плёнки возрастает, а коэффициент теплоотдачи  уменьшается
(поскольку
коэффициент теплопроводности пара намного меньше
коэффициента теплопроводности жидкости). Такой режим кипения
называется плёночным.
При
t  tкр ,
т.е. в точке перехода пузырькового режима
кипения в плёночный достигаются максимальные значения  и q ,
которые определяются экспериментально. Промышленные кипятильники
обычно работают при
t  tкр ,
т.е. при пузырьковом кипении. При
этом величина  может быть рассчитана по эмпирическим формулам,
приведённым в специальной литературе.
При охлаждении пара через твердую стенку наблюдаются два
режима конденсации: капельный и плёночный. Режимы конденсации
зависят от характера сил поверхностного натяжения на границе между
стенкой и конденсатом.
Если стенка не смачивается, происходит капельная конденсация,
при которой поверхность стенки покрыта отдельными каплями жидкости.
Эти капли вырастают до определённого размера и скатываются вниз
(если стенка вертикальная или наклонная).
На
смачиваемой
поверхности
конденсат
образует
тонкую
сплошную плёнку, поэтому такая конденсация и называется плёночной.
Интенсивность
теплообмена
при
капельной
конденсации
значительно выше, чем при плёночной. Объясняется это тем, что при
капельной конденсации пар непосредственно контактирует с холодной
стенкой в промежутках между каплями, а в случае плёночной
конденсации передача тепла от пара к стенке осуществляется через
плёнку конденсата. Интенсивность теплоотдачи зависит от толщины этой
плёнки, характера течения жидкости в плёнке, а также от скорости и
направления движения пара относительно плёнки.
Обычно
в
конденсаторах
для
водяного
пара
наблюдается
плёночный режим конденсации. С целью интенсификации процесса в
последнее время ведутся работы по созданию искусственных условий для
капельной конденсации путём нанесения на стенки конденсатора
гидрофобных (водоотталкивающих) покрытий или путём специальных
добавок в конденсирующийся пар.
Расчет
коэффициентов
теплоотдачи
при
конденсации
пара
производится по формулам, приведённым в специальной литературе.
12. Лучистый теплообмен
Тепловое излучение представляет собой электромагнитные волны,
длина которых находится в интервале   0.8  40 мкм, т.е составляет
инфракрасную часть спектра (длина видимых световых волн находится в
пределах от 0,4 до 0,8 мкм).
Реальные тела обладают способностью излучать, поглощать и
пропускать лучистую энергию.
Обозначим: Q - общую энергию падающих на тело лучей; Q1 - энергию,
поглощаемую телом; Q2 - энергию, отражаемую поверхностью тела; Q3 энергию лучей проходящих сквозь тело.
Очевидно, что
Q  Q1  Q2  Q3
`
Введём следующие обозначения:
A  Q1 / Q - коэффициент поглощения;
R  Q2 / Q - коэффициент отражения;
D  Q3 / Q - коэффициент проницаемости.
Из теплового баланса следует, что
A R  D 1
Если A  1 , то R  D  0 . Это значит, что падающая на тело
энергия полностью поглощается. Такие тела называются абсолютно
черными.
Если R  1 , то A  D  0 , т.е. энергия полностью отражается.
Такие тела называются абсолютно белыми.
Если D  1 , то A  R  0 , т.е. вся энергия проходит сквозь тело.
Такие тела называются абсолютно прозрачными или диатермичными.
Абсолютно чёрных, белых и прозрачных тел не существует. Однако есть
тела, которые можно приближённо считать таковыми.
Величины A , R и D зависят от природы тела, его температуры и
длины волны излучения. Например, сухой воздух практически прозрачен
для тепловых лучей. Твердые тела и жидкости для тепловых лучей почти
непрозрачны. Поэтому для них можно принять D  0 ,тогда
A R 1
Отсюда следует, что если тело хорошо поглощает лучистую энергию, то
оно плохо её отражает, и наоборот.
Собственной
излучательной
способностью
тела
называется
количество энергии, излучаемой единицей поверхности тела в единицу
времени
E  dQ Fd  , Вт / м 2
Эффективным излучением тела называется сумма собственного
излучения данного тела и отраженного от него излучения (источником
которого являются другие тела)
Eэф  E  RE пад  E  1  AEпад
13. Основные законы теплового излучения
Закон Планка.
Излучательная способность тела характеризуется не только
плотностью
потока
излучаемой
энергии
E,
но
и
функцией
распределения этой энергии по длинам волн
j  dE / d , Вт / м 2
Эта
величина,
называемая
спектральной
интенсивностью
излучения, является функцией  и T
j  f ,T 
Немецкий
учёный
Планк
установил,
что
спектральная
интенсивность излучения абсолютно черного тела подчиняется закону
j0  c1 /[ 5 (ec2 / T  1)] , где
 - длина волны, м;
T -абсолютная температура, К
c1 и c2 - постоянные Планка
c1  0.374  1015 Вт  м2 ,
c2  1.4388  1012 м  К
Согласно закону Планка
(см. рисунок), при   0
j0  0 , с увеличением  величина j0
возрастает, достигает максимума, а затем снижается до 0 при    .
С
повышением
температуры
максимум
спектральной
интенсивности излучения смещается в сторону коротких волн.
Закон Стефана-Больцмана.
На основании закона Планка можно вычислить суммарную
интенсивность излучения абсолютно черного тела по всем длинам волн


0
0
 
E0   j0 d  c1  5 ec2
T

1
d
В результате интегрирования получим уравнение
E0  T 4 ,
называемое законом Стефана-Больцмана.
Согласно этому закону интенсивность излучения абсолютно
черного тела пропорциональна абсолютной температуре в 4-й степени.
Закон Стефана-Больцмана обычно записывают в более удобном для
вычисления виде
4
 T 
2
E0  c0 
 Вт / м
100



где c0  5.67 Вт / м 2 К 4

- коэффициент излучения абсолютно
черного тела.
Опытом установлено, то закон Стефана-Больцмана справедлив и
для обычных тел, которые в отличие от абсолютно черного тела называют
серыми, т.е.
4
 T 
E0  c
 ,
 100 
однако коэффициенты излучения серых тел c  c0 .
Величина
  E E0  c c0  1 называется интегральной или
средней степенью черноты серого тела.
Таким образом, закон Стефана-Больцмана для серых тел можно
представить в виде
4
 T 
E    c0 
.
 100 
Степень черноты  определяется экспериментально и приведена в
справочных таблицах.
Закон Кирхгофа.
Рассмотрим
лучистый
теплообмен
между
двумя
плоскими
параллельными поверхностями, одна из которых серая, а другая -
абсолютно черная. Серая поверхность излучает энергию E , а черная
энергию E0 . Часть энергии AE0 поглощается серой поверхностью. При
одинаковых и постоянных температурах обеих поверхностей энергия E ,
излучаемая серой поверхностью, должна быть равна энергии AE0 ,
поглощаемый этой поверхностью, т.е.
E  AE0 .
Отсюда следует соотношение
E
 E0 ,
A
называемое законом Кирхгофа, который формируется так:
отношение
излучательной
способности
к
коэффициенту
поглощения одинаково для всех серых тел и равно излучательной
способности абсолютно черного тела при той же температуре.
На основании закона Стефана-Больцмана и закона Кирхгофа
получим
A  E E0   ,
т.е степень черноты серого тела
 равны коэффициенту поглощения A
при той же температуре.
Закон Ламберта.
Уравнение Стефана-Больцмана определяет суммарное количество
энергии E, излучаемое телом по всем направлениям.
Интенсивность
излучения
поверхности
тела
зависит
от
направления излучения, характеризуемого углом  . Эта зависимость
описывается законом Ламберта
E  EN cos 
E  интенсивность излучения в направлении ;
где:
φ  угол между направлением излучения и нормалью к
излучающей поверхности;
E N  интенсивность излучения в нормальном направлении,
  T 
E N  c0 
 .
  100 
4
Отсюда видно, что наибольшая интенсивность излучения имеет
место в направлении нормали к излучающей поверхности, т.е. при   0 .
А при
   2 , т.е. тангенциальном направлении, интенсивность
излучения равна 0.
Для
соответствует
большинства
реальных
действительности
в
тел
закон
пределах
Ламберта
хорошо
0    60 .
полированных поверхностей закон Ламберта неприменим.
Для
14. Лучистый теплообмен между плоскими параллельными
поверхностями.
Эффективное излучение 1-го тела E эф1 состоит из собственного
излучения E1 и отраженного излучения, источником которого является
второе тело, 1  A1   Eэф 2 , так что
Eэф1  E1  1  A1   Eэф 2 .
Аналогично формулу можем записать для
эффективного излучения 2-го тела
Eэф 2  E2  1  A2   Eэф1 .
Решая эти два уравнения относительно E эф1 и
Eэф 2 , найдем
Eэф1 
Плотность
E  E2  A2 E1
E1  E2  A1E2
; Eэф 2  1
.
A1  A2  A1 A2
A1  A2  A1 A2
теплового
потока
между
рассматриваемыми
поверхностями будет
q  Eэф1  Eэф 2 
A2 E1  A1E2
.
A1  A2  A1 A2
Принимая во внимание, что
E1  1C0 T1 100  A1C0 T1 100 ,
4
4
E2   2C0 T2 100  A2C0 T2 100 ,
4
4
получим
q
A1 A2C0
A1  A2  A1 A2
 T1  4  T2  4 
 
 

 100   100  
или
 T 4  T  4 
q  Cпр  1    2   ,
 100   100  
где Cпр  приведенный коэффициент излучения системы.
Cпр 
A1 A2C0
1

.
1
1
1
A1  A2  A1 A2


C1 C2 C0
(поскольку A1C0  C1 и A2C0  C2 ).
В тех случаях, когда необходимо уменьшить интенсивность
лучистого теплообмена, между поверхностями устанавливают один или
несколько экранов, представляющих собой тонкие металлические листы с
большой отражающей способностью.
Определим тепловой поток между двумя поверхностями с
температурами Т1 и Т2 при наличии одного экрана.
Будем считать, что коэффициенты излучения стенок и экрана
одинаковы, т.е.
C1  C2  Cэ  C .
Тогда плотность теплового потока от 1-й поверхности к экрану будет

q1  Cпр T1 100  Tэ 100
4
4

и от экрана ко второй поверхности

q2  Cпр Tэ 100  T2 100
4
4

При стационарном режиме теплообмена
q1  q2  qэ ,
поэтому
Tэ
100  
4

1
T1 1004  T2 1004
2

и


1
4
4
qэ  Cпр T1 100   T2 100  .
2
Сопоставляя значение qэ с величиной q , найденной выше для
теплообмена без экрана, видим, что
qэ 
1
q,
2
т.е. установка одного экрана снижает интенсивность теплообмена
излучением в 2 раза.
Аналогично можно показать, что установка 2-х экранов уменьшает
тепловой поток втрое, установка 3-х экранов  вчетверо и т.д.
15. Излучение газов. Сложный теплообмен.
Излучение газов и паров существенно отличается от излучения
твердых тел. Одноатомные и двухатомные газы практически не способны
излучать и поглощать тепловую энергию. Такой способностью обладают
газы, молекулы которых состоят из 3-х и большего числа атомов,
например, СО2, Н2О и др. Излучение газов носит объемный характер.
Спектр излучения газов не сплошной, как у твердых тел, а прерывистый,
состоящий из нескольких узких полос.
Расчет лучистого теплообмена между газом и твердой стенкой
производят по эмпирическим формулам, приведенной в специальной
литературе.
Под сложным теплообменом разумеются такие случаи, когда
наряду с теплопроводностью и конвекцией существенную роль играет и
лучистый теплообмен.
В таких случаях коэффициент теплопередачи через плоскую
стенку рассчитывают по уравнению
K
1
1
 эф1

1
 
  эф 2
,
где:  эф1 и  эф 2  эффективные коэффициенты теплоотдачи с обеих
сторон стенки,
 эф1  1   u1 ,
 эф1   2   u 2 ;
1 и  2  коэффициенты теплоотдачи за счет конвекции;
 u1 и  u 2  коэффициенты теплоотдачи путем излучения.
16. Теплообменные аппараты (теплообменники).
Теплообменники предназначены для передачи тепла от одного
теплоносителя к другому. В качестве теплоносителей могут быть
жидкости и газы.
По
принципу
действия
теплообменники
разделяют
на
регенеративные, смесительные и рекуперативные.
Регенеративные теплообменники обычно представляют собой
емкость или канал, заполненный теплоаккумулирующей насадкой. При
прохождении через канал горячего теплоносителя насадка нагревается, а
при последующем прохождении через этот же канал холодильного
теплоносителя происходит отдача тепла от насадки к холодильному
теплоносителю, т.е. такие теплообменники действуют периодически. Они
применяются в основном в котельных и металлургических установках для
нагревания воздуха дымовыми газами.
В смесительных теплообменниках передача тепла от горячего
носителя к холодному осуществляется за счет смешения обоих
теплоносителей.
В химической и пищевой промышленности наиболее широко
применяются
рекуперативные
теплообменники,
в
которых
тепло
передается от одного теплоносителя к другому через разделительную
стенку.
В
зависимости
теплоносителей
от
относительного
рекуперативные
направления
теплообменники
делятся
движения
на:
а)
прямоточные, б) противоточные, в) перекрестные. Существуют также
теплообменники смешанного типа.
В
прямоточных
теплообменниках
направления
движения
теплоносителей совпадают, а в противоточных они противоположны. В
теплообменниках
с
перекрестным
движением
теплоносителей
их
направления поперечны.
Расчет теплообменников базируется на уравнении теплового
баланса



Q  U '  'c'p tk'  tн'  U " "c"p tk"  tн"

(1)
и уравнении теплопередачи
Q  kFtср
(2)
где 
Q  тепловой поток, Вт ;
U ' ,U "  объемные расходы теплоносителей, м3 / сек ;
 ' ,  " - плотности теплоносителей, кг / м 3 ;
с 'p , c"p – удельные массовые теплоемкости теплоносителей,
Дж / кг  град ;
t k' , t н'
и
t k" , t н"
–
начальные
и
конечные
температуры
теплоносителей,  С ;
k - средний коэффициент теплопередачи, Вт / м2  град ;
F - поверхность теплообмена, м 2 ;
tср - средний температурный напор,  С .
Выведем формулу для расчета
tср
в случае прямотока.
Рассмотрим теплообмен на элементарном участке с поверхностью
теплообмена dF . Уравнение теплового баланса и теплопередачи для
этого участка запишем в виде
dQ  U '  'c'p dt '  U "  "c"p dt "
dQ  kdFt
где
t  t '  t "
Из уравнения (3) найдем
dt '  
dQ
dQ
, dt "   " " " ,
' ' '
U  cp
U  cp
(3)
(4)
 1
1 
d t '  t "  dt '  dt "   ' ' '  " " " dQ
U  c
U  c p 
p



или
d t    AdQ ,
где обозначено A 
1
U11c p1
Проинтегрируем

1
U 2  2c p 2
(5)
.
уравнение
(5)
по
всей
поверхности
теплообменника
t к
Q
t н
0
 d t    A dQ,
отсюда
Q
tн  tк
.
A
(6)
Подставим в уравнение (5) значение dQ из уравнения (4),
получим
d t 
  AkdF .
t
Интегрируя, получим
t к

t н
d t 
  AkdF.
t
ln tн tк   AkF,
отсюда
A
ln tн tк 
.
kF
Подставляя значение A в уравнение (6), найдем
Q
tн  tк
kF .
ln tн tк 
Сопоставляя эту формулу с уравнением (2), видим, что средний
температурный напор в прямоточном теплообменнике
tср 
tн  tк
,
ln tн tк 
(7)
где tн и tк - разности температур теплоносителей на входе и выходе
теплообменника
tн  tн'  tн" ,
tк  tк'  tк" .
Формула
(7)
справедлива
также
и
для
противоточных
теплообменников. При этом
tн  tк'  tн" ,
tк  tн'  tк" .
При прочих равных условиях в противоточных теплообменниках
обеспечивается
больший
средний
температурный
напор,
чем
в
прямоточных. Поэтому противоточные теплообменники имеют меньшую
поверхность теплообмена, т.е они более компактны и применяются шире,
чем прямоточные.
При проектировании теплообменников целью теплового расчета
обычно является определение необходимой поверхности теплообмена F .
По заданным начальным и конечным температурам теплоносителей и их
расходам из уравнения теплового баланса (1) находится тепловой поток
Q . Далее по формуле (7) вычисляется средний температурный напор;
затем рассчитывается коэффициент теплопередачи k . После этого из
уравнения (2) находят искомую величину F
Котельные и теплосиловые установки
Стационарные котельные установки подразделяются на :

энергетические, применяемые для получения 100 т/ ч и более
пара высокого давления (свыше 40 ат ) и высокой температуры
(более 450  С ), предназначенного, главным образом, для
выработки электроэнергии;

промышленные, производительностью до 100
т/ ч пара
невысокого давления и температуры ( p  40ат, t  450 C ),
предназначенного для технологических целей;

отопительные, производящие до 15 т/ ч насыщенного пара
давлением до 13 ат , предназначенного для отопления и
бытовых нужд.
На рисунке показана котельная установка средней мощности,
работающая на кусковом каменном угле.
Ленточным транспортером 1 топливо подается в бункер 2. Из
бункера топливо поступает на движущуюся колосниковую решетку 3,
расположенную в котельной топке 4. Воздух, необходимый для горения
топлива, подается под колосниковую решетку вентилятором 5 через
воздушный подогреватель 6.
Над топкой установлен паровой котел 7, состоящий из верхнего и
нижнего барабанов, соединенных между собой тремя пучками труб.
Питающая вода подается насосом в экономайзер 8, где она подогревается
дымовыми газами, а затем поступает в верхний барабан котла. В первом
и втором пучке котельных труб (по ходу движения дымовых газов)
происходит кипение воды, образующаяся пароводяная смесь поднимается
по трубам в верхний барабан, в третьем пучке труб вода движется в
нижний барабан, т.е. происходит циркуляция воды. Влажный пар из
верхнего бочка поступает в пароперегреватель 9, расположенный между
первым и вторым пучками труб. Из пароперегревателя пар направляется
в магистраль.
Из топки дымовые газы отсасываются вентилятором 10, проходят
по каналам, в которых расположены пучки котельных труб, экономайзер
и воздухоподогреватель, и направляются в дымовую трубу.
Топливо
По агрегатному состоянию различают:

твердое топливо – различные виды природных углей, горючие
сланцы, торф;

жидкое топливо – нефть и продукты ее переработки (бензин,
керосин, соляровое масло, мазут);

газообразное топливо – природный газ, нефтегаз, коксовый
газ.
На атомных электростанциях применяется ядерное топливо.
Состав рабочей массы топлива
Углеводород Водород Сера Азот Кислород Зола Влага
Cp
Sp
Hp
Np
Горючая масса
Op
Ap
Балласт
Сухая масса
Рабочая масса
Углерод является основным горючим компонентом топлива.
Wp